20.2数据的波动程度（第1课时）教案2023-2024学年人教版数学八年级下册

20.2　数据的波动程度（第1课时） 教学目标 　　1．理解方差的概念及其统计学意义． 2．会计算一组数据的方差． 教学重点 　　方差的概念及其统计学意义． 教学难点 　　方差的相关计算． 教学过程 新课导入 【问题】现有甲、乙两名射击选手，他们的测试成绩如下表所示． 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲的命中环数 7 8 8 8 9 乙的命中环数 10 6 10 6 8 由上表可以很容易计算出他们成绩的平均数都是8．教练需要从中挑选一位成绩稳定的选手参加全市运动会．你能帮助教练选出合适的人选吗？ 【师生活动】教师划出问题的重点“成绩稳定”，然后引导：什么统计图可以方便看出波动程度呢？学生思考并找学生回答． 【答案】根据这两名射击选手的成绩画出折线统计图如下． 从折线图来看，甲的成绩上下浮动较小（相对稳定），故选择甲更合适． 【设计意图】通过这个问题增加学生对波动程度的理解，知道可以通过折线统计图看数据波动程度的大概情况． 新知探究 一、探究学习 【问题】农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子．选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题，为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，农科院各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量（单位：t）如下表所示． 甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41 乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49 　　根据这些数据估计，农科院应该选择哪种甜玉米种子呢？ 【师生活动】教师引导1：求出平均数进行比较．找学生回答． 教师引导2：为了直观地看出甲、乙两种甜玉米产量的情况，我们把这两组数据画成下图．观察两幅图比较哪种甜玉米的产量比较稳定． 甲种甜玉米的产量 乙种甜玉米的产量 先找学生回答，然后教师总结：比较上面两幅图可以看出，甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大，乙种甜玉米在各试验田的产量比较集中地分布在平均产量附近． 教师引导3：通过问题“从图中看出的结果能否用一个量来刻画呢？”引导出方差的概念，帮助理解其统计学意义． 教师引导4：让学生通过计算方差比较哪种甜玉米的产量比较稳定．学生计算，小组讨论，然后找学生代表回答．最后教师整理这个问题的答案（利用方差说明稳定性）． 【答案】上面两组数据的平均数分别是 ＝7.537，＝7.515， 说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大，由此可以估计出这个地区种植这两种甜玉米，它们的平均产量相差不大． 甲、乙两组数据的方差分别是 ， ， 显然，即乙种甜玉米的产量比较稳定． 综合考虑甲、乙两个品种的平均产量和产量的稳定性，可以推测这个地区适合种植乙种甜玉米． 【新知】为了刻画一组数据波动的大小，可以采用很多方法．统计中常采用下面的做法：设有n个数据x1，x2，…，xn，各数据与它们的平均数的差的平方分别是，，…，，我们用这些值的平均数，即用 [] 来衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据的方差，记作s2． 　　【归纳】1．方差可以反映数据的波动程度：方差越大，数据越分散（在平均数附近的波动越大）；方差越小，数据越集中（在平均数附近的波动越小）． 简便来说，即：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小． 2．正如用样本的平均数估计总体的平均数一样，也可以用样本的方差估计总体的方差． 【设计意图】通过这个问题，让学生理解方差的概念及其统计学意义，并学会如何计算一组数据的方差． 二、典例精讲 【例1】一组数据3，2，1，2，2的众数、中位数、方差分别是多少？ 【答案】解：这组数据中2出现的次数最多，则众数为2； 将这组数据按从小到大的顺序排列，处于中间位置的数为2，则中位数为2； 平均数为×(3＋2＋1＋2＋2)＝2； 方差为×[(3－2)2＋3×(2－2)2＋(1－2)2]＝0.4． 【归纳】求一组数据的方差的一般步骤： （1）求这组数据的平均数； （2）根据方差公式求这组数据的方差． 【设计意图】检验学生对求一组数据的方差的掌握情况． 【例2】已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数为a，方差为b． （1）求一组数据x1＋k，x2＋k，…，xn＋k的平均数和方差； （2）求一组数据kx1，kx2，…，kxn的平均数和方差； （3）求一组数据kx1＋c，kx2＋c，…，kxn＋c的平均数和方差． 【答案】解：（1）x1＋k，x2＋k，…，xn＋k的平均数为 (x1＋x2＋…＋xn＋nk)＝(x1＋x2＋…＋xn)＋＝a＋k． 方差为[(x1＋k－a－k)2＋(x2＋k－a－k)2＋…＋(xn＋k－a－k)2] ＝[(x1－a)2＋(x2－a)2＋…＋(xn－a)2] ＝b． （2）kx1，kx2，…，kxn的平均数为 (kx1＋kx2＋…＋kxn)＝(x1＋x2＋…＋xn)＝ka． 方差为[(kx1－ka)2＋(kx2－ka)2＋…＋(kxn－ka)2] ＝[(x1－a)2＋(x2－a)2＋…＋(xn－a)2]＝k2b． （3）kx1＋c，kx2＋c，…，kxn＋c的平均数为 (kx1＋kx2＋…＋kxn＋nc)＝(x1＋x2＋…＋xn)＋＝ka＋c． 方差为[(kx1＋c－ka－c)2＋(kx2＋c－ka－c)2＋…＋(kxn＋c－ka－c)2]＝[(x1－a)2＋(x2－a)2＋…＋(xn－a)2]＝k2b． 【归纳】将一组数据中的每一个数据都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变． 将一组数据中的每一个数据都变为原来的k倍，所得的一组新数据的方差变为原数据方差的k2倍． 【设计意图】进一步检验学生对求一组数据的方差的掌握情况． 课堂小结 板书设计 一、方差的概念 二、方差的意义 三、求一组数据的方差的一般步骤 课后任务 　　完成教材第126页练习第1题． 教学反思 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $$