4.3.2 对数的运算（导学案）-【上好课】高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

4.3 4.3.2 对数的运算 导学案 1、 学习目标 1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件． 2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值． 3.掌握换底公式及其推论． 4.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值． 2、 重点难点 教学重点：1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件. 2.能用换底公式进行求值、化简． 教学难点：1.理解和掌握对数的性质 2.掌握对数式与指数式的关系 ,学会对数式与指数式的互化 3、 导入新知 同学们，数学运算的发展可谓是贯穿了整个人类进化史，人类的祖先，从数手指开始，逐渐积累经验，堆石子、数贝壳、树枝、竹片，而后有刻痕计数、结绳计数等，后来创造文字、数字及计数用具，如算盘、计算器等．从人们对天文、航天、航海感兴趣开始，发现数太大了，再多的手指头也算不过来了，怎么办？比如天文学家开普勒利用他的对数表简化了行星轨道的复杂计算，对数被誉为“用缩短计算时间而使天文学家延长寿命”，对整个科学的发展起到了重要作用． 一、对数的运算性质 问题1　将指数式M＝ap，N＝aq化为对数式，结合指数运算性质MN＝apaq＝ap＋q能否将其化为对数式？它们之间有何联系(用一个等式表示)? 问题2　结合问题1，若＝＝ap－q，又能得到什么结论？ 问题3　结合问题1，若Mn＝(ap)n＝anp(n∈R)，又能有何结果？ 4、 应用新知 例3 求下列各式的值： （1）； （2） 【变式】求下列各式的值： （1）；     （2）； （3）；     （4）； （5）；      （6）. 例4 用表示． 解：． 【变式】已知lg6＝a, lg15＝b，试用a，b表示lg24和lg120. 数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数．现在，利用计算工具，也可以直接求出任意正数的常用对数或自然对数．这样，如果能将其他底的对数转换为以10或e为底的对数，就能方便地求出这些对数． 探究 （1）利用计算工具求，的近似值； （2）根据对数的定义，你能利用，的值求的值吗？ （3）根据对数的定义，你能用表示（，且；，且）吗？ 在4.2.1的问题1中，求经过多少年地景区的游客人次是2001年的2倍，就是计算的值．由换底公式，可得，利用计算工具，可得． 由此可得，大约经过7年，地景区的游客人次就达到2001年的2倍．类似地，可以求出游客人次是2001年的3倍，4倍，…所需要的年数． 例5 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为 ． 2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）？ 【变式】科学家研究发现，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系是.据中国地震台网测定，2022年1月8日，11时24分在智利中部沿岸近海发生5.9级地震，1时45分在中国青海海北州门源县发生6.9级地震，设智利中部沿岸近海地震所释放的能量为，门源县地震所释放的能量为，则的近似值为（    ） A．15 B．20 C．32 D．35 5、 能力提升 题型一　对数运算性质的应用 【练习1】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二　换底公式的应用 【练习2】(多选题）已知，，则（    ） A． B． C． D． 题型三　对数运算的综合应用 【例题3】若为偶函数，则（    ） A．1 B．0 C． D． 题型四　实际问题中的对数运算 【例题4】一种放射性元素最初的质量为，按每年衰减．则这种放射性元素的半衰期为（    ）年.（注：剩余质量为最初质量的一半，所需的时间叫做半衰期），（结果精确到，已知，） A． B． C． D． 6、 课堂总结 1．知识清单： (1)对数的运算性质． (2)对数运算性质的运用． (3)利用对数的运算性质化简、求值． 2．方法归纳：转化法． 3．常见误区：要注意对数的运算性质的结构形式，易混淆，且不可自创运算法则． 7、 作业设计 作业1：教科书第140〜141页习题4. 4第3、5、9、10、12、13题. 作业2：进一步总结比较大小的方法. 练习（第126页） 1．求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 2．用，，表示下列各式： （1） ； （2） ； （3） ； （4）． 3．化简下列各式： （1）； （2）． 习题4.3（126页） 复习巩固 1．把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5） （6） （7） （8）． 2．选择题 （1）使式子有意义的的取值范围是（ ） （A） （B） （C） （D）且 （2）若与互为相反数，则（ ） （A） （B） （C） （D） 3．求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 4．求满足下列条件的的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 综合运用 5．已知，，求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 6．求满足下列条件的各式的值： （1）若，求的值； （2）若，求的值． 7．证明： （1）； （2）． 8．某地GDP的年平均增长率为6.5%，按此增长率，多少年后该地GDP会翻两番？ 拓广探索 9．我们可以把看作每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是．利用计算工具计算并回答下列问题： （1）一年后“进步”的是“落后”的多少倍？ （2）大约经过多少天后“进步”的分别是“落后”的10倍、100倍、1000倍？ 10．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1 mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？ 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 4.3 4.3.2 对数的运算 导学案 1、 学习目标 1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件． 2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值． 3.掌握换底公式及其推论． 4.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值． 2、 重点难点 教学重点：1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件. 2.能用换底公式进行求值、化简． 教学难点：1.理解和掌握对数的性质 2.掌握对数式与指数式的关系 ,学会对数式与指数式的互化 3、 导入新知 同学们，数学运算的发展可谓是贯穿了整个人类进化史，人类的祖先，从数手指开始，逐渐积累经验，堆石子、数贝壳、树枝、竹片，而后有刻痕计数、结绳计数等，后来创造文字、数字及计数用具，如算盘、计算器等．从人们对天文、航天、航海感兴趣开始，发现数太大了，再多的手指头也算不过来了，怎么办？比如天文学家开普勒利用他的对数表简化了行星轨道的复杂计算，对数被誉为“用缩短计算时间而使天文学家延长寿命”，对整个科学的发展起到了重要作用． 一、对数的运算性质 问题1　将指数式M＝ap，N＝aq化为对数式，结合指数运算性质MN＝apaq＝ap＋q能否将其化为对数式？它们之间有何联系(用一个等式表示)? 提示　由M＝ap，N＝aq得p＝logaM，q＝logaN. 由MN＝ap＋q得p＋q＝loga(MN)． 从而得出loga(MN)＝logaM＋logaN(a>0，且a≠1，M>0，N>0)． 问题2　结合问题1，若＝＝ap－q，又能得到什么结论？ 提示　将指数式＝ap－q化为对数式，得 loga＝p－q＝logaM－logaN(a>0，且a≠1，M>0，N>0)． 问题3　结合问题1，若Mn＝(ap)n＝anp(n∈R)，又能有何结果？ 提示　由Mn＝anp，得logaMn＝np＝nlogaM(n∈R)． 引导语上一节课中我们研究了对数函数的概念、图象和性质.按照研究的基本路径，接下来要应用 对数函数解决问题.为此，请你填写对数函数的概念、图象和性质表.并回忆在指数函数的应用中解决了 哪些问题，是如何解决的. 在引入对数之后，自然应研究对数的运算性质．你认为可以怎样研究？ 设，因为，所以． 根据对数与指数间的关系可得 这样，就得到了对数的一个运算性质：． 同样地，同学们可以仿照上述过程，由和，自己推出对数运算的其他性质． 于是，我们得到如下的对数运算性质． 如果，且，，，那么 （1）； （2）； （3）． 4、 应用新知 例3 求下列各式的值： （1）； （2） 解：（1）； （2） 【变式】求下列各式的值： （1）；     （2）； （3）；     （4）； （5）；      （6）. 【答案】（1）4；（2）27；（3）；（4）2；（5）；（6）1. 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算、运用换底公式化简计算 【解析】（1）直接根据指数幂的运算性质进行运算； （2）直接根据指数幂的运算性质进行运算； （3）直接根据对数的运算性质进行运算； （4）先用换底公式化为同底的对数，再根据对数的运算性质进行运算； （5）先用换底公式化为同底的对数，再根据对数的运算性质进行运算； （6）直接根据换底公式进行运算． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 【点睛】本题主要考查指数和对数的运算性质，考查换底公式的应用，属于基础题． 例4 用表示． 解：． 【变式】已知lg6＝a, lg15＝b，试用a，b表示lg24和lg120. 【答案】lg24＝2a－b＋1，lg120＝. 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】根据条件可得lg2＋lg3＝a，lg5＋lg3＝1－lg2＋lg3＝b，可得lg2和lg3，进而根据对数的运算可得解. 【详解】由lg6＝a，得lg2＋lg3＝a．① 由lg15＝b, 得lg5＋lg3＝1－lg2＋lg3＝b．② 由①②得lg2＝， lg3＝. 故lg24＝lg3＋3lg2＝2a－b＋1，lg120＝1＋2lg2＋lg3＝. 数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数．现在，利用计算工具，也可以直接求出任意正数的常用对数或自然对数．这样，如果能将其他底的对数转换为以10或e为底的对数，就能方便地求出这些对数． 探究 （1）利用计算工具求，的近似值； （2）根据对数的定义，你能利用，的值求的值吗？ （3）根据对数的定义，你能用表示（，且；，且）吗？ 设，则，于是． 根据性质（3）得，即 （，且；，且）． 我们把上式叫做对数换底公式． 在4.2.1的问题1中，求经过多少年地景区的游客人次是2001年的2倍，就是计算的值．由换底公式，可得，利用计算工具，可得． 由此可得，大约经过7年，地景区的游客人次就达到2001年的2倍．类似地，可以求出游客人次是2001年的3倍，4倍，…所需要的年数． 例5 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为 ． 2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）？ 解：设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为和． 由，可得． 于是， 利用计算工具可得，． 虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级，但前者释放出来的能量却是后者的约32倍． 想一想，为什么两次地震的里氏震级仅差1级，而释放的能量却相差那么多呢？ 【变式】科学家研究发现，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系是.据中国地震台网测定，2022年1月8日，11时24分在智利中部沿岸近海发生5.9级地震，1时45分在中国青海海北州门源县发生6.9级地震，设智利中部沿岸近海地震所释放的能量为，门源县地震所释放的能量为，则的近似值为（    ） A．15 B．20 C．32 D．35 【答案】C 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算 【分析】根据对数的运算即可求解. 【详解】所以 故选:C 5、 能力提升 题型一　对数运算性质的应用 【练习1】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数幂的运算、对数的运算 【分析】根据指数幂的运算和对数的运算性质，逐项运算，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，根据实数指数幂的运算，可得，所以A、C不正确； 由对数的运算性质，可得，所以B是正确的； 对于D中，根据对数的化简，可得，而是无意义的. 故选B. 【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算性质，以及对数的运算性质的应用，其中解答中熟记指数幂的运算性质，以及对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 【感悟提升】对数式化简与求值的策略 (1)“合”：将同底的两对数的和(差)合并成积(商)的对数，即公式逆用． (2)“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)，即公式的正用． (3)“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用lg 2＋lg 5＝1，进行化简与求值． 题型二　换底公式的应用 【练习2】(多选题）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、基本不等式求和的最小值 【分析】取对数，利用对数的性质对各选项逐一判断即可. 【详解】对A，由，可得，所以A错误； 对B，由，得，因为，所以，所以B正确； 对C，由，，可得，，所以，所以C正确； 对D，由，，可得， 因为，所以等号不成立，所以，又，所以，所以D正确. 故选：BCD 利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 题型三　对数运算的综合应用 【例题3】若为偶函数，则（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【知识点】对数的运算、由奇偶性求参数 【分析】根据函数奇偶性的定义以及对数运算得出结果. 【详解】函数定义域为， 因为函数为偶函数，所以，， 即， 所以，即， 可得． 故选：D. 【感悟提升】1．应用对数的运算性质解对数方程的三种方法 (1)定义法：解形如b＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的方程时，常借助对数的定义等价转化为f(x)＝ab求解． (2)转化法：适用于同底型，即通过对数的运算把形如logaf(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的方程，等价转化为f(x)＝g(x)，且求解． (3)换元法：适用于f(logax)＝0(a>0，且a≠1)形式的方程的求解问题，这类方程一般可通过设中间变量的方法(换元法)来解． 2．对数式、指数式综合运算的技巧 (1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化． (2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解． 题型四　实际问题中的对数运算 【例题4】一种放射性元素最初的质量为，按每年衰减．则这种放射性元素的半衰期为（    ）年.（注：剩余质量为最初质量的一半，所需的时间叫做半衰期），（结果精确到，已知，） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【解析】先根据题意列出关于时间的方程，然后利用指对互化以及对数换底公式并结合所给数据可计算出半衰期. 【详解】设放射性元素的半衰期为年，所以， 所以，所以，所以， 所以，所以，所以，所以， 故选：B. 【感悟提升】　求解和对数有关的实际问题的思路： （1）根据题设条件列出符合的关于待求量的等式； （2）利用指对互化、对数运算法则以及对数运算性质、对数换底公式求解出待求量的值. 6、 课堂总结 1．知识清单： (1)对数的运算性质． (2)对数运算性质的运用． (3)利用对数的运算性质化简、求值． 2．方法归纳：转化法． 3．常见误区：要注意对数的运算性质的结构形式，易混淆，且不可自创运算法则． 7、 作业设计 作业1：教科书第140〜141页习题4. 4第3、5、9、10、12、13题. 作业2：进一步总结比较大小的方法. 练习（第126页） 1．求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 1．解析：（1）； （2）； （3）； （4）． 2．用，，表示下列各式： （1） ； （2） ； （3） ； （4）． 2．解析：（1）； （2）； （3）； （4）． 3．化简下列各式： （1）； （2）． 3．解析：（1）； （2） ． 习题4.3（126页） 复习巩固 1．把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5） （6） （7） （8）． 1．解析： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7） （8）． 2．选择题 （1）使式子有意义的的取值范围是（ ） （A） （B） （C） （D）且 解析：且，故选． （2）若与互为相反数，则（ ） （A） （B） （C） （D） 解析：，故选． 3．求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 3．解析：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 4．求满足下列条件的的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 4．解析：（1）； （2）； （3）； （4）． 综合运用 5．已知，，求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 5．解析：（1）； （2）； （3）； （4）． 6．求满足下列条件的各式的值： （1）若，求的值； （2）若，求的值． 6．解析：（1）； （2）． 7．证明： （1）； （2）． 解析：（1）；（2）． 8．某地GDP的年平均增长率为6.5%，按此增长率，多少年后该地GDP会翻两番？ 8.解析：设年后该地GDP会翻两番．由题意知，，． 所以大约22年后该地GDP会翻两番． 拓广探索 9．我们可以把看作每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是．利用计算工具计算并回答下列问题： （1）一年后“进步”的是“落后”的多少倍？ （2）大约经过多少天后“进步”的分别是“落后”的10倍、100倍、1000倍？ 9．解析：（1）因为，所以一年后进步的是落后的1481倍． （2）由，得，所以大约经过116天进步的是落后的10倍； 同理可得，所以大约经过231天进步的是落后的100倍； ，所以大约经过346天进步的是落后的1000倍 （2），． 10．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1 mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？ 10．解析：设后100 ml血液中酒精含量为，则，即．当时，有，即，则．所以，该驾驶员至少经过5 h才能驾驶． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$