4.4.2 对数函数的图象和性质（第1课时）（导学案）-【上好课】高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

第四章 指数函数与对数函数 4.4.2 第1课时 对数函数的图像和性质 导学案 1、 学习目标 1.初步掌握对数函数的图象和性质． 2.会类比指数函数研究对数函数的性质． 3.掌握对数函数的图象和性质的简单应用． 2、 重点难点 1.教学重点：掌握对数函数的图像和性质，对数函数与指数函数之间的联系，不同底数的对数函数图象之间的联系。 2. 教学难点： 对数函数的图像与指数函数的关系；不同底数的对数函数之间的联系。 3、 导入新知 与研究指数函数一样，我们首先画出其图象，然后借助图象研究其性质． 不妨先画函数的图象． 请同学们完成，的对应值表4.4-1，并用描点法画出函数（图4.4-2）． 表4.4-1 x y 0.5 1 0 2 1 4 6 8 12 16 思考 我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于轴对称．对于底数互为倒数的两个对数函数，比如和，它们的图象是否也有某种对称关系呢？可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象？ 利用换底公式，可以得到．因为点与点关于轴对称，所以图象上任意一点关于轴的对称点都在的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于轴对称．根据这种对称性，就可以利用的图象画出的图象（图4.4-3）． 提示　 函数 y＝log2x 定义域 x∈(0，＋∞) x∈(0，＋∞) 值域 R R 单调性 增函数 减函数 最值 无最值 无最值 奇偶性 非奇非偶函数 非奇非偶函数 特殊点 (1,0) (1,0) y的变化情况 当0<x<1时， y<0； 当x>1时，y>0 当0<x<1时， y>0； 当x>1时，y<0 对称性 y＝log2x和的图象关于x轴对称 为了得到对数函数，且的性质，我们还需要画出更多具体对数函数的图象进行观察． 探究 选取底数，且的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象．观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出对数函数，且的值域和性质吗？ 如图4.4-4，选取底数的若干值，用计算工具画图，发现对数函数的图象按底数的取值，可分为和两种类型．因此，对数函数的性质也可以分和两种情况进行研究． 一般地，对数函数的图象和性质如表4.4-2所示． 图象 定义域 值域 性质 （1）过定点，即时， （2）减函数 （2）增函数 4、 应用新知 例3 比较下列各题中两个值的大小： （1），； （2），； （3），，且． 解：（1）和可看作函数的两个函数值．因为底数，对数函数是增函数，且，所以． （2）和可看作函数的两个函数值．因为底数，对数函数是减函数，且，所以． （3）和可看作函数的两个函数值．对数函数的单调性取决于底数是大于1还是小于1，因此需要对底数进行讨论． 当时，因为函数是增函数，且，所以；当时，因为函数是减函数，且，所以． 【变式】比较下列各组中两个值的大小： (1)log31.9，log32； (2)log23，log0.32； (3)logaπ，loga3.14(a>0，且a≠1)； (4)log50.4，log60.4. 解　(1)因为y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增，1.9<2，所以log31.9<log32. (2)因为log23>log21＝0，log0.32<log0.31＝0， 所以log23>log0.32. (3)当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，又π>3.14，则有logaπ>loga3.14； 当0<a<1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，又π>3.14，则有logaπ<loga3.14. 综上所述，当a>1时，logaπ>loga3.14； 当0<a<1时，logaπ<loga3.14. (4)在同一直角坐标系中，作出y＝log5x，y＝log6x的图象，再作出直线x＝0.4(图略)，观察图象可得log50.4<log60.4. 反思感悟　比较对数值大小时常用的四种方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性． (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化． (3)底数和真数都不同，找中间量． (4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论． 5、 能力提升 题型一　对数函数的图象及应用 已知函数，则函数的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数图像的识别、对数函数图象的应用、指数函数图像应用 【分析】由时，和时，排除A、B、D选项即可. 【详解】当时，，故排除A、D选项；当时，，则，排除B选项． 故选：C． 【感悟提升】 1．对数型函数的图象过定点问题 求函数y＝m＋logaf(x)(a＞0，且a≠1)的图象过的定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m)． 2．根据对数函数的图象判断底数大小的方法 作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小． 3．对数型函数图象的变换方法 (1)作y＝f(|x|)的图象时，保留y＝f(x)(x>0)的图象不变，x<0时，y＝f(|x|)的图象与y＝f(x)(x>0)的图象关于y轴对称． (2)作y＝|f(x)|的图象时，保留y＝f(x)x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可． (3)有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律． (4)y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称，y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称，y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称． 题型二　比较对数值的大小 已知偶函数在上单调递减，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较对数式的大小、比较指数幂的大小、函数奇偶性的应用 【分析】根据函数的单调性与奇偶性，结合自变量的大小关系判断即可. 【详解】因为为偶函数，故， 又因为，且，故，则. 故，又在上单调递减， 则，即. 故. 故选：C 【感悟提升】比较对数值大小常用的四种方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性． (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化． (3)底数和真数都不相同时，找中间量． (4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论． 提示：比较数的大小时，可先利用性质比较出与0或1的大小． 【跟踪训练】 2．比较下列各组中两个值的大小： (1)log31.99，log32；(2)log30.2，log40.2； (3)log23，log0.32；(4)logaπ，loga3.14(a＞0，且a≠1)． 解：(1)(单调性法)因为f(x)＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，且1.99＜2， 所以f(1.99)＜f(2)，即log31.99＜log32. (2)因为0＞log0.23＞log0.24， 所以＜，即log30.2＜log40.2. (3)(中间值法)因为log23＞log21＝0， log0.32＜log0.31＝0， 所以log23＞log0.32. (4)(分类讨论法)当a＞1时，函数y＝logax在定义域上是增函数，则有logaπ＞loga3.14； 当0＜a＜1时，函数y＝logax在定义域上是减函数， 则有logaπ＜loga3.14. 综上所述，当a＞1时，logaπ＞loga3.14； 当0＜a＜1时，logaπ＜loga3.14. 题型三　对数型函数的单调性 已知在为增函数,那么实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由对数（型）的单调性求参数、对数型复合函数的单调性、求对数型复合函数的定义域、根据函数的单调性求参数值 【分析】根据函数的定义域求得的取值范围，根据复合函数单调性同增异减判断出的取值范围，结合函数在为增函数列不等式组，解不等式组求得的取值范围. 【详解】由对数函数的定义域的求法有，依题意可知是定义域的子集，故，解得：，故单调递增，且由得到，故.根据复合函数单调性同增异减可知.由，解得， 故选：C. 【感悟提升】研究形如y＝logaf(x)的函数的单调性的策略 (1)坚持“定义域”优先原则，即要确保f(x)>0. (2)当a>1时，y＝logaf(x)的单调性在f(x)>0的前提下与y＝f(x)的单调性一致；当0<a<1时，y＝logaf(x)的单调性在f(x)>0的前提下与y＝f(x)的单调性相反． (3)若底数含有参数，需要对底数进行分类讨论． (4)若已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围，则该区间为函数相应单调区间的子区间，或者根据复合函数法则“同增异减”及定义域列出不等式组求解． 6、 课堂总结 1.