精品解析：江苏省无锡市长泾中学2024-2025学年高一上学期期中检测数学试卷

2024年秋学期期中检测 高一数学试卷 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 若集合，则集合 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由并集运算的定义可得. 【详解】，， 根据并集运算的定义可得， . 故选：A. 2. 已知函数的对应关系如表所示，函数的图象是如图所示，则的值为（ ） 1 2 3 4 3 -1 A. -1 B. 0 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的定义及图表计算即可. 【详解】由图象可知，而由表格可知，所以. 故选：A 3. 已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数定义得到，求出或1，舍去不合要求的，代入求值. 【详解】令，解得或1， 若，则，与坐标轴没有公共点，满足要求， 若，则，与坐标轴有公共点，交点为原点，不合要求， 故. 故选：A 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数性质，结合已知判断条件间推出关系，进而确定它们的充分、必要关系. 【详解】由， 当时，由幂函数的性质知：必成立， 当时，也有， ∴“”是“”的充要条件. 故选：C 5. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数式与根式的互化以及指数的运算性质即可求解. 【详解】原式. 故选：A 【点睛】本题考查了指数式与根式的转化、指数的运算性质，需熟记指数的运算性质，属于基础题. 6. 已知函数，用表示中的较大者，记为，若的最小值为，则实数a的值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先画出两个函数的图象，得到的图象，根据最小值为进行数形结合可知，交点处函数值为，计算即得结果. 【详解】依题意，先作两个函数的草图， 因为，故草图如下：可知在交点A出取得最小值， 令，得，故，代入直线，得， 故. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于弄明白函数的图象意义，通过数形结合确定在交点处取得最值，计算即可突破. 7. 函数为偶函数，且对任意，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的条件，可得函数在上单调递增，再结合偶函数的性质求解不等式即得. 【详解】由任意，都有，得函数在上单调递增， 而函数为偶函数，则， 于是，即，则有，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C 8. 设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用可得，根据基本不等式最值成立的条件可得，代入可得关于的二次函数，利用单调性求最值即可. 【详解】由正实数，，满足， ． ， 当且仅当时取等号，此时． ，当且仅当时取等号， 即的最大值是1． 故选：D 【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则（ ） A. 的图象过点 B. 的图象关于y轴对称 C. 在上单调递增 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据函数的性质求解即可. 【详解】对于选项A，因为，所以的图象过点，故A正确； 对于选项B，函数定义域为R，且，所以为偶函数，图象关于y轴对称，故B正确； 对于选项C，当时，，根据幂函数性质可知，在上单调递增，故C正确； 对于选项D，因为，所以，故D错误. 故选：ABC 10. 下列各结论中正确的是（ ） A. “”是“”的充要条件 B. 函数的最小值为2 C. 命题“，”的否定是“，” D. 若函数有负值，则实数a的取值范围是或 【答案】AD 【解析】 【分析】 根据不等式的性质，基本不等式是成立条件，含有一个量词的命题的否定，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】对于A：因为，可得同号，且，所以，故A正确； 对于B：由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立，无解，故B错误； 对于C：命题“，”的否定是“，”，故C错误； 对于D：为开口向上的抛物线，有负值说明判别式，所以，解得或，故D正确. 故选：AD 11. 已知函数，若函数恰有个零点，则的值可能为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】首先画出函数的图象，利用函数零点的定义，转化为函数和有3个交点，利用数形结合，即可求的取值范围. 【详解】因为，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 当时，函数在上单调递减， 如图，画出函数的图象， 若函数有个零点，即有个实数根，即函数和有个交点， 结合图象，可知. 故选：BC. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 定义集合，的一种运算“”，，若，，则集合的所有元素的和____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题设，列举法写出集合，根据所得集合求和即可. 【详解】∵， ， ∴， ∴所有元素之和. 故答案为：. 13. 已知函数则______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据函数的解析式直接代入求函数值即可. 【详解】，， 故答案为：3 14. 二次函数的最大值记为，最小值记为，其中常数.若实数满足，则______，的最小值为__________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由函数可求得最大值与最小值，结合所给条件的包含关系和不等关系求解. 【详解】因为函数的图象开口向上， 所以当时取最小值，即， 当时取最大值，即，所以. 不等式，即，或， 又，所以，所以，由， 即，即对恒成立，所以， 即，所以的最小值为. 故答案为：； . 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求集合，结合交集运算求解； （2）根据题意可知：，分和两种情况，结合包含关系运算求解. 【小问1详解】 由题意得，集合， 当时，， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 当时，，即时，满足； 当时，即时，由，得，解得； 综上，实数a的取值范围是 16. 已知函数，． （1）若函数值时，其解集为，求与的值； （2）若关于的不等式的解集中恰有两个整数，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据二次不等式的解法及韦达定理即得； （2）分，，讨论，然后结合条件即得. 【小问1详解】 由题意可知的解集为， 所以， 即； 【小问2详解】 由，可得， ①当时，不等式的解集为， 若的解集中恰有两个整数解，则； ②当时，不等式的解集为， 若的解集中恰有两个整数解，； ③当时，不等式的解集为，不合题意； 综上所述，实数的取值范围是或． 17. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交. （1）求该函数的解析式，并画出图象； （2）判断该函数的奇偶性和单调性. 【答案】（1），； （2）为偶函数，在上为减函数，在上为增函数. 【解析】 【分析】（1）由函数图象过原点可得，又由图象无限接近直线可得，由此可求出函数的解析式，去掉绝对值再结合指数函数图象特征即可画出函数图象； （2）利用奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性，去掉绝对值得，根据单调性的性质即可求得函数的单调性． 【详解】解：（1）由题意知，，， ， ∴，图象如图： （2）∵， ∴， 为偶函数， 又， ∴在上为减函数，在上为增函数． 【点睛】本题主要考查指数函数图象的应用，属于基础题． 18. 如图， 是矩形对角线上一点，过作，，分别交、于、两点. （1）当，时，设，找出、的关系式，求四边形面积的最大值，并指出此时P点的位置； （2）当矩形的面积为6时，四边形的面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，请说明理由. 【答案】（1）；点P在BD中点时，四边形面积取最大值. （2）点P在BD中点时，四边形面积取最大值 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形可得，结合基本不等式求最值； （2）利用基本不等式可得，由此可求出四边形的面积的最大值. 【小问1详解】 在矩形中，，， ∴，，∵，， ∴， ，∴， 因为，所以，所以， 当且仅当取等号，此时点P在BD中点， 即点P在BD中点时，四边形面积取最大值. 【小问2详解】 由（1）可知， 因为，所以，所以， 当且仅当取等号，此时点P在BD中点， 即点P在BD中点时，四边形面积取最大值. 19. 已知． （1）求的最大值； （2）若关于x的方程有两个不等实根，求实数m的取值范围； （3）若a，b，c均为正实数，，证明：． 【答案】（1）0 （2） （3）证明：由（1）知：当时，， 不妨设，则，即， 所以 ， 即. 【解析】 【分析】（1）换元令，结合二次函数求最值； （2）根据题意分析可得在有两个不等实根，结合二次函数分析求解； （3）不妨设，则，由（1）知：当时，，可得，结合不等式性质分析证明. 【小问1详解】 由题知：，，所以的定义域为， 令，则， 令，，因为开口向下，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即的最大值为0. 【小问2详解】 因为关于x的方程有两个不等实根， 所以，即在有两个不等实根， 因为在上单调递增，在上单调递减， 且，， 所以实数m的取值范围是. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋学期期中检测 高一数学试卷 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 若集合，则集合 （ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的对应关系如表所示，函数的图象是如图所示，则的值为（ ） 1 2 3 4 3 -1 A. -1 B. 0 C. 3 D. 4 3. 已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（ ） A. B. C. 2 D. 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，用表示中的较大者，记为，若的最小值为，则实数a的值为（ ） A. 0 B. C. D. 7. 函数为偶函数，且对任意，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则（ ） A. 的图象过点 B. 的图象关于y轴对称 C. 在上单调递增 D. 10. 下列各结论中正确的是（ ） A. “”是“”的充要条件 B. 函数的最小值为2 C. 命题“，”的否定是“，” D. 若函数有负值，则实数a的取值范围是或 11. 已知函数，若函数恰有个零点，则的值可能为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 定义集合，的一种运算“”，，若，，则集合的所有元素的和____________. 13. 已知函数则______. 14. 二次函数的最大值记为，最小值记为，其中常数.若实数满足，则______，的最小值为__________ 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数a的取值范围． 16. 已知函数，． （1）若函数值时，其解集为，求与的值； （2）若关于的不等式的解集中恰有两个整数，求实数的取值范围． 17. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交. （1）求该函数的解析式，并画出图象； （2）判断该函数的奇偶性和单调性. 18. 如图， 是矩形对角线上一点，过作，，分别交、于、两点. （1）当，时，设，找出、的关系式，求四边形面积的最大值，并指出此时P点的位置； （2）当矩形的面积为6时，四边形的面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，请说明理由. 19. 已知． （1）求的最大值； （2）若关于x的方程有两个不等实根，求实数m的取值范围； （3）若a，b，c均为正实数，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $