第二章直线和圆的方程章末检测-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

直线和圆章末检测 姓名___________ 班级_________ 满分150分，考试用时120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．经过，两点的直线的一个方向向量为，则（   ） A． B．1 C．3 D．4 2．直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 3．已知圆与圆相切，则（    ） A． B． C． D．或 4．已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 5．“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则 的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．从点发出的光线， 经过直线反射， 则反射光线恰好经过点，则反射光线所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 7．设点，斜率为的直线过点且与线段相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知，，圆（）恰有2个点P满足，则可取（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知直线和直线的交点为，则过点且与和距离相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 10．已知圆，圆，则（    ） A．直线的方程为 B．圆经过，两点，则圆的面积的最小值为 C．与圆和圆都相切的直线共有四条 D．若，分别为圆，圆上两动点，则的最大值为10 11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，.点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（   ） A．曲线的方程为 B．过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率范围是 C．曲线上的点到直线的最小距离为 D．过点作曲线的一条切线，切点为F，则等于 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若圆与圆相交于两点，且，则实数 ． 13．过点的直线分别与轴、轴交于不同的A，B两点，为坐标原点，若存在4条直线使得的面积均为，则的取值范围是 . 14．在平面直角坐标系中，已知点A，B在圆心为C的圆上运动，且．若直线l：上存在点，使得成立，其中为原点， 则实数的取值范围为   ． 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 已知以点为圆心的圆与直线相切. (1)求圆的方程; (2)过点的直线与圆相交与两点， 当时，求直线方程； (3)已知实数满足圆的方程，求的最小值. 16.（本小题15分） 已知圆（为常数）． (1)当时，求直线被圆截得的弦长． (2)证明：圆经过两个定点． (3)设圆经过的两个定点为，，若，且，求圆的标准方程． 17.（本小题15分） 已知圆． (1)求过点且与圆相切的直线的方程； (2)若点是圆上两点， ①若共线，求的面积最大值及此时直线的方程； ②若直线斜率存在，且直线与斜率互为相反数，证明：直线经过定点． 18.（本小题17分） 已知动点M与两个定点的距离的比为，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程，并说明其形状； (2)已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线PQ，为切点），连接PD交QR于点， （ⅰ）证明：直线QR过定点，并求该定点坐标； （ⅱ）是否存在点P，使的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 19.（本小题17分） 已知点，圆.直线与圆相交于A、B两点，. (1)若直线过点，求直线的方程； (2)①若线段AB的中点为，求点的轨迹方程； ②过点作直线与曲线交于两点M、N，设的斜率分别为，求证：为定值. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 直线和圆章末检测解析版 姓名___________ 班级_________ 满分150分，考试用时120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．经过，两点的直线的一个方向向量为，则（   ） A． B．1 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由题设条件可得，解得3. 故选：C. 2．直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设直线的倾斜角为， 因为该直线的斜率为，所以，所以， 故选：A 3．已知圆与圆相切，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】由题意知：圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径； 则两圆圆心距； 若两圆内切，则，即，解得：； 若两圆外切，则，即，解得：； 综上所述：或. 故选：D. 4．已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，圆的圆心坐标为，圆和圆的半径均为1， 设圆心关于直线的对称点为， 则，解得，所以圆的标准方程为. 故选：D 5．“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则 的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记，则为直线的斜率， 故当直线与半圆相切时，斜率最小， 设，则，解得或（舍去）， 即的最小值为. 故选：C. 6．从点发出的光线， 经过直线反射， 则反射光线恰好经过点，则反射光线所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设点关于直线的对称点为， 直线的斜率为，，的中点坐标为， 则 ，解得 ， 由题意可知，D在反射光线上，又反射光线恰好通过点， 则 ，即反射光线所在直线的斜率为. 故选：A 7．设点，斜率为的直线过点且与线段相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，直线的斜率， 直线的斜率， 所以当直线与线段相交时， 的斜率的取值范围是. 故选：D 8．已知，，圆（）恰有2个点P满足，则可取（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】设动点，由，得， 整理得， 又圆（）恰有2个点P满足， 所以两圆相交.圆的圆心坐标为，半径为2， 圆的圆心坐标为，半径为，两圆的圆心距为5， 当两圆相交时，. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知直线和直线的交点为，则过点且与和距离相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】依题意，联立，解得，即， 直线AB的斜率为，线段AB的中点坐标为， ①若所求直线与直线AB平行时，则所求直线的方程为，即； ②若所求直线过AB的中点时，则所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即； 综上所述，所求直线方程为或. 故选：BD. 10．已知圆，圆，则（    ） A．直线的方程为 B．圆经过，两点，则圆的面积的最小值为 C．与圆和圆都相切的直线共有四条 D．若，分别为圆，圆上两动点，则的最大值为10 【答案】ABD 【详解】圆，其圆心，半径， 圆，其圆心，半径， 对于A，直线的方程为，即，所以A正确； 对于B，因为， 当为圆的直径时，该圆面积最小，面积的最小值为，所以B正确； 对于C，因为，可得，可知圆与圆外切， 所以两圆的公切线共有3条，所以C错误； 对于D，当，，，共线时，取得最大值，所以D正确. 故选：ABD. 11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，.点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（   ） A．曲线的方程为 B．过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率范围是 C．曲线上的点到直线的最小距离为 D．过点作曲线的一条切线，切点为F，则等于 【答案】ABD 【详解】设，由，得，而， 所以， 整理得，所以A选项正确. B选项，圆的圆心为，半径为， 设直线的方程为， 到直线的距离， ，两边平方并化简得， 解得，所以直线的斜率范围是，B选项正确. C选项，到直线的距离为， 所以曲线上的点到直线的最小距离为，C选项错误. D选项，，，， 所以，D选项正确. 故选：ABD    三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若圆与圆相交于两点，且，则实数 ． 【答案】或 【详解】，圆心，半径 ∴直线：， 圆心到直线距离， 由垂径定理可得，∴，即， ∴或，经验证均满足题意. 故答案为：或 13．过点的直线分别与轴、轴交于不同的A，B两点，为坐标原点，若存在4条直线使得的面积均为，则的取值范围是 . 【答案】． 【详解】显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为， 令得，令得， 则， 由题意关于的方程有四个不同的实数解， ， 所以有两个不等实根且有两个不等实根， ，解得或． 又，所以． 故答案为：． 14．在平面直角坐标系中，已知点A，B在圆心为C的圆上运动，且．若直线l：上存在点，使得成立，其中为原点， 则实数的取值范围为   ． 【答案】 【详解】设，，中点， 由已知可得，圆的圆心，半径. 连接，由垂径定理可得，且， 所以. 由直线l：上存在点，可设点， 则，， 所以，， 可得，即，， 即， 所以，， 由，可得，即， 由题意知，至少存在1个点， 所以，整理可得， 解得，即. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 已知以点为圆心的圆与直线相切. (1)求圆的方程; (2)过点的直线与圆相交与两点， 当时，求直线方程； (3)已知实数满足圆的方程，求的最小值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）（1）由题意知点到直线的距离为圆的半径， 由点到直线的距离公式可得, 所以圆的方程为. （2）因为直线与圆相交与两点，且， 所以可得圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，圆心到直到直线的距离为，符合题意， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由题意可得，解得， 所以直线的方程为，即， 综上所述：直线的方程为或. （3）表示点到的距离的平方， 又圆心到到的距离为， 所以点到的距离的最小值为， 所以的最小值为. 16.（本小题15分） 已知圆（为常数）． (1)当时，求直线被圆截得的弦长． (2)证明：圆经过两个定点． (3)设圆经过的两个定点为，，若，且，求圆的标准方程． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）当时，圆， 此时，圆的圆心为，半径． 则圆心到直线的距离， 所以直线被圆截得的弦长 为； （2）由，得， 令，因为为常数 所以得，由 解得或， 所以圆经过两个定点，且这两个定点的坐标为； （3）（方法一）设的中点为， 不妨设，则点的坐标为． 因为，所以， 所以， 解得， 所以圆的标准方程为． （方法二）不妨设，因为， 所以， 解得， 所以圆的标准方程为． 17.（本小题15分） 已知圆． (1)求过点且与圆相切的直线的方程； (2)若点是圆上两点， ①若共线，求的面积最大值及此时直线的方程； ②若直线斜率存在，且直线与斜率互为相反数，证明：直线经过定点． 【答案】(1)； (2)①3，；②证明见解析. 【详解】（1）由，得点在圆上，则过点的圆半径所在直线斜率为 因此所求切线斜率为，方程为，即. （2）①显然直线的斜率存在且不为0，设方程为，而圆半径为， 则的面积， 当且仅当时取等号，此时圆心到直线的距离， 因此，解得，直线：，即， 所以的面积最大值为3，直线的方程为. ②设直线方程为，， 由消去得，则， 直线斜率，直线的斜率， 依题意，，整理得， 即有，化简得，经验证的， 因此直线：恒过定点， 所以直线经过定点. 18.（本小题17分） 已知动点M与两个定点的距离的比为，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程，并说明其形状； (2)已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线PQ，为切点），连接PD交QR于点， （ⅰ）证明：直线QR过定点，并求该定点坐标； （ⅱ）是否存在点P，使的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，以为圆心，半径为2的圆； (2)（ⅰ）证明见解析，定点为；（ⅱ）存在，. 【详解】（1）设，则，即， 所以，整理得. （2）（ⅰ）由题设，易知四点共圆，即在以为直径的圆上， 而的中点坐标为，， 以为直径的圆为，又在上， 即为两圆的公共弦，两圆方程作差，得直线为，显然该直线恒过定点，得证. （ⅱ）存在，，理由如下： 由（i）及题设，易知在以为直径的圆上，即为圆心、半径为， 且轴，则，且到直线的距离为，故到直线的最大距离为， 所以，当与重合时，面积最大，此时. 19.（本小题17分） 已知点，圆.直线与圆相交于A、B两点，. (1)若直线过点，求直线的方程； (2)①若线段AB的中点为，求点的轨迹方程； ②过点作直线与曲线交于两点M、N，设的斜率分别为，求证：为定值. 【答案】(1)或 (2)①；②证明见详解 【详解】（1）由题意可知：圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 若直线的斜率不存在，即直线，满足题意； 若直线的斜率存在，设直线，即， 则，解得， 所以直线； 综上所述：直线的方程为或. （2）①若线段AB的中点为，可得，即， 可知点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 所以点的轨迹方程； ②由（1）可知：直线的斜率存在， 设直线的方程为，即，点、， 联立方程，消去y可得， 则，解得， 由韦达定理可得，， 则 . 所有为定值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$