对数函数的图象及性质． a的范围 0<a<1 a>1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 定点 (1,0)，即x＝1时，y＝0 单调性 在(0，＋∞)上是减函数 在(0，＋∞)上是增函数 注意点： (1)函数图象只出现在y轴右侧． (2)对任意底数a，当x＝1时，y＝0，故过定点(1,0)． (3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近x轴． (4)当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴． (5)任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称． 2.利用对数函数的图象及性质比较大小． 比较对数式大小的常用方法. (1) 比较同底的两个对数式的大小, 常利用对数函数 的单调性. (2) 比较不同底数的两个对数式的大小, 常用以下两 种方法: (1) 先利用对数换底公式化为同底的对数, 再利用 对数函数的单调性比较大小; (2) 在同一象限内利用对数函 数图象的位置关系比较大小. (3) 比较底数与真数都不同的两个对数式的大小, 常 借助中间量 . (4) 比较多个对数式的大小, 应先根据每个式子的结构特征, 以及它们与中间量 “ 0 ” 和 “ 1 ” 的大小情况进行分 组, 再比较各组内的对数式的大小. (5) 比较含参数的两个对数式的大小, 要注意对底数 是否大于 1 进行分类讨论, 有时也要注意挖掘所给对数式 的隐含条件. 3.利用单调性解对数不等式． 4．方法归纳：分类讨论法、数形结合法． 5．常见误区：作对数函数图象时易忽视底数a>1与0<a<1两种情况． 7、 作业设计 (1)整理本节课的题型； (2)作业：教科书第140〜"1页习题4.4第1、2、4、7、8题. 设计意图：类比指数函数中的相关问题求解，促进学生应用指数函数与对数函数的关系，分析和解 决问题的意识和能力. 练习（第135页） 1．在同一直角坐标系中画出函数和的图象，并说明它们的关系． 1．解析：函数和的图象如图所示： 的图象与的图象关于轴对称． 2．比较下列各题中两个值的大小： （1），； （2），； （3），． 2．（1）在上是增函数，且，． （2）在上是减函数，且，． （3）当时，在上是增函数，； 当时，在上是减函数，． 3．某地去年的GDP（国内生产总值）为3 000亿元人民币，预计未来5年的年平均增长率为6.8%． （1）设经过x年达到的年GDP为y亿元，试写出为了5年内，y关于x的函数解析式； （2）经过几年该地GDP能达到3 900亿元人民币？ 3．解析：（1）由题意得，，且． （2），解得， 所以经过4年该地GDP能达到3 900亿元人民币． 探究与发现 互为反函数的两个函数图象间的关系 我们知道，指数函数，且与对数函数，且互为反函数．它们的图象是否有关系？有什么关系呢？下面，请你运用所学的数学知识和计算工具，探索几个问题，亲自发现其中的奥秘吧！ 1．在同一直角坐标系中，画出指数函数及其反函数的图象． 你能发现这两个函数的图象有什么对称关系吗？ 2．取图象上的几个点，如，，．关于直线的对称点的坐标是什么？它们在的图象上吗？为什么？ 3．如果点在函数的图象上，那么关于直线的对称点在函数的图象上吗？为什么？ 4．根据上述探究过程，你可以得到什么结论？ 5．上述结论对于指数函数，且及其反函数也成立吗？为什么？ 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 第四章 指数函数与对数函数 4.4.2 第1课时 对数函数的图像和性质 导学案 1、 学习目标 1.初步掌握对数函数的图象和性质． 2.会类比指数函数研究对数函数的性质． 3.掌握对数函数的图象和性质的简单应用． 2、 重点难点 1.教学重点：掌握对数函数的图像和性质，对数函数与指数函数之间的联系，不同底数的对数函数图象之间的联系。 2. 教学难点： 对数函数的图像与指数函数的关系；不同底数的对数函数之间的联系。 3、 导入新知 与研究指数函数一样，我们首先画出其图象，然后借助图象研究其性质． 不妨先画函数的图象． 请同学们完成，的对应值表4.4-1，并用描点法画出函数（图4.4-2）． 表4.4-1 x y 0.5 1 0 2 1 4 6 8 12 16 思考 我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于轴对称．对于底数互为倒数的两个对数函数，比如和，它们的图象是否也有某种对称关系呢？可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象？ 利用换底公式，可以得到．因为点与点关于轴对称，所以图象上任意一点关于轴的对称点都在的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于轴对称．根据这种对称性，就可以利用的图象画出的图象（图4.4-3）． 提示　 函数 y＝log2x 定义域 x∈(0，＋∞) x∈(0，＋∞) 值域 R R 单调性 增函数 减函数 最值 无最值 无最值 奇偶性 非奇非偶函数 非奇非偶函数 特殊点 (1,0) (1,0) y的变化情况 当0<x<1时， y<0； 当x>1时，y>0 当0<x<1时， y>0； 当x>1时，y<0 对称性 y＝log2x和的图象关于x轴对称 为了得到对数函数，且的性质，我们还需要画出更多具体对数函数的图象进行观察． 探究 选取底数，且的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象．观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出对数函数，且的值域和性质吗？ 如图4.4-4，选取底数的若干值，用计算工具画图，发现对数函数的图象按底数的取值，可分为和两种类型．因此，对数函数的性质也可以分和两种情况进行研究． 一般地，对数函数的图象和性质如表4.4-2所示． 图象 定义域 值域 性质 （1）过定点，即时， （2）减函数 （2）增函数 4、 应用新知 例3 比较下列各题中两个值的大小： （1），； （2），； （3），，且． 【变式】比较下列各组中两个值的大小： (1)log31.9，log32； (2)log23，log0.32； (3)logaπ，loga3.14(a>0，且a≠1)； (4)log50.4，log60.4. 5、 能力提升 题型一　对数函数的图象及应用 已知函数，则函数的图象是（　　） A． B． C． D． 题型二　比较对数值的大小 已知偶函数在上单调递减，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 2．比较下列各组中两个值的大小： (1)log31.99，log32；(2)log30.2，log40.2； (3)log23，log0.32；(4)logaπ，loga3.14(a＞0，且a≠1)． 题型三　对数型函数的单调性 已知在为增函数,那么实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6、 课堂总结 1.对数函数的图象及性质． a的范围 0<a<1 a>1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 定点 (1,0)，即x＝1时，y＝0 单调性 在(0，＋∞)上是减函数 在(0，＋∞)上是增函数 注意点： (1)函数图象只出现在y轴右侧． (2)对任意底数a，当x＝1时，y＝0，故过定点(1,0)． (3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近x轴． (4)当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴． (5)任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称． 2.利用对数函数的图象及性质比较大小． 比较对数式大小的常用方法. (1) 比较同底的两个对数式的大小, 常利用对数函数 的单调性. (2) 比较不同底数的两个对数式的大小, 常用以下两 种方法: (1) 先利用对数换底公式化为同底的对数, 再利用 对数函数的单调性比较大小; (2) 在同一象限内利用对数函 数图象的位置关系比较大小. (3) 比较底数与真数都不同的两个对数式的大小, 常 借助中间量 . (4) 比较多个对数式的大小, 应先根据每个式子的结构特征, 以及它们与中间量 “ 0 ” 和 “ 1 ” 的大小情况进行分 组, 再比较各组内的对数式的大小. (5) 比较含参数的两个对数式的大小, 要注意对底数 是否大于 1 进行分类讨论, 有时也要注意挖掘所给对数式 的隐含条件. 3.利用单调性解对数不等式． 4．方法归纳：分类讨论法、数形结合法． 5．常见误区：作对数函数图象时易忽视底数a>1与0<a<1两种情况． 7、 作业设计 (1)整理本节课的题型； (2)作业：教科书第140〜"1页习题4.4第1、2、4、7、8题. 练习（第135页） 1．在同一直角坐标系中画出函数和的图象，并说明它们的关系． 2．比较下列各题中两个值的大小： （1），； （2），； （3），． 3．某地去年的GDP（国内生产总值）为3 000亿元人民币，预计未来5年的年平均增长率为6.8%． （1）设经过x年达到的年GDP为y亿元，试写出为了5年内，y关于x的函数解析式； （2）经过几年该地GDP能达到3 900亿元人民币？ 探究与发现 互为反函数的两个函数图象间的关系 我们知道，指数函数，且与对数函数，且互为反函数．它们的图象是否有关系？有什么关系呢？下面，请你运用所学的数学知识和计算工具，探索几个问题，亲自发现其中的奥秘吧！ 1．在同一直角坐标系中，画出指数函数及其反函数的图象． 你能发现这两个函数的图象有什么对称关系吗？ 2．取图象上的几个点，如，，．关于直线的对称点的坐标是什么？它们在的图象上吗？为什么？ 3．如果点在函数的图象上，那么关于直线的对称点在函数的图象上吗？为什么？ 4．根据上述探究过程，你可以得到什么结论？ 5．上述结论对于指数函数，且及其反函数也成立吗？为什么？ 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$