4.4.2 对数函数的图象和性质（第2课时）（导学案）-【上好课】高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

第四章 指数函数与对数函数 4.4.2 第2课时 对数函数的图象和性质 导学案 1、 学习目标 1.进一步掌握对数函数的图象和性质． 2利用单调性进一步求函数的定义域和简单值域问题． 3. 了解反函数的概念和图象特点． 2、 重点难点 教学重点：对数函数的单调性及应用． 教学难点：对数函数性质的综合应用． 3、 导入新知 例4 溶液酸碱度的测量． 溶液酸碱度是通过pH计量的．pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升． （1）根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系； （2）已知纯净水中氢离子的浓度为摩尔/升，计算纯净水的pH． 胃酸中氢离子的浓度是摩尔/升，胃酸的pH是多少？ 【变式】在标准温度和压力下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位：，记作）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位：，记作）的乘积等于常数.已知值的定义为，健康人体血液值保持在7.35～7.45之间，则健康人体血液中的可以为 （参考数据：，） A．5 B．7 C．9 D．10 4、 应用新知 探究 对于指数函数，你能利用指数与对数间的关系，得到与之对应的对数函数吗？它们的定义域、值域之间有什么关系？它们也互为反函数吗？ 5、 能力提升 题型一　反函数的应用 【练习1】设且，函数，下列说法正确的是（    ） A．与在各自的定义域内有相同的单调性 B．与两者的图象关于直线对称 C．与两者都既不是奇函数，又不是偶函数 D．与有相同的定义域和值域 题型二　解对数不等式 【练习2】已知,求的取值范围 题型三　对数函数性质的综合应用 【练习3】已知函数.则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数的定义域上单调递减 D．若实数，满足，则 题型四　对数型函数的值域问题 若函数的值域为，则实数m的取值范围为 . 课堂总结 1.利用对数函数的单调性求函数的定义域． 2.求简单对数的值域、最值、奇偶性问题． 3．反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)和对数函数y＝logx(a>0且a≠1)互为反函数． 4. 思想方法类比： 类比的思想方法；类比指数函数的研究方法；数形结合思想方法是研究函数图像和性质； 6、 作业设计 (1)整理本节课的题型； (2)课本P135的1−−3题，P140习题4.4的2、4、7、11、12、13题. 习题4.4（第140页） 复习巩固 1．求下列函数的定义域： （1）； （2）． 2．比较满足下列条件的两个正数，的大小： （1）； （2）； （3）； （4）． 3．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位：km/s）和燃料的质量M（单位：kg）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系是．当燃料质量是火箭质量的百分之几时，火箭的最大速度可达到12 km/s？ 4．函数的图象如图所示， （1）试说明哪个函数对应于哪个图象，并解释为什么； （2）以已有图象为基础，在同一直角坐标系中画出，，的图象； （3）从（2）的图中你发现了什么？ 5．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2 000m，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数． （1）当一条鱼的耗氧量为2 700个单位时，它的游速是多少？ （2）计算一条鱼静止时耗氧量的单位数． 6．在2h内将某种药物注射进患者的血液中．在注射期间，血液中药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（ ） 综合运用 7．判断下列各对函数是否互为反函数．若是，则求出它们的定义域和值域： （1），； （2），． 8．设表示某学校男生身高为 cm时平均体重为 kg， （1）如果函数的反函数是，那么表示什么？ （2）如果，那么求，并说明其实际意义． 9．某地由于人们健康水平的不断提高，某种疾病的患病率正以每年15%的比例降低．要将当前的患病率降低一半，需要多少年？ 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 第四章 指数函数与对数函数 4.4.2 第2课时 对数函数的图象和性质 导学案 1、 学习目标 1.进一步掌握对数函数的图象和性质． 2利用单调性进一步求函数的定义域和简单值域问题． 3. 了解反函数的概念和图象特点． 2、 重点难点 教学重点：对数函数的单调性及应用． 教学难点：对数函数性质的综合应用． 3、 导入新知 例4 溶液酸碱度的测量． 溶液酸碱度是通过pH计量的．pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升． （1）根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系； （2）已知纯净水中氢离子的浓度为摩尔/升，计算纯净水的pH． 解：（1）根据对数的运算性质，有，在上，随着的增大， 减小，相应地，也减小，即pH减小，所以，随着的增大，pH减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强． （2）当时，．所以，纯净水的pH是7． 胃酸中氢离子的浓度是摩尔/升，胃酸的pH是多少？ 【变式】在标准温度和压力下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位：，记作）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位：，记作）的乘积等于常数.已知值的定义为，健康人体血液值保持在7.35～7.45之间，则健康人体血液中的可以为 （参考数据：，） A．5 B．7 C．9 D．10 【答案】B 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、对数的运算 【分析】首先根据题意，求出所求式子的常用对数，结合题中所给的条件，将其转化为与相关的量，借助于题中所给的范围以及两个对数值，求得结果. 【详解】由题意可知，，且， 所以， 因为，所以， ， 分析比较可知，所以可以为7， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关健康人体血液中的的求值问题，该题属于现学现用型，在解题的过程中，需要认真审题，明确题意，借助于题中所给的两个对数值，寻求解题思路，属于较难题目. 4、 应用新知 探究 对于指数函数，你能利用指数与对数间的关系，得到与之对应的对数函数吗？它们的定义域、值域之间有什么关系？它们也互为反函数吗？ 一般地，指数函数，且与对数函数，且互为反函数，它们的定义域与值域正好互换． 前面根据指数与对数间的关系，由得．由函数定义可知是一个函数．这样，由指数函数，可得到对数函数．这个对数函数的定义域、值域分别是指数函数， 的值域和定义域．这时就说函数是函数，的反函数（inverse function）． 通常，我们用表示自变量，表示函数．为此，把写成，这样，对数函数是指数函数的反函数．同时，指数函数，也是对数函数，的反函数．因此，指数函数，与对数函数，互为反函数，它们的定义域与值域正好互换． 5、 能力提升 题型一　反函数的应用 【练习1】设且，函数，下列说法正确的是（    ） A．与在各自的定义域内有相同的单调性 B．与两者的图象关于直线对称 C．与两者都既不是奇函数，又不是偶函数 D．与有相同的定义域和值域 【答案】ABC 【知识点】反函数的性质应用、研究对数函数的单调性、求对数函数的定义域、判断指数函数的单调性 【分析】根据指对数的关系及指对数函数的性质判断各项正误. 【详解】由指对数关系知：互为反函数，即关于直线对称，B对； 由于相同，则在各自定义域上单调性相同，且都是非奇非偶函数，A、C对； 由定义域为R，值域为，定义域为，值域为R， 所以与的定义域和值域都不同，D错. 故选：ABC 【感悟提升】互为反函数的函数的性质 (1)同底数的指数函数与对数函数互为反函数． (2)互为反函数的两个函数的定义域与值域互换． (3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称． (4)若互为反函数的两个函数是同一个函数，则该函数的图象自身关于直线y＝x对称． 题型二　解对数不等式 【练习2】已知,求的取值范围 解：因为函数 在上为减函数， 所以由, 得解得, 故的取值范围是 【感悟提升】　对数不等式的三种考查类型及解法 (1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论． (2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解． (3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解． 题型三　对数函数性质的综合应用 【练习3】已知函数.则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数的定义域上单调递减 D．若实数，满足，则 【答案】AB 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、对数型复合函数的单调性、求对数型复合函数的定义域、函数基本性质的综合应用 【分析】利用函数解析式，求解可得可判断A，利用可判断B，根据函数的奇偶性和复合函数的单调性可判断C，根据函数的单调性和对称中心可判断D. 【详解】对于A选项，对任意的，， 所以函数的定义域为， 又因为 ，所以，故A正确； 对于B选项，因为函数满足，故函数的图象关于点对称，故B正确； 对于C选项，对于函数，该函数的定义域为， ， 即，所以函数为奇函数，当时，内层函数为增函数，外层函数为增函数，所以函数在上为增函数，故函数在上也为增函数，因为函数在上连续，故函数在上为增函数，又因为函数在上为增函数，故函数在上为增函数，故C不正确； 对于D选项，因为实数a，b满足，则，可得，即，故D错误. 故选：AB. 【感悟提升】解决对数函数综合问题的策略 (1)定义域是前提，无论是求单调区间，还是证明奇偶性、解不等式等，都要先求定义域． (2)研究对数型函数的单调性、奇偶性时，注意利用复合函数的相关性质求解． (3)解对数不等式时，关键是利用对数函数的单调性转化为常见的不等式． (4)若函数图象容易作出，则可以结合图象研究函数的性质从而解决问题． 题型四　对数型函数的值域问题 若函数的值域为，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数、求对数型复合函数的值域、求指数型复合函数的值域 【分析】根据对数型函数的单调性，结合指数型函数的单调性进行分类讨论求解即可, 【详解】当时，， 因为函数在时是单调递增函数， 所以有，即， 当时， ，根据指数复合函数的单调性的性质可知： 函数在时，单调递减，在时，单调递增， 当时，由，可得，即， 因为函数的值域为，所以有， 即必有，而，所以不成立； 当时，此时，而， 因为函数的值域为， 所以必有，，而， 所以， 故答案为： 【点睛】关键点睛：掌握指数型复合函数的单调性的性质是解题的关键. 【感悟提升】形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数的值域的求解步骤 (1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数； (2)求f(x)的定义域； (3)求u的取值范围； (4)利用y＝logau的单调性求解． 注意：当函数较为复杂时，可对对数函数进行换元，把复杂问题简单化． 6、 课堂总结 1.利用对数函数的单调性求函数的定义域． 2.求简单对数的值域、最值、奇偶性问题． 3．反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)和对数函数y＝logx(a>0且a≠1)互为反函数． 4. 思想方法类比： 类比的思想方法；类比指数函数的研究方法；数形结合思想方法是研究函数图像和性质； 7、 作业设计 (1)整理本节课的题型； (2)课本P135的1−−3题，P140习题4.4的2、4、7、11、12、13题. 习题4.4（第140页） 复习巩固 1．求下列函数的定义域： （1）； （2）． 1．解析：（1）由题意知，所以函数的定义域为． （2）由，得，解得，故函数的定义域为． 2．比较满足下列条件的两个正数，的大小： （1）； （2）； （3）； （4）． 2．解析：（1）． （2）． （3）． （4）． 3．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位：km/s）和燃料的质量M（单位：kg）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系是．当燃料质量是火箭质量的百分之几时，火箭的最大速度可达到12 km/s？ 3．解析：若火箭的最大速度，则，则， 即，所以． 所以当燃料质量是火箭质量的0.6%时，火箭的最大速度可达到12 km/s？ 4．函数的图象如图所示， （1）试说明哪个函数对应于哪个图象，并解释为什么； （2）以已有图象为基础，在同一直角坐标系中画出，，的图象； （3）从（2）的图中你发现了什么？ 4．解析：（1）①对应函数，②对应函数，③对应函数，图象在的右侧，底数越大的图象越靠近轴． （2）如图 （3）从（2）的图中发现，的图象分别与，，的图象关于轴对称．可推广到一般情况， ，且）， ，且）的图象与，且的图象关于轴对称．它们的单调性相反． 5．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2 000m，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数． （1）当一条鱼的耗氧量为2 700个单位时，它的游速是多少？ （2）计算一条鱼静止时耗氧量的单位数． 5．解析：（1）令，则． ∴当一条鱼的耗氧量为2 700个单位时，它的游速是1.5 m/s （2）令，则，解得，∴一条鱼静止时耗氧量为100个单位． 6．在2h内将某种药物注射进患者的血液中．在注射期间，血液中药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（ ） 6．答案：B 综合运用 7．判断下列各对函数是否互为反函数．若是，则求出它们的定义域和值域： （1），； （2），． 7．解析：（1）互为反函数，的定义域为，值域为， 的定义域为，值域为． （2）互为反函数，由，得，， 的反函数是． 的定义域为，值域为，的定义域为，值域为． 8．设表示某学校男生身高为 cm时平均体重为 kg， （1）如果函数的反函数是，那么表示什么？ （2）如果，那么求，并说明其实际意义． 8．解析：（1）表示该学校男生体重为时平均身高为． （2）．其实际意义是男生体重为55 kg时的平均身高为170 cm． 9．某地由于人们健康水平的不断提高，某种疾病的患病率正以每年15%的比例降低．要将当前的患病率降低一半，需要多少年？ 9．解析：疾病的患病率与经过的年数的函数关系式为，依题意得， 即，． 所以要将当前的患病率降低一半，大约需要5年． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$