椭圆阶段检测-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

椭圆阶段检测解析版 姓名___________ 班级_________ 满分150分，考试用时120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．椭圆的焦点坐标为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】由，所以，，且焦点在轴上. 所以. 所以焦点坐标为，. 故选：A 2．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示不妨设椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的上顶点. 依题意可知，是正三角形. 因为在中，， 所以，即椭圆的离心率. 故选：A 3．一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆可化为，圆心，半径为. 圆可化为，圆心，半径为. 设动圆圆心为点，半径为，圆与圆外切于点，圆与圆内切于点，如图所示： 由题意得，三点共线，三点共线，，， ∴， ∴点的轨迹为以为焦点的椭圆，且，， ∴， ∴点的轨迹方程为. 故选：C. 4．已知，分别为椭圆的左右焦点，过的一条直线与交于A，B两点，且，，则椭圆长轴长的最小值是（   ） A．12 B． C．6 D． 【答案】D 【详解】设，则，，，    由，得，则，有， 所以， 当且仅当，即时取等号． 所以椭圆长轴长的最小值是. 故选：D 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一个动点，若的面积的最大值为，则（    ） A．7 B．3 C． D．9 【答案】A 【详解】依题意，椭圆半焦距，设点，则， 因此的面积， 则，即，而，解得， 所以. 故选：A 6．方程表示椭圆，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【详解】由于方程表示椭圆， 所以，解得或. 故选：B 7．已知是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A．5 B．9 C．4 D．3 【答案】C 【详解】由已知得，，， 设，则，所以， 从而或时取最小值为4. 故选：C. 8．已知A，B，C，D是椭圆上四个不同的点，且是线段的交点，且，若，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，而， 因为，故， 即， 所以，则， 又都在椭圆上， 故①，且， 即②， ①②两式相减并化简得：， 即③， 同理可得：④， ④－③得：， 所以， 因为，所以直线l的斜率为. 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．椭圆的焦点为，上顶点为A，直线与椭圆的另一个交点为，若，则（    ） A．椭圆的焦距为2 B．的面积为 C．椭圆的离心率为 D．的周长为8 【答案】ACD 【详解】A 由，可得椭圆焦点为，则焦距为，故A正确； B由题及图可得，又因，则为等边三角形，则，故B错误； C因，，则，则离心率为，故C正确； D由图可得，故D正确. 故选：ACD 10．已知点是左、右焦点为，的椭圆：上的动点，则（    ） A．若，则的面积为 B．使为直角三角形的点有6个 C．的最大值为 D．若，则的最大、最小值分别为和 【答案】BCD 【详解】A选项：由椭圆方程，所以，，所以， 所以的面积为，故A错误； B选项：当或时为直角三角形，这样的点有4个， 设椭圆的上下顶点分别为，，则,同理， 知，所以当位于椭圆的上、下顶点时也为直角三角形， 其他位置不满足，满足条件的点有6个，故B正确； C选项：由于， 所以当最小即时，取得最大值，故C正确； D选项：因为， 又，则的最大、最小值分别为和， 当点位于直线与椭圆的交点时取等号，故D正确. 故选：BCD 11．已知椭圆，我们把圆称为的蒙日圆，为原点，点在上，延长OP与的蒙日圆交于点，则（    ） A．|PQ|的最大值为 B．若为OQ的中点，则的离心率的最大值为 C．若点在上，则点可能在的蒙日圆上 D．若点在上，则的蒙日圆面积最小为 【答案】AD 【详解】如图， 对于A，，故A正确； 对于B，若为OQ的中点，则，则，故B错误； 对于C，因为点在上，所以，所以， 由知等号不成立，所以，若点在的蒙日圆上，则， 即，不满足，所以点不在的蒙日圆上，故C错误； 对于D，点在上，所以， 当且仅当时取等号，所以的蒙日圆面积最小为，故D正确. 故选：AD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，，，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【详解】解：设是椭圆的右焦点，连接，， 由对称性可知：，，则四边形为平行四边形， 则，即，且， 因为，则，， 在中，由余弦定理可得， 即，解得，所以椭圆的离心率为.    故答案为：. 13．如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为 .    【答案】/0.5 【详解】连接，，由点在以为直径的圆上，故.    又，在椭圆上，故有，. 设，则，，，. 在中，由勾股定理得， 解得，于是，，故. 故答案为： 14．已知点和点，是动点，且直线与的斜率之积等于，则动点的轨迹方程为 ． 【答案】 【详解】设动点的坐标为，又，， 所以的斜率，的斜率， 由题意可得， 化简，得点的轨迹方程为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积． 【答案】(1) (2) （2）写出直线方程，联立方程组，由韦达定理得到和，用交点弦长公式得到线段长，由点到直线距离得到三角形高，从而算出三角形面积. 【详解】（1）由题意可知：，则， ∵，∴， ∴， ∴椭圆 （2），∴直线：， 联立方程组得, 设， 则， 点到直线的距离 ∴    16.（本小题15分） 已知动点与定点的距离和P到定直线的距离的比是常数，记点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的标准方程； (2)设点，若曲线C上两点M，N均在x轴上方，且，，求直线FM的斜率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，， 整理化简得，， 所以曲线C的标准方程为. （2）由题意，直线的斜率都存在，设， 则直线的方程为， 分别延长，交曲线于点， 设， 联立，即， 则， 根据对称性，可得， 则 ， 即，解得， 所以直线FM的斜率为. 17.（本小题15分） 已知椭圆：()上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值是最小值的倍，且点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)过点任作一条直线，与椭圆交于不同于的、两点，与直线：交于点，记直线、、的斜率分别为、、，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）∵椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值和最小值分别为、， ∴，即，     ∵，∴，故可设椭圆的方程为：，   ∵点在椭圆上， ∴将其代入椭圆得， ∴椭圆的方程为. （2）依题意，直线不可能与轴垂直，故可设直线的方程为：， 即，   设与椭圆的两个交点为，， 将代入方程化简得，，    ∴恒成立，∴，，   ∴ ，    又由， 解得，，即点的坐标为， ∴，    ∴，原命题得证. 18.（本小题17分） 已知椭圆经过点，且离心率为为坐标原点. (1)求的方程. (2)过点且不与轴重合的动直线与相交于两点，的中点为. （i）证明：直线与的斜率之积为定值； （ii）当的面积最大时，求直线的方程. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②或. .【详解】（1）由已知，得解得 故的方程为. （2） ①    由题可设. 将， 消去，得. 当，即时，有. 所以，即， 可得，所以，即直线与的斜率之积为定值. ②由（1）可知 又点到直线的距离， 所以的面积. 设，则， 当且仅当，即时等号成立，且满足. 所以当的面积最大时，直线的方程为或. 19.（本小题17分） 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.点为椭圆的左顶点. (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率为1的直线与椭圆交于另外一点，求的坐标； (3)点，点为椭圆上任意一点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）依题意，解得， 所以椭圆方程为. （2），直线的方程为， 由解得或，则. （3）设是椭圆上任意一点，则， ， ， 由于，所以当时， 取得最小值为.    学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 椭圆阶段检测 姓名___________ 班级_________ 满分150分，考试用时120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．椭圆的焦点坐标为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知，分别为椭圆的左右焦点，过的一条直线与交于A，B两点，且，，则椭圆长轴长的最小值是（   ） A．12 B． C．6 D． 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一个动点，若的面积的最大值为，则（    ） A．7 B．3 C． D．9 6．方程表示椭圆，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 7．已知是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A．5 B．9 C．4 D．3 8．已知A，B，C，D是椭圆上四个不同的点，且是线段的交点，且，若，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．椭圆的焦点为，上顶点为A，直线与椭圆的另一个交点为，若，则（    ） A．椭圆的焦距为2 B．的面积为 C．椭圆的离心率为 D．的周长为8 10．已知点是左、右焦点为，的椭圆：上的动点，则（    ） A．若，则的面积为 B．使为直角三角形的点有6个 C．的最大值为 D．若，则的最大、最小值分别为和 11．已知椭圆，我们把圆称为的蒙日圆，为原点，点在上，延长OP与的蒙日圆交于点，则（    ） A．|PQ|的最大值为 B．若为OQ的中点，则的离心率的最大值为 C．若点在上，则点可能在的蒙日圆上 D．若点在上，则的蒙日圆面积最小为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，，，则椭圆的离心率为 . 13．如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为 .    14．已知点和点，是动点，且直线与的斜率之积等于，则动点的轨迹方程为 ． 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积． 16.（本小题15分） 已知动点与定点的距离和P到定直线的距离的比是常数，记点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的标准方程； (2)设点，若曲线C上两点M，N均在x轴上方，且，，求直线FM的斜率. 17.（本小题15分） 已知椭圆：()上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值是最小值的倍，且点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)过点任作一条直线，与椭圆交于不同于的、两点，与直线：交于点，记直线、、的斜率分别为、、，求证：. 18.（本小题17分） 已知椭圆经过点，且离心率为为坐标原点. (1)求的方程. (2)过点且不与轴重合的动直线与相交于两点，的中点为. （i）证明：直线与的斜率之积为定值； （ii）当的面积最大时，求直线的方程. 19.（本小题17分） 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.点为椭圆的左顶点. (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率为1的直线与椭圆交于另外一点，求的坐标； (3)点，点为椭圆上任意一点，求的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$