第26章 反比例函数（全章18大类型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（人教版）

第26章反比例函数（全章18大类型提分练） 目录 类型一、反比例函数的定义 2 类型二、利用反比例函数的定义求参数 2 类型三、反比例关系 2 类型四、求反比例函数的解析式 2 类型五、根据反比例函数经过的象限求参数的范围 3 类型六、根据反比例函数的增减性求参数的范围 4 类型七、反比例函数的函数值的取值范围 5 类型八、反比例函数与一次函数、二次函数之间的图象的判断 6 类型九、反比例函数的对称性问题 7 类型十、根据反比例函数的k值求面积 8 类型十一、根据反比例函数的面积求参数 9 类型十二、反比例函数的图象问题 10 类型十三、类似反比例函数的图象拓展问题 11 类型十四、反比例函数的图象与性质 13 类型十五、反比例函数与一次函数问题 14 类型十六、反比例函数与实际问题 16 类型十七、反比例函数与新定义材料探究问题 18 类型十八、反比例函数与几何压轴问题 19 类型一、反比例函数的定义 1．（24-25九年级上·山东泰安·期中）下列函数不是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）下列函数中：（1）；（2）；（3）；（4），反比例函数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25九年级上·全国·期末）下列函数中，一定是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 类型二、利用反比例函数的定义求参数 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知是反比例函数，则 ． 5．（22-23九年级上·湖南永州·期中）已知关于x的反比例函数，则m的值为 ． 6．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知是关于x的反比例函数，求的值． 类型三、反比例关系 7．（23-24八年级下·山东烟台·期末）下列问题中两个变量之间的关系不是反比例函数的是（    ） A．某人参加赛跑时，时间与跑步平均速度之间的关系 B．长方形的面积一定，它的两条邻边的长与之间的关系 C．压强公式中，一定时，压强与受力面积之间的关系 D．三角形的一条边长一定时，它的面积与这条边上的高之间的关系 8．（2024·浙江台州·二模）王老师在上函数复习课时，利用列表法给出了变量x，y 的三组对应值如下表，你觉得这三点可以同时位于（   ）的图象上． A．一次函数和反比例函数 B．二次函数和反比例函数 C．一次函数和二次函数 D．一次函数和二次函数和反比例函数 9．（23-24九年级上·河北保定·期末）建设中的G107马头南至冀豫界段是我省“十四五”建设项目，其某段施工需运送土石方，则土石方日运送量与完成运送任务所需时间（天）满足（    ） A．反比例函数关系 B．正比例函数关系 C．一次函数关系 D．二次函数关系 类型四、求反比例函数的解析式 10．（23-24八年级上·上海青浦·期中）已知：，并且与x成正比例，与成反比例，且当时，，当时，，求y与x之间的函数解析式． 11．（21-22八年级下·浙江丽水·期末）已知是关于的反比例函数，当时，． (1)求此函数的表达式； (2)当时，函数值是，求的值． 12．（20-21八年级上·上海金山·期末）已知：，与成正比例，与成反比例．当时，；当时，．求与的函数解析式． 类型五、根据反比例函数经过的象限求参数的范围 13．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随的值增大而减小，求的取值范围． 14．（23-24八年级下·河南周口·期中）已知反比例函数的图象经过第一、三象限． (1)求的取值范围． (2)若，此函数的图象经过，两点，且，求的取值范围． 15．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）已知反比例函数，其函数图象位于第一、三象限． (1)求的取值范围； (2)若点是该反比例函数图象上的两点，试比较的大小． 类型六、根据反比例函数的增减性求参数的范围 16．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）已知反比例函数（m为常数，且）． (1)若在每个象限内，y随x的增大而减小，求m的取值范围； (2)若其图像与一次函数图像的一个交点的纵坐标是3，求m的值． 17．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）已知反比例函数（为常数，且）． (1)若在其图像的每一个分支上，随增大而增大，求的取值范围； (2)若点、均在该反比例函数的图像上； 求的值； 当时，直接写出的取值范围． 18．（23-24八年级下·北京·期中）已知双曲线． (1)若双曲线与直线的一个交点的纵坐标为，求的值． (2)在双曲线的每一支上，随的增大而减小，求的取值范围． (3)若双曲线的一支位于第二象限，在这一支上任取两点，，当时， （填“”，“”或“”）． 类型七、反比例函数的函数值的取值范围 19．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知反比例函数的图像经过点． (1)请判断点是否在此反比例函数图像上，并说明理由； (2)已知点和点是反比例函数图像上的两点． ①若点C和点D关于原点中心对称，求的值； ②若，，求时，y的取值范围． 20．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，求反比例函数的的取值范围． 21．（23-24九年级上·山东济南·阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中，作出函数的图象，并根据图象回答下列问题： (1)当时，求的值；(2)当时，求的取值范围； (3)当，且时，求的取值范围． 类型八、反比例函数与一次函数、二次函数之间的图象的判断 22．（24-25九年级上·湖南岳阳·开学考试）函数与在同一坐标系内的图象可能是（    ） A．B．C．D． 23．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）二次函数（是常数）的图象如图，则双曲线和直线的位置可能为（   ） A．B．C．D． 24．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知抛物线（a，b均不为0）与双曲线的图象相交于，，三点．则满足不等式的解为（   ） A．或 B．或或 C．或 D．或或 类型九、反比例函数的对称性问题 25．（21-22八年级下·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过点，，则下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则、关于原点对称 D．若，，则 26．（2024·安徽滁州·一模）在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，已知点A的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 27．（23-24九年级上·湖南永州·期末）我们知道函数的图象可以由反比例函数的图象左右平移得到，下列关于的图象的性质： ①的图象可以由的图象向右平移3个单位长度得到； ②的图象关于点对称； ③的图象关于直线对称； ④若，根据图象可知，的解集是． 其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．①②④ 类型十、根据反比例函数的k值求面积 28．（19-20九年级·山东枣庄·自主招生）如图，点E，F在函数的图象上，直线分别与轴、轴交于点A、B，且，则的面积是（　　） A． B． C． D． 29．（2024九年级上·全国·专题练习）下列图形中，阴影部分面积为1的有（   ） 个． 　　　　　 A．4 B．3 C．2 D．1 30．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，平面直角坐标系中，在反比例函数的图象上取点A，连接，与的图象交于点B，过点B作轴交函数的图象于点C，过点C作轴交函数的图象于点E，连接，，，与交于点F，则（   ） A． B． C． D． 类型十一、根据反比例函数的面积求参数 31．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数与相交于点，与相交于点，若，且的面积是12，则的值为 （         ）．    A．10 B．8 C．5 D．4 32．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接，若的面积是，则的值（    ） A． B． C． D． 33．（20-21九年级下·重庆渝中·开学考试）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，点在第一象限，点在轴正半轴上，连接交反比例函数图象于点，为的平分线，过点作的垂线，垂足为，连接，若，的面积为8，则的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 类型十二、反比例函数的图象问题 34．（23-24八年级下·湖北荆州·期末）在同一坐标系中画两个函数的图象，并回答相关问题：    (1)画出函数的图象； ①由分式有意义可知，函数中自变量x取除_______以外的全体实数，可列如下表，请你填剩余的空． x 1 1.5 2 3 4 6 y 6 4 3 2 1.5 1 ②在坐标系中描点、连线，画函数的大致图象（描上表中剩余的点并连线）． (2)画出函数的图象； (3)当取x何值时，对于其中x的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出x的取值范围． 35．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）已知反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点． (1)求这个反比例函数的表达式并在图中画出该函数图象的另一支； (2)填空：当且时，自变量的取值范围是____________； (3)填空：当时，自变量的取值范围是__________． 36．（2024·贵州黔南·模拟预测）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的解析式； (2)在如图的平面直角坐标系中分别画出函数和的图象，并直接写出关于的不等式的解集． 类型十三、类似反比例函数的图象拓展问题 37．（24-25九年级上·陕西西安·期中）小欣学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其研究过程如下： (1)绘制函数图象． ①列表：下表是x与y的几组对应值，其中 ； … 0 1 2 … … 3 2 … ②描点：根据表中的数值描点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整． (2)探究函数性质． ①自变量x的取值范围： ； ②描述图像的增减性： ； ③函数图象的对称中心为： ． (3)已知一次函数与相交于点，结合图象直接写出关于x的不等式的解集． 38．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）参照学习的一次函数与反比例函数图象与性质的过程与方法，探究函数的图象与性质．使用“描点法”作出函数的图象． 列表：恰当地选取自变量的几个值，计算对应的值． … 0 2 3 4 … … 0 4 3 2 … 描点：以表中各对的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，如图．请将图中直线两侧的各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来并回答下列问题： (1)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当时，随的增大而________．（填写“增大”或“减小”） ②函数的图象关于点________中心对称．（填写点的坐标） ③小明发现，函数的图象是双曲线，他觉得函数的图象是由一个反比例函数的图象经过平移得来的，并进行了如下变形：，请试着在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象，并观察得出函数的图象是由函数的图象经过怎样的平移变换得到的：_____________． (2)我们将第（1）题③中小明的变形过程称为“分离常数”，请利用“分离常数”的方法，求出函数图象上，横坐标、纵坐标均为整数的点的坐标． (3)若直线与函数的图象相交于两点，的横坐标是，的纵坐标是，则__________． 39．（23-24九年级上·河南新乡·期中）某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，下面是该小组的探究过程，请补充完整． (1)下表是x与y的几组对应值： x … 1 2 3 4 5 6 … y … 4 1 m n 1 … 其中，______，______； (2)根据上表数据，描出以各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的部分图象； (3)结合函数图象，写出函数的一条性质：______； (4)根据函数的图象与性质，若方程有2个实数根，则a的取值范围是______； 类型十四、反比例函数的图象与性质 40．（2024·天津红桥·一模）已知在反比例函数 (m为常数， 且 的图象上． (1)求m的值，并判断该反比例函数的图象所在的象限； (2)判断点， 是否在该反比例函数的图象上，并说明理由； (3)若Q为x轴上一点，且，求的面积． 41．（23-24九年级上·天津南开·期末）已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，. (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)填空： ①直接写出不等式的解集______； ②点，，都在反比例函数的图象上，若，比较，，的大小（用号连接），其结果是______. 42．（2023·广东潮州·一模）已知反比例函数（为常数，）． (1)其图象与正比例函数的图象的一个交点为，若点的纵坐标是2，的值； (2)若在其图象的每一支上，随的增大而减小，求的取值范围； (3)若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点，当时，试比较与的大小． (4)在第（1）小题的条件下，在轴上求点，使是等腰三角形． 类型十五、反比例函数与一次函数问题 43．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，已知直线与x轴、y轴分别相交于点P和点Q，与反比例函数的图象相交于、两点，连接． (1)试确定一次函数与反比例函数的表达式； (2)求； (3)结合图象直接写出不等式的解集． 44．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)若点P是y轴上一动点，连接，．当的值最小时，求点P的坐标． 45．（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图， 反比例函数 的图象与一次函数的图象交于C、E两点． 且一次函数图象交y轴于点A． (1)求C、E点的坐标； (2)求的面积； (3)点M在x轴上移动，是否存在点M使为等腰三角形？ 若存在，请你求出所有满足条件的M点的坐标； 若不存在，请说明理由． 类型十六、反比例函数与实际问题 46．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）为预防流感，某学校对教室采用药熏消毒．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量（单位：）与燃烧时间（单位：min）成正比例；燃烧后，与成反比例（如图所示）．现测得药物1燃烧完毕，此时教室内每立方米空气含药量为．根据以上信息解答下列问题： (1)分别求出药物燃烧时；药物燃烧后，关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (2)研究表明，当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒害作用，那么从药物燃烧完毕开始计时，至少需要经过多长时间，学生才可以返回教室？ 47．（2024九年级上·北京·专题练习）某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y个之间有如下关系： x （元） 3 4 5 6 y （个） 20 15 12 10 (1)请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、反比例函数和其它函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式； (2)设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出W（元）与x（元）之间的函数关系式．若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？ 48．（24-25九年级上·广西来宾·阶段练习）在一次物理实验中，小林同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图1，假设灯泡的电阻不随温度的变化而变化），已知串联电路中，电流与电阻、之间关系为，通过实验得出如下数据（表格数据不完整）： … 2 4 6 … … 4 3 … (1)__________，__________； (2)根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是___________． (3)请结合函数图象分析，当时，的解集为__________． 类型十七、反比例函数与新定义材料探究问题 49．（2023·江苏南通·一模）定义：在平面直角坐标系中，对于点与某函数图像上的一点，若，则称点为点在该函数图像上的“直差点”． (1)已知点，求点在函数图像上“直差点”的坐标； (2)若点在函数的图像上恰好存在唯一的“直差点”，求的值； (3)若点在函数的图像上有且只有个“直差点”，求的取值范围． 50．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）定义：平面直角坐标系中，点，点，若，，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”． 例如，点是点的“级变换点” (1)函数的图象上是否存在点的“级变换点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (2)动点与其“级变换点”分别在直线，上，在，上分别取点，．若，求证：； (3)关于的二次函数的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，求的取值范围． 51．（23-24九年级上·湖南郴州·阶段练习）阅读理解 定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”． 例如，求函数的图象的“等值点”P的坐标． 解：在中，令，得， 所以，函数的图象的“等值点”P的坐标为． (1)函数的图象的“等值点”的坐标是______； (2)函数的图象的“等值点”的坐标是______； (3)是否存在这样的函数：函数图象上任意一点都是这个函数图象的“等值点”．若存在，请举出一个这样的函数（写出函数表达式即可）；若不存在，请说明理由． 类型十八、反比例函数与几何压轴问题 52．（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点． (1)求反比例函数的关系式； (2)求将正方形沿轴向左平移多少个单位长度时，点恰好落在反比例函数的图象上； (3)若点是线段上一动点，点是线段上一动点，是否存在直线将的周长和面积同时平分？若存在这样的直线，则求出线段的长；若不存在这样的直线，请说明理由． 53．（2023·贵州六盘水·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，已知点的纵坐标是2． (1)求反比例函数的表达式； (2)将直线向上平移后与轴交于点，与反比例函数在第二象限内的图象交于点．若的面积为36，求平移后的直线表达式． 54．（21-22九年级·江苏苏州·自主招生）阅读材料： 对于正数a、b，有，所以，即（当且仅当时取“=”）．特别地：（当且仅当时取“=”）． 因此，当时，有最小值2，此时． 简单应用： （1）函数的最大值为______． （2）求函数，当______时，最小值为______． 解决问题： （3）已知是反比例函数图象上的点，Q是双曲线在第四象限这一分支上的动点，过点Q作直线，使其与双曲线只有一个公共点，且与x轴、y轴分别交于点A、B．另一直线与x轴、y轴分别交于点C、D，求四边形面积的最小值． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第26章反比例函数（全章18大类型提分练） 目录 类型一、反比例函数的定义 2 类型二、利用反比例函数的定义求参数 3 类型三、反比例关系 4 类型四、求反比例函数的解析式 6 类型五、根据反比例函数经过的象限求参数的范围 7 类型六、根据反比例函数的增减性求参数的范围 9 类型七、反比例函数的函数值的取值范围 12 类型八、反比例函数与一次函数、二次函数之间的图象的判断 15 类型九、反比例函数的对称性问题 17 类型十、根据反比例函数的k值求面积 20 类型十一、根据反比例函数的面积求参数 23 类型十二、反比例函数的图象问题 27 类型十三、类似反比例函数的图象拓展问题 32 类型十四、反比例函数的图象与性质 39 类型十五、反比例函数与一次函数问题 43 类型十六、反比例函数与实际问题 48 类型十七、反比例函数与新定义材料探究问题 52 类型十七、反比例函数与新定义材料探究问题 54 类型十八、反比例函数与几何压轴问题 56 类型一、反比例函数的定义 1．（24-25九年级上·山东泰安·期中）下列函数不是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数的定义，熟知形如（k为常数，）的函数叫反比例函数是解题的关键．根据反比例函数的定义进行解答即可． 【详解】解：A、，符合（k为常数，）的形式，是反比例函数，故选项不符合题意； B、，符合（k为常数，）的形式，是反比例函数，故选项不符合题意； C、，不符合（k为常数，）的形式，不是反比例函数，故选项符合题意； D、∵， ∴，符合（k为常数，）的形式，是反比例函数，故选项不符合题意； 故选：C 2．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）下列函数中：（1）；（2）；（3）；（4），反比例函数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数解析式．熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 根据反比例函数的定义求解作答即可． 【详解】解：由题意知，是反比例函数，，，不是反比例函数， 故选：A． 3．（24-25九年级上·全国·期末）下列函数中，一定是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据形如的是反比例函数，逐个判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，不符合题意； B、当时，不是反比例函数，不符合题意； C、是反比例函数，符合题意； D、不是反比例函数，不符合题意； 故选：C． 类型二、利用反比例函数的定义求参数 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知是反比例函数，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，形如的函数叫做反比例函数，据此求解即可． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴， ∴， 故答案为：4． 5．（22-23九年级上·湖南永州·期中）已知关于x的反比例函数，则m的值为 ． 【答案】11 【分析】本题考查的是反比例函数的定义，熟知形如的函数称为反比例函数是解题的关键．根据反比例函数的定义列出关于m的方程，求出m的值即可． 【详解】 解：函数是反比例函数， ∴，解得 故答案为：11 6．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知是关于x的反比例函数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数．根据定义列式计算即可． 【详解】解：因为是关于x的反比例函数， 所以， 所以， 所以． 类型三、反比例关系 7．（23-24八年级下·山东烟台·期末）下列问题中两个变量之间的关系不是反比例函数的是（    ） A．某人参加赛跑时，时间与跑步平均速度之间的关系 B．长方形的面积一定，它的两条邻边的长与之间的关系 C．压强公式中，一定时，压强与受力面积之间的关系 D．三角形的一条边长一定时，它的面积与这条边上的高之间的关系 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，对于两个变量，若它们的乘积一定，则这两个变量是反比例函数关系，据此可得答案． 【详解】解：A、由题意得，，则时间与跑步平均速度之间的关系是反比例函数，不符合题意； B、由题意得，，则长方形的面积一定，它的两条邻边的长与之间的关系是反比例函数，不符合题意； C、由题意得，，则一定时，压强与受力面积之间的关是反比例函数，不符合题意； D、由题意得，（l为一边长，h为该边上的高），则l一定时，它的面积与这条边上的高之间的关系不是反比例函数，符合题意； 故选：D 8．（2024·浙江台州·二模）王老师在上函数复习课时，利用列表法给出了变量x，y 的三组对应值如下表，你觉得这三点可以同时位于（   ）的图象上． 1 2 4 ….. A．一次函数和反比例函数 B．二次函数和反比例函数 C．一次函数和二次函数 D．一次函数和二次函数和反比例函数 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征，分两种情况讨论：若点和在一次函数的图象上，利用待定系数法求得一次函数的解析式，把代入求得函数值，若函数值与可以相等，则这三点可以同时位于一次函数的图象上，否则这三点不可以同时位于一次函数的图象上，这三点可以同时位于二次函数的图象上；若点和在反比例函数的图象上，利用待定系数法求得，把代入求得函数值，函数值与值相等，故这三点可以同时位于反比例函数的图象上． 【详解】解：若点和在一次函数的图象上， 设一次函数为，则，解得， ， 把代入得， 令，整理得， ， 存在的值使， 故这三不可以同时位于一次函数的图象上和二次函数的图象上， 若点和在反比例函数的图象上， 设反比例函数为，则， 解得， ， 把代入得，， 故当时， 故这三点可以同时位于二次函数的图象上和反比例函数的图象上． 故选：B． 9．（23-24九年级上·河北保定·期末）建设中的G107马头南至冀豫界段是我省“十四五”建设项目，其某段施工需运送土石方，则土石方日运送量与完成运送任务所需时间（天）满足（    ） A．反比例函数关系 B．正比例函数关系 C．一次函数关系 D．二次函数关系 【答案】A 【分析】根据题意，列出函数关系式，进行作答即可．本题考查反比例函数的实际应用．读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， ∴V与t满足反比例函数关系． 故选：A． 类型四、求反比例函数的解析式 10．（23-24八年级上·上海青浦·期中）已知：，并且与x成正比例，与成反比例，且当时，，当时，，求y与x之间的函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，注意在本题中的正比例系数和反比例系数是两个不同的值，用不同的字母区分．设，则，然后利用待定系数法即可求得； 【详解】∵与x成正比例，与成反比例， ∴设，， ∴， ∵当时，，当时，， ∴，解得， ∴y与x之间的函数解析式为． 11．（21-22八年级下·浙江丽水·期末）已知是关于的反比例函数，当时，． (1)求此函数的表达式； (2)当时，函数值是，求的值． 【答案】(1)反比例函数解析式为 (2) 【分析】（1）首先设反比例函数解析式为，然后把，代入反比例函数，即可得出反比例函数解析式； （2）利用（1）中反比例函数解析式，把代入解析式，即可得出m的值． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 把，代入反比例函数解析式，可得：， ∴反比例函数解析式为． （2）解：由（1）可得：， ∵当时，函数值是， 又∵当时，， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数表达式、反比例函数的定义，解本题的关键在正确求出反比例函数表达式． 12．（20-21八年级上·上海金山·期末）已知：，与成正比例，与成反比例．当时，；当时，．求与的函数解析式． 【答案】y＝（x+1）+ 【分析】根据正比例与反比例的定义设出y与x之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式计算即可得解 【详解】解：（1）设y1＝k1（x+1）（k1≠0），y2＝（k2≠0）， ∴y＝k1（x+1）+ ． ∵当x＝1时，y＝7．当x＝3时，y＝4， ∴， ∴， ∴y关于x的函数解析式是：y＝（x+1）+； 【点睛】此题主要考查了待定系数法求函数解析式，关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法，熟练准确计算． 类型五、根据反比例函数经过的象限求参数的范围 13．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随的值增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）由反比例函数的图象位于第二、四象限，得到，即可求解； （2）当时，y随x的值增大而减小，得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得：， ∴a的取值范围是：； （2）解：∵当时，y随x的值增大而减小， ， 解得：， ∴a的取值范围是：． 14．（23-24八年级下·河南周口·期中）已知反比例函数的图象经过第一、三象限． (1)求的取值范围． (2)若，此函数的图象经过，两点，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的增减性是解本题的关键； （1）由反比例函数的图象经过第一、三象限可得，再解不等式即可； （2）由反比例函数的增减性可得，从而可得答案． 【详解】（1）解： 反比例函数的图象经过第一、三象限， ，解得， 的取值范围是． （2）， ，， 反比例函数的图象经过，两点，且， ， 解得， ∴的取值范围是． 15．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）已知反比例函数，其函数图象位于第一、三象限． (1)求的取值范围； (2)若点是该反比例函数图象上的两点，试比较的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，反比例函数的性质及反比例函数的图象，熟知反比例函数图象上各点一定适合此函数的解析式是解题的关键． （1）根据题意得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可； （2）先根据函数解析式判断出函数图象所在的象限及增减性，进而可得出结论． 【详解】（1）解：该反比例函数的图象位于第一、三象限， ， 解得． （2）解：该反比例函数的图象在第一、三象限， 在每个象限内，随的增大而减小． 又， ． 类型六、根据反比例函数的增减性求参数的范围 16．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）已知反比例函数（m为常数，且）． (1)若在每个象限内，y随x的增大而减小，求m的取值范围； (2)若其图像与一次函数图像的一个交点的纵坐标是3，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查函数图像的交点及待定系数法求函数解析式，掌握图像的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键． （1）由反比例函数的性质可得：，从而求出m的取值范围； （2）先将交点的纵坐标代入一次函数中求出交点的横坐标，然后将交点的坐标代入反比例函数中，即可求出m的值． 【详解】（1）解：∵在反比例函数图像的每个分支上，y随x的增大而减小， ∴， 解得：； （2）将代入中，得：， ∴反比例函数图像与一次函数图像的交点坐标为：． 将代入得：， 解得：． 17．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）已知反比例函数（为常数，且）． (1)若在其图像的每一个分支上，随增大而增大，求的取值范围； (2)若点、均在该反比例函数的图像上； 求的值； 当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2) ，； 或． 【分析】（）根据反比例函数的性质可得，据此即可求解； （）把代入反比例函数解析式求出，即可得到反比例函数解析式，再把代入所得解析式即可求出；求出时的值，再结合反比例函数的性质即可解答； 本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴； （2）解：把代入得，， ∴， ∴反比例函数解析式为， 把代入得，； 由得反比例函数解析式为，当时，， ∵， ∴在每一象限内，随增大而增大， ∴当时，的取值范围为或． 18．（23-24八年级下·北京·期中）已知双曲线． (1)若双曲线与直线的一个交点的纵坐标为，求的值． (2)在双曲线的每一支上，随的增大而减小，求的取值范围． (3)若双曲线的一支位于第二象限，在这一支上任取两点，，当时， （填“”，“”或“”）． 【答案】(1)13 (2) (3) 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题及反比例函数的性质． （1）设点P的坐标为，由点P在正比例函数的图象上可求出m的值，进而得出P点坐标，再根据点P在反比例函数的图象上，所以，解得； （2）由于在反比例函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，故，求出k的取值范围即可； （3）反比例函数图象的一支位于第二象限，故在该函数图象的每一支上，y随x的增大而增大，所以与点在该函数的第二象限的图象上，且，故可知． 【详解】（1）解：由题意，设点P的坐标为， ∵点P在正比例函数的图象上， ∴，即． ∴点P的坐标为． ∵点P在反比例函数的图象上， ∴， 解得． （2）解：∵在反比例函数图象的每一支上，y随x的增大而减小， ∴，解得． （3）解：∵反比例函数图象的一支位于第二象限， ∴在该函数图象的每一支上，y随x的增大而增大． ∵与点在该函数的第二象限的图象上，且， ∴ 故答案为： 类型七、反比例函数的函数值的取值范围 19．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知反比例函数的图像经过点． (1)请判断点是否在此反比例函数图像上，并说明理由； (2)已知点和点是反比例函数图像上的两点． ①若点C和点D关于原点中心对称，求的值； ②若，，求时，y的取值范围． 【答案】(1)点在此反比例函数图像上，理由见解析 (2)①；②或 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数的图像与性质、关于原点中心对称的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解答的关键． （1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，然后将点B坐标代入即可判断； （2）①根据题意，，，，代入所求式子中求解即可； ②先根据反比例函数的性质得到反比例函数的图像在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，再根据已知推导出，进而得到，，则，根据反比例函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：点在此反比例函数图像上， 理由：∵反比例函数的图像经过点， ∴，则， 当时，， ∴点在此反比例函数图像上； （2）解：①∵点和点是反比例函数图像上的两点，且点C和点D关于原点中心对称， ∴，，， ∴ ； ②∵， ∴反比例函数的图像在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，又当时，， ∴当时，y的取值范围为或． 20．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，求反比例函数的的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，解题关键是掌握反比例函数的图象与性质，反比例函数，当时，图象经过一、三象限，并在每个象限内y随x的增大而减小，当时，图象经过二、四象限，并在每个象限内y随x的增大而增大． （1）将点代入，求出，将点代入即可求出反比例函数表达式； （2）直接根据反比例函数的图象性质计算即可得出结论． 【详解】（1）解：将点代入， ∴， ∴点坐标为， 将点代入， ∴， ∴反比例函数为； （2）解：∵， ∴反比例函数图象在一、三象限，并在每个象限内y随x的增大而减小， 当时，反比例函数图象在第三象限， ∴时，最大，当时， 最小， ∴当时，的取值范围是． 21．（23-24九年级上·山东济南·阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中，作出函数的图象，并根据图象回答下列问题： (1)当时，求的值； (2)当时，求的取值范围； (3)当，且时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将代入，即可求解； （2）根据函数图象，直接可得结论； （3）根据函数图象，直接可得结论； 【详解】（1）解：当时， （2）如图所示，当时， （3）当，且时，或 【点睛】此题主要考查了画反比例函数图象，以及根据图象解不等式，关键是正确画出图象，能从图象中得到正确信息． 类型八、反比例函数与一次函数、二次函数之间的图象的判断 22．（24-25九年级上·湖南岳阳·开学考试）函数与在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】直线与y轴交于点，可否定A，D选项； 再根据k的取值符号是否一致（时，直线与双曲线都经过第一、三象限；时，直线与双曲线都经过第二、四象限）可以否定C， 故选：B． 23．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）二次函数（是常数）的图象如图，则双曲线和直线的位置可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数、反比例函数的图象与性质，由二次函数的图象可得，，，据此判断一次函数和反比例函数的图象即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，与轴交点在负半轴，对称轴在轴左边， ∴，，， ∴， ∴直线过一、二、四象限， 当时， ∴双曲线过二、四象限， ∴双曲线和直线的位置都符合条件的只有D选项， 故选：D． 24．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知抛物线（a，b均不为0）与双曲线的图象相交于，，三点．则满足不等式的解为（   ） A．或 B．或或 C．或 D．或或 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质．根据题意并结合图象可直接写出不等式的解集． 【详解】解：根据图象并结合已知条件可知不等式的解集为：或． 故选：C． 类型九、反比例函数的对称性问题 25．（21-22八年级下·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过点，，则下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则、关于原点对称 D．若，，则 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数的性质是解题的关键．据此进行判断即可． 【详解】解：A．∵，即与异号， ∴点，在第一、三象限或第二、四象限， ∴，原说法正确，故此选项符合题意； B．∵， ∴，或，， ∴，则或，则， ∴反比例函数的图像在第一、三象限， ∴，原说法错误，故此选项符合题意； C．∵， ∴， ∴， ∴， ∴、关于原点对称，原说法正确，故此选项不符合题意； D．若，则反比例函数的图像在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∴当时，，原说法正确，故此选项不符合题意． 故选：B． 26．（2024·安徽滁州·一模）在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，已知点A的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性．反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【详解】解：由题意可知点与关于原点对称，点A的坐标为， 点的坐标为． 故选：． 27．（23-24九年级上·湖南永州·期末）我们知道函数的图象可以由反比例函数的图象左右平移得到，下列关于的图象的性质： ①的图象可以由的图象向右平移3个单位长度得到； ②的图象关于点对称； ③的图象关于直线对称； ④若，根据图象可知，的解集是． 其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．①②④ 【答案】B 【分析】①由平移变函数关系式的规律“左加右减”，即可判断；②由的图象关于对称，即可判断；③由的图象关于直线对称，即可判断；④画出图象，结合图象，即可求解． 【详解】解：①的图象可以由的图象向左平移3个单位长度得到，结论错误； ② 的图象关于对称，当时，， 的图象关于点对称；结论正确； ③ 的图象关于直线对称，的图象关于直线对称；结论正确； ④如图， 根据图象可知，的解集是；结论错误； 正确的有②③； 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，平移的性质，反比例函数图象与几何变换，掌握性质，数形结合是解题的关键． 类型十、根据反比例函数的k值求面积 28．（19-20九年级·山东枣庄·自主招生）如图，点E，F在函数的图象上，直线分别与轴、轴交于点A、B，且，则的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义、相似三角形的判定与性质；掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的比例系数的几何意义，证明三角形相似是解决问题的关键．证明，利用相似比可得，设E点坐标为，则F点的坐标为，由于，得到，然后根据梯形面积公式计算即可． 【详解】解：作轴于P，轴于C，轴于D，轴于H，如图所示： ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴，即， 设E点坐标为，则F点的坐标为， ∴ ∵， 而， ∴． 故选：C． 29．（2024九年级上·全国·专题练习）下列图形中，阴影部分面积为1的有（   ） 个． 　　　　　 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，一般的，从反比例函数（k为常数，）图象上任一点P，向x轴和y轴作垂线，以点P及点P的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数，以点P及点P的一个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于．据此逐项分析即可． 【详解】解：左起第一个图．阴影部分面积为 此选项符合题意； 第二个图．阴影部分的面积为 此选项符合题意； 第三个图．阴影部分的面积为 此选项不符合题意； 第四个图．阴影部分的面积为 ，此选项符合题意； 所以正确的个数共有3个． 故选：B． 30．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，平面直角坐标系中，在反比例函数的图象上取点A，连接，与的图象交于点B，过点B作轴交函数的图象于点C，过点C作轴交函数的图象于点E，连接，，，与交于点F，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点的坐标为则求出，，的坐标，从而得出，的长度，得出直线，直线的解析式，进而求出直线的解析式，然后求出点的坐标，将直线的解析式与反比例函数联立方程组，求出点的坐标，从而计算，，即可计算出比值． 【详解】解：设的坐标为， 由轴，可知点，点的横坐标相等， 则点的坐标为，的坐标为 ∴，， 设直线的解析式为，将点，代入得， 所以直线的解析式为①， 设直线的解析式为，将点代入得， 所以直线的解析式为③， 设直线的坐标为，将，的坐标代入得， ，解得 , ∴， 联立①②，得，解得：， ， 将③与联立得，， 解得：，，则， 所以 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合运用，以及求三角形的面积，解题的关键是通过假设未知数表示点的坐标，再将点的坐标代入解析式当中，联立方程组，求出其它一些相关点的坐标，再求出一些相关的线段的长度，根据三角形的面积公式求面积，再计算比值． 类型十一、根据反比例函数的面积求参数 31．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数与相交于点，与相交于点，若，且的面积是12，则的值为 （         ）．    A．10 B．8 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的的值，解题的关键是根据进行计算． 设点的坐标为，由可得，从而可得，根据，即可得到，从而即可得到答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 设点的坐标为， ， ∴， 点，在反比例函数的图象上， ， ∴， ， ， ， 故选：C． 32．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接，若的面积是，则的值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数的图象，连接，设与轴交点为，得到，再利用反比例函数系数的几何意义，得到，，然后根据列方程求出的值，再结合函数图象即可得到答案，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设与轴交点为， ∵轴， ∴轴，， ∵点在双曲线上，点在双曲线上， ∴，， ∴， 解得， ∵双曲线分布在二、四象限， ∴， ∴， 故选：． 33．（20-21九年级下·重庆渝中·开学考试）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，点在第一象限，点在轴正半轴上，连接交反比例函数图象于点，为的平分线，过点作的垂线，垂足为，连接，若，的面积为8，则的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】连接，，过点作轴，过点作轴，过点作，如图所示，由经过原点，则与关于原点对称，再由，为的平分线，可得，进而可得；设点，由已知条件，，可得，则点，证明，得到，所以，即可求解． 【详解】解：连接，，过点作轴，过点作轴，过点作，如图所示： 过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点， 与关于原点对称， 是的中点， ， ， ， 为的平分线， ， ， ， ，， ， 设点， ，， ， ， ，， ， ， ， ，解得， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的意义，涉及反比例函数图象与性质、点的对称性质、角平分线定义、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积及梯形面积等知识，借助直角三角形和角平分线，将的面积转化为的面积是解题的关键． 类型十二、反比例函数的图象问题 34．（23-24八年级下·湖北荆州·期末）在同一坐标系中画两个函数的图象，并回答相关问题：    (1)画出函数的图象； ①由分式有意义可知，函数中自变量x取除_______以外的全体实数，可列如下表，请你填剩余的空． x 1 1.5 2 3 4 6 y 6 4 3 2 1.5 1 ②在坐标系中描点、连线，画函数的大致图象（描上表中剩余的点并连线）． (2)画出函数的图象； (3)当取x何值时，对于其中x的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)或． 【分析】本题考查了画反比例函数图象以及一次函数与反比例函数交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据图象性质以及列表数值，先描点再连线，即可作答． （2）根据图象性质以及列表数值，先描点再连线，即可作答． （3）观察（2）的图象，易得两个函数交于点，运用数形结合思想得x的取值范围为或． 【详解】（1）解：①由分式有意义可知，函数中自变量x取除0以外的全体实数，可列如下表，请你填剩余的空． x 1 1.5 2 3 4 6 y 6 4 3 2 1.5 1 ②在坐标系中描点、连线，画函数的大致图象，如图所示：    （2）解：关于函数，先列表： x 1 2 4 y 3 6 如图所示：    （3）解：由（2）得出，两个函数交于点，当函数的值大于函数的值，则x的取值范围为或． 35．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）已知反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点． (1)求这个反比例函数的表达式并在图中画出该函数图象的另一支； (2)填空：当且时，自变量的取值范围是____________； (3)填空：当时，自变量的取值范围是__________． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质 （1）待定系数法求得，进而根据描点法画出另一支函数图象； （2）当时，，观察函数图象，即可求解； （3）先计算，得出一次函数与的两个交点，进而根据函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：将代入， 解得：， ∴， 当时，；当时，；当时，；当时，； 画出该函数图象的另一支如图所示， （2）解：当时，， 根据函数图象可得当且时，自变量的取值范围是或， 故答案为：或． （3）解：方程的解，即一次函数与的两个交点的横坐标， 解得：， 结合函数图象可得，当时， 自变量的取值范围是或， 故答案为：或． 36．（2024·贵州黔南·模拟预测）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的解析式； (2)在如图的平面直角坐标系中分别画出函数和的图象，并直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)或，图见解析 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握待定系数法确定解析式，灵活运用数形结合思想确定不等式的解集是解题的关键． （1）先根据的图象经过点，得到，即可得到解析式． （2）联立函数和，确定交点横坐标分别为，，根据图象，即可得到关于的不等式的解集． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的解析式为． （2）函数和的图象如下： 由题意，联立， 解得，， 结合图象可知关于的不等式的解集为：或． 类型十三、类似反比例函数的图象拓展问题 37．（24-25九年级上·陕西西安·期中）小欣学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其研究过程如下： (1)绘制函数图象． ①列表：下表是x与y的几组对应值，其中 ； … 0 1 2 … … 3 2 … ②描点：根据表中的数值描点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整． (2)探究函数性质． ①自变量x的取值范围： ； ②描述图像的增减性： ； ③函数图象的对称中心为： ． (3)已知一次函数与相交于点，结合图象直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)①1；②见解析；③见解析 (2)①；②每一个分支上的函数值y随x的增大而减小；③； (3)或 【分析】本题考查函数的图形及性质． （1）①根据分式有意义的条件解答，即可；②③根据表格画出函数图象，即可； （2）①直接根据图象，数形结合即可判断；②直接根据图象，数形结合即可判断；③直接根据图象，数形结合即可判断； （3）画出一次函数的图象，直接观察图象，即可求解． 【详解】（1）解：①当时，； ②根据表中的数值描出个各点，如下： ③如图，画出函数图象，如下： （2）解：①根据题意得：， ∴， 即自变量x的取值范围：； 故答案为：； ②描述图像的增减性：每一个分支上的函数值y随x的增大而减小； 故答案为：每一个分支上的函数值y随x的增大而减小； ③函数图象的对称中心为：； 故答案为：； （3）解：如图， 观察图象得：当或时，一次函数的图象位于函数的图象的上方， ∴关于x的不等式的解集为或． 38．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）参照学习的一次函数与反比例函数图象与性质的过程与方法，探究函数的图象与性质．使用“描点法”作出函数的图象． 列表：恰当地选取自变量的几个值，计算对应的值． … 0 2 3 4 … … 0 4 3 2 … 描点：以表中各对的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，如图．请将图中直线两侧的各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来并回答下列问题： (1)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当时，随的增大而________．（填写“增大”或“减小”） ②函数的图象关于点________中心对称．（填写点的坐标） ③小明发现，函数的图象是双曲线，他觉得函数的图象是由一个反比例函数的图象经过平移得来的，并进行了如下变形：，请试着在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象，并观察得出函数的图象是由函数的图象经过怎样的平移变换得到的：_____________． (2)我们将第（1）题③中小明的变形过程称为“分离常数”，请利用“分离常数”的方法，求出函数图象上，横坐标、纵坐标均为整数的点的坐标． (3)若直线与函数的图象相交于两点，的横坐标是，的纵坐标是，则__________． 【答案】(1)图见解析，①减小；②；③向右、向上各平移1个单位； (2)； (3)． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握反比例函数图象的性质，正确利用“分离常数”的方法把函数变形以及把点A的坐标带入变形后的函数解析式是解题的关键． （1）连线画出图象，①观察函数图象即可求解；②观察函数图象即可求解；③观察函数图象即可求解； （2）利用“分离常数”的方法，求出x，的整数值，即可． （3）直线与函数的图象相交于A、B两点，A的横坐标是m，B的纵坐标是n，则，A、B关于点成中心对称，把代入，得到，即可求解； 【详解】（1）解：图象如下： 观察图象可得： ①当时，y随x的增大而减小； 故答案为：减小； ②函数的图象关于点中心对称； 故答案为：； ③列表如下： … 1 2 3 … … 1 … 画出的图象如图所示， 观察得出函数的图象是由函数的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到； 故答案为：向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到； （2）， ∵均为整数， ∴， ∴ ∴， ∴横坐标、纵坐标均为整数的点的坐标为． （3）由直线可知直线经过点， ∵直线与函数的图象相交于A、B两点，A的横坐标是m，B的纵坐标是n， ∴A、B关于点成中心对称，点A的纵坐标为， 由可知，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 39．（23-24九年级上·河南新乡·期中）某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，下面是该小组的探究过程，请补充完整． (1)下表是x与y的几组对应值： x … 1 2 3 4 5 6 … y … 4 1 m n 1 … 其中，______，______； (2)根据上表数据，描出以各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的部分图象； (3)结合函数图象，写出函数的一条性质：______； (4)根据函数的图象与性质，若方程有2个实数根，则a的取值范围是______； 【答案】(1)0， (2)见解析 (3)时，随的增大而增大 (4) 【分析】本题考查了函数的图象和性质，正确的识别图象是解题的关键． （1）分别把和代入即可得到、的值； （2）根据表格数据描点连线绘制函数图象即可； （3）根据函数图象指出函数性质即可； （4）观察函数图象即可求解． 【详解】（1）当时，，即， 当时，，即， 故答案为：0，； （2）根据表格数据描点连线绘制函数图象如下所示： （3）时，随的增大而增大； 故答案为：时，随的增大而增大； （4）由函数图象知：方程有2个实数根， 的取值范围是． 故答案为：． 类型十四、反比例函数的图象与性质 40．（2024·天津红桥·一模）已知在反比例函数 (m为常数， 且 的图象上． (1)求m的值，并判断该反比例函数的图象所在的象限； (2)判断点， 是否在该反比例函数的图象上，并说明理由； (3)若Q为x轴上一点，且，求的面积． 【答案】(1)，该反比例函数的图象在第一、 三象限 (2)点A，C在这个函数的图象上，点B不在这个函数的图象上，理由见解析 (3)6 【分析】（1）由点在该反比例数的图象上， 可得，可求，由，判断反比例函数的图象所在的象限即可； （2）由（1）可知，该反比例函数的解析式为，然后将3个点坐标代入判断即可； （3）由Q为x轴上一点，且，可知是等腰三角形，且点Q的坐标为，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵ 点在该反比例数的图象上， ∴， 解得． ∵， ∴该反比例函数的图象在第一、 三象限． （2）解：由（1）可知，该反比例函数的解析式为， 当时，； 当时，； 当时，； ∴点A，C在这个函数的图象上，点B不在这个函数的图象上． （3）解：∵Q为x轴上一点，且， ∴是等腰三角形，且点Q的坐标为， ∴， ∴的面积为6． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式，反比例函数的性质，等腰三角形的判定，坐标与图形等知识．熟练掌握反比例函数解析式，反比例函数的性质，等腰三角形的判定，坐标与图形是解题的关键． 41．（23-24九年级上·天津南开·期末）已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，. (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)填空： ①直接写出不等式的解集______； ②点，，都在反比例函数的图象上，若，比较，，的大小（用号连接），其结果是______. 【答案】(1)， (2)①或；② 【分析】（1）先根据点A的坐标求出反比例函数的解析式，然后求出点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）①根据函数图象求出不等式的解集即可； ②根据反比例函数增减性比较反比例函数值的大小即可． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴反比例函数解析式为； 把代入得：， ∴， 把，代入得： ， 解得：， ∴一次函数解析式为； （2）解：①如图，当或时，一次函数在反比例函数的上面， ∴的解集为或； 故答案为：或； ②∵点，，都在反比例函数的图象上，且， ∴，，， ∵， ∴在每个象限内，y随x的增大而增大， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，求一次函数解析式，求反比例函数解析，比较反比例函数值的大小，解题的关键是熟练掌握待定系数法，数形结合． 42．（2023·广东潮州·一模）已知反比例函数（为常数，）． (1)其图象与正比例函数的图象的一个交点为，若点的纵坐标是2，的值； (2)若在其图象的每一支上，随的增大而减小，求的取值范围； (3)若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点，当时，试比较与的大小． (4)在第（1）小题的条件下，在轴上求点，使是等腰三角形． 【答案】(1) (2) (3) (4)点的坐标为或或或 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数的性质、等腰三角形的定义，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． （1）设点的坐标为，根据点在正比例函数的图象上可得，进而得出点的坐标，再将的坐标代入，进行计算即可得出答案； （2）由于在反比例函数图象的每一支上，随的增大而减小可得，即可得解； （3）由反比例函数图象的一支位于第二象限，可得在该函数图象的每一支上，随的增大而增大，由此即可得解； （4）根据等腰三角形的定义分情况讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意，设点的坐标为， ∵点在正比例函数的图象上， ，即， ∴点的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ， 解得：； （2）解：∵在反比例函数图象的每一支上，随的增大而减小， ， 解得； （3）解：∵反比例函数图象的一支位于第二象限， ∴在该函数图象的每一支上，随的增大而增大， ∵点与点在该函数的第二象限的图象上，且， ； （4）解：由（1）知，， ， 当时，是等腰三角形， ，， 当时，点在的垂直平分线上， 此时，， 当时，， ， 综上所述，点的坐标为或或或． 类型十五、反比例函数与一次函数问题 43．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，已知直线与x轴、y轴分别相交于点P和点Q，与反比例函数的图象相交于、两点，连接． (1)试确定一次函数与反比例函数的表达式； (2)求； (3)结合图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)；； (2) (3)或． 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数与反比例函数解析式、坐标系中求三角形面积、利用一次函数与反比例图像之间的位置关系直接写出不等式的解集等，解题的关键是数形结合思想的综合运用． （1）将B点坐标代入函数可确定的值，于是确定了反比例函数的解析式；再将A的坐标代入反比例函数的解析式可求得m的值，然后将点A、点B的坐标代入一次函数的解析式，求解方程组可得到与b的值，于是确定了一次函数的解析式． （2）对于一次函数的解析式，分别令，可求得点P与点Q的的坐标，于是与的长可知，结合点A的纵坐标与点B的横坐标可求得与的面积，于是可求得面积之比． （3）观察函数的图像并结合不等式可知，一次函数的图像位于反比例函数图像的上方，于是可写出不等式的解集． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ，， 反比例函数表达式为； 点在反比例函数的图象上， ， ， ， 点，点在直线上， ； 解得， 一次函数表达式为； （2）当时，，， 点坐标为， 当时，， 点坐标为， ，， ； （3）由图象知不等式的解集是或． 44．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)若点P是y轴上一动点，连接，．当的值最小时，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题； （1）依据题意，由，在反比例函数上，可得的值，进而求出反比例函数，再将代入求出的坐标，最后利用待定系数法求出一次函数的解析式； （2）依据题意，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的最小值等于的长，结合，与关于轴对称，故为，，又，可得直线为，再令，则，进而可以得解． 【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 又∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 设一次函数的表达式为，将，代入， 得， 解得 ∴一次函数的表达式为； （2）解：如解图， 作点M关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则的最小值等于的长， ∵与关于y轴对称， ∴， 又∵， ∴直线的表达式为． 令，得， ∴当的值最小时，点P的坐标为． 45．（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图， 反比例函数 的图象与一次函数的图象交于C、E两点． 且一次函数图象交y轴于点A． (1)求C、E点的坐标； (2)求的面积； (3)点M在x轴上移动，是否存在点M使为等腰三角形？ 若存在，请你求出所有满足条件的M点的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或或， 【分析】本题考查反比例函数图象与性质、一次函数的应用、勾股定理、等腰三角形性质等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． （1）联立反比例函数与一次函数求解方程组即可； （2））先求出点坐标，根据计算即可． （3）设，，，，分三种情形①当时，②当时，②当时，分别列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数 的图象与一次函数的图象交于C、E两点， ∴联立，整理得， 解得， ∴或， 经检验或都是方程组的解， ∴，； （2）解：一次函数的解析式为与轴交于点 ． （3）解：如图，， ， 设， ∴，，， ①当时，，，解得， 此时． ②当时，，，解得，此时，． ②当时，则有，解得，此时． 综上所述，点坐标为或或或． 类型十六、反比例函数与实际问题 46．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）为预防流感，某学校对教室采用药熏消毒．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量（单位：）与燃烧时间（单位：min）成正比例；燃烧后，与成反比例（如图所示）．现测得药物1燃烧完毕，此时教室内每立方米空气含药量为．根据以上信息解答下列问题： (1)分别求出药物燃烧时；药物燃烧后，关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (2)研究表明，当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒害作用，那么从药物燃烧完毕开始计时，至少需要经过多长时间，学生才可以返回教室？ 【答案】(1)药物燃烧时；，药物燃烧后 (2)至少需要分钟后学生才能回教室 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的实际应用； （1）设，将点代入函数解析式求出即可；设，将点代入函数解析式求出即可； （2）令，解出即可． 【详解】（1）解：设， ∵函数经过点， ∴，， ∴； 根据函数图象可得 ∴药物燃烧时；， 设， ∵函数经过点， ∴，， ∴； 根据函数图象可得   ∴药物燃烧后； （2）令，则，， 答：至少需要分钟后学生才能回教室． 47．（2024九年级上·北京·专题练习）某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y个之间有如下关系： x （元） 3 4 5 6 y （个） 20 15 12 10 (1)请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、反比例函数和其它函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式； (2)设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出W（元）与x（元）之间的函数关系式．若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？ 【答案】(1)； (2)当日销售单价x定为10元时，才能获得最大日销售利润 【分析】本题考查了反比例函数的定义，两个变量的积是定值，也考查了根据实际问题和反比例函数的关系式求最大值，属于中等难度的题，解答此类题目的关键是仔细理解题意． （1）要确定y与x之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现x与y的乘积是相同的，都是60，所以可知y与x成反比例，用待定系数法求解即可； （2）首先要知道纯利润=（销售单价日销售数量y，这样就可以确定W与x的函数关系式，然后根据题目的售价最高不超过10元/张，就可以求出获得最大日销售利润时的日销售单价x． 【详解】（1）解：反比例函数能表示其变化规律．因为表中每对x、y的值的乘积均为60，是一个定值．其解析式为； （2）∵， 又∵， ∴当，W最大， 故当日销售单价x定为10元时，才能获得最大日销售利润． 48．（24-25九年级上·广西来宾·阶段练习）在一次物理实验中，小林同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图1，假设灯泡的电阻不随温度的变化而变化），已知串联电路中，电流与电阻、之间关系为，通过实验得出如下数据（表格数据不完整）： … 2 4 6 … … 4 3 … (1)__________，__________； (2)根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是___________． (3)请结合函数图象分析，当时，的解集为__________． 【答案】(1)1，2 (2)①见详解；②不断减小 (3)或 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是：画出函数图象，应用数形结合的思想． （1）由已知列出方程，即可求解， （2）①用描点法，画出图象； ②根据表格里函数的图象性质，即可求解， （3）作函数的图象，根据图象，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， 故答案为：1，2， （2）解：①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中函数的图象如图1： ②由图象可知随着自变量x的不断增大，函数值y的不断减小， 故答案为：不断减小； （3）解：作函数的图象，如图2， 由函数图象可知， 当或时，， 即当时，的解集为：或， 故答案为：或． 类型十七、反比例函数与新定义材料探究问题 49．（2023·江苏南通·一模）定义：在平面直角坐标系中，对于点与某函数图像上的一点，若，则称点为点在该函数图像上的“直差点”． (1)已知点，求点在函数图像上“直差点”的坐标； (2)若点在函数的图像上恰好存在唯一的“直差点”，求的值； (3)若点在函数的图像上有且只有个“直差点”，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设点在函数图像上“直差点”的坐标为，可得：，即可解得答案； （2）设点在函数的图像上的“直差点”为，可得，，由，即，得的值为； （3）设点在函数的图像上的“直差点”为，得，根据点在函数的图像上有且只有个“直差点”，知的图像与的图像有且只有个交点，画出函数图像，可得的范围是． 【详解】（1）解：设点在函数图像上“直差点”的坐标为， 根据“直差点”定义可得：， 解得， 点在函数图像上“直差点”的坐标为； （2）设点在函数的图像上的“直差点”为， ， 整理得：， 点在函数的图像上恰好存在唯一的“直差点”， ，即， 解得：舍去或， 的值为； （3）设点在函数的图像上的“直差点”为， ， ， 点在函数的图像上有且只有个“直差点”， 的图像与的图像有且只有个交点， 在中，令得或， 的图像与轴交点坐标为，， 如图：    把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 由图像可知，点在函数的图像上有且只有个“直差点”， 的取值范围是． 【点睛】本题考查一次函数，反比例函数，二次函数图像上点坐标的特征，解题的关键是读懂题意，理解“直差点”的定义． 类型十七、反比例函数与新定义材料探究问题 50．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）定义：平面直角坐标系中，点，点，若，，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”． 例如，点是点的“级变换点” (1)函数的图象上是否存在点的“级变换点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (2)动点与其“级变换点”分别在直线，上，在，上分别取点，．若，求证：； (3)关于的二次函数的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，求的取值范围． 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2)证明见解析 (3)且 【分析】对于（1），根据定义解答即可； 对于（2），先求出两直线的关系式，再将代入关系式，讨论得出结论； 对于（3），由定义可知“1级变换点”都在函数的图象上，再将两个函数关系式联立，根据图像有交点求出，进而确定两个图象的交点为，然后分和两种情况讨论，即可得出答案． 【详解】（1）不存在，理由如下： 根据定义可知的k级变换点为， 将点代入函数，得， 无解，所以不存在； （2）点的“k级变换点”为， ∴直线和直线的关系式为，， 当时，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）二次函数的图象的点的“1级变换点”都在函数的图象上， 即， 整理，得， ， 函数的图象和直线有公共点， 由的公共点是． 当时，，得， 又， 解得， ∴且； 当，时，两个图象仅有一个公共点，不合题意，舍去． 所以n的取值范围是且． 【点睛】本题主要考查了新定义的理解，反比例函数的性质，求一次函数的关系式，二次函数图象和性质，理解“k级变换点”是解题的关键． 51．（23-24九年级上·湖南郴州·阶段练习）阅读理解 定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”． 例如，求函数的图象的“等值点”P的坐标． 解：在中，令，得， 所以，函数的图象的“等值点”P的坐标为． (1)函数的图象的“等值点”的坐标是______； (2)函数的图象的“等值点”的坐标是______； (3)是否存在这样的函数：函数图象上任意一点都是这个函数图象的“等值点”．若存在，请举出一个这样的函数（写出函数表达式即可）；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，例如 【分析】本题考查了新定义下一次函数、反比例函数点坐标的特征，解一元一次方程，解一元二次方程． （1）令，求解方程即可； （2）令，求解方程即可； （3）根据“等值点”的定义列举即可． 【详解】（1）解：令， 解得：， 故答案为：； （2）解：令，即， 解得：， 故答案为：，； （3）解：存在， ， 不管x取任何值，都有， 函数图象上任意一点都是这个函数图象的“等值点”． 类型十八、反比例函数与几何压轴问题 52．（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点． (1)求反比例函数的关系式； (2)求将正方形沿轴向左平移多少个单位长度时，点恰好落在反比例函数的图象上； (3)若点是线段上一动点，点是线段上一动点，是否存在直线将的周长和面积同时平分？若存在这样的直线，则求出线段的长；若不存在这样的直线，请说明理由． 【答案】(1) (2)向左平移1个单位长度 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）作轴于E，由正方形的性质可得，由等角的余角相等可得，可证明，可得到，从而可得出点D的坐标，即可得到k的值． （2）过点C作轴于点F，同（1）可得，故，故可得出C点坐标，把C点纵坐标代入反比例函数的解析式求出M点坐标，再把C、M两点的横坐标相减即可得出结论． （3）设，即，勾股定理求出，得到的周长，的面积，由直线将的周长和面积同时平分，得到，求出m，n，根据得到不存在直线将的周长和面积同时平分的结论． 【详解】（1）解：如图，作轴于E， ， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的关系式为； （2）解：如图2，过点C作轴于点F，交双曲线于点M， 同（1）可得， ∴， ∴， ∵在反比例函数中，当时，， ∴， ∵， ∴将正方形沿x轴向左平移1个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上． （3）解：不存在， 设，即， 在中，， ∴, ∴的周长，的面积， ∵直线将的周长和面积同时平分， ∴ ∴ 整理得 解得 当时，， 当时，， ∵ ∴不存在直线将的周长和面积同时平分． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到正方形的性质及全等三角形的判定与性质，解一元二次方程，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、反比例函数的特征，添加适当的辅助线，是解题的关键． 53．（2023·贵州六盘水·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，已知点的纵坐标是2． (1)求反比例函数的表达式； (2)将直线向上平移后与轴交于点，与反比例函数在第二象限内的图象交于点．若的面积为36，求平移后的直线表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解题的关键． （1）利用求出点的坐标为，将点代入反比例函数中求出即可； （2）连接、，设平移后的解析式为，根据平移的性质得到，列得，求出b即可得到函数解析式． 【详解】（1）解：点在直线上，且点的纵坐标是2， ，解得， 即点的坐标为． 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为． （2）解：连接，如图． 联立， 解得或， ． 设平移后的直线表达式为． 该直线平行于直线， ， ， ， ， 平移后的直线表达式为． 54．（21-22九年级·江苏苏州·自主招生）阅读材料： 对于正数a、b，有，所以，即（当且仅当时取“=”）．特别地：（当且仅当时取“=”）． 因此，当时，有最小值2，此时． 简单应用： （1）函数的最大值为______． （2）求函数，当______时，最小值为______． 解决问题： （3）已知是反比例函数图象上的点，Q是双曲线在第四象限这一分支上的动点，过点Q作直线，使其与双曲线只有一个公共点，且与x轴、y轴分别交于点A、B．另一直线与x轴、y轴分别交于点C、D，求四边形面积的最小值． 【答案】（2）；（2）；（3）48 【分析】（1）求得，进而求得结果； （2）变形，进一步求得结果； （3）设点，求出的解析式和反比例函数的解析式，进而联立得出一元二次方程，由根的判别式为0，求得的关系，进而表示出四边形的面积，进一步得出结果． 【详解】解：（1）∵， ， 故答案为：； （2）， 当时， 即：当时，， 故答案为：； （3）把代入得， ， ， 设点， ∴直线的解析式为：， 由得，， ∵直线与双曲线只有一个公共点， ， ， 由得：， ， ∴， ∴当，即：时，四边形的面积最小值为：48． 【点睛】本题以阅读题方式给出一个基本不等式，考查了求反比例函数的解析式，一次函数的解析式，一元二次方程根的判别式，解方程等知识，解决问题的关键是设点的坐标，转化为一元二方程的有关问题． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$