4.4.2 对数函数的图象和性质（分层作业）-【上好课】高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

4.4.2 对数函数的图象和性质 分层作业 1、 题型研究 考点一　对数函数的图象和性质 【例题1】若实数满足，则（    ） A． B． C． D． 考点二、利用单调性比较对数值的大小 【例题2】已知，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 考点三、比较大小 【例题3】已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 考点四、利用单调性解对数不等式 【例题4】　函数在区间内恒有，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 考点五、与对数函数有关的定义域(值域)问题 【例题5】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 考点六、与对数函数有关的综合性问题 【例题6】已知函数． (1)求函数的定义域； (2)若函数的最大值为2，求的值． 2、 基础达标 1.已知函数，若，，，则a，b，c从小到大排序是（   ） A． B． C． D． 2.多选题（23-24高一上·广东广州·期中）下列说法正确的是（    ） A．命题“，”的否定是“，” B．函数（且）的图象恒过定点 C．为奇函数 D．函数在上递减 3.（23-24高二上·湖南长沙·期末）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 4.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5.函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 6.函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 7.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 8.下列四组函数中，两个函数相同的是（ ） A．， B．， C．， D．， 9.函数的值域为（    ） A． B． C． D． 10.已知，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3、 能力提升 1.下列函数中，在其定义域内是减函数的是（    ） A． B． C． D． 2.函数的定义域为（    ） A． B． C． D．或 3.已知，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4.（22-23高三上·广西贵港·阶段练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 5.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 6.设集合， ，则A∪B等于（    ） A． B．R C． D． 7.下列函数是偶函数，且在上是增函数的是　　 A． B． C． D． 8.设函数，则（   ） A． B． C． D． 4、 直击高考 1.（22-23高三上·重庆沙坪坝·开学考试）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高三下·浙江金华·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 3.（23-24高三上·宁夏石嘴山·期末）已知函数，则是（    ） A．奇函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是减函数 C．偶函数，且在上是增函数 D．偶函数，且在上是减函数 4.（2020·福建·二模）已知，则这三个数由小到大的顺序为 A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 4.4.2 对数函数的图象和性质 分层作业 1、 题型研究 考点一　对数函数的图象和性质 【例题1】若实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数函数图像应用、对数函数图象的应用 【分析】设，则，设，，然后在同一个坐标画出函数的图像，由图像可得结果 【详解】解：设，则， 设，， 作出函数的图像，如图所示， 由图可得，所以， 故选：B 考点二、利用单调性比较对数值的大小 【例题2】已知，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较对数式的大小、比较指数幂的大小 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性可得答案. 【详解】由对数函数和指数函数的性质可得， ， 又，则，， 故. 故选：A． 考点三、比较大小 【例题3】已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】根据指数函数以及对数函数的单调性，判断各数的范围，即可判断出答案. 【详解】由题意得在上单调递减，在上单调递增， 在R上单调递增， 故， 故， 故选：A 考点四、利用单调性解对数不等式 【例题4】　函数在区间内恒有，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对数型复合函数的单调性、对数函数单调性的应用 【分析】利用二次函数的基本性质求得当时，的取值范围，再由在区间上恒成立可求得实数的取值范围，利用复合函数法可求得函数的单调递增区间. 【详解】令，则二次函数在区间上单调递增， 当时，，则，， 令，解得或，即函数的定义域为. 对于函数，内层函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 外层函数为上的增函数， 由复合函数法可知，函数的单调递增区间为. 故选：A. 【点睛】本题考查利用复合函数法求对数型复合函数的单调区间，同时也考查了利用对数不等式恒成立求参数，考查计算能力，属于中等题. 考点五、与对数函数有关的定义域(值域)问题 【例题5】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题得，解不等式即得函数的定义域. 【详解】∵函数的定义域为，即， ∴， 令，解得， 即函数的定义域为， 故选：A. 【点睛】本题主要考查复合函数的定义域的求法及应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 考点六、与对数函数有关的综合性问题 【例题6】已知函数． (1)求函数的定义域； (2)若函数的最大值为2，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性 【分析】（1）根据解析式，列出不等式组，得函数的定义域； （2）根据复合函数单调性“同增异减”的性质，判断，得函数的单调性，得最大值为，解得a的值. 【详解】（1）令，解得， 所以函数的定义域. （2）函数， 设，则在单调递增，在单调递减， 因为函数有最大值，根据复合函数的单调性性质，所以， 所以函数也在单调递增，在单调递减， 故函数的最大值为，即 2、 基础达标 1.已知函数，若，，，则a，b，c从小到大排序是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较对数式的大小 【分析】直接代入计算即可得结论. 【详解】由题可知：，，， 由函数在定义域中是单调递增的函数，所以. 故选：A. 2.多选题（23-24高一上·广东广州·期中）下列说法正确的是（    ） A．命题“，”的否定是“，” B．函数（且）的图象恒过定点 C．为奇函数 D．函数在上递减 【答案】BCD 【知识点】指数型函数图象过定点问题、函数奇偶性的定义与判断、定义法判断或证明函数的单调性、全称命题的否定及其真假判断 【分析】根据全称量词命题的否定可判断A，利用对数函数的性质可判断B，根据奇函数的定义可判断C，根据二次函数的性质知对应二次方程判别式大于零，可判断D. 【详解】对A，因为命题“，”的否定是“，”，故A错误； 对B，因为，令，可得，即函数图象恒过定点，故B正确； 对C，因为，可知定义域为关于原点对称， 又，故函数为奇函数，故C正确； 对D，函数和在上单调递减，所以函数在上单调递减，D正确； 故选：BCD. 3.（23-24高二上·湖南长沙·期末）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、对数型复合函数的单调性、求对数型复合函数的定义域 【分析】求出函数的定义域，利用复合函数单调性之间的关系进行求解即可. 【详解】由得或， 设，函数在为增函数， 此时为增函数， 所以为增函数， 即的单调增区间为. 故选：C. 4.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求对数型复合函数的定义域 【分析】利用对数的真数大于零可求得函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得， 故函数的定义域为. 故选：B. 5.函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知真数大于0，解不等式. 【详解】由题意可知，解得： 所有函数的定义域是. 故选：A 【点睛】本题考查具体函数的定义域，属于简单题型. 6.函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对数型复合函数的单调性 【分析】由题得定义域，再利用复合函数的单调性原理求解. 【详解】由题得，所以或. 函数在单调递增，在单调递减. 又函数在定义域内单调递减， 所以函数的单调递减区间是. 故选：C 7.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【分析】根据开偶数次方根号里的数大于等于0，分母不等于0，对数的真数大于0，列出不等式组，从而可得出答案. 【详解】解：由函数 得，解得， 所以函数的定义域为. 故选：C. 8.下列四组函数中，两个函数相同的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】判断两个函数是否相等、求对数型复合函数的定义域 【分析】根据同一函数的判定可知定义域和对应法则都一样为同一函数，逐项分析可得答案. 【详解】解：选项A：的定义域为，和定义域不同，不是同一函数，故A错误； 选项B：的定义域为，和定义域不同，不是同一函数，故B错误； 选项C：的定义域为，和定义域不同，不是同一函数，故C错误； 选项D：的定义域为，和定义域相同，对应法则也一样，是同一函数，故D正确； 故选：D 9.函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求对数型复合函数的值域 【分析】由的值域为可得的值域为. 【详解】由对数函数的值域为，向右平移2个单位得函数的值域为， 则的值域为， 故选：A. 10.已知，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与、的大小关系，由此可得出、、三个数的大小关系. 【详解】，，，又，即. 因此，. 故选：B. 【点睛】本题考查利用指数函数、对数函数的单调性比较指数式和对数式的大小关系，一般利用中间值法来比较，属于基础题. 3、 能力提升 1.下列函数中，在其定义域内是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】具体函数的定义域、研究对数函数的单调性、判断一般幂函数的单调性 【分析】根据函数的定义域和单调性求得正确答案. 【详解】A选项，是开口向下的二次函数， 在区间上单调递增，所以A选项错误. B选项，的定义域是， 减区间是，在定义域上没有单调性，B选项错误. C选项，因为，所以在定义域上单调递减，C选项正确. D选项，因为，所以在定义域上单调递增，D选项错误. 故选：C 2.函数的定义域为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【知识点】求对数型复合函数的定义域、分式不等式 【分析】分母不为0且对数式的真数大于0，求解不等式即可得到答案 【详解】要使原函数有意义，则， 即，解得或． 所以原函数的定义域为或． 故选：D． 3.已知，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】根据指数函数、对数函数的性质计算可得； 【详解】解：因为，即，即，，即， 所以； 故选：C 4.（22-23高三上·广西贵港·阶段练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用换底公式化简计算、比较对数式的大小 【分析】由题可知，三个数都是大于0的，所以相比利用换底公式化简与1比较即可 【详解】由，， 所以① 所以 ② 所以 ③ 所以 综上：即 故选：B. 5.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求对数型复合函数的定义域、具体函数的定义域 【分析】根据函数解析式可得，解出即可. 【详解】因为，所以，解得， 函数的定义域为. 故选：C. 6.设集合， ，则A∪B等于（    ） A． B．R C． D． 【答案】A 【知识点】求对数型复合函数的定义域、求指数函数在区间内的值域、并集的概念及运算 【分析】由题可知集合A是对数函数的定义域，集合B是指数函数值域，分别求出两集合再求并集即可. 【详解】解：因为，， 所以 ， 故选：A 【点睛】此题考查了对数函数、指数函数、集合的并集运算，属于基础题. 7.下列函数是偶函数，且在上是增函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、研究对数函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据基本初等函数的奇偶性与单调性，对选项中的函数进行判断即可． 【详解】解：对于A：是定义域上的非奇非偶函数，不满足题意； 对于B：是定义域上的偶函数，且在上是增函数，满足题意； 对于C：是定义域上的非奇非偶函数，不满足题意； 对于D：是定义域上的偶函数，在上是减函数，不满足题意． 故选：B． 8.设函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对数函数单调性的应用、对数的运算、求分段函数解析式或求函数的值 【分析】由对数函数单调性可得，再结合分段函数判断计算得解. 【详解】由，得，函数， 所以. 故选：D 4、 直击高考 1.（22-23高三上·重庆沙坪坝·开学考试）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由对数（型）的单调性求参数 【分析】根据复合函数的单调性和对数函数定义域列不等式，然后解不等式即可. 【详解】令，由题意知：在区间上单调递增且，，解得：，则实数的取值范围是. 故选：C. 2.（23-24高三下·浙江金华·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】比较指数幂的大小、由指数函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式、比较对数式的大小 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解即可. 【详解】对于A，因为,所以指数函数在上单调递减，且，所以， 因为幂函数在上单调递增，且，所以， 所以，故A正确， 对于B，取，，则，故B错误； 对于C，因为对数函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 所以，故C正确； 对于D，因为在上单调递增， 所以，，则， 因为对数函数在上单调递减， 所以，故D正确． 故选：ACD． 3.（23-24高三上·宁夏石嘴山·期末）已知函数，则是（    ） A．奇函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是减函数 C．偶函数，且在上是增函数 D．偶函数，且在上是减函数 【答案】A 【知识点】对数型复合函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】求出函数的定义域，利用奇偶函数的定义及复合函数的单调性法则判断即可. 【详解】若函数有意义，则，解得， 即函数的定义域为， 因为，所以函数是奇函数， 函数， 因为函数在上递增，函数在定义域上递增， 所以函数在上是增函数. 故选：A 4.（2020·福建·二模）已知，则这三个数由小到大的顺序为 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对数函数单调性的应用、比较指数幂的大小 【解析】引入中间变量和，即可得答案； 【详解】因为， 所以这三个数由小到大的顺序为. 故选：A. 【点睛】本题考查指数式和对数式的值的大小比较，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意引入中间变量比较大小. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$