第一章 1　等腰三角形 同步练 2023-2024学年 北师大版数学八年级下册

二　等腰三角形(第2课时) 【A层 基础夯实】 知识点1等腰三角形的重要线段 1.如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=40°.中线AD与角平分线CE交于点F,则∠CFD的度数为 ( ) A.25° B.35° C.45° D.55° 2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,CD平分∠ACB交AB于点D,则∠CDB的度数是( ) A.36° B.70° C.72° D.82° 3.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,点G是BA延长线上一点,点F是AC上一点,AG=AF,连接GF并延长交BC于点E.若∠B=55°, (1)求∠AFG的度数; (2)求证:GE⊥BC. 知识点2等边三角形的性质 4.如图,P是等边△ABC的边AC的中点,E为BC边延长线上一点,PE=PB,则∠CPE的度数为 ( ) A.20° B.25° C.30° D.35° 5.如图,l∥m,等边△ABC的顶点B在直线m上,边BC与直线m所夹锐角为20°,则∠α的度数为 ( ) A.60° B.45° C.40° D.30° 6.如图,△ABC是等边三角形,点D是BC的中点,连接AD,则∠BAD的大小为 .  7.如图,△ABC为等边三角形,P为边BC上一点,在AC上取一点D,使AD=AP, 若∠APB=104°,则∠ADP的度数是 .  8.(2023·荆州中考)如图,BD是等边△ABC的中线,以D为圆心,DB的长为半径画弧,交BC的延长线于E,连接DE.求证:CD=CE. 【B层 能力进阶】 9.如图,已知△ABC中,AB=AC,若以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,则下列结论一定正确的是 ( ) A.AE=EC B.AE=BE C.∠EBC=∠BAC D.∠EBC=∠ABE 10.如图所示,在等边△ABC中,AD⊥BC,E为AD上一点,∠CED=50°,则∠ABE等于( ) A.10° B.15° C.20° D.25° 11.如图,已知CE和BD分别是△ABC的角平分线和高线,且AE=CE,若∠ABC=75°,则∠BOE的度数为 ( ) A.30° B.60° C.55° D.45° 12.如图,△ABC和△ADE均为等边三角形,D,E分别在边AB,AC上,连接BE,CD,若∠ACD=15°,则∠CBE= .  13.如图,A,C,E三点共线,△ABC与△CDE是等边三角形,AD⊥BC于点M,EB平分∠DEC交CD于点N,AD与BE相交于点O,则∠BDE= .  【C层 创新挑战】(选做) 14.如图,已知△ABC和△ADE是等边三角形. (1)求证:BD=CE; (2)求∠DPC的大小. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三　等腰三角形(第3课时) 【A层 基础夯实】 知识点1等腰三角形的判定 1.如图,在△ABC中,∠B=∠C,AB=3,则AC的长为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 2.下列能断定△ABC为等腰三角形的是 ( ) A.∠A=40°,∠B=50° B.∠A=2∠B=70° C.∠A=40°,∠B=70° D.AB=3,BC=6,周长为14 3.在一个三角形中,有两个内角分别为120°,30°,那么这个三角形按边分类是 三角形.  4.如图,已知:在△ABC中,点D,E在BC边上,且∠1=∠B,∠2=∠C,BC=10 cm, 求△ADE的周长. 知识点2平行线+角平分线模型 5.如图,在△ABC中,∠ABC的平分线交AC于点D,AD=6,过点D作DE∥BC交AB于点E,若△AED的周长为16,则边AB的长为 .  6.已知OC是∠AOB的平分线,将直尺DEMN如图摆放,使EM边与OB边重合,顶点D落在OA边上,DN边与OC交于点P.则△DOP是 三角形.  7.如图,在△ABC中,CE平分∠ACB,B,C,G在同一直线上,CF平分∠ACG,EF∥BC交AC于点D,求证:DE=DF. 知识点3反证法 8.用反证法证明命题“在△ABC中,若AB>AC,则∠C>∠B”时,第一步应假设( ) A.∠C<∠B B.∠C≤∠B C.AB<AC D.AB≤AC 9.(2023·泰州期中)用反证法证明命题“是无理数”时,应假设 .  【B层 能力进阶】 10.如图,在△ABC中,∠A=36°,∠B=72°,CD平分∠ACB,DE∥AC,则图中共有等腰三角形( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 11.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AC=6,AB=8,过点A的直线DE∥BC,∠ABC与 ∠ACB的平分线分别交DE于E,D,则DE的长为 ( ) A.14 B.16 C.18 D.20 12.如图,把一张长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠,点D的对应点为点F,CF与AB交于点E,若长方形ABCD的周长为16,则△CBE的周长为 ( ) A.4 B.8 C.16　 D.32 13.(易错警示题)如图,等边△ABC的边长为12 cm,M,N两点分别从点A,B同时出发,沿△ABC的边顺时针运动,点M的速度为1 cm/s,点N的速度为2 cm/s,当点N第一次到达点B时,M,N两点同时停止运动,则当M,N运动时间t= s时,△AMN为等腰三角形.  14.用反证法证明下列问题: 如图,在△ABC中,点D,E分别在AC,AB上,BD,CE相交于点O.求证:BD和CE不可能互相平分. 15.如图,直线AB∥CD,∠ACD的平分线CE交AB于点F,∠AFE的平分线交CA延长线于点G. (1)证明:AC=AF; (2)若∠FCD=30°,求∠G的大小. 【C层 创新挑战】(选做) 16.如图①,△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线交于O点,过O点作BC平行线分别交AB,AC于E,F. (1)请写出图①中线段EO和BE的大小关系: .  (2)请写出图①中线段EF与BE,CF间的关系: .  (3)如图②,若∠ABC的平分线与∠ACG的平分线交于O,过点O作BC的平行线交AB于E,交AC于F.请写出EF与BE,CF的关系,并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 四　等腰三角形(第4课时) 【A层 基础夯实】 知识点1等边三角形的判定 1.△ABC是等边三角形,D,E,F为各边中点,则图中共有等边三角形 ( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.如图所示,E是等边△ABC中AC边上的点,∠1=∠2,BE=CD,则对△ADE的形状判断最准确的是 ( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.不等边三角形 D.不能确定形状 3.(生活中的数学)因为木质衣架没有柔性,所以在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,套进衣服后松开即可.如图1,衣架杆OA=OB=18 cm.若衣架收拢时,∠AOB=60°,如图2,则此时A,B两点之间的距离是( ) A.9 cm B.16 cm C.18 cm D.20 cm 4.如图,等边三角形纸片ABC的边长为6,E,F是边BC上的三等分点.分别过点E,F沿着平行于BA,CA方向各剪一刀,则剪下的△DEF的周长是 .  5.如图,在△ABC中,点D是AB上的一点,且AD=DC=DB,∠B=30°.求证:△ADC是等边三角形. 知识点2含30°角的直角三角形的性质 6.(2023·太原质检)Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=4,则BC等于 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 7.如图,在等腰三角形ABC中,BA=BC,∠ABC=120°,点D为AC边的中点.若BC=6,则BD的长为 ( ) A.3 B.4　 C.6 D.8 8.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,点P是BC边上的动点,则AP长不可能是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【B层 能力进阶】 9.下列三角形,不一定是等边三角形的是 ( ) A.有两个角等于60°的三角形 B.有一个外角等于120°的等腰三角形 C.三个角都相等的三角形 D.边上的高也是这边的中线的三角形 10.(2023·贵州中考)5月26日,“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕,在“自动化立体库”中有许多几何元素,其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示),它的顶角为120°,腰长为12 m,则底边上的高是 ( ) A.4 m B.6 m C.10 m D.12 m 11.(与物理学科融合)如图,CD是平面镜,光线从点A出发经CD上点O反射后照射到点B,若入射角为α,反射角为β(反射角等于入射角),AC⊥CD于点C,BD⊥CD于点D,且∠α=60°,OB=10,则BD= .  12. (易错警示题)如图,∠AOB=60°,点C是BO延长线上的一点,OC=6 cm,动点P从点C出发沿射线CB以2 cm/s的速度移动,动点Q从点O出发沿射线OA以 1 cm/s的速度移动,如果点P,Q同时出发,用t(s)表示移动的时间,当t= s时,△POQ是等边三角形.  13.(2023·西安质检)如图,已知∠AOB=60°,点C在边OA上,OC=14,点D,E在边OB上,CD=CE,若DE=6,求OD的长. 14.(2023·聊城中考)如图,在四边形ABCD中,点E是边BC上一点,且BE=CD,∠B=∠AED=∠C. (1)求证:∠EAD=∠EDA; (2)若∠C=60°,DE=4时,求△AED的面积. 【C层 创新挑战】(选做) 15.如图1,AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,AD,BE相交于点F. (1)求证:BE=AD; (2)求∠DFE的度数; (3)取AD,BE的中点分别为点P,Q,连接CP,CQ,PQ,如图2,判断△CPQ的形状,并加以证明. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一　等腰三角形(第1课时) 【A层 基础夯实】 知识点1三角形全等的性质和判定 1.如图,在△ACD与△ABD中,∠C=∠B,再添加一个下列条件,能判断△ADC≌△ADB的是 (B) A.AC=AB B.∠ADC=∠ADB C.CD=BD D.AC⊥CD 2.如图,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB,若AB=4,CF=3,则BD的长是 (B) A.0.5 B.1 C.1.5 D.2 3.如图,AC=DC,AB=DE,请你添加一个适当的条件: 　CB=CE(答案不唯一)　,使得△ABC≌△DEC.  知识点2等腰三角形的性质 4.(2023·包头中考)如图,直线a∥b,直线l与直线a,b分别相交于点A,B,点C在直线b上,且CA=CB.若∠1=32°,则∠2的度数为 (C) A.32° B.58° C.74° D.75° 5.(2023·周口项城质检)如图,在△ABC中,AB=AC,点D是边BC的中点,如果∠B=50°,那么∠DAC的度数为 (B) A.30° B.40° C.50° D.60° 6. (2023·长沙中考)如图,已知∠ABC=50°,点D在BA上,以点B为圆心,BD长为半径画弧,交BC于点E,连接DE,则∠BDE的度数是　65°　.  知识点3实际问题中的等腰三角形 7.(生活中的数学)莆田绶溪公园开放“状元桥”和“状元阁”游览观光,其中“状元阁”的建筑风格堪称“咫尺之内再造乾坤”.“状元阁”的顶端可看作等腰三角形ABC,AB=AC,D是边BC上的一点.下列条件不能说明AD是△ABC的角平分线的是 (C) A.∠ADB=∠ADC B.BD=CD C.BC=2AD D.S△ABD=S△ACD 8.(2024·兰州中考)如图1是小军制作的燕子风筝,燕子风筝的骨架图如图2所示,AB=AE,AC=AD,∠BAD=∠EAC,∠C=50°,求∠D的大小. 【解析】∵∠BAD=∠EAC,∴∠BAD+∠CAD=∠EAC+∠CAD, 即∠BAC=∠EAD, 在△BAC与△EAD中,, ∴△BAC≌△EAD(SAS), ∴∠D=∠C=50°. 9.(2024·淄博中考)如图,△ABC是等腰三角形,点D,E分别在腰AC,AB上,且BE=CD,连接BD,CE.求证:BD=CE. 【证明】∵△ABC是等腰三角形, ∴∠EBC=∠DCB, 在△EBC与△DCB中,, ∴△EBC≌△DCB(SAS), ∴BD=CE. 【B层 能力进阶】 10.如图,直线a∥b,点A在直线a上,点B在直线b上,AC=BC,∠C=120°,∠1=44°,则∠2的度数为 (B) A.64° B.74° C.56° D.66° 11.(2023·新疆建设兵团中考)如图,在△ABC 中,若AB=AC,AD=BD,∠CAD=24°,则∠C=　52　°.  12.若(a-3)2+=0,则以a,b为边长的等腰三角形的周长为　11或13　.  13.(新定义型问题)定义:等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特值”.