26.4反比例函数与一次函数的综合常考题专练（分层培优提升）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（人教版）

26.4反比例函数与一次函数的综合常考题专练（分层培优提升） 一、解答题 1．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）一次函数和反比例函数的图象的相交于，与x轴交于点C，连接． (1)求反比例函数的表达式． (2)求的面积． 2．（22-23九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，直线与坐标轴交于点、，与双曲线交于、两点．并且． (1)填空：点的坐标为　　，点的坐标为 　　； (2)求反比例函数的解析式； (3)当时，根据图象直接写出此条件下的的取值范围 　　． 3．（2022·北京海淀·三模）在平面直角坐标系中，一次函数经过点，，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)①当双曲线经过点时，求的值； ②当时，对于的每一个值，永远有成立，直接写出的取值范围． 4．（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图，直线与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点，点的纵坐标为6，点的坐标为． (1)求直线和反比例函数的解析式； (2)求点的坐标，并结合图象直接写出时的取值范围． 5．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，求反比例函数的的取值范围． 6．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于C，D两点，与x，y轴交于B，A两点，且，，． (1)求一次函数的解析式和反比例函数的解析式； (2)求的面积． 7．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与x 轴交于点C，与y轴交于点D． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，求的面积． 8．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点． (1)求直线和反比例函数的表达式． (2)结合图象，请直接写出不等式的解集． (3)连接，在轴上找一点，使是以为腰的等腰三角形，请求出点的坐标． 9．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）在直角三角形中，，，，点为上一动点，过点作交于点，再过点作交于点，设点的长度为，和的长度之和为，与的长度之比为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 10．（2023·广东清远·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点D，与y轴交于点B，与x轴交于点C． (1)求m的值以及点D坐标； (2)P为x轴上的一动点，的面积6时，求P点坐标． 11．（2024·湖南·二模）如图，函数与的图象交于点，直线与函数的图象分别交于B，C两点．    (1)求a和b的值； (2)求的长度； (3)根据图象写出时x的取值范围（不需说明理由）． 12．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，直线与反比例函数（）的图象交于点，与x轴交于点B，平行于x轴的直线（）交反比例函数的图象于点M，交于点N，连接． (1)求m的值和反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时不等式的解集； (3)直线沿轴方向平移，当n为何值时，的面积最大？最大值是多少？ 13．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，已知反比例函数的图象经过点，过A作轴于点C，经过点C的直线与反比例函数图象交于点B，直线与x轴的负半轴交于点E． (1)如图1，求m的值． (2)如图2，若点C是线段的中点，作轴于点D，求的面积． 14．（22-23九年级上·重庆·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，．    (1)求出一次函数的解析式，并在给出的平面直角坐标系中，画出一次函数图象； (2)连接并延长交双曲线于点，连接，求的面积； (3)当时，直接写出的取值范围． 15．（2023·浙江宁波·模拟预测）定义：函数图象上纵坐标是横坐标的两倍的点，称为该函数的“两倍点”，而纵坐标比横坐标的两倍小的点称为“弱倍点”． (1)判断下列函数图象上是否有两倍点？若有，求两倍点；若无，说明理由． ①；②． (2)如图，反比例函数图象上有一个两倍点的横坐标为3，求它的另一个两倍点的坐标，并结合图象写出图象上弱倍点的横坐标的取值范围． 16．（2024·吉林·三模）如图，点B、是反比例函数图象上的两点，过点B的直线与x轴交于点A，轴，垂足为D，与交于点E，点B的横坐标为6． (1)求k、b的值； (2)求的面积． 17．（22-23九年级上·重庆九龙坡·期末）反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过点A且与反比例函数图象的另一个交点为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式，并在图中画出该一次函数的图象． (2)结合图象，直接写出不等式组的解集． (3)把的图象向下平移4个单位长度，平移后的直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，求三角形的面积 18．（2024·山东临沂·模拟预测）如图所示，直线与双曲线 交 于A 、B两点，已知点A 坐标为，点B的纵坐标，直线与 y 轴交于点D． (1)求直线的解析式和反比例函数解析式； (2)直接写出不等式的解集； (3)若点P是反比例函数图象上的一点，的面积是的面积的2倍，求点P的坐标． 一、解答题 1．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，交双曲线于点，． (1)求双曲线的解析式． (2)已知点是双曲线上一动点，若，求点的坐标． 2．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点 . (1)求反比例函数的表达式； (2)当时.直接写出的取值范围； (3)若点在双曲线上，点在平面上，是否存在点、点，使四边形为矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，已知是一次函数的图像与反比例函数． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？直接写出点P的坐标． 4．（23-24八年级下·四川眉山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知点A的坐标是，点B的纵坐标是． (1)求反比例函数和直线的表达式； (2)根据图象直接写出的解集； (3)将直线沿y轴向上平移后的直线与反比例函数在第一象限内交于点C，如果的面积为30，求平移后的直线的函数表达式． 5．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）如图所示，的顶点A在反比例函数的图象上，直线交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线、，垂足分别为点E、F，且． (1)若点E为线段的中点，求k的值； (2)若为等腰直角三角形，，其面积小于3． ①求证：； ②延长交双曲线第三象限于点D，连接，求三角形的面积． 6．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，延长交反比例函数图象于点C． (1)求一次函数y与反比例函数y的表达式； (2)点Q为y轴上一动点，求当取得最小值时点Q的坐标； (3)点P是x轴上一点，当时，请求出点P的坐标． 7．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与x轴负半轴交于点B，其中点A的坐标为，．        (1)求m，k，b的值； (2)若一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点C，且，求a的值． (3)在（2）的条件下，若x轴上存在点P，使得是等腰三角形，写出P点坐标． 8．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图绳交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点A作轴，垂足为M，，，点B的纵坐标为． (1)求反比例函数表达式和一次函数的解析式； (2)直接写出当时，自变量的取值范围； (3)连接、，求的面积； (4)已知点P为图中双曲线上的一点，而且，请直接写出点P的坐标． 9．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，轴，垂足为C，边与y轴交于点D，，反比例函数的图象经过点A． (1)求直线和反比例函数的表达式； (2)点E是反比例函数的图象上一点，若求点E的坐标． 10．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）学习数学，也要善用现代工具用绘图软件绘制过的双曲线与动直线：，且交于一点，图1为时的视窗情形． (1)当时，求：动直线与双曲线的交点坐标； (2)视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点始终在视窗中心．例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图1中坐标系的单位长度变为原来的，其可视范围就由及变成了及（如图2）．当和时，动直线与双曲线的交点分别是点A和，为能看到双曲线在A和之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的，求：k的取值范围． 11．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过作轴于点，且．    (1)求反比例函数表达式； (2)点是反比例函数图象上的点，在y轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； 12．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，与反比例函数的图象交于点．已知点坐标为，点坐标为． (1)求，，的值； (2)点在线段上，过点且平行于轴的直线交于点，交反比例函数图象于点．当时，求点的坐标． 13．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．    (1)求，的值； (2)直线过点A，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，，连接． ①求的面积； ②利用图象信息，直接写出不等式的解集． ③点在反比例函数的图象上，点在轴上，若以点A，，，为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点坐标． 14．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数与反比例函数的函数表达式； (2)过点作轴，垂足为． ①点在轴正半轴上，且，将直线向下平移个单位长度得到直线，若直线经过点，求的值； ②若直线与轴交于点，连接交轴于，求的长及的面积． 15．（2024·山东淄博·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且． (1)分别求这两个函数的表达式； (2)以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积； (3)根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集． 16．（2024·青海西宁·三模）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，平行于x轴的直线交反比例函数的图象于点M，交于点N，连接． (1)求m的值和反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时不等式的解集； 17．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）如图， 已知直线 与反比例函数 的图象交于 A、 B两点，且点 A 的横坐标为 4．    (1)直接写出反比例函数解析式是 ． (2)直接写出当 时，自变量 x 的取值范围是 ． (3)过原点O的另一条直线l交双曲线于P、 Q两点 （点P在第一象限） ，若由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标． 18．（21-22九年级·江苏苏州·自主招生）阅读材料： 对于正数a、b，有，所以，即（当且仅当时取“=”）．特别地：（当且仅当时取“=”）． 因此，当时，有最小值2，此时． 简单应用： （1）函数的最大值为______． （2）求函数，当______时，最小值为______． 解决问题： （3）已知是反比例函数图象上的点，Q是双曲线在第四象限这一分支上的动点，过点Q作直线，使其与双曲线只有一个公共点，且与x轴、y轴分别交于点A、B．另一直线与x轴、y轴分别交于点C、D，求四边形面积的最小值． ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 26.4反比例函数与一次函数的综合常考题专练（分层培优提升） 一、解答题 1．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）一次函数和反比例函数的图象的相交于，与x轴交于点C，连接．    (1)求反比例函数的表达式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合问题，掌握待定系数法是解题关键． （1）将点代入即可求解； （2）由（1）可得，将、代入可得一次函数的表达式，进而可得的坐标；根据即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴ 解得： ∴反比例函数的表达式为： （2）解：将点代入得：， ∴ 将、代入得： ， 解得：， ∴一次函数的表达式为：， 令，则， ∴ ∴ 2．（22-23九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，直线与坐标轴交于点、，与双曲线交于、两点．并且． (1)填空：点的坐标为　　，点的坐标为 　　； (2)求反比例函数的解析式； (3)当时，根据图象直接写出此条件下的的取值范围 　　． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1 ）分别将、代入一次函数解析式中求出与之对应的、的值，由此即可得出点、的坐标； （2 ）根据结合点、的坐标即可求出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出结论； （3 ）解析式联立成方程组，解方程组求得的坐标，然后根据图象即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 点的坐标为； 当时，有，解得：， 点的坐标为． 故答案为：，； （2）解：，且、、、四点共线， 点是线段的中点， ，， 点的坐标为． 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； （3）解：由解得或， ， 观察图象，当时，的取值范围是或． 故答案为：或． 【点睛】本题是反比例函数和一次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式，在函数中，常利用函数的解析式表示点的坐标，并表示线段的长，从而得出线段的比． 3．（2022·北京海淀·三模）在平面直角坐标系中，一次函数经过点，，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)①当双曲线经过点时，求的值； ②当时，对于的每一个值，永远有成立，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①6；②且 【分析】（1）待定系数法求解析式； （2）①将点坐标代入解析式即可； ②解不等式，时求出的值，即可确定的取值范围． 【详解】（1）解：将点，代入一次函数解析式； 得， 解得， 一次函数解析式：； （2）解：①将点代入反比例函数解析式， 得． ②当时，， ， 满足条件的的取值范围是：且． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求解析式是解决本题的关键． 4．（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图，直线与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点，点的纵坐标为6，点的坐标为． (1)求直线和反比例函数的解析式； (2)求点的坐标，并结合图象直接写出时的取值范围． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了一次函数、反比例函数解析式的求法，一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数与坐标交点问题，理解一次函数和反比例函数的性质是解答关键． （1）将点的坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析，根据点的纵坐标是6，代入反比例函数解析式求出点的坐标，将点，代入一次函数解析式求解； （2）根据点在轴上，先求出点的坐标，再结合图像求出时的取值范围． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 点的纵坐标为6， 将代入得， 点的坐标为． 直线经过点，，    ， 解得 ∴直线的解析式为． （2）解：点在轴上， 由，得， ∴点的坐标为． 由图象可知 当时，的取值范围是． 5．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，求反比例函数的的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，解题关键是掌握反比例函数的图象与性质，反比例函数，当时，图象经过一、三象限，并在每个象限内y随x的增大而减小，当时，图象经过二、四象限，并在每个象限内y随x的增大而增大． （1）将点代入，求出，将点代入即可求出反比例函数表达式； （2）直接根据反比例函数的图象性质计算即可得出结论． 【详解】（1）解：将点代入， ∴， ∴点坐标为， 将点代入， ∴， ∴反比例函数为； （2）解：∵， ∴反比例函数图象在一、三象限，并在每个象限内y随x的增大而减小， 当时，反比例函数图象在第三象限， ∴时，最大，当时， 最小， ∴当时，的取值范围是． 6．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于C，D两点，与x，y轴交于B，A两点，且，，． (1)求一次函数的解析式和反比例函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)8 【分析】这是一道一次函数和反比例函数的综合问题，考查了待定系数法求一次函数（反比例函数）关系式，求反比例函数和一次函数的交点，对于（1），根据，可求，得出点A，B的坐标，再根据待定系数法求出直线的关系式，结合，即点C的横坐标为，将代入直线关系式求出点C的坐标，进而得出反比例函数关系式； 对于（2），先求出点D的坐标，再根据可得答案． 【详解】（1）∵， ∴， ∴点． ∵一次函数经过点A，B， ∴， 解得， ∴一次函数的关系式为． ∵， ∴点C的横坐标为， 将代入，得， ∴点． ∵反比例函数经过点， ∴， 解得， ∴反比例函数的为； （2）将两个函数关系式联立，得 ， 解得， 当时，， ∴点， ∴． 7．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与x 轴交于点C，与y轴交于点D． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，求的面积． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，掌握待定系数法求解解析式是解题关键． （1）过点A作轴于点M，过点B作轴于点N，可得进而得；结合点都在反比例函数的图象上，可得推出．求得点A即可求解； （2）由（1）易得点，设一次函数的解析式为，将A，代入可求得解析式，从而得点，即可求解； 【详解】（1）解：如图，过点A作轴于点M，过点B作轴于点N， 由题意可知，， ． 又∵点都在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 又∵， ∴，即， ∴点A．                 将点A代入得，， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：如图，由（1）易得，点， 设一次函数的解析式为， 将A，代入， 得，解得， ∴一次函数的解析式为， ∴点 ， ∴， ∴． 8．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点． (1)求直线和反比例函数的表达式． (2)结合图象，请直接写出不等式的解集． (3)连接，在轴上找一点，使是以为腰的等腰三角形，请求出点的坐标． 【答案】(1)直线的表达式为；反比例函数的表达式为 (2)不等式的解集是 (3)或或 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的综合应用，综合应用反比例函数和一次函数的知识点是解题关键． （1）将点A和点B的坐标代入直线表达式可得方程组，求解方程组得出参数即可得到直线表达式，将点C的横坐标代入直线表达式可得点C的纵坐标，再将点C坐标代入反比例函数表达式可得方程，求解方程得出参数可得到反比例函数的表达式； （2）根据数形结合的思想通过直线图像和反比例函数图像的位置关系求解不等式的解集即可； （3）先求出，再分情况求出点P坐标即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点和， ∴可得方程组 解得 ∴直线的表达式为． ∵直线与反比例函数的图像交于点， ∴， 解得：， ∴． ∴． ∴． ∴反比例函数的表达式为． （2）求不等式的解集相当于从图像上看x取何值时，反比例函数的图像不低于直线的图像． 所以从图像上看，当时，反比例函数的图像不低于直线的图像． 所以不等式的解集是． （3）∵， ∴． 当时， ∵点P在x轴上， ∴或； 当时， ∵点P在x轴上，且， ∴， ∴综上所述或或． 9．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）在直角三角形中，，，，点为上一动点，过点作交于点，再过点作交于点，设点的长度为，和的长度之和为，与的长度之比为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 【答案】(1)，；，； (2)图见解析；函数的性质：当时，随增大而增大；函数的性质：当时，随增大而减小 (3) 【分析】本题考查了函数的实际应用，涉及了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、函数的解析式和性质等知识点，掌握相关结论即可． （1）由题意得四边形是矩形，可得，；证可得，即可求解； （2）描点画图即可； （3）根据函数的图象在函数的图象上方即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴，； ，； （2）解：描点画图如下： 由图象可知：函数的性质：当时，随增大而增大；函数的性质：当时，随增大而减小 （3）解：由图象可知：当时，函数的图象在函数的图象上方， ∴当时， 10．（2023·广东清远·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点D，与y轴交于点B，与x轴交于点C．        (1)求m的值以及点D坐标； (2)P为x轴上的一动点，的面积6时，求P点坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数构建方程解决问题． （1）把点A的坐标代入一次函数的解析式求出m，联立方程组求 D点坐标； （2）根据题意得出B ，C点的坐标，根据面积6，求得的长，设P点坐标为，故，解得或．进而得出结论． 【详解】（1）解：把点代入，得．     联立， 得． （2）易知，，， 则．     设P点坐标为，故， 解得或．     所以P点坐标为或． 11．（2024·湖南·二模）如图，函数与的图象交于点，直线与函数的图象分别交于B，C两点．    (1)求a和b的值； (2)求的长度； (3)根据图象写出时x的取值范围（不需说明理由）． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查一次函数和反比例函数交点问题，解题的关键是： （1）把代入，可求出b，把代入，可求出a； （2）分别求出B、C的纵坐标，即可求解； （3）根据A的坐标和图象得出即可． 【详解】（1）解：依题意，将代入，得． 点的坐标为． 将代入，得，即． （2）解：由（1）得． 当时，点的纵坐标为4． 当时，点的纵坐标为1． ． （3）解：当时的取值范围是． 12．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，直线与反比例函数（）的图象交于点，与x轴交于点B，平行于x轴的直线（）交反比例函数的图象于点M，交于点N，连接． (1)求m的值和反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时不等式的解集； (3)直线沿轴方向平移，当n为何值时，的面积最大？最大值是多少？ 【答案】(1)m =8，； (2)； (3)，的面积最大，最大值为． 【分析】本题考查反比例函数，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数，解决最值问题，属于中考常考题型． （1）求出点的坐标，利用待定系数法即可解决问题； （2）结合函数图象找到直线在双曲线上方对应的的取值范围； （3）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：∵直线经过点A(1，m)， ， ， 反比例函数经过点， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：∵， ∴由图象得，不等式的解集为； （3）解：由题意得，点M，N的坐标分别为，， ， ，， ， ∵， 时，的面积最大，最大值为． 13．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，已知反比例函数的图象经过点，过A作轴于点C，经过点C的直线与反比例函数图象交于点B，直线与x轴的负半轴交于点E． (1)如图1，求m的值． (2)如图2，若点C是线段的中点，作轴于点D，求的面积． 【答案】(1)8 (2)8 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式以及线段的中点的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出，再得出，最后运用待定系数法求解析式，即可作答． （2）先由点C是线段的中点以及中点，坐标公式得出，代入，得出，然后求出一次函数，得出，最后的面积，即可作答． 【详解】（1）解：∵过A作轴于点C，经过点C的直线 ∴当， 即， ∴， 把代入， ∴， ∴； （2）解：依题意，∵点C是线段的中点，且，点E在轴上， ∴， 即， ∴ 把代入 得 ∴， 把代入， 得， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∵轴， ∴的面积． 14．（22-23九年级上·重庆·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，．    (1)求出一次函数的解析式，并在给出的平面直角坐标系中，画出一次函数图象； (2)连接并延长交双曲线于点，连接，求的面积； (3)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，画图见解析 (2) (3)和 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点，能够利用待定系数法求出一次函数解析式是解决此题的关键． （1）先根据反比例函数计算点的坐标，利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；利用两点式画一次函数的图象； （2）过点作轴，交于，根据可得结论； （3）利用图象即可解答． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， ， ， 一次函数的图象过点和点， ，解得：， 一次函数的解析式为：， 作一次函数的图象如图所示：    （2）解：如图，过点作轴，交于，    利用对称性可得：， 设的解析式为：， ，， ， 解得：， 的解析式为：， 当时，， ， ； （3）解：由图象可知，当时，的取值范围是和． 15．（2023·浙江宁波·模拟预测）定义：函数图象上纵坐标是横坐标的两倍的点，称为该函数的“两倍点”，而纵坐标比横坐标的两倍小的点称为“弱倍点”． (1)判断下列函数图象上是否有两倍点？若有，求两倍点；若无，说明理由． ①；②． (2)如图，反比例函数图象上有一个两倍点的横坐标为3，求它的另一个两倍点的坐标，并结合图象写出图象上弱倍点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)①存在两倍点为；②不存在两倍点，见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题： （1）根据两倍点的定义，即可求解； （2）根据两倍点的定义，可得，再由反比例函数的性质可得直线与反比例函数图象的另一交点是其另一个两倍点，再结合弱倍点的定义，可得反比例函数图象的弱倍点在直线的下方，即可求解． 【详解】（1）解：令． ①， 解得， ，故存在两倍点为． ②， 即， ， 方程无实根，即不存在两倍点． （2）解：点是反比例函数图象上的两倍点，的横坐标为3， ， 如图，直线与反比例函数图象的另一交点是其另一个两倍点； ∵弱倍点应符合，即反比例函数图象的弱倍点在直线的下方， 弱倍点的横坐标的取值范围为或． 16．（2024·吉林·三模）如图，点B、是反比例函数图象上的两点，过点B的直线与x轴交于点A，轴，垂足为D，与交于点E，点B的横坐标为6． (1)求k、b的值； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)2 【分析】本题考查反比例函数、一次函数交点坐标以及待定系数法求函数关系式： （1）代入点C坐标求得反比例函数的关系式，再计算点B的坐标，将点B坐标代入一次函数解析式求解即可； （2）分别求出点A、D和E的坐标，由三角形的面积的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的关系式为； ∵点B的横坐标为6， ∴点B的纵坐标为4，即点， 将代入得：， 则； （2）解：∵，轴， ∴点， 由（1）可得，直线解析式为， 当时，，点， 当时，， ∴点E的坐标为， ∴． 17．（22-23九年级上·重庆九龙坡·期末）反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过点A且与反比例函数图象的另一个交点为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式，并在图中画出该一次函数的图象． (2)结合图象，直接写出不等式组的解集． (3)把的图象向下平移4个单位长度，平移后的直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，求三角形的面积 【答案】(1)，，图象见解析； (2)； (3)6． 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可得到答案，然后作出图象即可； （2）不等式组的解集，数形结合，是指直线图象在反比例函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围； （3）根据函数图象平移，得到直线解析式，求出点C的坐标，再由平面直角坐标系中三角形面积求法求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，， ∴点， 把，代入得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为； 画出函数图象，如下图： （2）解：对于，当时，， 如图， 不等式组的解集为， （3）解：如图，设直线与x轴交于点M，则点M的坐标为， 把的图象向下平移4个单位长度，平移后的直线的解析式为， 联立得： 解得：或， ∴点C的坐标为， ∴， ∴． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、利用函数图象解不等式、平面直角坐标系中求三角形面积等，熟练掌握一次函数与反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 18．（2024·山东临沂·模拟预测）如图所示，直线与双曲线 交 于A 、B两点，已知点A 坐标为，点B的纵坐标，直线与 y 轴交于点D． (1)求直线的解析式和反比例函数解析式； (2)直接写出不等式的解集； (3)若点P是反比例函数图象上的一点，的面积是的面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，掌握待定系数法是解题关键． （1）由点A 在反比例函数上，可求得，进而可得点B坐标为；设直线的解析式为：，根据A 、B即可求解；（2）找到一次函数图象在反比例函数图象下方的部分即可； （3）连接，根据求出，，即可求解； 【详解】（1）解：∵点A 在反比例函数上， ∴， 故：，； ∵点B的纵坐标，点B在反比例函数上， ∴ 故： ∴点B坐标为 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， （2）解：由图象可知：当或时， （3）解：连接，如图所示： 令中，得， 令中，得， ∴， 则， 设点， 则， 解得： ∴ ∴或， 解得：或 ∴或 一、解答题 1．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，交双曲线于点，． (1)求双曲线的解析式． (2)已知点是双曲线上一动点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点H的坐标为或 【分析】本题考查一次函数与反比例函数解析式，反比例函数的性质，反比例函数k系数的几何意义； （1）作轴于H．根据解析式确定，由三角形面积可求，，代入反比例函数解析式求解； （2）作轴于M，轴于E．设．由，可得，于是，根据绝对值性质分情况求解，得H的坐标为或． 【详解】（1）（1）如图1中，作轴于H，连接．    ∵直线与x轴交于点B，与y轴交于点C， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数经过点， ∴， ∴． （2）如图2中，作轴于M，轴于E．设．    ∵， 又∵， ∴， ∴， 当时，整理得，解得或（舍弃）， 当时，整理得，解得或3（舍弃）． 综上所述，满足条件的点H的坐标为或． 2．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点 . (1)求反比例函数的表达式； (2)当时.直接写出的取值范围； (3)若点在双曲线上，点在平面上，是否存在点、点，使四边形为矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合、勾股定理，矩形的性质： （1）将点A代入函数中可得到函数表达式，进而可求得点C的坐标，再将点C的坐标代入反比例函数即可； （2）将一次函数与反比例函数联立方程组，求得交点坐标即可得出结果； （3）过点作交轴于点，勾股定理得出点的坐标，再求出直线的表达式，与反比例函数联立方程组即可． 【详解】（1）解：∵点，在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， 把代入中得到：， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：联立，解得或， ∴一次函数与反比例函数的两个交点坐标分别为， 由函数图像可知，当时，一次函数图像在反比例函数图像上方， ∴当时，； （3）解：存在，理由如下： 如图所示，设直线交y轴于点， ∵四边形为矩形 ∴，则以点A为直角顶点的直角三角形， 由一次函数解析式可得， ∵， ∴，，， 在中， ∴， ∴， 解得：， ∴， 同理可得直线的解析式为， 联立，解得或， 即点P的坐标为， ∴在双曲线上存在点P，使四边形为矩形，此时点P的坐标为． 3．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，已知是一次函数的图像与反比例函数． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？直接写出点P的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或或或． 【分析】（1）先把代入求得m的值即可； （2）把代入反比例函数的解析式求得n，最后把A，B两点代入即可求得一次函数解析式，再利用一次函数的解析式求得点C的坐标，利用即可求解； （3）分四种情况求解：①当点P在x轴上，当时，②当点P在x轴上，当时，③当点P在y轴上时，设点，时，④当点P在y轴上时，当时． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为在反比例函数， ∴， ∴反比例函数的解析式为， （2）解：∵点B的坐标为也在上， ∴， ∵A的坐标为都在一次函数的图像上 ，解得， ∴一次函数的解析式为； ∵如图：直线与x轴交于点C，， ∴， ∴， ∵A的坐标为， ∴ ； （3）解：当点P在x轴上， 设点， ①如图2：若时， ∵A的坐标为， ∴点P的坐标为 如图3，当时， ∴，， ∵是直角三角形， ∴，即， 解得， ∴点P的坐标为； 当点P在y轴上时， 设点， 如图4：若时， ∵A的坐标为， ∴点P的坐标为； 如图5：当时， ∴， ∵是直角三角形， ∴，即， 解得， ∴点P的坐标为； 综上可得点P的坐标为或或或． 【点睛】此题考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的交点，一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，用分类讨论和方程思想解决问题是解本题的关键． 4．（23-24八年级下·四川眉山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知点A的坐标是，点B的纵坐标是． (1)求反比例函数和直线的表达式； (2)根据图象直接写出的解集； (3)将直线沿y轴向上平移后的直线与反比例函数在第一象限内交于点C，如果的面积为30，求平移后的直线的函数表达式． 【答案】(1)反比例函数的表达式为；直线的表达式 (2)或 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换以及三角形的面积． （1）将点代入，求出反比例函数的表达式；可求出B点坐标，再将A，B两点的坐标代入，利用待定系数法求出直线的表达式； （2）找出一次函数落在反比例函数图象上方的部分对应的自变量x的取值范围即可； （3）设直线与x轴交于点E，平移后的直线与x轴交于点D，连接，则， 依据，即可得出的面积与的面积相等，可求得，即可得出平移后的直线的函数表达式． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点A，点A的坐标是， ∴，即， ∴反比例函数的表达式为， ∵反比例函数的图象过点B，B的纵坐标是， ∴时，， ∴． 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为； （2）解：观察图象得：当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方， 所以的解集为或； （3）解：如图，设直线与x轴交于点E，平移后的直线与x轴交于点D，连接，则， ∵， ∴的面积与的面积相等， ∵的面积为30， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， 设平移后的直线的函数表达式为， 把代入，得， 解得， ∴平移后的直线的函数表达式为． 5．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）如图所示，的顶点A在反比例函数的图象上，直线交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线、，垂足分别为点E、F，且． (1)若点E为线段的中点，求k的值； (2)若为等腰直角三角形，，其面积小于3． ①求证：； ②延长交双曲线第三象限于点D，连接，求三角形的面积． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）由点为线段的中点，可得点坐标为，进而可知点坐标为：，代入解析式即可求出； （2）①由为等腰直角三角形，可得，再根据同角的余角相等可证，由即可证明； ②设点，由可得，进而求出直线解析式和反比例函数解析式，联立求出点坐标，最后求的面积即可． 【详解】（1）解：点为线段的中点，， ，即点坐标为， 又轴，， ， 把代入可得：， ； （2）解：①在为等腰直角三角形中，，， ， ∵过点A、B分别作y轴的垂线、， ，， ， 在和中， ， ∴， ②解：设点坐标为，则，， ∵， ，， ， 设直线解析式为：，将两点代入得： 则． 解得， 当时，，，，符合； 当时，，，，不符，舍去； ∴， ∴， ∴直线解析式为， 把代入可得：， ∴反比例函数， 联立，解得或， ∴， 过作轴于，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题属于代几综合题，考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数的性质，三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形性质等知识，熟练掌握三角形全等的性质和判定和数形结合的思想是解本题的关键． 6．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，延长交反比例函数图象于点C． (1)求一次函数y与反比例函数y的表达式； (2)点Q为y轴上一动点，求当取得最小值时点Q的坐标； (3)点P是x轴上一点，当时，请求出点P的坐标． 【答案】(1)一次函数为，反比例函数的解析式为 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题、三角形的面积的计算、轴对称的性质、最短路径问题等知识点，灵活运用待定系数法求函数的解析式及数形结合是解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）如图：作点关于y轴的对称点，则，连接与y轴的交点即为点Q，然后运用待定系数法求得直线的解析式，再令，即可求得点Q的坐标； （3）先求得D的坐标，然后根据求得的面积，即可求得，根据中心对称的性质得出，即可得到，从而得到可求得，即可求得P的坐标． 【详解】（1）解：将代入可得：，解得：， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得，， ∴， 将，代入得： ，解得：， ∴一次函数为． （2）解：如图：作点关于y轴的对称点，则，连接与y轴的交点即为点Q， 设直线的解析式为：， ，解得：， ∴， 当时，，即． （3）解：如图：由题意可知：， ∴， 把代入得，，解得， ∴， ∴， ∴， ∴，即 ∴，解得：， ∴或． 7．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与x轴负半轴交于点B，其中点A的坐标为，．        (1)求m，k，b的值； (2)若一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点C，且，求a的值． (3)在（2）的条件下，若x轴上存在点P，使得是等腰三角形，写出P点坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)或或或或 【分析】（1）作轴于点，先利用反比例二次函数的性质求得，再利用勾股定理求得的长，得到，利用待定系数法即可求解； （2）作轴于点，得到，推出，求得，再求得，利用待定系数法即可求解； （3）结合题意得可得：，，，再根据是等腰三角形，分三种情况：当时，当时，当时，分别讨论即可求解． 【详解】（1）解：作轴于点， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 将和代入，得， 解得； ∴，，； （2）作轴于点， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由（1）得直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴． （3）由（1）（2）可知，， 设点的坐标为， 可得：，，， 若是等腰三角形， 当时，即，可得：，解得：， 此时点的坐标为或； 当时，即：，可得：，解得：， 此时点的坐标为或； 当时，即：，可得，解得：， 此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或或． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数交点的问题，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的定义，勾股定理等．正确求出对应的函数解析式是解题的关键． 8．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图绳交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点A作轴，垂足为M，，，点B的纵坐标为． (1)求反比例函数表达式和一次函数的解析式； (2)直接写出当时，自变量的取值范围； (3)连接、，求的面积； (4)已知点P为图中双曲线上的一点，而且，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为 (2)当时，自变量的取值范围为或 (3) (4)点的坐标为或或或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）运用待定系数法求出反比例函数解析式，即可得出点的坐标，再根据待定系数法求解即可得出一次函数的解析式； （2）根据函数图象即可得解； （3）先求出得到，再根据计算即可得解； （4）分两种情况：过点作的平行线交反比例函数于，则直线的解析式为，联立，求解即可；②在y轴上取点N，使，过N作于H，过点O作于G，过N点作的平行线交反比例函数于， 可求出直线的解析式为，联立，求解即可． 【详解】（1）解：∵轴，垂足为M，，， ∴， 把代入反比例函数，可得， 解得：， ∴反比例函数的解析式为； 令，则， ∴， 把，代入一次函数可得， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：由图象可得：当时，自变量的取值范围为或； （3）解：在中，令，则，即， ∴， ∴； （4）解：①如图，过点作的平行线交反比例函数于，则， ， 故直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴点的坐标为或； ②在y轴上取点N，使，过N作于H，过点O作于G，过N点作的平行线交反比例函数于， 则 又， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴点P的坐标为或， 综上，点P的坐标为或或或． 9．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，轴，垂足为C，边与y轴交于点D，，反比例函数的图象经过点A． (1)求直线和反比例函数的表达式； (2)点E是反比例函数的图象上一点，若求点E的坐标． 【答案】(1)直线为，反比例函数的表达式为 (2)的坐标为：或． 【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质得出，然后确定各个点的坐标，利用待定系数法即可确定直线和反比例函数解析式； （2）分两种情况：如图，连接，，当在的右边时，当时，则，如图，当在的左边时，如，连接，，交于，当为的中点时，则，再进一步解答即可． 【详解】（1）解： 中，，，轴，垂足为， ∴， ∵， ∴， ， ， ，， 设直线为 ， 解得， 直线为， 反比例函数的图象经过， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：如图，连接，，当在的右边时， 当时，则， 设直线为，而， ∴， 解得：， ∴直线为， ∴令， 解得：，（不符合题意，舍去） 此时， ∴； 如图，当在的左边时，如，连接，，交于， 当为的中点时，则， 设，，而， ∴， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去） ∴， ∴， 综上：的坐标为：或． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数与一次函数图象交点问题，考查了待定系数法求函数解析式，平行线分段成比例定理，一元二次方程的解法，求得坐标是解决问题的关键． 10．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）学习数学，也要善用现代工具用绘图软件绘制过的双曲线与动直线：，且交于一点，图1为时的视窗情形． (1)当时，求：动直线与双曲线的交点坐标； (2)视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点始终在视窗中心．例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图1中坐标系的单位长度变为原来的，其可视范围就由及变成了及（如图2）．当和时，动直线与双曲线的交点分别是点A和，为能看到双曲线在A和之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的，求：k的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设双曲线的解析式为，代入点，求出解析式，结合题意，联立直线和双曲线的解析式列分式方程并求解，即可得到答案； （2）当和时，根据一次函数、反比例函数和直角坐标系的性质，得出，结合题意即可得到答案． 【详解】（1）解：设双曲线的解析式为，代入点， 则， 解得：， ∴双曲线的解析式为， 根据题意，得 ∴ ∴当时，动直线与双曲线的交点坐标为：； （2）解：当时，得 ∴ ∴ 当时，得 ∴ ∴ ∴要能看到在和之间的一整段图象，则， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、分式方程、直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数、反比例函数、分式方程、直角坐标系的性质，从而完成求解． 11．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过作轴于点，且．    (1)求反比例函数表达式； (2)点是反比例函数图象上的点，在y轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据直线解析式求点坐标，得的长度；根据三角函数定义可求的长度，得点的横坐标；根据点在直线上可求点的坐标．从而可求的值； （2）根据反比例函数解析式可求点坐标；作点关于轴的对称点，连接与轴的交点就是满足条件的点位置，进而即可求解． 此题考查反比例函数与一次函数的综合应用，三角函数定义，涉及线路最短问题，难度中等． 【详解】（1）解：由可知，即． ， ． 轴， 点的横坐标为1． 点在直线上， 点的纵坐标为4．即． 点在上， ． ∴反比例函数解析式为． （2）解：存在．过程如下： 过点作关于轴的对称点，连接，交轴于，连接，如图所示：    此时最小． 点在反比例函数上， ，即点的坐标为． 与关于轴的对称， 的坐标为． 设直线的解析式为． 把和代入，得， 解得 直线的解析式为． 令，得． 点坐标为， 12．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，与反比例函数的图象交于点．已知点坐标为，点坐标为． (1)求，，的值； (2)点在线段上，过点且平行于轴的直线交于点，交反比例函数图象于点．当时，求点的坐标． 【答案】(1),； (2)点的坐标为． 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合： （1）利用待定系数法求解即可； （2）设，则，，根据，得到，解得，据此求出点F的纵坐标，进而求出点F的坐标即可． 【详解】（1）解：把点代入得，， 解得， 反比例函数的表达式为， 把点，点代入得， ， 解得； （2）解：由（1）得反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； 设， 平行于轴， ， ， ， ，解得， ， 点的纵坐标为， 把代入得， 解得， 点的坐标为． 13．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．    (1)求，的值； (2)直线过点A，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，，连接． ①求的面积； ②利用图象信息，直接写出不等式的解集． ③点在反比例函数的图象上，点在轴上，若以点A，，，为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点坐标． 【答案】(1)， (2)①8；②；③点坐标为或 【分析】本题主要考查了求反比例函数的解析式，结合一次函数的解析式求点的坐标，结合平行四边形的性质求点的坐标等知识，解决问题的关键是画出图形，清晰分类． （1）根据一次函数的解析式可以求出a的值，再将点A的坐标带入反比例函数的解析式，即可求出k的值； （2）①先根据求出点C的坐标，再根据即可求得答案；②找出一次函数图象在反比例函数图象上方部分的取值范围即可；③分别根据为对角线、为对角线和为对角线三种情况展开讨论即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得，， ∴， 把，代入得，， ∴； （2）解：点，点的纵坐标是0，， 点的纵坐标是，把代入，得， ， ①如下图所示，作轴于，交于，作轴于，    当时，， ， ， ， ； ②由图象可得，当时，一次函数的图象在反比例函数的图象上或上方， ∴当时，； ③设，， ，． 当为对角线时，， ， 当为对角线时 解得， ， ， 舍去 当为对角线时 解得：， 综上点坐标为或． 14．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数与反比例函数的函数表达式； (2)过点作轴，垂足为． ①点在轴正半轴上，且，将直线向下平移个单位长度得到直线，若直线经过点，求的值； ②若直线与轴交于点，连接交轴于，求的长及的面积． 【答案】(1)， (2)①；②， 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数交点问题，待定系数法和数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）①求出点坐标为，设直线的函数表达式为由直线经过点，代入即可求出的值；②求出直线的解析式，得到点坐标为，点坐标为，进一步即可求出答案． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， 得 ∴反比例函数表达式为 点在反比例函数的图象上， ，得 ∴点坐标为 点，点都在一次函数的图象上， ， 解得， 一次函数表达式为； （2）①由（1）得点坐标为， 根据题意，点坐标为， 点在轴正半轴上，且， 点坐标为， 设直线的函数表达式为 ∵直线经过点， ，得； ②设直线，根据题意得 解得 ∴， 当时，， 点坐标为， 当时， ∴点坐标为， ∴的面积． 15．（2024·山东淄博·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且． (1)分别求这两个函数的表达式； (2)以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积； (3)根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，解直角三角形： （1）先求出得到，再解直角三角形得到，则，据此利用待定系数法求出一次函数解析式，进而求出点A的坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出对应的反比例函数解析式即可； （2）先求出点B的坐标，再利用勾股定理建立方程求出点E的坐标，最后根据，求解面积即可； （3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， 把代入中得：，解得， ∴一次函数解析式为， 在中，当时，， ∴， 把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：联立 解得或， ∴； 设， 由题意得，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或， ∴关于的不等式的解集为或． 16．（2024·青海西宁·三模）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，平行于x轴的直线交反比例函数的图象于点M，交于点N，连接． (1)求m的值和反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时不等式的解集； 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用． （1）求出点A的坐标，利用待定系数法即可解决问题； （2）结合函数图象找到直线在双曲线上方对应的x的取值范围． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， 解得， ∴， 把代入得， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：观察图象，当时不等式的解集为． 17．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）如图， 已知直线 与反比例函数 的图象交于 A、 B两点，且点 A 的横坐标为 4．    (1)直接写出反比例函数解析式是 ． (2)直接写出当 时，自变量 x 的取值范围是 ． (3)过原点O的另一条直线l交双曲线于P、 Q两点 （点P在第一象限） ，若由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)点P的坐标是或 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的图象与性质，比例系数的几何意义，平行四边形的判定等知识，注意数形结合与分类讨论思想的应用． （1）把点A的横坐标为4代入直线，得，即得A点坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析式中，求得k的值即可； （2）由正比例函数与反比例函数的对称性可得点B的坐标，观察图象即可确定不等式的解集； （3）由正比例函数与反比例函数的对称性知，四边形是平行四边形，从而得；设点P的横坐标为m（），得，过点P、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F，由反比例函数比例系数的几何意义得；分及两种情况进行考虑，利用建立方程求得m的值，即可求得点P的坐标． 【详解】（1）解：把点A的横坐标为代入直线， 得， 即A点坐标为，          把点代入双曲线得， ， ∴反比例函数解析式为：； （2）解：由于正比例函数与反比例函数关于原点的中心对称图形， 则点A与点B关于原点对称， ∴点B的坐标为， 观察图象知，当时，或． （3）解：∵反比例函数图象与正比例函数图象是关于原点O的中心对称图形， ， ∴四边形是平行四边形， ；       设点P的横坐标为m（），得 过点P、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F， ∵点P、A在双曲线上， 若，如图，   ， ， ， 解得（舍去）， ，        若，如图，   ， ， ， 解得（舍去）， ，             ∴点P的坐标是或． 18．（21-22九年级·江苏苏州·自主招生）阅读材料： 对于正数a、b，有，所以，即（当且仅当时取“=”）．特别地：（当且仅当时取“=”）． 因此，当时，有最小值2，此时． 简单应用： （1）函数的最大值为______． （2）求函数，当______时，最小值为______． 解决问题： （3）已知是反比例函数图象上的点，Q是双曲线在第四象限这一分支上的动点，过点Q作直线，使其与双曲线只有一个公共点，且与x轴、y轴分别交于点A、B．另一直线与x轴、y轴分别交于点C、D，求四边形面积的最小值． 【答案】（2）；（2）；（3）48 【分析】（1）求得，进而求得结果； （2）变形，进一步求得结果； （3）设点，求出的解析式和反比例函数的解析式，进而联立得出一元二次方程，由根的判别式为0，求得的关系，进而表示出四边形的面积，进一步得出结果． 【详解】解：（1）∵， ， 故答案为：； （2）， 当时， 即：当时，， 故答案为：； （3）把代入得， ， ， 设点， ∴直线的解析式为：， 由得，， ∵直线与双曲线只有一个公共点， ， ， 由得：， ， ∴， ∴当，即：时，四边形的面积最小值为：48． 【点睛】本题以阅读题方式给出一个基本不等式，考查了求反比例函数的解析式，一次函数的解析式，一元二次方程根的判别式，解方程等知识，解决问题的关键是设点的坐标，转化为一元二方程的有关问题． ( 67 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$