第二章导数单元检测卷-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019选择性必修第二册

2024-2025学年高二下学期数学北师大版选修二第二章导数单元检测卷 (时间:120分钟 满分:150分) 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.设函数 f(x)在R上可导,其导函数为 f'(x),且函数. 的图象如图下所示，则下列结论一定成立的是( ). A.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(-2) C.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(1) D.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(2) 2.函数 的单调递减区间是( ). A.(-2,3) B.(-∞,-2),(3,+∞) C.(3,+∞) D.(0,3) 3.函数 在区间[0，2]上的最大值是3，则a 的值为( ). A.2 B.1 C.-2 D. -1 4.若函数 在(1,2)上有极值,则实数a 可以取( ). A.1 B.3 C.5 D.7 5.已知函数 f(x)= ax-lnx,若f(x)>1在区间(1,+∞)内恒成立,则实数a的取值范围是( ). A.(-∞,1) B.(-∞,1] C.(1,+∞) D.[1,+∞) 6.如右图，将直径为d 的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x 的积成正比(强度系数为k，k>0).要将直径为 d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x 应为( ). B. d/2 7.对于 R上可导的任意函数 f(x)，若满足( 则必有( ). A. f(0)+f(2)<2f(1) B. f(0)+f(2)>2f(1) C. f(0)+f(2)≤2f(1) D. f(0)+f(2)≥2f(1) 8.已知函数 若f(x)=0在区间 上有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围为( ). A.(0,+∞) 二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分) 9.已知函数 则( ). A. f(x)有两个极值点 B. 直线 y=2x 是曲线y=f(x)的切线 C. f(x)有一个零点 D. 过点(1,0)与曲线 y=f(x)相切的直线有且只有1条 10.已知函数 f(x)= ln(x+2)+ ln(4-x),则下列说法正确的是( ). A. f(x)在区间(-2,1)上单调递增 B. f(x)在区间(1,+∞)上单调递减 C. f(x)的图象关于直线x=1对称 D. f(x)的图象关于点(1,0)对称 11.已知函数f(x)是定义在 R上的奇函数,且其图象连续. 当x>0时, lnx--1< 则关于x 的不等式f(x)<0的解集可能为( ). A.(-∞,--1)∪(0,1) B.(-∞,-e)∪(0,e) C.(-∞,-4)∪(0,4) D.(-∞,-3e)∪(0,3e) 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在题中横线上) 12.若函数 在(0，2)上的极大值为最大值，则m 的取值范围是 . 13.若当x∈[--1,2]时, 恒成立，则实数m 的取值范围是 . 14.若存在正数x 使 成立，则实数a 的取值范围是 . 四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(10分)已知函数 在x=-2时取得极值. (1)求曲线 y=f(x)在(-1,f(--1))处的切线方程. (2)求f(x)在区间[-1,2]上的最大值与最小值. 16.(12分)已知函数. ，其中a 为常数. (1)当a=-1时,求 f(x)的极值. (2)若f(x)是区间 上的单调函数，求实数a 的取值范围. 17.(12 分)已知函数 (1)当 时,求f(x)的极值. (2)若 f(x)在区间 上单调递增，求实数a 的取值范围. 18.(12分)一个帐篷，它下半部分的形状是高为 1m 的正六棱柱，上半部分的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥(如图）当帐篷的顶点 O 到底面中心( 的距离为多少时，帐篷的体积最大? 19.(12 分)已知函数 (1)讨论 f(x)的单调性. (2)若 恒成立，求a 的取值范围. 答案 1. D 2. D 3. B 4. B 5. D 6. C 7. D 8. C 9. AC 分析: 令 解得 或 令 解得 所以f(x)在 上单调递增，在 上单调递减，且 所以f(x)有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项 A, C正确. 假设y=2x 是曲线 y=f(x) 的切线,设切点为(a, b), 则 解得 或 显然(1, 2) 和(-1, - 2) 均不在曲线 y=f(x)上, 故选项 B错误. 对于选项 D，设切点为(m，n)，可得切线的斜率为 则切线方程为 (x-m), 代入(1, 0), 可得 整理为 解得m=0或 可得切线的斜率为-1或 则切线方程为 y=-x+1或 故过点(1, 0)与曲线y=f(x)相切的直线有2条. 故选项 D错误. 故选 AC. 10. AC分析：由题意得解得--2<x<4, 即函数 f(x)的定义域为(-2, 4),f(x)= ln(x+2)+ ln(4-x)= ln[(x+2)(4 令 则 t= 在(-2,1)上单调递增, 在(1,4)上单调递减, 所以 f(x)在(-2, 1)上单调递增, 在(1, 4)上单调递减, A正确, B错误. 因为 f(1-x)= ln(3-x)+ ln(3+x),f(1+x)= ln(3+x)+ ln (3--x), 所以f(1-x)=f(1+x), 则f(x)的图象关于直线x=1对称, C正确, D错误. 故选 AC. 11. BC 分析: 因为当x>0 时, ln x-1< 且f(0)=0, 令 则 令 则 所以 因为 所以令 则x>e; 令 则x<e. 所以 在(0, e)上单调递减, 在(e,+∞)上单调递增，且当. 时， 所以当x∈ [e², +∞)时, f(x)> xlnx-2x≥0. 因为 所以令 则 又因为x>0，所以 故m(x)在(0, +∞)上单调递增. 设 所以 在(0, x₀)上单调递减，在(x₀，+∞)上单调递增. 且当 时, x=0(舍去)或x= ln 4, 所以当 x∈ (0, ln 4]时, . 4x≤0, 所以当x>0 时, f(x)<0 的解集可能为(0, t), 其中t∈(ln4, e²). 又因为 f(x)是奇函数, 所以 f(x)<0的解集可能为(-∞, - t)∪(0, t). 而t∈( ln 4, e²), 但1∉( ln 4, e²), 故 A 错误;e∈( ln 4, e²),故B正确； 4∈( ln 4, e²), 故 C正确; 3e∉(ln4, e²), 故D错误. 12. (0, 3) 分析: x(-3x+2m),令 得x=0或 由题意得m>0，当 时，f'(x)>0, f(x)单调递增; 当 时, f'(x)<0, f(x)单调递减. 为极大值. 13. (2, +∞) 分析: 记 所以 令 f'(x')=0, 得 或x=1. 又因为 f(-1)=-1, f(1)=-1, 所以当x∈[-1, 2]时,f(x) max=2, 所以m>2. 14. (-1, +∞) 分析: 因为2*(x-a)<1,所以 令 所以 所以f(x)在(0, +∞)上单调递增, 所以 f(x)>f(0)=0-1=-1, 所以a 的取值范围为((-1, +∞). 15. 解: (1)因为 所以 所以f'(-2)=12-4a=0,解得a=3, 所以 所以 当--2<x<0时, f'(x)<0; 当x>0或x<-2时, f'(x)>0,所以f(x)在(-∞, - 2)和(0, +∞)上单调递增, 在(-2, 0)上单调递减, 在x=-2处取得极大值，符合题意. 又f'(-1)=-3, f(-1)=0, 即切点为(-1, 0), 切线的斜率k=-3,所以曲线y=f(x)在(-1, f(-1))处的切线方程为y=-3x-3. (2)因为x∈[-1, 2], 由(1)可知 f(x)在(0, 2]上单调递增, 在[-1, 0]上单调递减,所以 因为f(-1)=0, f(2)=18, 所以f(x) max=f(2)=18. 16. 解: (1)当a=-1时, 所以f(x)在区间(0, 1)上单调递减,在区间(1，+∞)上单调递增，于是 f(x)有极小值 f(1)=0, 无极大值. (2)易知 在区间( ,1)上单调递增. 又由题意可得 在区间( ,¹)上不变号， 所以 或.f'(1)≤0, 解得a≥1或a≤-1, 即a 的取值范围为(-∞, - 1]∪[1, +∞). 17. 解: (1)函数的定义域为(0, +∞). 因为 所以当a=0时, f(x)=2x-lnx, 则 令 得 当x变化时, f'(x), f(x)的变化情况如 下表： x (o, ( , +∞) f'(x) — 0 + f(x) 极小值 所以当 时, f(x)取得极小值1+ln2,无极大值. (2)由已知, 得 且x>0, 则 若a=0, 由(1)中.f'(x)≥0,得 显然不符合题意； 若a≠0, 因为函数 f(x)在区间 上单调递增， 所以f'(x)≥0在 上恒成立，即不等式 在 上恒成立， 即 对x∈[1/3,2]恒成立，故 而当 时， 取得最大值3，所以实数a 的取值范围为[3，+∞). 18. 解: 设OO₁为x m(1<x<4), 底面正六边形的面积为 S m², 帐篷的体积为 V m³. 则由题设可得正六棱锥底面边长为 于是底面正六边形的面积为 所以帐篷的体积为 求导数，得 令V'=0, 解得x=-2(舍去)或x=2. 当1<x<2时, V'>0; 当2<x<4时, V'<0. 所以当x=2时, V 最大. 即当OO₁为2m 时，帐篷的体积最大. 19. 解: (1)由 f(x)= ax+ lnx+1, 得 f'(x)= 当 a≥0 时, f'(x)> 0, 则 f (x)在(0, +∞)上单调递增. 当a<0时, 由 f'(x)>0,得 由 得 则 f (x)在 上 单 调 递 增，在 上单调递减. (2)由 f(x)≤xe²恒成立得 对任意x∈(0, +∞)恒成立. 令 则 令 易 知 h (x)在(0, +∞)上单调递增. 因为 所以存在 使得 当x∈(0, x₀)时, h(x)<0, 所以g'(x)<0; 当 x∈(x₀, +∞)时, h(x)>0, 所以 所 以 g (x)在 (0, x₀) 上 单 调 递 减, 在(x。,+∞)上单调递增, 所以 因为 所以 令φ(x)=xe²,显然φ(x)在(0, +∞)上单调递增，所以 即 所以所以a≤1. 故a 的取值范围是(-∞, 1]. 学科网（北京）股份有限公司 $$