若等腰△ABC中,k=,则顶角为　36°　.  【C层 创新挑战】(选做) 14.某数学兴趣小组开展了一次活动,过程如下:设∠BAC=θ(0°<θ<90°).现把小棒依次摆放在两射线之间,并使小棒两端分别落在射线AB,AC上. 活动一:如图甲所示,从点A1开始,依次向右摆放小棒,使小棒与小棒在端点处互相垂直,A1A2为第1根小棒. 数学思考: (1)小棒能无限摆下去吗?答:　　　　.(填“能”或“不能”)  (2)设AA1=A1A2=A2A3,θ=　　　　;  活动二:如图乙所示,从点A1开始,用等长的小棒依次向右摆放,其中A1A2为第1根小棒,且A1A2=AA1. 数学思考: (3)若已经摆放了3根小棒,用含θ的式子表示θ3. 【解析】(1)∵根据已知条件∠BAC=θ(0°<θ<90°),小棒两端分别落在两射线上, ∴小棒能继续摆下去. 答案:能 (2)∵A1A2=A2A3,A1A2⊥A2A3, ∴∠A2A1A3=45°,∴∠AA2A1+θ=45°, ∵∠AA2A1=θ,∴θ=22.5°. 答案:22.5° (3)∵A1A2=AA1, ∴∠A1AA2=∠AA2A1=θ, ∴∠A2A1A3=θ1=θ+θ,∴θ1=2θ, 同理可得:θ2=3θ,θ3=4θ. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一　等腰三角形(第1课时) 【A层 基础夯实】 知识点1三角形全等的性质和判定 1.如图,在△ACD与△ABD中,∠C=∠B,再添加一个下列条件,能判断△ADC≌△ADB的是 ( ) A.AC=AB B.∠ADC=∠ADB C.CD=BD D.AC⊥CD 2.如图,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB,若AB=4,CF=3,则BD的长是 ( ) A.0.5 B.1 C.1.5 D.2 3.如图,AC=DC,AB=DE,请你添加一个适当的条件: ,使得△ABC≌△DEC.  知识点2等腰三角形的性质 4.(2023·包头中考)如图,直线a∥b,直线l与直线a,b分别相交于点A,B,点C在直线b上,且CA=CB.若∠1=32°,则∠2的度数为 ( ) A.32° B.58° C.74° D.75° 5.(2023·周口项城质检)如图,在△ABC中,AB=AC,点D是边BC的中点,如果∠B=50°,那么∠DAC的度数为 ( ) A.30° B.40° C.50° D.60° 6. (2023·长沙中考)如图,已知∠ABC=50°,点D在BA上,以点B为圆心,BD长为半径画弧,交BC于点E,连接DE,则∠BDE的度数是 .  知识点3实际问题中的等腰三角形 7.(生活中的数学)莆田绶溪公园开放“状元桥”和“状元阁”游览观光,其中“状元阁”的建筑风格堪称“咫尺之内再造乾坤”.“状元阁”的顶端可看作等腰三角形ABC,AB=AC,D是边BC上的一点.下列条件不能说明AD是△ABC的角平分线的是 ( ) A.∠ADB=∠ADC B.BD=CD C.BC=2AD D.S△ABD=S△ACD 8.(2024·兰州中考)如图1是小军制作的燕子风筝,燕子风筝的骨架图如图2所示,AB=AE,AC=AD,∠BAD=∠EAC,∠C=50°,求∠D的大小. 9.(2024·淄博中考)如图,△ABC是等腰三角形,点D,E分别在腰AC,AB上,且BE=CD,连接BD,CE.求证:BD=CE. 【B层 能力进阶】 10.如图,直线a∥b,点A在直线a上,点B在直线b上,AC=BC,∠C=120°,∠1=44°,则∠2的度数为 ( ) A.64° B.74° C.56° D.66° 11.(2023·新疆建设兵团中考)如图,在△ABC 中,若AB=AC,AD=BD,∠CAD=24°,则∠C= °.  12.若(a-3)2+=0,则以a,b为边长的等腰三角形的周长为 .  13.(新定义型问题)定义:等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特值”.若等腰△ABC中,k=,则顶角为 .  【C层 创新挑战】(选做) 14.某数学兴趣小组开展了一次活动,过程如下:设∠BAC=θ(0°<θ<90°).现把小棒依次摆放在两射线之间,并使小棒两端分别落在射线AB,AC上. 活动一:如图甲所示,从点A1开始,依次向右摆放小棒,使小棒与小棒在端点处互相垂直,A1A2为第1根小棒. 数学思考: (1)小棒能无限摆下去吗?答: .(填“能”或“不能”)  (2)设AA1=A1A2=A2A3,θ= ;  活动二:如图乙所示,从点A1开始,用等长的小棒依次向右摆放,其中A1A2为第1根小棒,且A1A2=AA1. 数学思考: (3)若已经摆放了3根小棒,用含θ的式子表示θ3. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三　等腰三角形(第3课时) 【A层 基础夯实】 知识点1等腰三角形的判定 1.如图,在△ABC中,∠B=∠C,AB=3,则AC的长为 (B) A.2 B.3 C.4 D.5 2.下列能断定△ABC为等腰三角形的是 (C) A.∠A=40°,∠B=50° B.∠A=2∠B=70° C.∠A=40°,∠B=70° D.AB=3,BC=6,周长为14 3.在一个三角形中,有两个内角分别为120°,30°,那么这个三角形按边分类是 　等腰　三角形.  4.如图,已知:在△ABC中,点D,E在BC边上,且∠1=∠B,∠2=∠C,BC=10 cm, 求△ADE的周长. 【解析】∵∠1=∠B,∠2=∠C,∴BD=AD,AE=CE,∵C△ADE=AD+DE+AE,∴C△ADE=BD+DE+CE=BC=10(cm). 知识点2平行线+角平分线模型 5.如图,在△ABC中,∠ABC的平分线交AC于点D,AD=6,过点D作DE∥BC交AB于点E,若△AED的周长为16,则边AB的长为　10　.  6.已知OC是∠AOB的平分线,将直尺DEMN如图摆放,使EM边与OB边重合,顶点D落在OA边上,DN边与OC交于点P.则△DOP是　等腰　三角形.  7.如图,在△ABC中,CE平分∠ACB,B,C,G在同一直线上,CF平分∠ACG,EF∥BC交AC于点D,求证:DE=DF. 【证明】∵CE是△ABC的角平分线, ∴∠ACE=∠BCE. ∵CF为外角∠ACG的平分线, ∴∠ACF=∠GCF. ∵EF∥BC, ∴∠GCF=∠F,∠BCE=∠CEF. ∴∠ACE=∠CEF,∠F=∠DCF. ∴CD=ED,CD=DF(等角对等边). ∴DE=DF. 知识点3反证法 8.用反证法证明命题“在△ABC中,若AB>AC,则∠C>∠B”时,第一步应假设(B) A.∠C<∠B B.∠C≤∠B C.AB<AC D.AB≤AC 9.(2023·泰州期中)用反证法证明命题“是无理数”时,应假设 是有理数　.  【B层 能力进阶】 10.如图,在△ABC中,∠A=36°,∠B=72°,CD平分∠ACB,DE∥AC,则图中共有等腰三角形(D) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 11.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AC=6,AB=8,过点A的直线DE∥BC,∠ABC与 ∠ACB的平分线分别交DE于E,D,则DE的长为 (A) A.14 B.16 C.18 D.20 12.如图,把一张长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠,点D的对应点为点F,CF与AB交于点E,若长方形ABCD的周长为16,则△CBE的周长为 (B) A.4 B.8 C.16　 D.32 13.(易错警示题)如图,等边△ABC的边长为12 cm,M,N两点分别从点A,B同时出发,沿△ABC的边顺时针运动,点M的速度为1 cm/s,点N的速度为2 cm/s,当点N第一次到达点B时,M,N两点同时停止运动,则当M,N运动时间t=　4或16　s时,△AMN为等腰三角形.  14.用反证法证明下列问题: 如图,在△ABC中,点D,E分别在AC,AB上,BD,CE相交于点O.求证:BD和CE不可能互相平分. 【证明】连接DE, 假设BD和CE互相平分, ∴四边形EBCD是平行四边形,∴BE∥CD, ∵在△ABC中,点D,E分别在AC,AB上, ∴AB不可能平行于AC,与已知矛盾, 故假设不成立,原命题正确, 即BD和CE不可能互相平分. 15.如图,直线AB∥CD,∠ACD的平分线CE交AB于点F,∠AFE的平分线交CA延长线于点G. (1)证明:AC=AF; (2)若∠FCD=30°,求∠G的大小. 【解析】(1)∵∠ACD的平分线CE交AB于点F,∴∠ACF=∠DCF, ∵AB∥CD,∴∠AFC=∠DCF, ∴∠ACF=∠AFC,∴AC=AF; (2)∵∠FCD=30°,AB∥CD, ∴∠ACD=∠GAF=60°,∠AFC=30°, ∵∠AFE的平分线交CA延长线于点G, ∴∠AFG=∠GFE=∠AFE=×150°=75°,∴∠G=180°-∠GAF-∠AFG=180°-60°-75°=45°. 【C层 创新挑战】(选做) 16.如图①,△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线交于O点,过O点作BC平行线分别交AB,AC于E,F. (1)请写出图①中线段EO和BE的大小关系:　　　　　.  (2)请写出图①中线段EF与BE,CF间的关系:　　　　　.  (3)如图②,若∠ABC的平分线与∠ACG的平分线交于O,过点O作BC的平行线交AB于E,交AC于F.请写出EF与BE,CF的关系,并说明理由. 【解析】略 学科网（北京）股份有限公司 $$ 四　等腰三角形(第4课时) 【A层 基础夯实】 知识点1等边三角形的判定 1.△ABC是等边三角形,D,E,F为各边中点,则图中共有等边三角形 (D) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.如图所示,E是等边△ABC中AC边上的点,∠1=∠2,BE=CD,则对△ADE的形状判断最准确的是 (B) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.不等边三角形 D.不能确定形状 3.(生活中的数学)因为木质衣架没有柔性,所以在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,套进衣服后松开即可.如图1,衣架杆OA=OB=18 cm.若衣架收拢时,∠AOB=60°,如图2,则此时A,B两点之间的距离是(C) A.9 cm B.16 cm C.18 cm D.20 cm 4.如图,等边三角形纸片ABC的边长为6,E,F是边BC上的三等分点.分别过点E,F沿着平行于BA,CA方向各剪一刀,则剪下的△DEF的周长是　6　.  5.如图,在△ABC中,点D是AB上的一点,且AD=DC=DB,∠B=30°.求证:△ADC是等边三角形. 【证明】∵DC=DB,∠B=30°, ∴∠DCB=∠B=30°, ∴∠ADC=∠DCB+∠B=60°, 又∵AD=DC,∴△ADC是等边三角形. 知识点2含30°角的直角三角形的性质 6.(2023·太原质检)Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=4,则BC等于 (B) A.1 B.2 C.3 D.4 7.如图,在等腰三角形ABC中,BA=BC,∠ABC=120°,点D为AC边的中点.若BC=6,则BD的长为 (A) A.3 B.4　 C.6 D.8 8.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,点P是BC边上的动点,则AP长不可能是(D) A.4 B.5 C.6 D.7 【B层 能力进阶】 9.下列三角形,不一定是等边三角形的是 (D) A.有两个角等于60°的三角形 B.有一个外角等于120°的等腰三角形 C.三个角都相等的三角形 D.边上的高也是这边的中线的三角形 10.(2023·贵州中考)5月26日,“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕,在“自动化立体库”中有许多几何元素,其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示),它的顶角为120°,腰长为12 m,则底边上的高是 (B) A.4 m B.6 m C.10 m D.12 m 11.(与物理学科融合)如图,CD是平面镜,光线从点A出发经CD上点O反射后照射到点B,若入射角为α,反射角为β(反射角等于入射角),AC⊥CD于点C,BD⊥CD于点D,且∠α=60°,OB=10,则BD=　5　.  12. (易错警示题)如图,∠AOB=60°,点C是BO延长线上的一点,OC=6 cm,动点P从点C出发沿射线CB以2 cm/s的速度移动,动点Q从点O出发沿射线OA以 1 cm/s的速度移动,如果点P,Q同时出发,用t(s)表示移动的时间,当t=　6　s时,△POQ是等边三角形.  13.(2023·西安质检)如图,已知∠AOB=60°,点C在边OA上,OC=14,点D,E在边OB上,CD=CE,若DE=6,求OD的长. 【解析】略 14.(2023·聊城中考)如图,在四边形ABCD中,点E是边BC上一点,且BE=CD,∠B=∠AED=∠C. (1)求证:∠EAD=∠EDA; (2)若∠C=60°,DE=4时,求△AED的面积. 【解析】(1)∵∠B=∠AED=∠C,∠AEC=∠B+∠BAE=∠AED+∠CED,∴∠BAE=∠CED, 在△ABE和△ECD中,, ∴△ABE≌△ECD(AAS),∴AE=ED, ∴∠EAD=∠EDA; (2)∵∠AED=∠C=60°,AE=ED, ∴△AED为等边三角形,∴AE=AD=ED=4, 过A点作AF⊥ED于F, ∴EF=ED=2, ∴AF= ==2, ∴=ED•AF=×4×2=4. 【C层 创新挑战】(选做) 15.如图1,AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,AD,BE相交于点F. (1)求证:BE=AD; (2)求∠DFE的度数; (3)取AD,BE的中点分别为点P,Q,连接CP,CQ,PQ,如图2,判断△CPQ的形状,并加以证明. 【解析】略 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二　等腰三角形(第2课时) 【A层 基础夯实】 知识点1等腰三角形的重要线段 1.如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=40°.中线AD与角平分线CE交于点F,则∠CFD的度数为 (D) A.25° B.35° C.45° D.55° 2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,CD平分∠ACB交AB于点D,则∠CDB的度数是(C) A.36° B.70° C.72° D.82° 3.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,点G是BA延长线上一点,点F是AC上一点,AG=AF,连接GF并延长交BC于点E.若∠B=55°, (1)求∠AFG的度数; (2)求证:GE⊥BC. 【解析】(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C=55°, ∴∠GAF=∠B+∠C=110°, ∵AG=AF, ∴∠AFG=×(180°-110°)=35°; (2)∵AB=AC,AD平分∠BAC, ∴AD⊥BC,∴∠ADC=∠ADB=90°, ∴∠BAD=∠CAD=90°-55°=35°, ∴∠DAC=∠AFG,∴AD∥EG, ∴∠GEB=∠ADB=90°,∴GE⊥BC. 知识点2等边三角形的性质 4.如图,P是等边△ABC的边AC的中点,E为BC边延长线上一点,PE=PB,则∠CPE的度数为 (C) A.20° B.25° C.30° D.35° 5.如图,l∥m,等边△ABC的顶点B在直线m上,边BC与直线m所夹锐角为20°,则∠α的度数为 (C) A.60° B.45° C.40° D.30° 6.如图,△ABC是等边三角形,点D是BC的中点,连接AD,则∠BAD的大小为 　30°　.  7.如图,△ABC为等边三角形,P为边BC上一点,在AC上取一点D,使AD=AP, 若∠APB=104°,则∠ADP的度数是　68°　.  8.(2023·荆州中考)如图,BD是等边△ABC的中线,以D为圆心,DB的长为半径画弧,交BC的延长线于E,连接DE.求证:CD=CE. 【证明】∵BD是等边△ABC的中线, ∴BD⊥AC,∠ACB=60°,∴∠DBC=30°, ∵BD=DE,∴∠E=∠DBC=30°, ∵∠CDE+∠E=∠ACB=60°, ∴∠CDE=30°,∴∠E=∠CDE,∴CD=CE. 【B层 能力进阶】 9.如图,已知△ABC中,AB=AC,若以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,则下列结论一定正确的是 (C) A.AE=EC B.AE=BE C.∠EBC=∠BAC D.∠EBC=∠ABE 10.如图所示,在等边△ABC中,AD⊥BC,E为AD上一点,∠CED=50°,则∠ABE等于(C) A.10° B.15° C.20° D.25° 11.如图,已知CE和BD分别是△ABC的角平分线和高线,且AE=CE,若∠ABC=75°,则∠BOE的度数为 (C) A.30° B.60° C.55° D.45° 12.如图,△ABC和△ADE均为等边三角形,D,E分别在边AB,AC上,连接BE,CD,若∠ACD=15°,则∠CBE=　45°　.  13.如图,A,C,E三点共线,△ABC与△CDE是等边三角形,AD⊥BC于点M,EB平分∠DEC交CD于点N,AD与BE相交于点O,则∠BDE=　120°　.  【C层 创新挑战】(选做) 14.如图,已知△ABC和△ADE是等边三角形. (1)求证:BD=CE; (2)求∠DPC的大小. 【解析】(1)∵△ABC和△ADE是等边三角形, ∴AD=AE,AC=AB,∠DAE=∠BAC=60°, ∴∠DAB=∠EAC, 在△DAB和△EAC中,, ∴△DAB≌△EAC(SAS), ∴BD=CE. (2)设AB交EC于点O. ∵△DAB≌△EAC, ∴∠ABD=∠ACE, ∵∠DPC=∠PCB+∠PBC=∠ACB-∠ACE+∠ABC+∠ABD=∠ACB+∠ABC, ∵△ABC是等边三角形, ∴∠ABC=∠ACB=60°, ∴∠DPC=120°. 学科网（北京）股份有限公司 $$