4.3.2 对数的运算（分层作业）-【上好课】高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

4.3.2 对数的运算 分层作业 1、 题型研究 题型一　对数运算性质的应用 计算：（    ） A． B． C． D． 【感悟提升】对数式化简与求值的策略 (1)“合”：将同底的两对数的和(差)合并成积(商)的对数，即公式逆用． (2)“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)，即公式的正用． (3)“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用lg 2＋lg 5＝1，进行化简与求值． 题型二　换底公式的应用 （21-22高一·全国·单元测试）其类蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式为，其中为Peukert常数．为了测算该类蓄电池的Peukert常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间．则该蓄电池的Peukert常数大约为（参考数据：，）（    ） A． B． C． D．2 题型三　对数运算的综合应用 （21-22高一上·广西·阶段练习）已知函数，则 ； ． 题型四　实际问题中的对数运算 （22-23高一上·浙江宁波·开学考试）用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是 ．（） 2、 基础达标 1.若，则（    ） A．-3 B．9 C． D． 2.（    ） A．1 B． C． D． 3.计算(    ) A． B． C． D． 4.若函数．则（    ） A． B． C． D． 5.已知，则（    ） A． B． C．9 D． 6.已知，，，则（    ） A． B． C． D． E．均不是 7.函数（），则﹐则a=（      ） A．4 B．2 C． D． 8.已知，，，则，，的大小个关系是（    ） A． B． C． D． 9.若函数是奇函数，当时，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 10.若函数是奇函数，当时，，则（    ） A．2 B． C． D． 3、 能力提升 1.，若，则（    ） A． B． C． D． 2.若实数、、满足，则下列式子正确的是 A． B． C． D． 3.已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4.设，，若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 5.已知实数a，b，c满足，，，则（    ） A． B． C． D． 6.已知，，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 7.已知，则（    ） A． B． C． D． 8.已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 4、 直击高考 1.已知函数则（　 　） A． B． C． D． 2.（2022·云南昆明·模拟预测）2021年5月，中国西部地区地震频繁，据中国地震台网正式测定，5月21日21时48分，云南大理州漾濞县发生里氏6.4级地震；5月22日2时4分，青海省玛多县发生里氏7.4级地震．科学家通过研究，发现地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．设漾濞县地震所释放的能量为，玛多县地震所释放的能量为，则约等于（    ） A．10 B．15 C．30 D．32 3.（2022·河南开封·三模）已知a，b均为正实数，且，（e为自然对数的底数），则下列大小关系不成立的是（    ） A． B． C． D． 4.（2021·江西南昌·三模）奇函数满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 4.3.2 对数的运算 分层作业 1、 题型研究 题型一　对数运算性质的应用 计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算、对数的运算 【解析】利用指数和对数的运算法则求解 【详解】原式, 故选：A． 【感悟提升】对数式化简与求值的策略 (1)“合”：将同底的两对数的和(差)合并成积(商)的对数，即公式逆用． (2)“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)，即公式的正用． (3)“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用lg 2＋lg 5＝1，进行化简与求值． 题型二　换底公式的应用 （21-22高一·全国·单元测试）其类蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式为，其中为Peukert常数．为了测算该类蓄电池的Peukert常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间．则该蓄电池的Peukert常数大约为（参考数据：，）（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【知识点】运用换底公式化简计算、对数的运算 【分析】根据题意列出方程求得，再转化为对数运算即可. 【详解】由题意，得，所以， 所以． 故选:B. 题型三　对数运算的综合应用 （21-22高一上·广西·阶段练习）已知函数，则 ； ． 【答案】 【知识点】对数的运算性质的应用、函数对称性的应用 【分析】利用对数的运算性质结合函数的对称性即可求解. 【详解】解：函数，则 所以函数关于点对称 所以 故答案为：，. 【点睛】思路点睛：先由对数的运算性质求出，从而得出函数的对称性，再利用所得对称性即可求出. 题型四　实际问题中的对数运算 （22-23高一上·浙江宁波·开学考试）用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是 ．（） 【答案】3 【知识点】对数的运算性质的应用、指数式与对数式的互化、指数函数模型的应用（1） 【分析】由题意，设至少要洗次，列不等式求解即可. 【详解】设至少要洗次，则， 所以，， ∴，即， 因此至少洗次， 故答案为：3. 【感悟提升】　求解和对数有关的实际问题的思路： （1）根据题设条件列出符合的关于待求量的等式； （2）利用指对互化、对数运算法则以及对数运算性质、对数换底公式求解出待求量的值. 2、 基础达标 1.若，则（    ） A．-3 B．9 C． D． 【答案】C 【知识点】对数的运算、指数式与对数式的互化 【分析】根据指数幂与对数的互化公式，即可求解. 【详解】因为，根据指数幂与对数的互化公式，可得. 故选：C. 2.（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【知识点】对数的运算 【分析】根据对数的除法运算即可得出结果. 【详解】 故选：A. 3.计算(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对数的运算 【解析】根据对数运算,即可求得答案. 【详解】 故选:A. 【点睛】本题主要考查了对数运算,解题关键是掌握对数运算基础知识,考查了计算能力,属于基础题. 4.若函数．则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求分段函数值、对数的运算 【分析】利用函数的解析式由内到外逐层计算可得的值. 【详解】，则，因此，. 故选：A. 5.已知，则（    ） A． B． C．9 D． 【答案】C 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、对数的运算 【解析】根据分段函数的解析式，结合分段条件，代入即可求解. 【详解】由题意，函数，可得， 所以. 故选：C. 6.已知，，，则（    ） A． B． C． D． E．均不是 【答案】D 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】运用对数运算公式计算即可. 【详解】由题意知，，，， 因为，， 所以由换底公式可得，， 又因为（）， 所以， 所以由换底公式可得. 故选：D. 7.函数（），则﹐则a=（      ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】指数幂的运算、对数的运算、求分段函数值 【分析】由题意先求出，再求，解方程即可得出答案. 【详解】因为时，， 所以，则， 解得：. 故选：A. 8.已知，，，则，，的大小个关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对数的运算、比较指数幂的大小 【分析】根据指数函数的单调性可比较的大小，求出的值，可比较的大小. 【详解】，又，，故． 故选：B 9.若函数是奇函数，当时，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】对数的运算、函数奇偶性的应用、求函数值 【分析】由奇函数性质知，要求 的值，只需求 的值即可，将 代入函数解析式求出，所以 【详解】解：因为为奇函数，所以， 当时，，所以， 所以； 故选：A. 10.若函数是奇函数，当时，，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】对数的运算性质的应用、函数奇偶性的应用 【分析】根据奇偶性及对数的运算法则计算可得； 【详解】解：因为为奇函数，所以， 当时，，所以， 所以； 故选：C 3、 能力提升 1.，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的应用、对数的运算性质的应用 【分析】由奇偶性定义确定函数的奇偶性，然后由奇偶性求值． 【详解】函数定义域是，又 函数为奇函数，所以． 故选：B． 2.若实数、、满足，则下列式子正确的是 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、运用换底公式证明恒等式 【分析】由指数式化对数式，然后利用换底公式得出，，，利用对数的运算性质和可得出成立. 【详解】由已知，得 ，得 ， ，，所以，，， 而，则， 所以，即 . 故选A. 【点睛】本题考查对数式的运算，同时也考查了指数式与对数式的互化以及换底公式的应用，解题时要需要注意各真数之间的关系，考查计算能力，属于中等题. 3.已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较对数式的大小、对数的运算、指数式与对数式的互化 【分析】根据指数、对数运算互化得，，，由此可得选项. 【详解】由得， 由得，则； 由得，则，故有. 故选：B. 4.设，，若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对数的运算性质的应用、基本不等式求积的最大值 【分析】先由得到，再结合基本不等式求得的最大值，进而求出的最大值. 【详解】两边取对数，得：，又，，则，， ∴， 当且仅当时，取等号，∴ ，即的最大值为. 故选：D. 5.已知实数a，b，c满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较指数幂的大小、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、比较函数值的大小关系 【分析】根据条件，得到，利用函数的单调性，即可得到，而，即可求出结果. 【详解】因为，得到，又，函数是减函数， 所以，又，得到， 所以， 故选：A. 6.已知，，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对数的运算 【分析】先判断，即可判断A； 利用判断B；利用B的结论判断C；利用C的结论判断D. 【详解】因为，所以，即A结论不正确； 因为，所以，即B结论正确； 由可知，，C结论正确； 由可知，，则，即D结论正确． 故选：A. 7.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】作差比较的大小，结合与2的大小关系即可判断. 【详解】因为 ， 所以. 因为，所以. 故选：D. 8.已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【知识点】对数的运算、运用换底公式化简计算、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】条件等式两边取对数后，得，再结合换底公式，以及基本不等式“1”的妙用，即可求解. 【详解】因为，所以，即， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为6. 故选：B. 4、 直击高考 1.已知函数则（　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求函数值、对数的运算 【详解】函数为奇函数，又，所以 ， 即，即-2． 本题选择B选项. 2.（2022·云南昆明·模拟预测）2021年5月，中国西部地区地震频繁，据中国地震台网正式测定，5月21日21时48分，云南大理州漾濞县发生里氏6.4级地震；5月22日2时4分，青海省玛多县发生里氏7.4级地震．科学家通过研究，发现地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．设漾濞县地震所释放的能量为，玛多县地震所释放的能量为，则约等于（    ） A．10 B．15 C．30 D．32 【答案】D 【知识点】对数的运算性质的应用、对数的运算 【分析】根据地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系，计算即可求解. 【详解】由题意知，，， 所以, 解得， 故选：D 3.（2022·河南开封·三模）已知a，b均为正实数，且，（e为自然对数的底数），则下列大小关系不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对数的运算性质的应用、对数的运算、指数式与对数式的互化 【分析】对所给条件反复代换，利用正数的指数大于0等条件，将所得的结论继续应用到等式中去，可判断选项中的结论正误. 【详解】由题可知：，， ∴，∴，B选项正确； ∵，∴，∴，∴，∴，C选项正确； ∵，∴，∴，A选项正确； ，而，矛盾，D选项错误. 故选：D. 4.（2021·江西南昌·三模）奇函数满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由函数的周期性求函数值、由奇偶性求参数、对数的运算、函数对称性的应用 【分析】由计算得出实数的值，推导出函数的周期为，可得出，即可得解. 【详解】因为函数为奇函数，则，解得， 所以，当时，， 由已知条件可得， 所以，函数是以为周期的周期函数，则. 故选：B. 【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论： （1）若函数的图象关于直线和对称，则函数的周期为； （2）若函数的图象关于点和点对称，则函数的周期为； （3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$