4.4.1 对数函数的概念（教学课件）-【上好课】高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

第 4 章 4.4.1 对数函数的概念 人教A版2019必修第一册 对数函数的概念 学习目标 1.通过具体实例，了解对数函数的概念，对数函数的概念和定义域． 2.会求与对数函数有关的定义域问题． 3.了解对数函数在生产实际中的简单应用． 目录 CATALOG 01.对数函数的概念及应用 03.题型强化训练 02.对数函数模型的应用 04.小结及随堂练习 01 对数函数的 概念及应用 4.4.1 对数函数的概念 导入新知 对数 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（Napier，1550年~1617年）。他发明了供天文计算作参考的对数，并于1614年在爱丁堡出版了《奇妙的对数定律说明书》，公布了他的发明。恩格斯把对数的发明与解析几何的创始，微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就。 学习新知 4.3.1 对数的概念 学习新知 回顾问题1　 当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14含量y与死亡年数x之间有怎样的关系？ 设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么： 学习新知 思考：　 在问题中，我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量 y 随死亡时间 x 的变化而衰减的规律．反过来，已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知它死亡了多长时间呢？进一步地，死亡时间 x 是碳14的含量 y 的函数吗？ 学习新知 如图，过y轴正半轴上任意一点(0,y0)(0<y0≤1)作x轴的平行线，与 的图象有且只有一个交点(x0,y0).这就说明，对于任意一个y∈(0,1]，通过对应关系 在[0,+∞)上都有唯一确定的数x和它对应，所以x也是y的函数． y x 学习新知 也就是说，函数 刻画了死亡生物体死亡年数x随体内碳14含量y衰减而变化的规律． y x 应用新知 思考： 一般的指数函数y = ax ，(a>0,且a≠1)也能表示成x是y的函数吗？ 根据指数与对数的关系：y = ax ，(a>0,且a≠1)⟺ x = logay ,(a>0,且a≠1) 结合指数函数的图像知，上式中x与y是一一对应的， 故由 x = logay ,(a>0,且a≠1)知x也是y的函数 . 函数y = f(x)也能表示成x是y的函数的前提 通常，我们用x表示自变量，y表示函数．将x = logay ，(a>0,且a≠1) 中的 x与y对调，写成y = logax ,(a>0,且a≠1) 的形式，我们称该函数为对数函数． 一般地，函数y = logax ，(a>0，且a≠1) 叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是（0，+∞）. 02 对数函数模型的应用 对数函数的概念 学习新知 例1 求下列函数定义域 【解析】 （1）因为 x2>0，即x ≠ 0，所以函数 y = log3x 的定义域是 { x | x ≠ 0 } ． （2）因为4－x>0，即x < 4，所以函数 y = loga (4－x)的定义域是 { x | x < 4 } ． 学习新知 学习新知 【感悟提升】 求对数型函数定义域的原则 (1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时，被开方数非负． (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1. (4)若需对函数进行变形，则需先求出定义域，再对函数进行恒等变形． 学习新知 例2 假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过y年后的物价为x． （1）该地的物价经过几年后会翻一番？ 【解析】（1）由题意可知，经过y年后的物价x为 x=(1+5%)y即 x=1.05y，y∈[0，+∞)． 由指对数的关系可得 y = log1.05 x，x∈[1，+∞)． 由计算工具可得，x=2当时，y≈14． 所以，该地区的物价大约经过14年后会翻一番． 学习新知 （2）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律． 物价x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年数y 0 14 23 28 33 37 40 43 45 47 【解析】根据函数y = log1.05 x ， x∈[1，+∞)由计算工具可得下表： 由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的推移在增长，物价每增加约一倍所需时间逐渐缩短. 应用新知 总结新知 03 题型强化训练 4.4.1 对数函数的概念 能力提升 题型一　对数函数的概念 能力提升 题型一　对数函数的概念 【感悟提升】　判断一个函数是对数函数的方法 能力提升 题型二　对数型函数的定义域 能力提升 题型二　对数型函数的定义域 能力提升 题型二　对数型函数的定义域 【感悟提升】　 求对数型函数定义域的原则 (1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时，被开方数非负． (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1. (4)若需对函数进行变形，则需先求出定义域，再对函数进行恒等变形． 能力提升 题型三　对数型函数在实际问题中的应用 能力提升 题型三　对数型函数在实际问题中的应用 能力提升 题型三　对数型函数在实际问题中的应用 【感悟提升】　 利用指数、对数函数解决应用问题的步骤 (1)列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围； (2)利用指对互化转化为对数函数y＝logax； (3)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算． 04 小结及随堂练习 4.4.1 对数函数的概念 课堂总结 对数函数的概念： 一般地，函数y = logax ，(a>0，且a≠1) 叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是（0，+∞）． 求函数的定义域依据： （1）分母不为0； （2）偶次根式内不小于0； （3）0的0次方无意义； （4）指数式和对数式的底数大于0且不等于1； （5）对数式的真数大于0． 课堂总结 作业 4.4.1 对数函数的概念 课本126页第1题第2题 练习（第123页） 1．把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式： 练习（第123页） 2. 求下列各式的值： 练习（第123页） 3. 求下列各式中x的值： 人教A版2019必修第一册 THANKS 感谢您的聆听 【变式1】求下列函数的定义域： ；(2) ；(3) ；(4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）要使函数式有意义，需满足 ，解得 且 ， ∴函数 的定义域是 ； （2）要使函数式有意义，需满足 ，即 ，解得 ， ∴所求函数的定义域是 ； 【变式2】某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按 销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)． (1)写出奖金y关于销售利润x的关系式； (2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？ 【解析】(1)由题意知 y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.15x，0≤x≤10，,1.5＋2log5（x－9），x＞10.)) (2)由题意知1.5＋2log5(x－9)＝5.5， 所以log5(x－9)＝2，所以x－9＝52， 解得x＝34， 所以老江的销售利润是34万元． 【感悟提升】 利用指数、对数函数解决应用问题的步骤 (1)列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围； (2)利用指对互化转化为对数函数y＝logax； (3)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算． 【练习1】下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】形如 的函数叫作对数函数，它的定义域是 ， 对于A， 满足，故A正确； 对于B，C，D，形式均不正确，均错误. 故选：A 【例题2】求下列函数的定义域： (1)y＝eq \f(ln （4－x）,x－3)；(2)y＝eq \f(1,log3（3x－2）)； (3)y＝log(2x－1)(－4x＋8)． 解：(1)由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－x>0，,x－3≠0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<4，,x≠3，)) ∴x<4，且x≠3， ∴y＝eq \f(ln （4－x）,x－3)的定义域为{x|x<4，且x≠3}．　 (2)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log3（3x－2）≠0，,3x－2>0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－2≠1，,3x>2，)) 解得x>eq \f(2,3)，且x≠1， ∴y＝eq \f(1,log3（3x－2）)的定义域为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x>\f(2,3)，且x≠1)))). (3)由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4x＋8>0，,2x－1>0，,2x－1≠1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<2，,x>\f(1,2)，,x≠1，)) ∴y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<x<2，且x≠1)))). 【练习3】著名数学家､物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始 温度为 ，空气温度为 ，则 分钟后物体的温度 （单位：℃）满足： .若常数 ，空气温度为 ，某物体的温度从 下降到 ，大约需要的时间为（    ）（参考数据： ） A．25分钟 B．24分钟 C．23分钟 D．22分钟 【答案】D 【详解】由题意可得， ， ， ， 故 ， ，即 ， （分钟）,即大约需要的时间为22分钟， 故选：D． $$