4.4.2 对数函数的图象和性质（第2课时）（教学课件）-【上好课】高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

第 4 章 4.4.2 指数函数与对数函数 人教A版2019必修第一册 第2课时 对数函数的图象和性质 学习目标 1.进一步掌握对数函数的图象和性质． 2利用单调性进一步求函数的定义域和简单值域问题． 3.了解反函数的概念和图象特点． 目录 CATALOG 01.对数函数性质的综合应用 03.题型强化训练 02.反函数的概念和图象特点 04.小结及随堂练习 01 对数函数性质 的综合应用 4.4.2 对数函数的图象和性质 导入新知 名称 指数函数 对数函数 一般形式 y = ax y = Log a x 图像 a>1 0<a<1 定义域 R (0，+∞） 值 域 (0，+∞） R 单调性 a>1 增函数 增函数 0<a<1 减函数 减函数 函数的 变化情况 a>1 x<0时，0<y<1，x>0时 ， y>1 0<x<1时，y<0;x>1时，y>0 0<a<1 x<0时，y>1,x>0时 ，0<y<1 0<x<1时，y>0;x>1时，y<0 指数函数、对数函数性质比较一览表 应用新知 应用新知 应用新知 02 反函数的概念 和图象特点 4.4.2 对数函数的图象和性质 学习新知 学习新知 应用新知 同底数的指数函数和对数函数互为反函数. 学习新知 因此，函数y = logax (a＞0,且a≠1)与指数函数y = ax互为反函数. 已知函数y=2x (x∈R ，y∈(0,+∞))可得到x=log2y，对于任意一个y∈(0,+∞)，通过式子x=log2y，x在R中都有唯一确定的值和它对应.也就是说，可以把y作为自变量，x作为y的函数，这是我们就说x=log2y(y∈(0,+∞))是函数y=2x (x∈R) 的反函数. 但习惯上，我们通常用x表示自变量，y表示函数.为此我们常常对调函数x=log2y 中的字母x,y，把它写成y=log2x ，这样，对数函数y=log2x(x∈(0,+∞))是指数函数y=2x (x∈R)的反函数. 学习新知 从图象中你能发现函数y=2x 与 y=log2x的图象间有什么关系？ 两个函数的图象 关于直线y=x对称. 2 1 -1 -2 1 2 4 0 y x 3 y=x y=log2x y=2x A A1 B B1 2 1 -1 -2 1 2 4 0 y x 3 y=x 总结新知 图象 性 质 定义域 值域 过定点 取值 分布 单调性 对数函数y=log a x (a>0, a≠1) 指数函数y=ax (a>0,a≠1) a>1时, x<0,0<y<1; x>0,y>1； 0<a<1时，x<0,y>1；x>0,0<y<1； a>1时, 0<x<1,y<0; x>1,y>0； 0<a<1时,0<x<1,y>0; x>1,y<0； a>1时, 在R上是增函数； 0<a<1时, 在R上是减函数. a>1时,在(0,+∞)是增函数； 0<a<1时,在(0,+∞)是减函数. (0,1) (1,0) R (0,+∞) y=ax (a>1) y=ax (0<a<1) x y o 1 y=logax (a>1) y=logax (0<a<1) x y o 1 R (0,+∞) 03 题型强化训练 4.4.2 对数函数的图象和性质 能力提升 题型一　反函数的应用 能力提升 题型一　反函数的应用 【感悟提升】　互为反函数的函数的性质 (1)同底数的指数函数与对数函数互为反函数． (2)互为反函数的两个函数的定义域与值域互换． (3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称． (4)若互为反函数的两个函数是同一个函数，则该函数的图象自身关于直线y＝x对称． 能力提升 题型二　解对数不等式 能力提升 题型二　解对数不等式 【感悟提升】　常见的对数不等式的三种类型 (1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论． (2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解． (3)形如logax＞logbx的不等式，可利用图象求解． 题型二　解对数不等式 利用对数函数的单调性解不等式： (1)形如loga f (x)＞loga g(x)的不等式，借助y＝logat的单调性求解，如果 a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论． 若loga f (x)＞loga g(x)则 ： 当a>1时，有f (x)>g(x)>0 ； 当0<a<1时，有0<f (x)<g(x)． (2)形如loga f (x)＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式， 再借助y＝logat的单调性求解． 强调：真数一定要大于0 能力提升 能力提升 题型三　对数函数性质的综合应用 能力提升 题型三　对数函数性质的综合应用 能力提升 题型三　对数函数性质的综合应用 【感悟提升】　解决对数函数综合问题的策略 (1)定义域是前提，无论是求单调区间，还是证明奇偶性、解不等式等，都要先求定义域． (2)研究对数型函数的单调性、奇偶性时，注意利用复合函数的相关性质求解． (3)解对数不等式时，关键是利用对数函数的单调性转化为常见的不等式． (4)若函数图象容易作出，则可以结合图象研究函数的性质从而解决问题． 能力提升 题型四　有关对数型函数的值域与最值问题 能力提升 题型四　有关对数型函数的值域与最值问题 04 小结及随堂练习 4.4.2 对数函数的图象和性质 指数函数与对数函数的关系 课堂总结1 指数函数与对数函数的关系 图象 性 质 定义域 值域 过定点 取值 分布 单调性 对数函数y=log a x (a>0, a≠1) 指数函数y=ax (a>0,a≠1) a>1时, x<0,0<y<1; x>0,y>1； 0<a<1时，x<0,y>1；x>0,0<y<1； a>1时, 0<x<1,y<0; x>1,y>0； 0<a<1时,0<x<1,y>0; x>1,y<0； a>1时, 在R上是增函数； 0<a<1时, 在R上是减函数. a>1时,在(0,+∞)是增函数； 0<a<1时,在(0,+∞)是减函数. (0,1) (1,0) R (0,+∞) y=ax (a>1) y=ax (0<a<1) x y o 1 y=logax (a>1) y=logax (0<a<1) x y o 1 R (0,+∞) 指数函数与对数函数的关系 课堂总结2 3.