精品解析：山东省临沂第十八中学2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试题

临沂第十八中学2024-2025学年上学期高一第二次月考 数学试卷 一、单项选择题 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（ ） A. ，对应关系 B. ，，对应关系 C. ，对应关系 D. ，对应关系 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. 3 D. 5. 已知：，：，则是的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 6. 若正实数满足，不等式有解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 设定义在上的函数满足，且对任意的、，都有，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. “”是“”的必要不充分条件 C. “”是“”的充分不必要条件 D. “”是“关于方程有一正一负根”的充要条件 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 函数的值域为 C. 函数的值域为 D. 函数在上的值域为 11. 对于函数（，为常数），下列结论正确的是（ ） A. 当时，为递增函数 B. 当时，函数的最小值是2 C. 当时，关于的方程有唯一解 D. 当时，函数单调区间与函数单调区间相同 三、填空题 12. 已知函数是定义在上的奇函数，且，则_________. 13. 对任意，给定，，记函数，则的最小值是__________. 14. 已知不等式的解集为，则________，的最小值是_________ 五、解答题 15. 设集合，，. （1）若，求实数的值； （2）若且，求实数的值. 16. 已知二次函数的图象关于直线对称，且经过原点与点． （1）求的解析式； （2）若函数在区间上的最小值为，其中，求实数m的取值范围． 17. 已知函数是定义域上的奇函数. （1）确定的解析式； （2）用定义证明：在区间上是减函数； （3）解不等式. 18. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克与施用肥料x（单位：（千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 19. 定义在R上的函数满足：对于，，成立；当时，恒成立. （1）求的值； （2）判断并证明的单调性； （3）当时，解关于x的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临沂第十八中学2024-2025学年上学期高一第二次月考 数学试卷 一、单项选择题 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解二次不等式求得，进而求得. 【详解】由解得， 因为，， 所以. 故选：B 2. 已知，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，即可根据集合间关系求解. 【详解】由得，由可得， 故，其它都不正确. 故选：B 3. 下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（ ） A. ，对应关系 B. ，，对应关系 C. ，对应关系 D. ，对应关系 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义，结合特例法逐一判断即可. 【详解】A：因为集合是整数集，其中奇数除以的结果不是整数， 所以不是的函数，因此本选项不符合题意； B：显然，此时，有两个不同的实数与之对应，不符合函数的定义， 因此本选项不符合题意； C：因为任意一个实数的平方是一个确定的实数，符合函数的定义， 所以本选项符合题意； D：因为，但是没有意义，因此不符合题意，所以本选项不符合题意， 故选：C 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】令得，代入解析式求解. 【详解】令得， 故， 故选：D 5. 已知：，：，则是的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】依次判断充分性、必要性，即可求解. 【详解】由，解得，由，解得， 所以能推出，不能推出，则是的充分不必要条件. 故选：A 6. 若正实数满足，不等式有解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式“1”的代换求最小值，再由不等式有解得，即可求参数范围. 【详解】由， 仅当，即时等号成立， 要使不等式有解，只需， 所以. 故选：B 7. 若函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】的对称轴为；结合单调性可得，然后求解即可. 【详解】因为，所以的对称轴为， 又在上单调递减，则在上单调递增， 又因为，由对称性可得， 所以，，即. 故选：D 8. 设定义在上的函数满足，且对任意的、，都有，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过特殊法，代值法代入题目中的函数式即可求得，从而求出解析式，利用换元法得出答案. 【详解】令，得，即； 令 ，则，即； 令，则 所以的值域是. 故选：B. 二、多项选择题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. “”是“”的必要不充分条件 C. “”是“”的充分不必要条件 D. “”是“关于方程有一正一负根”的充要条件 【答案】CD 【解析】 【分析】写出全称量词命题的否定判断A；利用充分条件、必要条件的定义判断BCD. 【详解】对于A，命题“，”是全称量词命题，其否定为：，，A错误； 对于B，显然成立，必有成立，即是的充分条件，B错误； 对于C，当时，成立，反之，当时，不一定成立，如， 因此“”是“”的充分不必要条件，C正确； 对于D，当时，方程中，，方程有两个不等实根， 有，因此一正一负，反之，方程两根一正一负， 则，此时，因此“”是“关于方程有一正一负根”的充要条件，D正确. 故选：CD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 函数的值域为 C. 函数的值域为 D. 函数在上的值域为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义域的求解判断A；利用分离常数化简函数解析式，结合反比型函数的值域判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C；利用配方法，结合二次函数的性质判断D. 【详解】对于A，因为的定义域为，所以， 解得，即的定义域为，故A正确； 对于B，， 所以，即函数的值域为，故B不正确； 对于C，令，则，， 所以，， 所以当时，该函数取得最大值，最大值为， 所以函数的值域为，故C正确； 对于D，，其图象的对称轴为直线，且，， 所以函数在上的值域为，故D不正确． 故选：AC． 11. 对于函数（，为常数），下列结论正确的是（ ） A. 当时，为递增函数 B. 当时，函数的最小值是2 C. 当时，关于的方程有唯一解 D. 当时，函数单调区间与函数单调区间相同 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：用单调性的定义进行判断； 对于B：利用基本不等式求出最小值即可判断； 对于C：把方程化简后利用判别式即可判断； 对于D：利用复合函数的单调性满足同增异减进行判断. 【详解】对于A：对于函数（，为常数）， 任取，则 因为，， 所以，所以， 所以为递增函数.故A正确； 对于B：当时，（当且仅当，即时取等号），即函数的最小值是.故B错误； 对于C：关于的方程即为，整理得：， 所以. 当时，，两根之积未,所以有唯一正根.故C正确； 对于D：当时，函数在上单减，在上单增. . 令，所以外函数在上单增，而内函数在上单减，在上单增，由复合函数的单调性满足同增异减，可知：函数在上单减，在上单增.故D正确. 故选：ACD 【点睛】判断函数单调性的方法： （1）定义法证明函数单调性的步骤：①取值；②作差；③定号；④下结论． （2）图像法； （3）复合函数法； （4）导数法. 三、填空题 12. 已知函数是定义在上的奇函数，且，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，结合题目中的函数解析式，可得答案. 【详解】由函数是定义在上的奇函数，则，， 由，则. 故答案为：. 13. 对任意，给定，，记函数，则的最小值是__________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据定义及一次函数、二次函数的单调性计算最小值即可. 【详解】由定义可知当时， 解之得，此时， 当时，则，解之得或， 此时， 综上， 易知在上单调递减，最小值为4，在取得； 在上单调递增，在上单调递减，所以， 综上的最小值是4. 故答案为：4. 14. 已知不等式的解集为，则________，的最小值是_________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据不等式的解集可得之间的关系，然后将用表示，再用基本不等式求其最小值即可． 【详解】的解集为 ，，， ，当且仅当，即时取等号 故的最小值为10． 故答案为：，10． 五、解答题 15. 设集合，，. （1）若，求实数的值； （2）若且，求实数的值. 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得出，再利用韦达定理求得参数值； （2）由题意得出，求得值后，再代入检验． 【小问1详解】 由题可得，由，得. 从而2，3是方程的两个根，即，解得. 【小问2详解】 因为，. 因为，又，所以， 即，，解得或. 当时，，则，不符合题意； 当时，，则且，故符合题意， 综上，实数的值为. 16. 已知二次函数的图象关于直线对称，且经过原点与点． （1）求的解析式； （2）若函数在区间上的最小值为，其中，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式； （2）由函数在区间上取到函数的最小值，得对称轴与区间的关系，建不等式求解即可. 【小问1详解】 由二次函数的图象关于直线对称， 可设，， 则解得 ∴的解析式为． 【小问2详解】 由题知，的对称轴为，且． ∵在区间上的最小值为， ∴，又，解得， 即实数m的取值范围为． 17. 已知函数是定义域上的奇函数. （1）确定的解析式； （2）用定义证明：在区间上是减函数； （3）解不等式. 【答案】（1）； （2）证明：任取、，且，即， 则， ，，，，，，. ，，因此，函数在区间上是减函数； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义，经过化简计算可求得实数，进而可得出函数的解析式； （2）任取、，且，作差，化简变形后判断的符号，即可证得结论； （3）利用奇函数的性质将所求不等式变形为，再利用函数的定义域和单调性可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）由于函数是定义域上的奇函数，则， 即，化简得，因此，； （2）略； （3）由（2）可知，函数是定义域为的减函数，且为奇函数， 由得，所以，解得. 因此，不等式的解集为. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数、利用定义法证明函数的单调性以及函数不等式的求解，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题. 18. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克与施用肥料x（单位：（千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当时取得最大利润，最大利润为480元. 【解析】 【分析】（1）利用销售额减去成本投入可得出利润解析式； （2）利用分段函数的单调性及基本不等式计算最值即可. 【小问1详解】 由已知 ； 【小问2详解】 由（1）得， 即由二次函数的单调性可知，当时，， 由基本不等式可知，当时， ， 当且仅当，即时取得最大值， 综上，当时取得最大利润，最大利润为480元. 19. 定义在R上的函数满足：对于，，成立；当时，恒成立. （1）求的值； （2）判断并证明的单调性； （3）当时，解关于x的不等式. 【答案】（1） （2） 在上单调递减，证明如下： 由已知，对于有成立，， 令，则， 所以，对有，故是奇函数， 任取且，则，由已知有， 又，得 所以在上是减函数； （3） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）令可得； （2）令结合已知等量关系，根据函数的奇偶性定义即可确定的奇偶性；任取且，结合已知条件，根据函数的单调性即可确定的单调性； （3）由题设，将不等式转化为，根据的单调性和奇偶性可得，再讨论的大小关系，即可求解集. 【小问1详解】 令，则, 可得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为， 所以， 即， 因为在上是减函数， 所以， 即，又， 所以， 当时，即时，原不等式的解集为； 当时，即时，原不等式的解集为； 当时，即时，原不等式的解集为. 综上所述：当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【点睛】方法点睛：函数不等式的解法通常是利用函数单调性，脱去抽象符合“”,转化为一般不等式求解，所以解这类问题一般要先研究函数的有关性质，如单调性、奇偶性等，此类问题经常与导数结合，需要重新构造函数求导，然后利用函数单调性解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $