第六章 1　平行四边形的性质 同步练 2023-2024学年 北师大版数学八年级下册

三十四　平行四边形的性质(第2课时) 【A层 基础夯实】 知识点1平行四边形的性质——对角线 1.如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,已知AD=8,BD=12,AC=6,则△OBC的周长为( ) A.13 B.17 C.20 D.26 2.如图,在▱ABCD中,BD=6,AC=10,BD⊥AB,则AD的长为 ( ) A.8 B. C.2 D.2 3.(2023·西安质检)如图,在▱ABCD中,AD=5,对角线AC与BD相交于点O,AC+BD=12,则△BOC的周长为 ( ) A.10 B.11 C.12 D.14 4.(2023·汕头期中)如图,在▱ABCD中,AC,BD相交于点O,若△BOC的面积为3,则▱ABCD的面积为 .  5.已知:在▱ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且AE=CF,对角线AC,BD交于点O.求证: BE∥DF. 知识点2平行四边形性质的综合应用 6.(2023·临汾质检)如图,在▱ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E.若BC=4,∠C=105°,∠BDC=45°,则AE的长为 ( ) A. B.1+ C.2+ D.2+2 7.如图,平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于O,过点O作OE⊥AC交AD于点E,若AE=4,DE=3,AB=5,则AC的长为 ( ) A.4 B.6 C.8 D.5 8. (2023·南充中考)如图,在▱ABCD中,点E,F在对角线AC上,∠CBE=∠ADF. 求证:(1)AE=CF; (2)BE∥DF. 【B层 能力进阶】 9.有下列说法: ①平行四边形具有四边形的所有性质; ②平行四边形是中心对称图形; ③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形; ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形. 其中正确说法的序号是 ( ) A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.①②③④ 10.(2023·忻州期末)如图,在▱ABCD中,AB=10,AD=7,四个角的平分线分别相交于点E,F,G,H,则四边形EFGH对角线EG的长为( ) A.3 B. C. D. 11.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E是边CD上一点,且BC=EC,CF⊥BE交AB于点F,P是EB延长线上一点,下列结论:①BE平分∠CBF;②CF平分∠DCB;③BC=FB;④PF=PC.其中正确结论的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 12.如图,▱ABCD中,AB=2 cm,AD=4 cm,AC⊥BC,则△DBC比△ABC的周长长 cm.  13.如图,▱ABCD中,对角线AC,BD交于O,若∠BOC=120°,AD=7,BD=10,则S▱ABCD= .  14.如图,已知:在▱ABCD中,DH⊥AB,垂足为H,AD=HB,点E,F分别为HB,CB的中点,连接HF,EC相交于点G. (1)求证:GE=GF; (2)若DH=3,HE=2,求▱ABCD的面积. 【C层 创新挑战】(选做) 15.在▱ABCD中,BE平分∠ABC交AD于点E. (1)如图1,若∠D=30°,AB=,求△ABE的面积; (2)如图2,过点A作AF⊥DC,交DC的延长线于点F,分别交BE,BC于点G,H,且AB=AF.求证:ED-AG=FC. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三十三　平行四边形的性质(第1课时) 【A层 基础夯实】 知识点1平行四边形的性质——边 1.如图,在▱ABCD中,AB=5,AD=7,则▱ABCD的周长为 ( ) A.12 B.14 C.35 D.24 2.已知▱ABCD的周长为36,两邻边的差为4,则平行四边形的较短边的长为 ( ) A.7 B.11 C.14 D.22 3.平行四边形两邻边分别是4和6,其中一边上的高是3,则平行四边形的面积 是 .  4.如图,BD为▱ABCD的对角线,点E,F在BD上,AE∥CF,求证:BF=DE. 知识点2平行四边形的性质——角 5.(2023·重庆质检)在▱ABCD中,∠A=160°,则∠D= ( ) A.20° B.40° C.140° D.160° 6.如图,已知▱ABCD中,∠B=4∠A,则∠C= ( ) A.18° B.36° C.72° D.144° 7.若平行四边形中两个内角的度数比为2∶7,则其中较大内角的度数是 ( ) A.20° B.40° C.70° D.140° 8.如图,在▱ABCD中,DB=DC,∠A=65°,CE⊥BD于E,则∠BCE= .  9.(2024·烟台中考)如图,在▱ABCD中,DF平分∠ADC,交AB于点F,BE∥DF,交AD的延长线于点E.若∠A=40°,求∠ABE的度数. 【B层 能力进阶】 10.在▱ABCD中,∠ADC的平分线与AB边所在直线交于点E.若AB=5,BE=1,则▱ABCD的周长为 ( ) A.22 B.16 C.22或18 D.24或16 11.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列结论不一定正确的是 ( ) A.∠ABO=∠CDO B.∠BAD=∠BCD C.AB=CD D.AC⊥BD 12.(2023·滁州质检)锐角为45°的两个平行四边形的位置如图所示,若∠1=α, 则∠2= ( ) A.α-45° B.90°-α C.135°-α D.180°-2α 13.如图,在▱ABCD中,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为点E,F.求证:AE=CF. 14.如图,将▱ABCD的边BC延长到点E,使BE=CD,连接AE交CD于点F. (1)求证:AE平分∠BAD; (2)已知BC=CE=3,EF=4,FG⊥AB,求FG的长. 【C层 创新挑战】(选做) 15.如图,在▱ABCD中,AB>AD. (1)尺规作图(保留作图痕迹,不写作法): ①在AB上截取AE,使得AE=AD; ②作∠BCD的平分线交AB于点F. (2)连接DE交CF于点P,猜想△CDP的形状,并证明你的结论. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三十三　平行四边形的性质(第1课时) 【A层 基础夯实】 知识点1平行四边形的性质——边 1.如图,在▱ABCD中,AB=5,AD=7,则▱ABCD的周长为 (D) A.12 B.14 C.35 D.24 2.已知▱ABCD的周长为36,两邻边的差为4,则平行四边形的较短边的长为 (A) A.7 B.11 C.14 D.22 3.平行四边形两邻边分别是4和6,其中一边上的高是3,则平行四边形的面积 是　12或18　.  4.如图,BD为▱ABCD的对角线,点E,F在BD上,AE∥CF,求证:BF=DE. 【证明】略 知识点2平行四边形的性质——角 5.(2023·重庆质检)在▱ABCD中,∠A=160°,则∠D= (A) A.20° B.40° C.140° D.160° 6.如图,已知▱ABCD中,∠B=4∠A,则∠C= (B) A.18° B.36° C.72° D.144° 7.若平行四边形中两个内角的度数比为2∶7,则其中较大内角的度数是 (D) A.20° B.40° C.70° D.140° 8.如图,在▱ABCD中,DB=DC,∠A=65°,CE⊥BD于E,则∠BCE=　25°　.  9.(2024·烟台中考)如图,在▱ABCD中,DF平分∠ADC,交AB于点F,BE∥DF,交AD的延长线于点E.若∠A=40°,求∠ABE的度数. 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,∴∠A+∠ADC=180°, ∵∠A=40°,∴∠ADC=140°, ∵DF平分∠ADC, ∴∠CDF=∠ADC=70°, ∴∠AFD=∠CDF=70°, ∵DF∥BE, ∴∠ABE=∠AFD=70°. 【B层 能力进阶】 10.在▱ABCD中,∠ADC的平分线与AB边所在直线交于点E.若AB=5,BE=1,则▱ABCD的周长为 (C) A.22 B.16 C.22或18 D.24或16 11.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列结论不一定正确的是 (D) A.∠ABO=∠CDO B.∠BAD=∠BCD C.AB=CD D.AC⊥BD 12.(2023·滁州质检)锐角为45°的两个平行四边形的位置如图所示,若∠1=α, 则∠2= (A) A.α-45° B.90°-α C.135°-α D.180°-2α 13.如图,在▱ABCD中,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为点E,F.求证:AE=CF. 【证明】∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD=BC,AD∥BC,∴∠DAE=∠BCF, ∵DE⊥AC,BF⊥AC, ∴∠DEA=∠BFC=90°, 在△DEA与△BFC中,, ∴△DEA≌△BFC(AAS),∴AE=CF. 14.如图,将▱ABCD的边BC延长到点E,使BE=CD,连接AE交CD于点F. (1)求证:AE平分∠BAD; (2)已知BC=CE=3,EF=4,FG⊥AB,求FG的长. 【解析】(1)∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AB=CD,AD∥BE,∴∠DAE=∠E, ∵BE=CD,∴AB=BE, ∴∠BAE=∠E,∴∠BAE=∠DAE, ∴AE平分∠BAD; (2)∵BE=CD,AB=CD, ∴AB=BE, ∴△ABE为等腰三角形, ∵BC=CE=3, ∴AB=BE=6, ∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AD=BC,AD∥BE, ∴∠D=∠DCE,∠DAF=∠CEF, ∵BC=CE,∴AD=EC, ∴△ADF≌△ECF(ASA), ∴AF=EF=4,∴BF⊥AE, ∵AB=BE=6, ∴BF==2, ∵S△ABF=AB·FG=AF·BF, ∴FG==. 【C层 创新挑战】(选做) 15.如图,在▱ABCD中,AB>AD. (1)尺规作图(保留作图痕迹,不写作法): ①在AB上截取AE,使得AE=AD; ②作∠BCD的平分线交AB于点F. (2)连接DE交CF于点P,猜想△CDP的形状,并证明你的结论. 【解析】(1)如图,线段AE,射线CF即为所求; (2)结论:△CDP是直角三角形. 理由:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,∴∠CDE=∠AED, ∵AE=AD,∴∠ADE=∠AED, ∴∠ADE=∠CDE, ∵CF平分∠BCD, ∴∠DCP=∠BCP, ∵AD∥CB, ∴∠ADC+∠BCD=180°, ∴2∠CDP+2∠DCP=180°, ∴∠CDP+∠DCP=90°, ∴∠CPD=90°, ∴△CDP是直角三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三十四　平行四边形的性质(第2课时) 【A层 基础夯实】 知识点1平行四边形的性质——对角线 1.如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,已知AD=8,BD=12,AC=6,则△OBC的周长为(B) A.13 B.17 C.20 D.26 2.如图,在▱ABCD中,BD=6,AC=10,BD⊥AB,则AD的长为 (D) A.8 B. C.2 D.2 3.(2023·西安质检)如图,在▱ABCD中,AD=5,对角线AC与BD相交于点O,AC+BD=12,则△BOC的周长为 (B) A.10 B.11 C.12 D.14 4.(2023·汕头期中)如图,在▱ABCD中,AC,BD相交于点O,若△BOC的面积为3,则▱ABCD的面积为　12　.  5.已知:在▱ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且AE=CF,对角线AC,BD交于点O.求证: BE∥DF. 【证明】∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA=OC,OB=OD, ∵AE=CF,∴OE=OF, 在△BOE和△DOF中, ∴△BOE≌△DOF(SAS), ∴∠BEO=∠DFO,∴BE∥DF. 知识点2平行四边形性质的综合应用 6.(2023·临汾质检)如图,在▱ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E.若BC=4,∠C=105°,∠BDC=45°,则AE的长为 (B) A. B.1+ C.2+ D.2+2 7.如图,平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于O,过点O作OE⊥AC交AD于点E,若AE=4,DE=3,AB=5,则AC的长为 (A) A.4 B.6 C.8 D.5 8. (2023·南充中考)如图,在▱ABCD中,点E,F在对角线AC上,∠CBE=∠ADF. 求证:(1)AE=CF; (2)BE∥DF. 【证明】(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AD=BC,∴∠DAF=∠BCE, 在△ADF与△CBE中,, ∴△ADF≌△CBE(ASA),∴AF=CE, ∴AF-EF=CE-EF,∴AE=CF; (2)∵△ADF≌△CBE, ∴∠AFD=∠CEB,∴BE∥DF. 【B层 能力进阶】 9.有下列说法: ①平行四边形具有四边形的所有性质; ②平行四边形是中心对称图形; ③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形; ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形. 其中正确说法的序号是 (D) A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.①②③④ 10.(2023·忻州期末)如图,在▱ABCD中,AB=10,AD=7,四个角的平分线分别相交于点E,F,G,H,则四边形EFGH对角线EG的长为(A) A.3 B. C. D. 11.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E是边CD上一点,且BC=EC,CF⊥BE交AB于点F,P是EB延长线上一点,下列结论:①BE平分∠CBF;②CF平分∠DCB;③BC=FB;④PF=PC.其中正确结论的个数为 (D) A.1 B.2 C.3 D.4 12.如图,▱ABCD中,AB=2 cm,AD=4 cm,AC⊥BC,则△DBC比△ABC的周长长 　4　cm.  13.如图,▱ABCD中,对角线AC,BD交于O,若∠BOC=120°,AD=7,BD=10,则S▱ABCD=　15　.  14.如图,已知:在▱ABCD中,DH⊥AB,垂足为H,AD=HB,点E,F分别为HB,CB的中点,连接HF,EC相交于点G. (1)求证:GE=GF; (2)若DH=3,HE=2,求▱ABCD的面积. 【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD=BC,∵AD=HB,∴BH=BC, ∵点E,F分别为HB,CB的中点, ∴HE=BE=BF=CF, 在△BFH和△BEC中,, ∴△BFH≌△BEC(SAS), ∴∠BHF=∠BCE, 在△HEG和△CFG中,, ∴△HEG≌△CFG(AAS),∴GE=GF; (2)∵DH=3,HE=2,点E为HB的中点, ∴BH=2HE=4,∵AD=HB,∴AD=4, ∵DH⊥AB,∴AH===,∴AB=AH+HB=+4, ∴S▱ABCD=AB·DH=(+4)×3=3+12. 【C层 创新挑战】(选做) 15.在▱ABCD中,BE平分∠ABC交AD于点E. (1)如图1,若∠D=30°,AB=,求△ABE的面积; (2)如图2,过点A作AF⊥DC,交DC的延长线于点F,分别交BE,BC于点G,H,且AB=AF.求证:ED-AG=FC. 【解析】略 学科网（北京）股份有限公司 $$