湖北省武汉市重点中学5G联合体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

2024-225学年度上学期武汉市重点中学5G联合体期中考试 高二数学试卷 命题学校:武汉市育才高中 命题教师:赵胜军 审题教师:孙成静 考试时间:2024年11月8日 试卷满分:150分 ★祝考试顺利★ 注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内,写在试卷. 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.直线y=tan"的倾斜角为( _ B) A.0 .。 . D.7 ,。 2. 已知空间向量a=(1,-3.5).b=(2.x.y),且allb,则x+y=( ) B.6 A.10 C.4 D. -4 3. 已知直线l:a'x+y+1=0与直线:x-3ay+7=0,则"“a=3”是“l. 1的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量a=(0.0.2),b=(-1.1.1),向量a+b在向量a上的投影向量为( A.(0.0.3) B. (0.0.6) C.(-33.9) D.(3-3.-9) 高二数学试卷 第1页共6页 CS 扫描全能王 3亿人郡在用日描A{ 5.如图,在直三校柱ABC-AB.C.中,AC=2.BC=3,CC =4.ACB=90,则BC 与A.C所成的角的余弦值为( B B. A C. 6. 已知圆C:x2+4y2=16的左、右焦点分别为F,F,P是C上的任意一点,则错 误的是( ) B. |PFl+|PP2l=8 C. |PFl的最大值为4+2V3 D. 使F.PF为直角的点P有2个 7. 已知互不相同的20个样本数据,若去掉其中最大和最小的数据,设剩下的18个样 本数据的方差为s2,平均数为:去掉的两个数据的方差为s2,平均数为x:原样本数 据的方差为s2,平均数为x,若x对=x2,则下列选项错误的是() A.x-x B. 剩下的18个样本数据与原样本数据的中位数不变 C. 10s2-9s2+s2} , D. 剩下18个数据的22%分位数大于原样本数据的22%分位数 , 8.已知P为校长为1的正方体ABCD-A;B.C;D;的内切球表面一动点;且AP=xAB+ yAD+zAA,则x+y+z的取值范围是( ) A.-3]B.-3 C.[V3.2V3] D.{3,2v3 高二数学试卷 第2页 共6页 Cs 扫描全能王 3亿人郡在用目 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的的选项中,有多 项符合题目要求。全部选对的得6分,有选错的得0分,部分选对的得部分分 9. 已知事件A,B满足P(A)=0.5,P(B)=0.2,则( ) A. 若BCA,则P(AB)=0.5 B.若A与B互斥,则P(A+B)=0.7 C.若P(AB)-0.1,则A与B相互独立 D.若A与B相互独立,则P(AB)=0.9 10. 如图,在边长为1的正方体ABCD一A4.B.C.D中,点E为线段DD.的中点,点F为线 段BB,的中点,则( ) A. 点A,到直线B,E的距离为5 B. 直线FC.到直线AF的距离为30 C. 点A到平面AB.F的距离为 D. 直线FC.到平面AB.F的距离为 11. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观,它蕴藏于特有的抽象概念、公 式符号、推理论证、思维方法等之中,揭示了规律性,是一种科学的真实美.在平面直角 坐标系中,曲线C:x2土v2}三2xl+2lyl就是一条形状优美的曲线,对于此曲线,下列 说法正确的有() A. 曲线C围成的图形有6条对称轴 B. 曲线C围成的图形的周长是4V2n C. 若T(a,b)是曲线c上任意一点,l4a+3b-18的最小值是11-5V2 D. 曲线C上的任意两点间的距离不超过6 高二数学试卷 第3页 共6页 CS 扫描全能王 3亿人郡在用目 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.同时抛掷两颗质地均匀的散子,则两颗散子出现的点数之和为4的概率为__; 13.过点P(3,-1)且与圆C:x2+y2-2x-6y+6=0相切的直线方程为 14. 已知四校锥P-ABCD的底面是平行四边形ABCD,过校PC的中点M和点A作一平面, 分别交校PB和PD于点E和F ①设PB=a,PC=b,PD=c,则PA=_.(用向量a,b,c表示) ②记四校锥P-ABCD的体积为V,四校锥P-AEMF的体积为V,则的取值范围 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)某高校的入学面试中有3道难度相当的题目,李明答对每道题目的概率都 是0.6.若每位面试者共有三次机会,一旦某次答对抽到的题目,则面试通过,否则就 一直抽题到第3次为止.用Y表示答对题目,用N表示没有答对题目,假设对抽到的不 同题目能否答对是独立的,那么 第一次 第二次 第三次 样本点 ----------------.----1 ___ ._ -_ _ 1 (1)在树状图中填写样本点,并写出样本空间 。 (2)求李明第二次答题通过面试的概率 (3)求李明最终通过面试的概率 CS 扫描全能王 3亿人郡在用目 16.(15分)为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求,某市政府 积极鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量 标准x(吨),使居民的月用水量不超过x的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费 为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年200位居民每人的月均用水量(单位 吨),将数据按照0.1).1.2).....8.9)分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图,其中 0.4a=b. 频率/组距 0.26-------.---- 0.20 0 0.08 3 4 5 6 7 8 9月均用水量(吨) (1)求直方图中a,b的值; (2)由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数(每组数据用该组区间中点值作为代 表); (3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准×(吨),估计x的值,并说 明理由. 17.(15分)已知△ABC中,A(-1,1),B(3,-1),C(-4,0); (1)求边AB的中线所在直线的方程; (2)求经过A.B.C三点的圆O:的标准方程 (3)已知圆O2x2+y2-4x-4y-2=0与(2)中圆O.相交于A,B,求直线AB的方 程,并求AB. 18.(17分)在Bt△ABC中,2C=90*,BC'=3,AC=6,D.F分别是AC,AB上的点, DE-2CB,将△ADE沿DE折起到△A.DE的位置,使A.C1CD,M是A.D的中点,如 图所示. 高二数学试卷 第5页 共6页 C$ 扫描全能王 3亿人郡在用目g (1)求证:A.C1BCDE; (2)求CM与平面A.BE所成角的大小; 出CN的长度;若不存在,请说明理由 19.(17分)已知E的半径为4,F为定点,且.EF=23,M是圆E上任意一点,线 段FM的垂直平分线交线段EM于P。以点F,E所在的直线为x轴,线段EF中点为原 点O,建立平面直角坐标系. (1)设P的轨迹为线C,求曲线C的方程. (2)若直线l:y=h+*(m>0)与曲线C交于A,B两点 (i)当k为何值时,l0Al+l0Bl为常数d,并求出d的值 (ii)在(i)的条件下,以A,B为切点,作曲线C的两条切线,设其交点为O,当l00l2=d 时,证明:QA10 0 高二数学试卷 第6页 共6页 CS 扫描全能王 3亿人郡在用的目描 2024-2025学年度下学期武汉市重点中学5G联合体期中考试 高二数学试卷答案 1—8 ACAA DDDB 8.【答案】A 【解析】以A为原点，AB，AD，AA1分别为xyz轴建系， 不妨设正方体的棱长为1，则，， 画出截面图，即可知 9.BC 10.ABD 11.BCD 12. 13.或 14.【答案】①；②. 【解析】，即得 如图所示，设, ，又四点共面，不共面， , 设,则 ， 由，求得 当时，取得最小值为，此时，当,或时， 即当或时取得最大值为, 故答案为：， 15.【答案】(1)树状图见解析，样本空间为；(2)；(3)。 【详解】（1）解：根据题意，可得树状图及样本点，如图所示， 其样本空间为.（4分） （2）由题意知，， 所以第二次答题通过面试的概率.（8分） （3）由题意，李明未通过的概率为， 所以李明通过面试的概率为.（13分） 16.【答案】(1)，；(2)吨；(3). 【解析】（1）由频率分布直方图可得 ， 又，则，.（8分） （2）该市居民用水的平均数估计为： （吨）.（9分） （3）因的频率为， 的频率为， 故的估计值为（吨）． 所以有的居民每月的用水量不超过标准（吨）．（15分） 17.【答案】（1）;（2）;（3）;. 【解析】（1）AB中点为D（1,0），，所以其中线方程为.（3分） （2），直线AB的中垂线方程为， 同理直线BC的中垂线方程为，联立以上直线即得，，所以所求圆标准方程为.（8分） （3）易得直线AB:，到直线AB的距离为，（11分） 所以.（15分） 18.【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在，或. 【解析】（1）因为在中，，，且， 所以，，则折叠后，， 又平面， 所以平面，平面，所以， 又已知，且都在面内，所以平面；（4分） （2）由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系. 因为，故， 由几何关系可知，，，， 故，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则，即， 不妨令，则，，. 设与平面所成角的大小为， 则有， 设为与平面所成角，故， 即与平面所成角的大小为；（9分） （3）假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为. 在空间直角坐标系中，，，， 设，则，， 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，，所以， 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，，所以， 若平面与平面成角余弦值为. 则满足， 化简得，解得或，即或， 故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为. 此时的长度为或.（17分） 19.【答案】(1)；(2)（ⅰ），5；（ⅱ）证明见解析 【解析】（1）由题意可知，， 所以P点轨迹是以F，E为焦点，4为长轴长的椭圆， 即，，所以， 所以曲线C的方程，即椭圆方程为．（4分） （2）（ⅰ）由消元得，， 由，得， 设，，则，， 所以 ， 当为常数d时，即与无关， 令，得，此时恒成立， 即当时，．（9分） （ii）证明：设，则 当两切线中有一条切线斜率不存在时，即与x轴垂直时，切线方程为， 即，得， 所以另一条切线方程为，即与x轴平行， 显然，两切线垂直，即．（11分） 当斜率存在时，，设切线方程为， 由，消去y，得， 由， 化简得． 设两条切线的斜率分别为，， 因为，所以， 所以两条切线相互垂直，即． 综上，．（17分）    学科网（北京）股份有限公司 $$