精品解析：云南省大理白族自治州2025届高三上学期第一次复习统一检测数学试题

大理州2025届高中毕业生第一次复习统一检测 数学 （全卷四个大题，共19个小题，共8页；满分150分，考试用时120分钟） 考生注意： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号､姓名､考场号､座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题共58分） 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的共轭复数在复平面中的对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在△ABC中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 4. 下图是我国2018～2023年纯电动汽车销量统计情况，下列说法错误的是（ ） A. 我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势 B. 这六年销量第60百分位数为536.5万辆 C. 这六年增长率最大的为2019年至2020年 D. 2020年销量高于这六年销量的平均值 5. 已知等比数列中，，，则（ ） A. 26 B. 32 C. 512 D. 1024 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，则的最小值为（ ） A. 5 B. 9 C. 8 D. 10 8. 一个三角形纸板的三个顶点为，以边上的高所在直线为旋转轴，将三角形纸板旋转，则纸板扫过的空间所形成的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数在区间上的最大值为4，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 在区间上单调递减 D. 点是图象的一个对称中心 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值 B. 当时，的图象在点处的切线方程是 C. 在区间上单调递减 D. 关于的方程有两个不等实根，则的取值范围是 11. 法国数学家加斯帕尔蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为圆，过上的动点作的两条互相垂直的切线，分别与交于两点，直线交于两点，则（ ） A. 椭圆的蒙日圆方程为 B. 面积的最大值为7 C. 的最小值为 D. 若动点在上，将直线的斜率分别记为，则 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在的展开式中，含的项的系数是__________. 13. 已知数列满足，，，则______． 14. 设函数是的导函数，函数是的导函数，经过研究发现，任意一个三次函数的图象都有对称中心，其中满足.已知函数，当函数图象的对称中心为时，__________，当函数图象的对称中心为时，__________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，角的对边分别为.已知，且. （1）求角和； （2）若的面积为，求. 16. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧棱底面，.点是棱的中点，点为棱上的一点，且. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知函数. （1）当时，证明：； （2）若函数有极小值，且的极小值小于，求a的取值范围. 18. 已知椭圆的两个焦点为，且椭圆的离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知为坐标原点，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，且弦的中点为，直线的斜率为，求； （3）直线与椭圆有两个不同的交点，椭圆在点处的切线分别为与交于点，点在直线上.请你判断直线是否经过定点，并说明理由. 19. 今年立秋以后，我国西南地区持续性高温登上热搜，引发关注讨论､根据专家推测，主要是由于大陆高压和西太平洋副热带高压呈现非常强大，在高压的控制下，西南地区上空晴朗少云，在太阳辐射增温和气流下沉增温的共同作用下，两个地区的气温出现了直接攀升的状态.西南地区某城市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了和两个套餐服务，顾客可自由选择和两个套餐之一；该游泳馆在App平台上推出了优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一至周五销售优惠券情况. 星期 1 2 3 4 5 销售量（张） 218 224 230 232 236 经计算可得：. （1）已知关于的经验回归方程为，求关于的经验回归方程； （2）若购买优惠券的顾客选择套餐的概率为，选择套餐的概率为，并且套餐包含两张优惠券，套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为张的概率为. （i）求及； （ii）求及的最值. 参考公式：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大理州2025届高中毕业生第一次复习统一检测 数学 （全卷四个大题，共19个小题，共8页；满分150分，考试用时120分钟） 考生注意： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号､姓名､考场号､座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题共58分） 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解不等式，然后根据集合交集的定义即可. 【详解】由于，， 故. 故选：C. 2. 已知复数满足，则的共轭复数在复平面中的对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】求出复数后可求，从而可得复数在复平面中的对应点，故可得正确的选项. 【详解】，故，其对应的点为， 该点在第四象限， 故选：D. 3. 在△ABC中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可. 【详解】由题可知，，, 所以有，所以，得. 故选：C 4. 下图是我国2018～2023年纯电动汽车销量统计情况，下列说法错误的是（ ） A. 我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势 B. 这六年销量第60百分位数为536.5万辆 C. 这六年增长率最大的为2019年至2020年 D. 2020年销量高于这六年销量的平均值 【答案】D 【解析】 【分析】根据条形图，结合百分位数、平均数求法及各项描述判断正误即可. 【详解】A：由条形图知，我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势，对； B：由，故第60百分位数为2021年数据，为536.5万辆，对； C：由图知：2019年到2020年增长率超过了100%，其它都不超过100%，对； D：由，错； 故选：D 5. 已知等比数列中，，，则（ ） A. 26 B. 32 C. 512 D. 1024 【答案】D 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，联立，，解出，，代入，即可得到答案. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，， 所以，， 由，则，得， 解得， 所以. 故选：D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据辅助角公式化简并求解的值，然后根据余弦二倍角公式求解的值，最后利用诱导公式求解的值即可. 【详解】由于，可得：，即， 又由于， . 故选：B. 7. 抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，则的最小值为（ ） A. 5 B. 9 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线的焦点弦性质可得，利用基本不等式即可求得的最小值. 【详解】由抛物线焦点弦性质可得，则， 所以，令，， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为9. 故选：B. 8. 一个三角形纸板的三个顶点为，以边上的高所在直线为旋转轴，将三角形纸板旋转，则纸板扫过的空间所形成的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】几何体为两个半圆锥构成，根据圆锥的体积可求该几何体的体积. 【详解】 ，而为三角形内角，故， 故，故，故， 故几何体的体积为 故选：A. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数在区间上的最大值为4，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 在区间上单调递减 D. 点是图象的一个对称中心 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦函数的图象与性质，逐项判断即可. 【详解】因为， 选项A，的最小正周期，故A正确； 选项B，由，知， 所以，所以的最大值为，而得，故B正确； 选项C，由得，所以在上单调递增，故C错误； 选项D，令，则， 所以图象的对称中心为， 所以点是图象的一个对称中心，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值 B. 当时，的图象在点处的切线方程是 C. 在区间上单调递减 D. 关于的方程有两个不等实根，则的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，求导，得到函数单调性，进而求出最值；B选项，求出，利用导数的几何意义得到切线方程； C选项，在A选项基础上，得到函数单调性；D选项，，令，求导得到其单调性和最值， 结合函数图象，得到的取值范围是. 【详解】因为， 选项A，当时，，当时，. 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以有最小值，无最大值，故A错误； 选项B，当时，， 所以的图象在点处的切线方程是，故B正确； 选项C，因为在区间上单调递减，在区间上单调递增，故C错误； 选项D，方程，即， 令，而， 当时，，当时，. 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，且，如图， 的范围是，故D正确. 故选：BD 11. 法国数学家加斯帕尔蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为圆，过上的动点作的两条互相垂直的切线，分别与交于两点，直线交于两点，则（ ） A. 椭圆的蒙日圆方程为 B. 面积的最大值为7 C. 的最小值为 D. 若动点在上，将直线的斜率分别记为，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】取椭圆上顶点与右顶点的切线，建立齐次方程，即可判断；根据圆的性质，结合三角形面积公式即可判断；由于为圆的直径，即过坐标原点，计算即可判断；设，利用点差法即可判断； 【详解】依题意，可设圆C方程为， 过椭圆的上顶点作轴的垂线， 过椭圆的右顶点作轴的垂线，则这两条垂线的交点在圆C上， 所以，即， 所以椭圆的蒙日圆方程为，故A正确； 因为点都在圆上，且，所以为圆的直径， 所以面积的最大值为，故B正确； 由于为圆的直径，过坐标原点，即过坐标原点， 所以，故C正确； 由直线经过坐标原点，易得点关于原点对称，设， 则， 又，所以， 所以，故D错误. 故选：. 【点睛】方法点睛：点差法是求解圆锥曲线问题中的解法，在直线与圆锥曲线问题中，直线与圆锥曲线有两个交点，设，将这两点的坐标分别代入圆锥曲线方程，得到两个等式，并对所得等式作差，化简得到相关结论. 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在的展开式中，含的项的系数是__________. 【答案】7 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式即可求得展开式中含项的系数. 【详解】在展开式的通项为， 当时，， 所以含的项的系数是7. 故答案为：7. 13. 已知数列满足，，，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】方法一：列出数列的前几项，即可得到数列是周期为的周期数列，根据周期性计算可得；方法二：把看作，则，即可得到数列是周期为4的周期数列，根据周期性计算可得. 【详解】方法一：由题意知，，，， 则，，，，， 因此数列是周期为4的周期数列，所以． 方法二：把看作，则， 因此数列是周期为4的周期数列，所以． 故答案为：1. 14. 设函数是的导函数，函数是的导函数，经过研究发现，任意一个三次函数的图象都有对称中心，其中满足.已知函数，当函数图象的对称中心为时，__________，当函数图象的对称中心为时，__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据三次函数的图象都有对称中心，且，可求出，函数图象的对称中心为，即，可得，利用倒序相加法即可求解. 【详解】因为，且图象的对称中心为， 所以，解得， 而，解得； 因为函数图象的对称中心为，即， 所以， 同理 设① ② 由①+②得，所以. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：倒序相加法求和：当有多个数相加，且每两个相邻加数的差值为定值时，可以将整体颠倒顺序，再与原式相加，如本题中满足， ① ② 将两式相加除以2即可求和. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，角的对边分别为.已知，且. （1）求角和； （2）若的面积为，求. 【答案】（1）， （2）2 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理角化边得，再根据余弦定理可求出结果，再由正弦定理求出; （2）方法一：由上问可得，结合求出，利用面积公式可求出;方法二：由上问可得，结合求出，利用正弦定理表示出，结合面积公式可求出，再利用正弦定理求出. 【小问1详解】 由正弦定理得，， 整理可得，. 由余弦定理得，. 又，则. 由正弦定理得，， 即，. 【小问2详解】 方法一：由可知，. , , ,解得. 方法二：由可知，. 由得， ， ， 解得, 16. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧棱底面，.点是棱的中点，点为棱上的一点，且. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：在中，，即， 又，则有，即， 因为平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理解得的值，利用勾股定理的逆定理可判断，由底面可得，进而可得平面，然后根据面面垂直的判定定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量以及平面的一个法向量，根据线面角的计算公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，，，， 故以D为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意得，，，，，， 设点，由，，三点共线，则有， 又，， ，解得，，，故， 设平面的法向量为，，， 由，得，即， 取平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则，， 所以，，， 故， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知函数. （1）当时，证明：； （2）若函数有极小值，且的极小值小于，求a的取值范围. 【答案】（1）证明如下： 要证，只需证. 当时，则，其中， 可得，令得，，列表如下： 1 递减 极小值 递增 所以，函数在处取得即小值，亦即最小值，即， 所以，. （2） 【解析】 【分析】（1）当时，证明出即可； （2）对实数的取值范围进行分类讨论，利用导数分析函数在其定义域上的单调性，可得出，根据题意可得出，可得出，利用导数分析函数在上的单调性，再利用函数的单调性可解不等式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，其中，则， 当时，，，此时，函数在上单调递增， 当时，令，可得，列表如下： 递减 极小值 递增 所以，， 由题意可得，即. 令，其中，且. 不等式即为，. ， 当且仅当时，即时，. 所以，函数在单调递增，又，则. 因此，实数的取值范围是. 18. 已知椭圆的两个焦点为，且椭圆的离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知为坐标原点，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，且弦的中点为，直线的斜率为，求； （3）直线与椭圆有两个不同的交点，椭圆在点处的切线分别为与交于点，点在直线上.请你判断直线是否经过定点，并说明理由. 【答案】（1）； （2）； （3）直线恒过定点，理由： 设，先求椭圆在点处的切线的方程. 方法一：根据判别式求解 椭圆在点处的切线，设， 联立方程得，， ， ， ， . ，即. 同理可得，. ，可得T点的横坐标，即， 又，可得，， 由题意可知直线的斜率不为0，设. ，整理得， ，即. 又，则. ，即直线恒过定点. 方法二：导数的几何意义： . 当点在时，. ，则切线斜率， ， 即.当点在时，同理可得. ，同理可得，. ，可得T点的横坐标，即， 又，可得，， 由题意可知直线的斜率不为0，设. ，整理得， ，即. 又，则. ，即直线恒过定点. 【解析】 【分析】（1）根据离心率和焦点坐标，列出方程组，求出，得到椭圆方程； （2）方法一：利用点差法进行求解；方法二：设，直线，表达出，结合，从而得到； 方法三：设，直线，联立直线与椭圆方程，由韦达定理得到两根之和，从而，故，求出； （3）方法一：设，联立椭圆方程，由得到，由韦达定理得到，，故，得到，同理可得，，联立，求出，结合，求出，设，则，整理得，又，则，从而求出直线恒过定点. 方法二：点在时，求导，得到切线斜率，，求出，同理可得，联立，求出，结合，求出，设，则，整理得，又，则，从而求出直线恒过定点. 【小问1详解】 设椭圆的标准方程为：， ， 椭圆的标准方程为：. 【小问2详解】 方法一：点差法： 设，则①， 又在椭圆上，则，， 两式相减得：， 即：②， 由①②得，. 而. 方法二：椭圆方程代换： 设，直线， ①， ②， 又，即③， 由①②③得，； 方法三：联立方程： 设，直线， ①， 联立方程得，， ②， 由①②得，，则. 又， . 【小问3详解】 略 【点睛】知识点点睛：过圆上一点的切线方程为：， 过圆外一点的切点弦方程为：. 过椭圆上一点的切线方程为， 过双曲线上一点的切线方程为 19. 今年立秋以后，我国西南地区持续性高温登上热搜，引发关注讨论､根据专家推测，主要是由于大陆高压和西太平洋副热带高压呈现非常强大，在高压的控制下，西南地区上空晴朗少云，在太阳辐射增温和气流下沉增温的共同作用下，两个地区的气温出现了直接攀升的状态.西南地区某城市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了和两个套餐服务，顾客可自由选择和两个套餐之一；该游泳馆在App平台上推出了优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一至周五销售优惠券情况. 星期 1 2 3 4 5 销售量（张） 218 224 230 232 236 经计算可得：. （1）已知关于的经验回归方程为，求关于的经验回归方程； （2）若购买优惠券的顾客选择套餐的概率为，选择套餐的概率为，并且套餐包含两张优惠券，套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为张的概率为. （i）求及； （ii）求及的最值. 参考公式：. 【答案】（1） （2）（i），，；（ii），的最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）将相关数据代入和的公式，即可得经验回归方程； （2）由题意知，，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解即可. 【小问1详解】 由题意，， 则， . 所以关于的经验回归方程为. 【小问2详解】 （i）由题意，可知， ， ， （求解另一种方法：） （ii）当时，，即， 又， 所以当时，数列为各项都为1的常数列， 即， 所以，又， 所以数列为首项为公比为的等比数列， 所以，即. 当为偶数时，，且随的增大而减小， 因此的最大值为； 当为奇数时，，且随的增大而增大， 因此的最小值为，综上所述，的最大值为，最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $