第四章　因式分解 同步练 2023—2024学年北师大版数学八年级下册

第四章　因式分解(90分钟　100分) 一、选择题(每小题3分,共24分) 1.(2024·永州中考)下列因式分解正确的是 ( ) A.ax+ay=a(x+y)+1 B.3a+3b=3(a+b) C.a2+4a+4=(a+4)2 D.a2+b=a(a+b) 2.下列各组代数式中,没有公因式的是 ( ) A.5m(a-b)和b-a B.(a+b)2和-a-b C.2x+y和x+y D.-a2+ab和a2b-ab2 3.多项式2x3-4x2+2x因式分解为 ( ) A.2x(x-1)2 B.2x(x+1)2 C.x(2x-1)2 D.x(2x+1)2 4.因式分解(x-1)2-9的结果是 ( ) A.(x+8)(x+1) B.(x+2)(x-4) C.(x-2)(x+4) D.(x-10)(x+8) 5.已知m2-3m的值为5,那么代数式2 030-2m2+6m的值是 ( ) A.2 030 B.2 020 C.2 010 D.2 000 6.多项式2an-1-4an+1的公因式是M,则M等于 ( ) A.2an-1 B.-2an C.2an+1 D.-2an+1 7.如图,边长为a,b的长方形的周长为18,面积为12,则a3b+ab3的值为 ( ) A.216 B.108 C.140 D.684 8.三角形的三边a,b,c满足a2(b-c)+b2c-b3=0,则这个三角形的形状是 ( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 二、填空题(每小题4分,共24分) 9.(2024·百色中考)因式分解:ax+ay= .  10.(2024·张家界中考)因式分解:a2-25= .  11.若a-b=2,则3a2+3b2-6ab的值为 .  12.已知(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)可分解因式为(3x+a)(x+b),其中a,b均为整数,则a+3b的值为 .  13.若4x2-(k-1)x+9能用完全平方公式因式分解,则k的值为 .  14.已知a=20x+21,b=20x+22,c=20x+23,则a2+b2+c2-ab-ac-bc= .  三、解答题(共52分) 15.(8分)因式分解: (1)-2a3+12a2-18a; (2)9a2(x-y)+4b2(y-x). 16.(8分)在学习对复杂多项式进行因式分解时,老师示范了如下例题: 例:因式分解:(x2+6x+5)(x2+6x-7)+36 解:设x2+6x=y 原式=(y+5)(y-7)+36第一步 =y2-2y+1第二步 =(y-1)2第三步 =(x2+6x-1)2第四步 完成下列任务: (1)例题中第二步到第三步运用了因式分解的 ;(填序号)  ①提取公因式; ②平方差公式; ③两数和的完全平方公式; ④两数差的完全平方公式. (2)请你模仿以上例题因式分解:(a2-4a+2)(a2-4a+6)+4. 17.(8分)【发现】两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和. 【验证】请你举例验证上述【发现】中的结论. 【探究】设【发现】中的两个已知正整数为m,n. 【解析】验证:取两个正整数为3,4,(3+4)2+(4-3)2=50,50是偶数,32+42=25=,满足条件.(不唯一),请论证【发现】中的结论正确. 18.(8分)【知识再现】在研究平方差公式时,我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形(如图1),把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形(如图2),根据图1、图2阴影部分的面积关系,可以得到一个关于a,b的等式① ;  【知识迁移】在棱长为a的正方体上挖去一个棱长为b的小正方体后,余下的部分(如图3)再切割拼成一个几何体(如图4),根据它们的体积关系得到关于a,b的等式为②a3-b3= ;(结果写成整式的积的形式)  【知识运用】已知a-b=4,ab=3,求a3-b3的值. 19.(10分)第一环节:自主阅读材料: 常用的因式分解方法有提公因式法、公式法等,但有的多项式只用上述方法无法分解,如x2-4y2+2x-4y,细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式,后两项可提取公因式,分解过程为: x2-4y2+2x-4y =(x2-4y2)+(2x-4y)…分组 =(x-2y)(x+2y)+2(x-2y)…组内分解因式 =(x-2y)(x+2y+2)…整体思想提公因式 这种因式分解的方法叫分组分解法. 第二环节:利用这种方法解决下列问题. 因式分解:x2y-4y-2x2+8. 第三环节:拓展运用. 已知a,b,c为△ABC的三边,且b2+2ab=c2+2ac,试判断△ABC的形状并说明理由. 20.(10分)阅读材料:若m2-2mn+2n2-8n+16=0,求m,n的值. 解:∵m2-2mn+2n2-8n+16=0, ∴(m2-2mn+n2)+(n2-8n+16)=0, ∴(m-n)2+(n-4)2=0, ∵(m-n)2≥0,(n-4)2≥0, ∴(m-n)2=0,(n-4)2=0, ∴n=4,m=4. 根据你的观察,探究下面的问题: (1)a2+b2-4a+4=0,则a= ;b= .  (2)已知△ABC的三边a,b,c满足a2+2b2+c2-2ab-2bc=0,关于此三角形形状的以下命题: ①它是等边三角形;②它属于等腰三角形;③它属于锐角三角形;④它不是直角三角形.其中所有正确命题的序号为 .  (3)已知△ABC的三边长a,b,c都是正整数,且a2+b2-2a-6b+10=0,求△ABC的周长. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章　因式分解(90分钟　100分) 一、选择题(每小题3分,共24分) 1.(2024·永州中考)下列因式分解正确的是 (B) A.ax+ay=a(x+y)+1 B.3a+3b=3(a+b) C.a2+4a+4=(a+4)2 D.a2+b=a(a+b) 2.下列各组代数式中,没有公因式的是 (C) A.5m(a-b)和b-a B.(a+b)2和-a-b C.2x+y和x+y D.-a2+ab和a2b-ab2 3.多项式2x3-4x2+2x因式分解为 (A) A.2x(x-1)2 B.2x(x+1)2 C.x(2x-1)2 D.x(2x+1)2 4.因式分解(x-1)2-9的结果是 (B) A.(x+8)(x+1) B.(x+2)(x-4) C.(x-2)(x+4) D.(x-10)(x+8) 5.已知m2-3m的值为5,那么代数式2 030-2m2+6m的值是 (B) A.2 030 B.2 020 C.2 010 D.2 000 6.多项式2an-1-4an+1的公因式是M,则M等于 (A) A.2an-1 B.-2an C.2an+1 D.-2an+1 7.如图,边长为a,b的长方形的周长为18,面积为12,则a3b+ab3的值为 (D) A.216 B.108 C.140 D.684 8.三角形的三边a,b,c满足a2(b-c)+b2c-b3=0,则这个三角形的形状是 (A) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 二、填空题(每小题4分,共24分) 9.(2024·百色中考)因式分解:ax+ay=　a(x+y)　.  10.(2024·张家界中考)因式分解:a2-25=　(a+5)(a-5)　.  11.若a-b=2,则3a2+3b2-6ab的值为　12　.  12.已知(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)可分解因式为(3x+a)(x+b),其中a,b均为整数,则a+3b的值为　-31　.  13.若4x2-(k-1)x+9能用完全平方公式因式分解,则k的值为　13或-11　.  14.已知a=20x+21,b=20x+22,c=20x+23,则a2+b2+c2-ab-ac-bc=　3　.  三、解答题(共52分) 15.(8分)因式分解: (1)-2a3+12a2-18a; (2)9a2(x-y)+4b2(y-x). 【解析】(1)原式=-2a(a2-6a+9)=-2a(a-3)2; (2)原式=(x-y)(9a2-4b2)=(x-y)(3a+2b)(3a-2b). 16.(8分)在学习对复杂多项式进行因式分解时,老师示范了如下例题: 例:因式分解:(x2+6x+5)(x2+6x-7)+36 解:设x2+6x=y 原式=(y+5)(y-7)+36第一步 =y2-2y+1第二步 =(y-1)2第三步 =(x2+6x-1)2第四步 完成下列任务: (1)例题中第二步到第三步运用了因式分解的　　　　;(填序号)  ①提取公因式; ②平方差公式; ③两数和的完全平方公式; ④两数差的完全平方公式. (2)请你模仿以上例题因式分解:(a2-4a+2)(a2-4a+6)+4. 【解析】(1)例题中第二步到第三步运用了因式分解的两数差的完全平方公式. 答案:④ (2)(a2-4a+2)(a2-4a+6)+4 设a2-4a=x, 原式=(x+2)(x+6)+4 =x2+8x+16 =(x+4)2 =(a2-4a+4)2 =(a-2)4. 17.(8分)【发现】两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和. 【验证】请你举例验证上述【发现】中的结论. 【探究】设【发现】中的两个已知正整数为m,n. 【解析】验证:取两个正整数为3,4,(3+4)2+(4-3)2=50,50是偶数,32+42=25=,满足条件.(不唯一),请论证【发现】中的结论正确. 【解析】【探究】两个已知正整数为m,n,求证:(m+n)2+(m-n)2是偶数,且该偶数的一半也可以表示为(m2+n2). 证明:(m+n)2+(m-n)2 =m2+2mn+n2+m2-2mn+n2 =2m2+2n2 =2(m2+n2), 故两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和. 18.(8分)【知识再现】在研究平方差公式时,我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形(如图1),把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形(如图2),根据图1、图2阴影部分的面积关系,可以得到一个关于a,b的等式①　　　　　　　　　　　　;  【知识迁移】在棱长为a的正方体上挖去一个棱长为b的小正方体后,余下的部分(如图3)再切割拼成一个几何体(如图4),根据它们的体积关系得到关于a,b的等式为②a3-b3=　　　　　;(结果写成整式的积的形式)  【知识运用】已知a-b=4,ab=3,求a3-b3的值. 【解析】【知识再现】①a2-b2=(a+b)(a-b). 答案:a2-b2=(a+b)(a-b) 【知识迁移】②a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2). 答案:(a-b)(a2+ab+b2) 【知识运用】∵a-b=4,ab=3, ∴a2+b2=(a-b)2+2ab=16+6=22, ∴a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=4×(22+3)=100. 19.(10分)第一环节:自主阅读材料: 常用的因式分解方法有提公因式法、公式法等,但有的多项式只用上述方法无法分解,如x2-4y2+2x-4y,细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式,后两项可提取公因式,分解过程为: x2-4y2+2x-4y =(x2-4y2)+(2x-4y)…分组 =(x-2y)(x+2y)+2(x-2y)…组内分解因式 =(x-2y)(x+2y+2)…整体思想提公因式 这种因式分解的方法叫分组分解法. 第二环节:利用这种方法解决下列问题. 因式分解:x2y-4y-2x2+8. 第三环节:拓展运用. 已知a,b,c为△ABC的三边,且b2+2ab=c2+2ac,试判断△ABC的形状并说明理由. 【解析】第二环节: x2y-4y-2x2+8 =y(x2-4)-2(x2-4) =y(x-2)(x+2)-2(x-2)(x+2) =(y-2)(x-2)(x+2); 第三环节:△ABC是等腰三角形, 理由:∵b2+2ab=c2+2ac, ∴b2-c2+2ab-2ac=0, (b-c)(b+c)+2a(b-c)=0, (2a+b+c)(b-c)=0, ∵2a+b+c≠0, ∴b-c=0,即b=c, ∴△ABC是等腰三角形. 20.(10分)阅读材料:若m2-2mn+2n2-8n+16=0,求m,n的值. 解:∵m2-2mn+2n2-8n+16=0, ∴(m2-2mn+n2)+(n2-8n+16)=0, ∴(m-n)2+(n-4)2=0, ∵(m-n)2≥0,(n-4)2≥0, ∴(m-n)2=0,(n-4)2=0, ∴n=4,m=4. 根据你的观察,探究下面的问题: (1)a2+b2-4a+4=0,则a=　　　　;b=　　　　.  (2)已知△ABC的三边a,b,c满足a2+2b2+c2-2ab-2bc=0,关于此三角形形状的以下命题: ①它是等边三角形;②它属于等腰三角形;③它属于锐角三角形;④它不是直角三角形.其中所有正确命题的序号为　　　　　　.  (3)已知△ABC的三边长a,b,c都是正整数,且a2+b2-2a-6b+10=0,求△ABC的周长. 【解析】(1)∵a2+b2-4a+4=0, ∴(a2-4a+4)+b2=0, ∴(a-2)2+b2=0, 又∵(a-2)2≥0,b2≥0,∴a-2=0且b=0, ∴a=2且b=0. 答案:2　0 (2)∵a2+2b2+c2-2ab-2bc=0, ∴(a2-2ab+b2)+(c2-2bc+b2)=0, ∴(a-b)2+(c-b)2=0, 又∵(a-b)2≥0且(c-b)2≥0, ∴a=b,b=c,∴a=b=c, ∴△ABC是等边三角形. 答案:①②③④ (3)∵a2+b2-2a-6b+10=0, ∴(a2-2a+1)+(b2-6b+9)=0, ∴(a-1)2+(b-3)2=0, 又∵(a-1)2≥0,(b-3)2≥0, ∴a-1=0,b-3=0, ∴a=1,b=3, 在△ABC中,a,b,c分别为三角形的三边, ∵b-a<c<b+a, ∴2<c<4, 又∵c是正整数,∴c=3, ∴当c=3时,△ABC的周长为:a+b+c=1+3+3=7. 学科网（北京）股份有限公司 $$