山东省泰安市新泰第一中学（新泰中学校区）2024-2025学年高二上学期数学期中模拟考试试题

数 学 第 1 页（共 6 页） 数 学 第 2 页（共 6 页） 数 学 第 3 页（共 6 页） 学科网（北京）股份有限公司 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学· 新泰中学2023级高二上学期期中模拟考试 答题卡 姓名： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、单项选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、多项选择题（每小题 6 分，共 18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 贴条形码区 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准 择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选 体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 破。 5．正确填涂 缺考标记 班级：__________ 数 学 第 4 页（共 6 页） 数 学 第 5 页（共 6 页） 数 学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 1 学科网（北京）股份有限公司 新泰中学 2023 级高二上学期期中模拟考试 数学试题 2024.11 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在 答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：选择性必修第一册第一章、第二章、第三章椭圆； 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题5 分，共 40 分.在每个小题绐岀的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1．若点  1, 2P  到直线 l： 3y x a  的距离为 10 ，则 a （ ） A．5 B． 15 C．5或 15 D． 5 或 15 2．设 , Rx y ，向量  ,1,1a x r ，  1, ,1b y r ，  2, 4,2c    且 a c   ， / /b c   ，则 a b    （ ） A．3 B． 10 C． 2 2 D．4 3．“ 6m  ”是“方程 2 2 2 16 x y m m    表示的曲线是椭圆”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．下列命题中正确的是（ ） A．点  3, 2,1M 关于平面 yOz对称的点的坐标是  3, 2, 1  B．若直线 l的方向向量为  1, 1, 2e   ，平面 的法向量为  6,4, 1m   ，则 l  C．已知 O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若 1 2 OP mOA OB OC       ，则 1 2 m   D．若直线 l的方向向量与平面 的法向量的夹角为120，则直线 l与平面 所成的角为30o 5．已知圆 2 2: 3 3 0C x y mx y     关于直线 : 0l mx y m   对称，则实数m （ ） A．1或 3 B．3 C．1 D． 1 或 3 2 学科网（北京）股份有限公司 6．已知点 , ,A B C 在圆 2 2 4x y  上运动，且 ,B C的中点为 (1,0)D ，若点 P的坐标为 (5,0)，则 | |PA PB PC     的 最大值为（ ） A．15 B．13 C．11 D．17 7．已知圆�1：�2 + �2 = 1，圆�2： � − 3 2 + � − 4 2 = 16，则下列说法正确的是（ ） A．圆�1与圆�2公共弦所在直线的方程为 3� + 4� − 5 = 0 B．圆�1与圆�2有两条公切线 C．圆�1与圆�2上均恰有两点到直线 3� + 4� − 5 = 0的距离为 2 D．� =− 1是圆�2与圆�2的一条公切线 8．如右图，已知四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD是边长为 4 的菱形，且 3 DAB   ， PD 底面 ABCD，若点D到平面PAC的距离为 2，则 PD （ ） A．2 2 B． 2 C．1 D．2 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分 9．已知椭圆 2 2 : 1 25 9 x yC   ， 1F， 2F 分别为它的左右焦点，点 P是椭圆上的一个动点，下列结论中错误的有（ ） A．点 P到右焦点的距离的最大值为9 B．焦距为10 C．若 1 2 90F PF   ，则 1 2F PF△ 的面积为9 D． 1 2F PF△ 的周长为 20 10．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图 1，把三片这样的达・芬奇方砖拼成图 2的组合，这个组合再转换成图 3所示的几何体.若图 3中每个正方体的 棱长为 1，则（ ） A． 12 2CG AB AA     B．直线CQ与平面 1111 DCBA 所成角的正弦值为 2 3 C．点 1C 到直线CQ的距离是 5 3 D．异面直线CQ与 BD所成角的余弦值为 3 6 3 学科网（北京）股份有限公司 11．下列说法不正确的是（ ） A．“直线 2 1 0a x y   与直线 2 0x ay   互相垂直”是“ 1a   ”的充分不必要条件 B．直线 sin 2 0x y    的倾斜角 的取值范围是 π 3π0, , π 4 4           C．若圆  2 2 2: ( 4) ( 4) 0M x y r r     上恰有两点到点  1,0N 的距离为 1，则 r的取值范围是  4,6 D．设b为实数，若直线 y x b  与曲线 21x y  恰有一个公共点，则 1 1b   三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共计 15 分. 12．经过点  1,3 且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 . 13．已知点 A(1，0，0)，B(1，0，2)，C(1，1，1)，则点 A到直线 BC的距离是 ., 14．已知椭圆 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b     的左、右焦点分别为�1、�2，过点 2F 的直线交椭圆于 A、B两点，若 1AB F B ， 1 4sin 5 F AB  ，则该椭圆的离心率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共计 77 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本题 13 分） 已知一条动直线    3 1 1 6 2 0m x m y m      ， (1)求直线恒过的定点 P的坐标； (2)若直线与 x、y轴的正半轴分别交于 A，B两点，O为坐标原点， AOBV 的面积为 6，求直线的方程. 16．（本题 15 分） 如图，在四棱锥 S ABCD 中，四边形 ABCD是矩形， SAD 是正三角形，且平面 SAD 平面 ABCD， 1AB  ， P为棱 AD的中点，四棱锥 S ABCD 的体积为 2 3 3 ． (1)若 E为棱 SB的中点，求证： / /PE 平面 SCD； (2)在棱 SA上是否存在点M ，使得平面 PMB与平面 SAD所成锐二面角的余弦值为 2 3 5 ？若存在，指出点M 的位置并给以证明；若不存在，请说明理由. 4 学科网（北京）股份有限公司 17.（本题 15 分） 在平面直角坐标系 xOy中，圆C经过点 ( )1,0A 和点  1,2B  ，且圆心在直线 2 2 0x y   上. (1)求圆C的标准方程； (2)若直线 3x ay  被圆C截得弦长为2 3，求实数 a的值. 18.（本题 17 分） 在四棱锥 P ABCD 中， BC AD∥ ， PA AD ，平面PAB 平面 ABCD， 120BAD  ，且 1 2 2 PA AB BC AD    . (1)求证： PA 平面 ABCD； (2)求直线 PB与平面 PAD所成角的正弦值； (3)求二面角 B PC D  的余弦值. 19．（本题 17 分） 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yC a b a b     的左、右焦点分别为 1 2,F F ，且 1 2 2FF  ，过点 2F 作两条直线 1 2,l l ，直线 1l 与 C交于 ,A B两点， 1F AB 的周长为 4 2 ． (1)求C的方程； (2)若 1F AB 的面积为 4 3 ，求 1l 的方程； (3)若 2l 与C交于 ,M N两点，且 1l 的斜率是 2l 的斜率的 2 倍，求 MN AB 的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 新泰中学 2023 级高二上学期期中模拟考试 数学试题答案 2024.11 一、选择题：1．C. 2．A. 3．C 4．D 5．B 6．A 7．D 8．D 9.BD 10．BC 11．AD 11【解】A.由两直线垂直得， 2 1 ( 1) ( ) 0a a      ，解得 0a  或 1 ， “ 0a  或 1 ”是“ 1a   ”的必要不充分条件，选项 A错误. B.由 sin 2 0x y    得， sin 2y x    ，直线斜率 sink   ， ∵ 1 sin 1   ，∴ 1 1k   ，即 1 tan 1   ， ∵ [0, π)  ，∴倾斜角 的取值范围是 π 3π0, , π 4 4           .选项 B正确. C.到点 (1,0)N 距离为1的点在圆 2 2: ( 1) 1N x y   上， 由题意得， (4,4)M ，圆  2 2 2: ( 4) ( 4) 0M x y r r     与圆 2 2: ( 1) 1N x y   有两个公共点，两圆相 交， ∵圆心距 2 2(4 1) (4 0) 5MN = - + - = ， ∴ 1 5 1r r    ， ∴4 6r  ,即 r的取值范围是  4,6 ，选项 C正确. D.由 21x y  得 2 2 1( 0)x y x   ，曲线表示圆心为原点，半径为1的半圆，如图所示， 当直线 y x b  过点 (0,1)A 时， 1b  ， 当直线 y x b  过点 (1,0)B 和点 (0, 1)C  时， 1b   ， 当直线 y x b  与半圆相切于点D时， 由圆心O到直线 0x y b   的距离为1得 2 2 | 0 0 | 1 1 ( 1) b- + = + - ，解得 2b   或 2b  （舍）， 所以当直线 y x b  与曲线 21x y  恰有一个公共点时， 1 1b   或 2b   . 选项 D错误. 故选：AD. 三、填空题： 12．3 0x y  或 2 0x y   ． 13． 2 14． 5 3 2 学科网（北京）股份有限公司 14.【解】如图，设 1 4BF t ，因为 1AB F B ， 1 4sin 5 F AB  ，所以 1 5 , 3AF t AB t  ． 由椭圆定义可知， 2 1 2 12 =2 5 , 2 2 4AF a AF a t BF a BF a t       ， 由 2 2 4 9 3AB AF BF a t t     ，可得 1 3 t a ，所以 1 2 4 2, 3 3 BF a BF a  ． 在 1 2Rt F BF 中，由 2 2 21 2 1 2| | | | | |FF BF BF  ，可得 2 2 24 24 ( ) ( ) 3 3 a ac   ， 即得 2 29 5c a ，故得 5 3 ce a   ． 故答案为： 5 3 . 四、解答题： 15．【解】（1）由题意    3 1 1 6 2 0m x m y m      ，整理得    3 6 3 2 0x y m x y      ， 所以不管m取何值时，直线恒过定点 P的坐标满足方程组 3 6 0 3 2 0 x y x y        ， 解得 4 3 2 x y      ，即 4 ,2 3 P      .………………6分 （2）设直线方程为  1, 0, 0x y a ba b    ，则 12ab  ①…………7分 由直线恒过定点 4 ,2 3 P      ，得 4 2 1 3a b   ②…………8分 由①②整理得： 2 6 8 0a a   ，解得 4, 3a b  或 2, 6a b  所以直线方程为： 1 4 3 x y   或 1 2 6 x y   即3 4 12 0x y   或3 6 0x y   …………12分 又直线    3 1 1 6 2 0m x m y m      的斜率  3 1 63 3 1 1 m k m m           所以3 6 0x y   不合题意，则直线方程为3 4 12 0x y   .…………13分 16．【解】（1）取SC 中点 F，连接 ,EF FD， ,E F 分别为 ,SB SC的中点， / /EF BC ， 1 2 EF BC 底面四边形 ABCD是矩形， P为棱 AD的中点， 3 学科网（北京）股份有限公司 / /PD BC ， 1 2 PD BC ． / /EF PD ， EF PD ， 故四边形 PEFD是平行四边形， / /PE FD\ ．………………5分 又 FD  平面 SCD，PE 平面 SCD， / /PE 平面 SCD．………………6分 （2）假设在棱 SA上存在点M满足题意， 在等边 SAD 中， P为 AD的中点，所以 SP AD ， 又平面 SAD 平面 ABCD，平面 SAD平面 ABCD AD＝ ， SP平面 SAD， SP 平面 ABCD，则 SP是四棱锥 S ABCD 的高．…………7分 设  0AD m m  ，则 3 2 SP m ， ABCDS m矩形 ， 1 1 3 2 3 3 3 2 3ABCDS ABCD V S SP m m矩形四棱锥       ， 所以 2m＝ ………………9分 以点 P为原点，�� ，PS  的方向分别为 ,x z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则  0,0,0P ，  1,0,0A ，  1,1,0B ，  0,0, 3S ， 故  1,0,0PA   ，  1,1,0PB  uur ，  1,0, 3AS   ． 设   ,0, 3 0 1AM AS         ，  1 ,0, 3PM PA AM         ． 设平面 PMB的一个法向量为  1 , ,n x y z  ， 则 1 1 (1 ) 3 0 0 n PM x z n PB x y                 取  1 3 , 3 , 1n       ．………………11分 易知平面 SAD的一个法向量为  2 0,1,0n  uur …………12分 1 2 1 2 2 1 2 3 2 3cos , 7 2 1 5 n n n n n n - l× \ = = = l - l + uv uuv uv uuv uv uuv ， 4 学科网（北京）股份有限公司 0 1  ， 2 3   ………………14分 故存在点M，位于 AS靠近点S的三等分点处满足题意.…………15分 17.【解】（1）因为 ( )1,0A ，  1,2B  的中点为  0,1E ，且直线 AB的斜率 2 0 11 1ABk       则线段 AB的垂直平分线所在直线的方程为 1y x  ......................3分 联立方程 1 2 2 0 y x x y       ，解得 1 0 x y     .............................6分 即圆心  1,0C  ， 2r CA  所以，圆C的方程为  2 21 4x y   ............................9分 （2）因为直线 3x ay  被曲线C截得弦长为2 3 则圆心到直线的距离 4 3 1d    ................................12分 由点到直线的距离公式可得 2 1 0 3 1 1 a a       ，解得 15a   .........................15分 18．解：（1）证明：过C作CE AB 于 E 因为 120BAD  ，所以CE与 AD相交 因为平面PAB 平面 ABCD，平面PAB平面 ABCD AB ，CE 平面 ABCD 所以CE 平面 PAB ......................................2分 因为PA平面 PAB，所以CE PA 因为 PA AD ，CE与 AD相交， ,CE AD 平面 ABCD 所以 PA 平面 ABCD；.............................4分 （2）取 BC的中点 F，连接 AF ， 因为BC AD∥ ， 120BAD  ，所以 60ABC   因为 2AB BC  ，所以 ABCV 为等边三角形， 3, 1AF BF CF   所以 AF BC ，因为BC AD∥ ，所以 AF AD ， 因为 PA 平面 ABCD， AF 平面 ABCD，所以 PA AF 所以 , ,AF AD AP两两垂直，.........................................6分 5 学科网（北京）股份有限公司 所以以A为原点， , ,AF AD AP所在的直线分别为 , ,x y z轴建立空间直角坐标系， 因为 1 2 2 PA AB BC AD    所以 (0,0,0), ( 3,0,0), ( 3, 1,0), (0,0, 2)A F B P 所以 ( 3, 1, 2), ( 3,0,0)PB AF      因为 PA AF ， AF AD ， PA AD A  ， ,PA AD 平面 PAD 所以 AF 平面 PAD，所以 AF  为平面 PAD的一个法向量…………8分 设直线 PB与平面 PAD所成角为 ，则 sin cos , PB AFPB AF PB AF         3 6 43 1 4 3      .............................10分 （3）因为 ( 3, 1,0), (0,0, 2), ( 3,1,0), (0, 4,0)B P C D 所以 ( 3,1, 2), ( 3,3,0), (0, 2,0)PC CD BC        设平面 PBC的法向量为 1 1 1( , , )m x y z  ，则 1 1 1 1 3 2 0 2 0 m PC x y z m BC y             ，令 1 2x  ，则 (2,0, 3)m   ..................12分 设平面 PCD的法向量为 2 2 2( , , )n x y z  ，则 2 2 2 2 2 3 2 0 3 3 0 n PC x y z n CD x y               ，令 2 1y  ，则 ( 3,1, 2)n   .......................14分 所以 2 3 2 3 42cos , 74 3 3 1 4 m nm n m n               …………16分 因为二面角 B PC D  为钝角， 所以二面角 B PC D  的余弦值为 42 7  ...............................17分 6 学科网（北京）股份有限公司 19．【解】（1）设椭圆的半焦距为 ( 0)c c  ，由题意知 2 2c  ，所以 1c  1F AB 的周长为 1 2 1 2 4 4 2AF AF BF BF a     ，所以 2a  所以 2 2 2 1b a c   故C的方程为 2 2 1 2 x y  ．............................4分 （2）易知 1l 的斜率不为 0，设    1 1 1 2 2: 1, , , ,l x my A x y B x y  联立 2 2 1 2 2 0 x my x y       ，得  2 22 2 1 0m y my    所以 1 2 1 22 2 2 1, 2 2 my y y y m m        ．............................6分 所以    22 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 4 2 m y y y y y y m        由   1 2 1 2 1 2 2 2 2 11 4 2 2 3F AB m S F F y y m      △ 解得 1m   所以 1l 的方程为 1 0x y   或 1 0x y   ．.......................10分 （3）由（2）可知   2 2 1 2 2 2 2 2 1 11 2 2 1 2 2 m AB m y y m m            ...................12分 因为 1l 的斜率是 2l 的斜率的 2倍，所以 0m  得 2 12 2 1 4 2 MN m      ．........................14分 所以 2 2 2 4 2 1 1 3 22 2 2 4 2 2 5 2 mMN AB m m m m           2 2 3 2 3 2 2 2 4 5 32 5m m      当且仅当 1m   时，等号成立， 所以 MN AB 的最大值为 2 3 ．..........................17分