思想方法类比： 类比的思想方法；类比指数函数的研究方法； 数形结合思想方法是研究函数图像和性质； 2.反函数的概念 一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为_________，它们的定义域与值域正好________． 反函数 互换 课堂总结3 作业 4.4.2 对数函数的图象和性质 P140习题4.4的2、4、7、11、12、13题. 习题4.4（第140页） 习题4.4（第140页） 习题4.4（第140页） 所以当燃料质量是火箭质量的0.6%时，火箭的最大速度可达到12 km/s。 习题4.4（第140页） 习题4.4（第140页） 习题4.4（第140页） 习题4.4（第140页） ∴当一条鱼的耗氧量为2 700个单位时，它的游速是1.5 m/s 习题4.4（第140页） 6．在2h内将某种药物注射进患者的血液中．在注射期间，血液中药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（ ） B 习题4.4（第140页） 习题4.4（第140页） 习题4.4（第140页） 9．某地由于人们健康水平的不断提高，某种疾病的患病率正以每年15%的比例降低．要将当前的患病率降低一半，需要多少年？ 所以要将当前的患病率降低一半，大约需要5年． 习题4.4（第140页） 习题4.4（第140页） 11．假设有一套住房的房价从2002年的20万元上涨到2012年的40万元．下表给出了两种价格增长方式，其中P1是按直线上升的房价，P2是按指数增长的房价，t是2002年以来经过的年数． t 0 5 10 15 20 P1/万元 20 40 P2/万元 20 40 习题4.4（第140页） t 0 5 10 15 20 P1/万元 20 40 P2/万元 20 40 习题4.4（第140页） （3）完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，然后比较这两种价格增长方式的差异． t 0 5 10 15 20 P1/万元 20 30 40 50 690 P2/万元 20 40 80 习题4.4（第140页） （3）完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，然后比较这两种价格增长方式的差异． 习题4.4（第140页） 习题4.4（第140页） （1）解法一：如图， 习题4.4（第140页） 习题4.4（第140页） 习题4.4（第140页） 人教A版2019必修第一册 THANKS 感谢您的聆听 【变式】1．在标准温度和压力下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位： ，记作 ）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位： ，记作 ）的乘积等于常数 .已知 值的定义为 ，健康人体血液 值保持在7.35～7.45之间，则健康人体血液中的 可以为 （参考数据： ， ） A．5 B．7 C．9 D．10 【答案】B 【分析】首先根据题意，求出所求式子的常用对数，结合题中所给的条件，将其转化为与 相关的量，借助于题中所给的范围以及两个对数值，求得结果. 【详解】由题意可知， ，且 ，所以 ，因为 ，所以 ， ，分析比较可知 ，所以 可以为7，故选B. 【点睛】该题考查的是有关健康人体血液中的 的求值问题，该题属于现学现用型，在解题的过程中，需要认真审题，明确题意，借助于题中所给的两个对数值，寻求解题思路，属于较难题目. 【练习1】设且，函数，下列说法正确的是（ ） A．与在各自的定义域内有相同的单调性 B．与两者的图象关于直线对称 C．与两者都既不是奇函数，又不是偶函数 D．与有相同的定义域和值域 【答案】ABC 【详解】由指对数关系知：互为反函数，即关于直线对称，B对； 由于相同，则在各自定义域上单调性相同，且都是非奇非偶函数，A、C对； 由定义域为R，值域为，定义域为，值域为R， 所以与的定义域和值域都不同，D错.故选：ABC 【练习2】已知,求的取值范围 解：因为函数 在上为减函数， 所以由, 得解得,故的取值范围是 【练习3】已知函数 .则下列说法正确的是（    ） A． B．函数 的图象关于点 对称 C．函数 的定义域上单调递减 D．若实数 ， 满足 ，则 【答案】AB 【分析】利用函数解析式，求解可得 可判断A，利用 可判断B， 根据函数的奇偶性和复合函数的单调性可判断C，根据函数的单调性和对称中心可判断D. 【详解】对于A选项，对任意的 ， ， 所以函数 的定义域为 ， 又因为 ，所以 ，故A正确； 【详解】对于B选项，因为函数 满足 ，故函数 的图象关于点 对称，故B正确； 对于C选项，对于函数 ，该函数的定义域为 ， ， 即 ，所以函数 为奇函数，当 时，内层函数 为增函数，外层函数 为增函数， 所以函数 在 上为增函数，故函数 在 上也为增函数，因为函数 在 上连续，故函数 在 上为增函数，又因为函数 在 上为增函数，故函数 在 上为增函数，故C不正确； 对于D选项，因为实数a，b满足 ，则 ，可得 ，即 ，故D错误. 故选：AB. 例4　求下列函数的值域． (1)y＝log2(x2＋4)； (2)y＝log (3＋2x－x2)． 解：　(1)y＝log2(x2＋4)的定义域是R. 因为x2＋4≥4，所以log2(x2＋4)≥log24＝2， 所以y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)． (2) 设u＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4. 因为u＞0，所以0＜u≤4. 又y＝log u在(0，＋∞)上为减函数， 所以log u≥log 4＝－2， 所以y＝log (3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞)． (1)求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解． (2)求函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响，结合函数的单调性求解，当函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值． $$