湖南省长沙市周南中学2025届高三上学期11 月期中考试数学试卷

湖南省长沙市周南中学2025届高三11 月期中考试数学参考答案 一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的. 1. 【答案】A 【解析】由集合中元素的互异性可排除 . 2. 【答案】D 【解析】 ,则 ,其对应的点在第四象限,故选 D. 3.【答案】A 【解析】 知 的终边在第一、三象限或 轴上,此时 与 同号,或 ,均满足 . 反之,若 ,则可能 ,而 没有意义,故选 . 4.【答案】C 【解析】设 , 故 在定义域上是增函数,所以 即 , 所以 ,故选 C. 5.【答案】C 【解析】由已知, ,则 . 因为 ,则 , 即 ,即 ,所以 ,故选 C. 6.【答案】B 【解析】由题意知 ,解得 ,所以抛物线 ,设 坐标为 , 以 为直径的圆的与 相切,因此 . 易求 ,直线 为 , 联立 ,消去 得, ,所以 , . O 到直线 的距离 ,所以 的面积为 7. 【答案】D 【解析】由 ,得 ,即 , 又 , 数列 是首项为 3,公比为 3 的等比数列,即 , ,数列 不是等比数列,故 D 正确, B 错误; 当 时, , 又 时, , ,数列 不是等比数列,故 A, C 均错误. 8. 【答案】D 【解析】因为 为奇函数,则 ,两边求导得 ,则 ,可知 关于直线 对称,又因为 为奇函数,则 ,可知 关于点(1,0)对称, 令 ,可得 ,即 ,由 可得 ,由 ,可得 ,即 ,可得 ,即 , 令 ,可得 ; 令 ,可得 ; 且 ,可知 8 为 的周期, 可知 ,所以 . 故选: D 二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项 符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 【答案】 【解析】 表示停止取球时没有取到黄球,所以 ,故 A 正确; 又随机变量 的所有可能取值为0,1,2,则 , ,所以 ,故 B 正确; 由 ,故 错误; ,故 D 正确. 10. 【答案】 【解析】点 在曲线 上,可设 . 根据题意, , ,又点 是点 关于直线 的对称点,故 . 对于 选项,点 和点 关于坐标原点对称, 项正确; 对于 选项,根据 确定曲线方程,设 ,得 选项错误; 对于 选项,因为 ,且 ,故 , 所以 是等腰直角三角形,故 选项正确; 对于 选项, ,由导数知识易求得 取最小值 当且仅当 ,即点 与点 重合, 选项正确. 11. 【答案】CD 【解析】设空间直角坐标系中,直线 对应的方向向量分别为 , ,平面 的法向量分别为 , . 由题, ,于是两式相除得 ,可取 . 同理可求出 . 所以 ,故选 CD. 三、填空题: 本题共 3 个小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12.【答案】 【解析】方法一: 因为 ,又 ,所以 . 方法二: 因为 , 所以 是函数 的一个周期,则求函数 在 的值域可转化为求 在 上的值域. 当 时, , 因为 ,结合函数图象可得 . 13. 【答案】 【解析】设点 ,则圆 的方程为 , 即 . 又圆 的方程为 ,两式相减, 得直线 的方程为 , 直线 的方程化为 . 令 ,得 , 则直线 过定点 . 14.【答案】 【解析】取 中点 ,连接 ,由对称性得, 为 的重心,且 三点共线, 在 中, , 在 中, 面 ,则 , 易得 为 的一个三等分点, . 四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.【答案】见解析 【解析】(1) 由 , 得 , ; .2 分 由正弦定理得 , .3 分 即 ,又 , .5 分 , ; .6 分 (2) .8 分 .10 分 是锐角三角形, , .11 分 , 故 的取值范围是 . .13 分 16.【答案】见解析 【解析】(1) , ,………………2 分 令 ,则 ; 令 ,则 或 , 在 上单调递减,在 上单调递增.………… 5 分 (2) 由 (1) 知, 当 时, ……………7 分 当 时, ; 当 时, 等价于 在 上恒成立. ……………9 分 .………………11 分 令 当 时, , 在 上单调递增, .……………13 分 所以 的取值范围是 .…………15 分 17.【答案】见解析 【解析】(1) 连结 平面 为 与平面 所成的角, 且平面 平面 ,过 作 ,垂足为 ,则 平面 . 故 为 与平面 所成的角 .………………2 分 .……………………4 分 .……………5 分 , . ……………………7 分 (2) 存在 ,使得三棱锥 的体积是 , 取 的中点为 ,连接 ,由 . 又 平面 平面 ,平面 平面 平面 , 平面 , 即 是三棱锥 的高,且 . ………………9 分 方法一: , 即 , 可得 .…………………11 分 假设存在满足题意的 ,则三棱锥 的体积为 ……………13 分 解得 , 故存在 ,使得三棱锥 的体积是 . ……………15 分 方法二: 为 的中点, .……………11 分 又 , ………………13 分 假设存在满足条件的 ,则三棱锥 的体积为: ,解得 , 故存在 ,使得三棱锥 的体积为 .……………15 分 18. 【答案】见解析 【解析】(1) 设椭圆 的长半轴长为 ,短半轴长为 ,半焦距为 . 由已知, ,即 ,又 ,………2 分 由 可得: , 因为 的焦点在 轴上,所以 的标准方程是 .…………4 分 (2) 设直线 的方程为 , 以 为直径的圆经过原点,即 , …………………………5 分 设 ,所以 , 联立方程 ,得 ,即 , …………………7 分 化简得 ,…………………9 分 设 到直线 距离为 ,则 所以直线 与圆 相切.………10 分 ( 3 ) 设直线 的方程为 ,代入椭圆方程,得 ,即 . 设点 , 则 . ………………11 分 因为点 关于 轴对称,则 . 设点 , 因为 三点共线,则 ,即 , 即 ,即 ,得 所以点 为定点, . ………………13 分 .………………15 分 令 ,则 . 当且仅当 时取等号,所以 的面积的最大值为 . …………17 分 19.【答案】见解析 【解析】(1) 设 , 则 , ………………………2 分 所以 .………………3 分 因为 ,则当 时, ; 当 时, . ……………5 分 所以 .………………6 分 ( 2 ) 设 ,则当 时, 中共有 个 中共有 个 中共有 个 1 ………………8 分 由 (1) 知, ,则 中有 个 1 . 设使 成立的 的个数为 ,则 . 因为 和 都为奇数,则 为偶数,所以 为偶数,即 为偶数 .11 分 ( 3 ) 设 , 构造数阵:………………13 分 设第 列共有 个 个 ,则此列 10 个数两两之差的绝对值之和为 . 同理, 其他各列 10 个数两两之差的绝对值之和都不大于 25 . 所以所有 之和的最大值为 …………………17 分 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖南省长沙市周南中学2025届高三11 月期中考试数学试题 (本试卷共 4 页, 19 题, 考试用时 120 分钟, 全卷满分 150 分) 注意事项: 1. 答题前, 先将自己的班级、姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上, 并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2. 选择题的作答: 每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3. 非选择题的作答: 用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内, 写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4. 考试结束后, 将答题卡上交。 一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 . 若 ,则实数 的取值集合为 A. B. C. D. 2. 复数 的共轭复数在复平面上对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. " " 是 " " 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数 的定义域为 ,设 的导函数是 ,且 恒成立, 则 A. B. C. D. 5. 已知 为单位向量,向量 在向量 上的投影向量是 ,且 ,则 的值为 A. 2 B. 0 C. -2 D. -1 6. 已知抛物线 的焦点为 ,过焦点 的直线交 于 两点, 在第一象限,若以 为直径的圆经过(0,2),则 的面积为 A. B. C. D. 5 7. 已知数列 的前 项和为 ,则下列说法正确的是 A. 数列 为等比数列 B. 数列 为等比数列 C. D. 8. 已知可导函数 的定义域为 为奇函数,设 是 的导函数, 若 为奇函数,且 ,则 A. -1012 B. -506 C. 506 D. 1012 二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项 符合题目要求. 全部选对得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 盒中有 3 个球, 其中 1 个红球, 2 个黄球. 从盒中随机取球, 每次取 1 个, 不放回, 直到取出红球为止. 设此过程中取到黄球的个数为 分别为随机变量 的均值与方差,则下列结论正确的是 A. B. C. D. 10. 点 在曲线 上,点 是点 关于 轴的对称点,点 是点 关于 轴的对称点,点 是点 关于直线 的对称点. 设 为坐标原点,则下列结论正确的有 A. B. 点 在曲线 上 C. 为定值 D. 当且仅当点 与点 重合时, 取最小值 11. 设直线 两两垂直,且三条直线与平面 所成角如下表所示: 夹角 0 0 注: 夹角为 0 表示相应直线和平面平行. 则下列结论正确的是 A. B. C. 和 互余 D. 和 互补 三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 已知 ,则函数 的值域是    13. 已知圆 ,点 在直线 上运动,以线段 为直径的圆 与圆 相交于 两点,则直线 过定点_____. 14. 在棱长为 4 的正四面体 中, 为其外接球的球心,过点 作平面 使得 . 若 ,则 截正四面体所得截面的面积为_____. 四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答过程应写出文字说明, 证明过程或演算 步骤. 15. (13 分) 锐角 的三个内角是 ,满足 , 的外接圆的圆心为 ,半径是 1 . (1) 求角 的大小及 的值; (2) 求 的取值范围. 16. (15 分) 已知函数 ,设 表示 的最大值,记 . (1) 讨论 在 上的单调性; (2) 当 时, ,求 的取值范围. 17. (15 分) 设 是 的 边上一点,沿 将 翻折至 的位置 ( 不在平面 内), 是线段 上的一个动点,且 . (1) 如图 1,若 平面 ,求证: 直线 与平面 所成的角以及 与平面 所成的角之和不可能超过 ; (2)如图 2,若 是 的中点,平面 平面 . 是否存在 ,使得三棱锥 的体积是 ? 若存在,求出 的值; 若不存在, 请说明理由. 18. (17 分) 已知椭圆 的中心在原点 ,焦点在 轴上,离心率为 ,以 的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为 ,直线 与椭圆 交于 两点 不与椭圆的顶点重合). (1) 求 的标准方程; (2) 若以 为直径的圆经过原点,求证: 直线 与圆 相切; (3) 若动直线 过点 ,点 关于 轴的对称点为 ,直线 与 轴的交点为 ,求 面积的最大值. 19. (17 分) 设 ,集合 . 对于 , 记 . (1) 若 ,证明: ; (2) 若 和 都为奇数,证明: 为偶数; ( 3 ) 若 ,当 时,求所有 之和的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $$