重庆市荣昌中学校2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

荣昌中学校高2027届高一上期（半期）考试数学试题解析 一、单选题 1．设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为全集，集合，所以，又，所以，故选：A. 2．设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：.故选：B. 3．若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义域与值域，结合函数的性质判断即可. 【详解】对A，该函数的定义域为，故A错误； 对B，该函数的定义域为，值域为，故B正确； 对C，当时，每一个x值都有两个y值与之对应，故该图像不是函数的图像，故C错误； 对D，该函数的值域不是为，故D错误. 故选：B. 4．比较与（，）的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差化简比较大小即可. 【详解】因为，， 所以， 所以 ， 所以，故选：C 5．设，则p是q成立的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要条件 D．既非充分也非必要 【详解】由题得或，所以或，所以命题成立时，命题不一定成立，命题成立时，命题一定成立.所以p是q成立的必要不充分条件.故选：B 6．已知函数（其中b是实数）中，y的取值范围是，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为（    ） A．16 B．25 C．9 D．8 【详解】因为y的取值范围是，则，且，解得， 因为不等式的解集为， 则令，即，两根， 则， 即，且判别式， 解得，故选：A. 7．若对于任意实数都有,则 A．3 B．4 C． D． 【详解】解：对于任意实数都有， ，解得，．故选． 8．已知，则的最小值为（    ） A．16 B．18 C．8 D．20 【详解】解：因为，所以，又因为， 所以 （当且仅当即时等号成立），故选：B. 二、多选题 9．下列命题是真命题的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 【答案】BCD 【分析】举反例可得A错误；由不等式的性质可得B正确；作差后由题意可得C、D正确； 【详解】对于A，设，则，故A错误； 对于B，由不等式的性质可得若，则，故B正确； 对于C，， 因为且，所以，所以，且， 所以，所以，故C正确； 对于D，，因为，所以， 又，所以，故D正确； 故选：BCD. 10．已知，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为4 C．的最小值为 D．的最小值为0 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式判断A，利用基本不等式“1”的妙用判断B，利用完全平方公式与基本不等式判断C，利用代入消元法，结合基本不等式判断D，从而得解. 【详解】对于A，因为，，且，所以， 当且仅当时取等号，所以的最大值为，故A正确； 对于B，， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9，显然其最大值不可能为4，故B错误； 对于C，因为， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，故C正确； 对于D，由，，且，可知，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为0，故D正确. 故选：ACD. 11．下列说法不正确的是（ ） A．函数与是同一个函数 B．函数的图象与直线的交点最多有1个 C．若函数的定义域为，则函数的定义域为 D．函数的最小值为2 【答案】ACD 【分析】A选项，两函数定义域不同，不是同一函数；B选项，利用函数的定义可判断；C选项，根据抽象函数的定义域求法即可判断；D选项，利用基本不等式进行求解； 【详解】对于A，函数的定义域为R，的定义域为， 故函数与不是同一个函数，因此A不正确； 对于B，当函数在处无定义时，函数的图象与直线无交点， 当函数在处有定义时，函数的图象与直线只有个交点， 所以，函数的图象与直线的交点最多有个交点，因此B正确； 对于C，函数的定义域为，即， 则对于函数有，则，故函数定义域为，因此C不正确； 对于D，由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立，但无解，故等号取不到， 故的最小值不为2，因此D不正确； 故选：ACD. 三、填空题 12．若，，，则的取值范围为 【答案】 【分析】利用不等式的性质运算即可得解. 【详解】解：设，则， 解得：，，则， 而由，可得， 再由，可得， 所以， 即，可得. 故答案为：. 13．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法转化为二次函数求解值域即可． 【详解】根据题意知函数定义域为，令， 所以， 当时，，所以函数的值域为. 故选：C. 14．若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】对方程的两个根进行分类讨论，求出不等式的解集，再让解集中含有两个整数，由不等式求的取值范围. 【详解】令，解得或. 当，即时，不等式解得， 则不等式中的两个整数解为2和3，有，解得； 当，即时，不等式无解，所以不符合题意； 当，即时，不等式解得， 则不等式中的两个整数解为0和-1，有，解得. 综上，的取值范围是或. 故答案为：或. 【点睛】关键点睛：本题考查了一元二次不等式的解法以及分类讨论思想，掌握一元二次方程、一元二次函数和一元二次不等式三个二次之间的关系是解题关键. 四、解答题 15．已知函数的定义域为集合，， （1）求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），；（2）或． 【详解】试题分析：（1）由题可知：，所以，因此集合，画数轴表示出集合A，集合B，观察图形可求，，观察数轴，可以求出，则；（2）由可得：，分类讨论，当时，，解得：，当时，若，则应满足，即，所以，因此满足的实数的取值范围是：或． 试题解析：（1）：由得： ，= （2）当B=时， 当时，， 即或 ． 考点：1.函数的定义域；2.集合的运算；3.集合间的关系． 16．若正实数x，y满足. （1）若，求的最小值； （2）若求的最小值 【答案】（1）；（2）18. 【解析】（1）利用“1”的代换凑出积为定值后由基本不等式得最小值； （2）利用基本不等式得出关于不等式，解得可得． 【详解】（1），则，则， ∴ 当且仅当时取等号，∴的最小值为 （2），，∴，∴，的最小值为18.此时． 【点睛】易错点睛：本题考查用基本不等式求最值．利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 17．新能源开发能够有效地解决我国能源短缺和传统能源使用带来的环境污染问题，国家新能源政策的出台，给新能源产业带来了春天，已知浙江某新能源企业，年固定成本600万，每生产台设备，另需投入成本t万元，若年产量不足100台，则；若年产量不小于100台，则，每台设备售价150万元，通过市场分析，该企业生产的设备能全部售完. （1）写出年利润y（万元）关于年产量x（台）的关系式； （2）年产量为多少台时，该企业所获利润最大？ 【答案】（1）；（2）110台. 【解析】（1）分年产量不足100台和年产量不小于100台两种情况进行分析，利润=总收入-总投入，即得结果； （2）讨论分段函数最值，即得结果. 【详解】解：（1）依题意，若年产量不足100台，另外投本，固定投本600万，总收入150x万元，故利润；若年产量不小于100台，另外投本，固定投本600万，总收入150x万元，故利润. 故； （2）当时，，在对称轴处，取得最大值，； 当，时，，对勾函数在上递减，在上递增，故时，利润取得最大值，， 综上可知，当年产量为110台时，该企业所获利润最大为3660万元. 【点睛】本题解题关键是能准确根据利润=总收入-总投入，得到利润的分段函数，再求分段函数的最值即突破难点. 18．设． (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）由题设对一切实数x恒成立，讨论参数m，结合一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式组求范围即可. （2）讨论、，结合一元二次不等式的解法求解集. 【详解】（1）由题设，即对一切实数x恒成立， 当时，不恒成立； 当时，只需，可得； 综上，. （2）当时，，即，可得；解集为； 当时，， 若，则， 若，即时，可得或，解集为； 若，即时，可得，解集为； 若，即时，可得或，解集为； 若，则，可得，解集为. 19．若一个集合含有个元素，且这个元素之和等于这个元素之积，则称该集合为元“复活集”. (1)直接写出一个2元“复活集”（无需写出求解过程）； (2)求证：对任意一个2元“复活集”，若其元素均为正数，则其元素之积一定大于4； (3)是否存在某个3元“复活集”，其元素均为正整数?若存在，求出所有符合条件的3元“复活集”；若不存在，说明理由. 【答案】(1)（答案不唯一）； (2)证明见解析； (3)存在某个3元“复活集”，所有符合条件的3元“复活集”为：. 【分析】（1）根据“复活集”的定义写出一个2元“复活集”. （2）利用基本不等式证得结论成立. （3）先求得一个3元“复活集”，然后证明这个“复活集”是唯一的，从而确定正确答案. 【详解】（1）设一个2元“复活集”为（），则， 由于，所以一个2元“复活集”可为（答案不唯一）. （2）由上述分析可知，2元“复活集”（）满足， 若，则即， 所以（舍去）或即， 所以对任意一个2元“复活集”，若其元素均为正数，则其元素之积一定大于4. （3）设元“复活集”，其中都是正整数，且两两不相等， 根据集合元素的互异性和无序性，不妨设， 根据“复活集”可得， 因为，所以存在元素均为正整数的元“复活集”. 设，则，由， 得，整理得， 由于且都是正整数，所以， 所以，此时元“复活集”为. 当时，由，得，所以， 由于且都是正整数，所以只有满足， 但与矛盾，所以当时，不存在元素均为正整数的元“复活集”. 综上所述，存在某个3元“复活集”，所有符合条件的3元“复活集”为. 【点睛】关键点睛:在第（3）小问中的求解过程中，关键在于利用分类讨论和整数的性质，确定元素的取值范围.通过先假设一个元素等于1，利用方程的对称性和因式分解，找出了满足条件的所有正整数解，并证明了这个解的唯一性；再假设，由“复活集”定义和整数的性质得，从而再由正整数性质进一步可求解. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 荣昌中学校高2027届高一上期（半期）考试 数学试题 满分：150分 时间：120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名、班级填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 3．若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 4．比较与（，）的大小（    ） A． B． C． D． 5．设，则p是q成立的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要条件 D．既非充分也非必要 6．已知函数（其中b是实数）中，y的取值范围是，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为（    ） A．16 B．25 C．9 D．8 7．若对于任意实数都有,则 A．3 B．4 C． D． 8．已知，则的最小值为（    ） A．16 B．18 C．8 D．20 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9．下列命题是真命题的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 10．已知，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为4 C．的最小值为 D．的最小值为0 11．下列说法不正确的是（ ） A．函数与是同一个函数 B．函数的图象与直线的交点最多有1个 C．若函数的定义域为，则函数的定义域为 D．函数的最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若，，，则的取值范围为 13．函数的值域为 . 14．若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数的定义域为集合，， （1）求，； （2）若，求实数的取值范围. 16．（15分）若正实数x，y满足. （1）若，求的最小值； （2）若求的最小值 17．（15分）新能源开发能够有效地解决我国能源短缺和传统能源使用带来的环境污染问题，国家新能源政策的出台，给新能源产业带来了春天，已知浙江某新能源企业，年固定成本600万，每生产台设备，另需投入成本t万元，若年产量不足100台，则；若年产量不小于100台，则，每台设备售价150万元，通过市场分析，该企业生产的设备能全部售完. （1）写出年利润y（万元）关于年产量x（台）的关系式； （2）年产量为多少台时，该企业所获利润最大？ 18．（17分）设． (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)解关于x的不等式． 19．（17分）若一个集合含有个元素，且这个元素之和等于这个元素之积，则称该集合为元“复活集”. (1)直接写出一个2元“复活集”（无需写出求解过程）； (2)求证：对任意一个2元“复活集”，若其元素均为正数，则其元素之积一定大于4； (3)是否存在某个3元“复活集”，其元素均为正整数?若存在，求出所有符合条件的3元“复活集”；若不存在，说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$