上海市长征中学2024-2025学年高三上学期期中测试数学试卷

2024学年第一学期高三期中测试 数学学科试卷 （时间120分钟，满分150分） 2024.11 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分 1. 已知集合，，则______. 2. 若指数函数的图像经过点，则指数函数的解析式为___． 3. 用函数的观点：不等式的解集为______. 4. 在中，，，，则的面积为______. 5. 已知中，，，，则绕旋转一周形成的几何体的体积为______. 6. 已知集合，，若，则实数的取值范围是________. 7. 若双曲线的一条渐近线与直线平行，则________. 8. 在空间直角坐标系中，点关于平面xOz的对称点为B，则________． 9. 在平面直角坐标系中，动点在单位圆上按逆时针方向做匀速圆周运动，每12分钟转动一周.若点的初始位置坐标为，则运动到3分钟时，动点所处位置的坐标是____________. 10. 已知，，且，则的最小值为________. 11. 已知实数、、、满足，，，记，则的最大值是________. 12. 若存在实数，，不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是________. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14每题4分，15-16每题5分，选对得分，否则一律得零分. 13. 已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 14. 已知函数在定义域上是增函数，且，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15. 下列不等式中，恒成立的是（ ） A. B. C. D. 16. 已知函数的定义域为，有下面两个命题， 命题：若存在且，对任意，均有恒成立，则函数在上为严格减函数； 命题：若函数在上为严格减函数，且恒成立，则存在且，对任意，均有恒成立.则下列说法正确的是（ ）. A. 命题是真命题，命题是真命题； B. 命题是假命题，命题是真命题； C. 命题是真命题，命题是假命题； D. 命题是假命题，命题是假命题. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 设常数，函数. （1）若为偶函数，求a的值； （2）若，求函数的值域. 18. 2024年4月30日17时46分，神舟十七号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱．返回舱的轴截面可近似看作是由半个椭圆和一段圆弧组成的“果圆”．如图，在平面直角坐标系中，某“果圆”中圆弧经过椭圆的一个焦点和短轴的两个顶点与． （1）写出图中“果圆”的方程； （2）直线交该“果圆”于A、B两点，求弦AB的长度（精确到0.01）． 19. 如图，已知是正三角形，、都垂直于平面，且，，是的中点，是的中点. （1）求证：； （2）求证：平面平面. 20. 为研究一种浮游植物的生长规律，某科研团队在一个面积为8000平方米且保持各项指标均稳定的实验池塘中开展研究，一开始在此池塘投放了一定覆盖面积的该植物，观察实验得到该植物覆盖面积（单位：平方米）与所经过月数的下列数据： 0 2 3 4 4 25 63 156 为了描述该植物覆盖面积（单位：平方米）与经过的月数的关系，现有以下三种函数模型可供选择：①；②；③. （1）试判断以上哪个函数模型更适合植物覆盖面积与经过的月数的关系，并求出该模型的函数解析式： （2）约经过几个月，该植物能覆盖整个池塘？ （3）经过4个月的研究，在掌握该植物生长规律后，科研小组开始改善池塘生态，现有两种方案： 方案一：加入能抑制该植物生长的某种物质，使其覆盖面积与经过的月数的关系变为； 方案二：在4月底集中打捞一次，使其覆盖面积减少到4平方米，植物增长速度不变. 请比较这两种方案的植物覆盖面积增长状况，并说明理由. 21. 定义：如果函数在定义域内给定区间上存在实数，满足，那么称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点.例如是区间上的“平均值函数”，0是它的均值点. （1）已知函数、，判断、是否为区间上的“平均值函数”，并说明理由； （2）设是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件的整数数对； （3）若是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点，求证：. 2024学年第一学期高三期中测试 数学学科试卷 （时间120分钟，满分150分） 2024.11 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】3 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】2 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14每题4分，15-16每题5分，选对得分，否则一律得零分. 【13题答案】 【答案】D 【14题答案】 【答案】C 【15题答案】 【答案】D 【16题答案】 【答案】B 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1）， （2） 【19题答案】 【答案】（1） ∵点分别为中点， ∴， 由∵、都垂直于平面， ∴， ∴； （2） 如图，连接CG， ∵平面，且平面， ∴ 在正中，点为中点， ∴，且，平面，平面， ∴平面， ∵点分别为中点， ∴，所以四边形是平行四边形， ∴， ∴平面， 又因为平面， ∴平面平面. 【20题答案】 【答案】（1）函数模型适合，，； （2）9个月； （3） 依题意，方案二的函数模型为， 当时， 方案二的函数模型对应的值依次为， 方案一的函数模型对应的值依次为， 方案一的增长速度比方案二的小，方案二在第5到9月生物量较方案一小，10月开始方案一生物量较小， 方案二再经过13个月此生物能覆盖整个池塘， 由，解得，方案一再经过15个月此生物能覆盖整个池塘. 【21题答案】 【答案】（1）函数是区间上的“平均值函数”， 不是区间上的“平均值函数”，理由如下： 由题题意，得，则，所以函数是区间上的“平均值函数”； ，即， 所以，无解，所以不是区间上的“平均值函数”； （2）或或或. （3）证明：由题意可得，则所证不等式为， 需证，令，则不等式为， 则不等式等价于， 令，求导得， 所以在上单调递减，所以， 即，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $