第五章 一元一次方程 5.2 解一元一次方程—2024-2025学年七年级上学期《七年级上册数学题型大全精讲》（2024人教新版）

人教新版2024版七年级上册题型大全 学科网▶数学梦工厂 人教2024新版 七年级上册数学题型大全 第五章 一元一次方程 5.2解一元一次方程 学习目标 1.掌握一元一次方程的一般步骤，能熟练地解一元一次方程； 2.理解解一元一次方程的每一步变形的数学依据； 思维导图 题型导览 人教新版2024版七年级上册题型大全 学科网▶数学梦工厂 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 题型1——判断解方程变形是否正确 题型2——根据方程的解求字母的值 题型3——同解方程问题 题型4——一元一次方程的解法 题型5——纠错问题 题型6——由错解求正解问题 题型7——新定义方程问题 题型8——绝对值方程问题 知识详解 知识点1：一元一次方程的解法 变形名称 数学依据 具体做法 注意事项 1.去分母 等式性质2 方程两边都乘以各分母的最小公倍数 (1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号 2.去括号 去括号法则 去括号 (1)不要漏乘括号里的项 (2)不要弄错符号 3.移项 等式性质1 含有未知数项都移到方程左边，常数项都移到右边 移项要变号 4.合并同类项 合并同类项法则 把方程化成的形式 5.系数化成1 等式性质2 方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解 不要把分子、分母写颠倒 名师点拨 解方程时，表中所给步骤是一般步骤，有些步骤可能用不到，要根据具体方程的形式而定，而且也不一定要按照表中顺序，可以适当的调整或删减． 知识点2：特殊形式的一元一次方程的解法 1.含绝对值的一元一次方程解法： 解此类方程关键要把绝对值化去，转化为一元一次方程，化去绝对值的方法就是分类讨论． 名师点拨 分类讨论情况如下： （1）当时，无解； （2）当时，原方程化为：，然后再按照一元一次方程的解法去解； （3）当时，原方程可化为：或. 2.含字母的一元一次方程： 此类方程一般先化为最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论： （1）当时，； （2）当时，为任意数； （3）当时，方程无解． 典例大全 题型1 判断解方程变形是否正确 例题1．下列变形正确的是（   ） A．将方程去括号，得 B．将方程去括号、移项、合并同类项，得 C．将方程去括号，得 D．将方程去括号，得 【变式训练】 1．下列解方程变形错误的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由去分母得 2．下列解方程去分母正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 3．下列方程变形正确的是（    ） A．方程移项得； B．方程，去括号，得； C．若，则； D．方程化成； 4．下列解方程的过程中，变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 题型2 根据方程的解求字母的值 例题2．如果是关于x的方程的解，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．小明在解方程 (x为未知数)时，误将看作，得方程的解为，则原方程的解为(   ) A． B． C． D． 2．若关于的一元一次方程的解是，则常数的值为（    ）． A．3 B． C． D．15 3．若是关于x的方程的解，则m的值为（   ） A．6 B． C． D．2 4．已知是关于x的方程的解，则m的值为（   ） A．2 B． C．5 D． 题型3 同解方程问题 例题3．已知关于x的方程与方程的解相同，则方程的解为 ． 【变式训练】 1．已知方程与方程的解相同，则的值为 ． 2．已知方程和方程的解相同，则代数式的值为 ． 3．若方程的解与关于x的方程的解相同，则a的值为 ． 4．若关于的方程和有相同解，则的值为 ． 题型4 一元一次方程的解法 例题4. 解下列方程： (1) (2) 【变式训练】 1．解方程： (1)； (2)． 2．解方程： (1) (2) 3．解方程： (1)； (2)． 4．解方程： (1)； (2) 题型5 纠错问题 例题5. 小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为． 请根据上述信息求方程正确的解． 【变式训练】 1．老师在黑板上出了一道解方程的题，小明马上举手，要求到黑板上做，他是这样做的：   ① ② ③ ④ ⑤ 老师说：小明解一元一次方程的一般步骤都知道，却没有掌握好，因此解题时有一步出现了错误． (1)请你指出他错在______（填编号），该方程正确的解是：______； (2)请你自己细心地解下面的方程：． 2．老师在黑板上出了一道解方程的题小明是这样做的：     ①          ②          ③                  ④                  ⑤ (1)老师说：小明解一元一次方程的一般步骤都知道却没有掌握好，因此解题时有一步出现了错误，请你指出他错在第________步，错误的原因是．_______________．这一步的依据是_______________． (2)请你自己细心地解此方程． (3)请你根据平时学习经验，针对解一元一次方程还需要注意的事项，给其他同学提一条建议． 3．按要求完成下面题目： 解方程： 解：去分母，得 ……① 即  ……② 移项,得  ……③ 合并同类项，得   ……④   ……⑤ 上述解方程的过程中，是否有错误? 答： （填“有”或“没有” ）；如果有错误，则错在 （填序号）步.如果上述解方程有错误，请你给出正确的解题过程. 4．李颖在解方程时，是这样做的：   ①   ②   ③   ④ 老师说：李颖对解一元一次方程的步骤都掌握了，但解题时有一步做错了，请你指出他错在第______步（填编号），错误的原因是______，现在，请你细心的解方程． 题型6 由错解求正解问题 例题6．小明是七年级（2）班的学生，他在对方程去分母时由于粗心，方程右边的没有乘6而得到错解，你能由此判断出a的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 【变式训练】 1． 小明是七（2）班的学生，他在对方程去分母时由于粗心，方程右边的没有乘以6而得到错解，你能由此判断出a的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 2．解方程： (1)； (2)甲同学在解方程时，由于粗心，错把看成了，结果解得，求的值及方程正确的解． 2． 林平同学在解方程时由于粗心，在化简方程去分母这一步时，方程左边的没有乘，进而求得的方程的解为请你求出方程的正确解及的值． 4．在数学课上，冰冰在解方程时，因为粗心，去分母时方程左边的1没有乘以10，从而求得的方程的解为x＝－6，试求的值，并解出原方程正确的解． 题型7 新定义方程问题 例题7．解一元一次方程时，发现这样一种特殊情况：的解为，恰巧，我们将这种类型的方程做如下定义：如果一个方程的解满足，则称它为“巧合方程”，请解决以下问题． (1)请判断方程是否是巧合方程：______（直接写“是”或“不是”）； (2)已知方程是巧合方程，请求出b的值； (3)若和都是巧合方程，请求出的值． 【变式训练】 1．定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“美好方程”，求关于的一元一次方程的解． 2．阅读材料题 定义：关于的方程与方程（，均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则__________； (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求，的值； (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 3．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”． 例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求与的值． 4．【定义】若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“友好方程”． 【运用】 (1)，，三个方程中，为“友好方程”的是 （填写序号）； (2)若关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值； (3)若关于的一元一次方程是“友好方程”，且它的解为，求、的值． 题型8绝对值方程问题 例题8．（1）解方程 （2）在解形如这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分和两种情况讨论： 当时，原方程可化为．解得．符合． 当时，原方程可化为．解得．符合． 所以原方程的解为或． 请你类比此法解方程：． （3）新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的一个解，且，满足，则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，当时，满足，所以关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”，求a的值． 【变式训练】 1．有些含绝对值的方程，可以通过分类讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解． 例如：解方程 解：当时，方程可化为： ，符合题意 当<0时，方程可化为： =-3，符合题意 所以原方程的解为：或 =-3 仿照上面解法，解方程： 2．先阅读下面的材料，再解答问题：解含有绝对值符号的方程时，关键是去掉绝对值符号，下面采用“找零点”的方法来求解这类方程． 例：解绝对值方程：． 解：分别令，，解得：，， 用2，将数轴分成三个区域，然后在每个区域内去掉绝对值求解， 当时，原方程可化为，解得：，检验符合； 当时，原方程可化为，解得：，经检验，它不在范围内，故不是原方程的解； 当时，原方程可化为，解得：，检验符合； 综上，原方程的解为或． 阅读完上述材料，试解下面含绝对值的方程：． 3．阅读下列材料： 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：，，……都是含有绝对值的方程． 怎样才能求出含有绝对值的方程的解？ 以方程和为例来探求解法． 探究思路： 根据绝对值的意义，把绝对值的符号去掉，含有绝对值的方程转化为一元一次方程进行求解． 探究结论： （1）解方程． 解：根据绝对值的意义可得：或． （2）解方程． 分析：把看作一个整体． 解：根据绝对值的意义可得：或， 解得：或． 应用材料中的方法解下列方程：(1)；(2)． 4．根据绝对值定义，若有，则或，若，则，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：． 解：方程可化为：或， 当时，则有，； 当时，则有，； 综上，方程的解为或． (1)解方程：； (2)已知，求的值． 题型检测 一、选择题（本大题共10小题） 1．下列解方程变形错误的是（    ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由去分母得 2．关于x的方程与的解相同，则m等于（   ） A．5 B．4 C． D． 3．关于的一元一次方程的解为，则的值为（   ） A．9 B．8 C．5 D．4 4．研究下面解方程的过程： 去括号，得，① 移项，得，② 合并同类项，得，③ 两边都除以6，得．④ 以上解题过程中，最先出现错误的步骤是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 5．下列几位同学的方程变形中，正确的是（  ） A．小高 B．小红 C．小英 D．小聪 6．设为任意两个有理数，规定，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 7．关于的方程的解与方程的解互为相反数，则的值是（ ） A．0.6 B．1 C．－1 D．2 8．把方程的分母化为整数的方程是（   ） A． B． C． D． 9．马小虎同学在解关于的方程时，误将等号右边的“”看作“”，其他解题过程均正确，从而解得方程的解为，则原方程正确的解为（    ） A． B． C． D． 10．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．例如：．若，则x的值为（    ） A． B． C．1 D．2 二、填空题（本大题共10小题） 11．方程的解是 ． 12．方程，■处是被墨水盖住的常数，已知方程的解是，那么■处的常数是 ． 13．已知是关于的一元一次方程的解，则的值为 ． 14．若关于的单项式与的差仍为单项式，则的值为 ． 15．当 时，代数式与的值相等． 16．当的值为 时，代数式的值比的值大1． 17．若关于的方程和的解相同，则的值为 ． 18．对于有理数a，b定义一种新运算，规定．若，则的值为 ． 19．如图是一个数值运算的程序，若输出的值为3，则输入的值为 ． 20．已知，，，为有理数，现规定一种新的运算：，那么当时， ． 三、解答题（本大题共7小题） 21．解方程 (1) (2) (3) (4) 22．下面是小颖解方程的过程： 解：________，得 （第一步） 去括号，得  （第二步） 移项，得   （第三步）   合并同类项，得      （第四步） 方程两边同除以，得   （第五步） 请认真阅读上面的过程，解答下列问题： (1)以上求解步骤中，第一步进行的是_______，这一步的依据是______； (2)以上求解步骤中，第_____步开始出现错误； (3)请写出正确的解方程过程． 23．阅读下面的例题：解方程：． ①当时，原方程可化为一元一次方程，它的解是； ②当时，原方程可化为一元一次方程，它的解是． 故原方程的解是或． 依照以上例题，解方程：． 24．已知a、b为有理数，且，若关于x的一元一次方程的解为，则此方程为“合并式方程”．例如：，∴此方程为“合并式方程”，请根据上述定义解答下列问题： (1)一元一次方程是否是“合并式方程”？并说明理由； (2)若关于x的一元一次方程是“合并式方程”，且它的解为，求a、b的值． 25．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程和为“兄弟方程”． (1)若关于x的方程与方程是“兄弟方程”，求m的值； (2)若两个“兄弟方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的方程和是“兄弟方程”，求m的值． 26．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如： 方程和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”， 求m的值； (3)若关于x的一元一次方程和 是“美好方程”，求关于y的一次方程：的解． 27．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，则　　； (2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求k的值； (3)①已知关于x的一元一次方程的解是，请写出解是的关于y的一元一次方程：（只需要补充含有y的代数式）； ②若关于x的一元一次方程和互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程的解为 ． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$人教新版2024版七年级上册题型大全 学科网▶数学梦工厂 人教2024新版 七年级上册数学题型大全 第五章 一元一次方程 5.2解一元一次方程 学习目标 1.掌握一元一次方程的一般步骤，能熟练地解一元一次方程； 2.理解解一元一次方程的每一步变形的数学依据； 思维导图 题型导览 人教新版2024版七年级上册题型大全 学科网▶数学梦工厂 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 题型1——判断解方程变形是否正确 题型2——根据方程的解求字母的值 题型3——同解方程问题 题型4——一元一次方程的解法 题型5——纠错问题 题型6——由错解求正解问题 题型7——新定义方程问题 题型8——绝对值方程问题 知识详解 知识点1：一元一次方程的解法 变形名称 数学依据 具体做法 注意事项 1.去分母 等式性质2 方程两边都乘以各分母的最小公倍数 (1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号 2.去括号 去括号法则 去括号 (1)不要漏乘括号里的项 (2)不要弄错符号 3.移项 等式性质1 含有未知数项都移到方程左边，常数项都移到右边 移项要变号 4.合并同类项 合并同类项法则 把方程化成的形式 5.系数化成1 等式性质2 方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解 不要把分子、分母写颠倒 名师点拨 解方程时，表中所给步骤是一般步骤，有些步骤可能用不到，要根据具体方程的形式而定，而且也不一定要按照表中顺序，可以适当的调整或删减． 知识点2：特殊形式的一元一次方程的解法 1.含绝对值的一元一次方程解法： 解此类方程关键要把绝对值化去，转化为一元一次方程，化去绝对值的方法就是分类讨论． 名师点拨 分类讨论情况如下： （1）当时，无解； （2）当时，原方程化为：，然后再按照一元一次方程的解法去解； （3）当时，原方程可化为：或. 2.含字母的一元一次方程： 此类方程一般先化为最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论： （1）当时，； （2）当时，为任意数； （3）当时，方程无解． 典例大全 题型1 判断解方程变形是否正确 例题1．下列变形正确的是（   ） A．将方程去括号，得 B．将方程去括号、移项、合并同类项，得 C．将方程去括号，得 D．将方程去括号，得 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据解一元一次方程的步骤依次计算可得答案． 【详解】解：A． 将方程去括号，得，原式变形错误，不符合题意； B． 将方程去括号、移项、合并同类项，得，原式变形正确，符合题意； C． 将方程去括号，得，原式变形错误，不符合题意； D． 将方程去括号，得，原式变形错误，不符合题意； 故选：B． 【变式训练】 1．下列解方程变形错误的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由去分母得 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．根据一元一次方程的解法判断即可． 【详解】解：A、由得，故选项A不符合题意； B、由得，故选项B不符合题意； C、由得，故选项C不符合题意； D、由去分母得，故选项D符合题意； 故选：D． 2．下列解方程去分母正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程——去分母．正确的去分母是解题的关键．根据解一元一次方程——去分母，对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：A. 由，得，原计算错误； B. 由，得，原计算错误； C. 由，得，原计算错误； D. 由，得，计算正确； 故选：D． 3．下列方程变形正确的是（    ） A．方程移项得； B．方程，去括号，得； C．若，则； D．方程化成； 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程中的变形，涉及移项、去括号、等式的性质2等知识，这是在解方程时也容易出错的地方；按照解方程的过程逐项检查即可． 【详解】解：A、方程左边的常数项1没有移项而改变了符号，故错误； B、乘法分配律与去括号错误，利用分配律时漏乘了5，且去括号时没有变号，故错误； C、当a为0时，不成立，故错误； D、原方程化为，去括号、移项、合并同类项后得：，故变形正确； 故选：D． 4．下列解方程的过程中，变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】此题考查了解一元一次方程，解方程去分母时注意各项都乘以各分母的最小公倍数．各方程整理得到结果，即可作出判断． 【详解】解：A、由，移项得，故原变形错误，不符合题意； B、由，将分子分母同时扩大10倍得，故原变形错误，不符合题意； C、由，系数化为1得，故原变形错误，不符合题意； D、由，去分母得，故原变形正确，符合题意， 故选：D． 题型2 根据方程的解求字母的值 例题2．如果是关于x的方程的解，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，把代入方程，再解一元一次方程即可得出答案． 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴ ∴， 故选：B. 【变式训练】 1．小明在解方程 (x为未知数)时，误将看作，得方程的解为，则原方程的解为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握一元一次方程的解的概念，正确解一元一次方程是关键；由题意知是方程的解，把解代入此方程则可求得a的值；再a的值代入中并解方程即可． 【详解】解：由题意知，是方程的解， 所以， 解得：， 把代入，得， 解得：； 故选：C． 2．若关于的一元一次方程的解是，则常数的值为（    ）． A．3 B． C． D．15 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解得关键在于熟练掌握一元一次方程的解的定义，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．将代入一元一次方程即可求出答案． 【详解】解：关于的一元一次方程的解是， ． 故选A． 3．若是关于x的方程的解，则m的值为（   ） A．6 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义．掌握方程的解使得方程左右两边相等的未知数的值成为解题的关键． 把代入关于x的方程，列出关于m的新方程求解即可． 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴， 解得：， 故选：C． 4．已知是关于x的方程的解，则m的值为（   ） A．2 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，把代入，得到关于m的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：把代入， 得：， 解得：， 故选：B． 题型3 同解方程问题 例题3．已知关于x的方程与方程的解相同，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】表示出两方程的解，由两方程为同解方程，求出的值，进而确定出方程的解．此题考查了同解方程，明确“同解方程即为两方程解相同的方程”是解题的关键． 【详解】解：方程，解得：， 方程，解得：， 由题意得：， 去分母得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， 代入得：， 解得：． 故答案为：． 【变式训练】 1．已知方程与方程的解相同，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解决本题的关键是要熟练掌握解一元一次方程的解法．根据解一元一次方程的一般步骤，可得的解，把解代入方程，解方程可得答案． 【详解】解： 解得：， ∵方程与方程的解相同， ∴把代入得：， 解得：． 故答案为： 2．已知方程和方程的解相同，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解的定义，理解一元一次方程的解的定义，是解题的关键． 先求出的解，再把x的值代入，求解即可． 【详解】解：∵的解是：， 又∵方程和有相同的解， ∴把，代入，得， 解得：． 则， 故答案是：． 3．若方程的解与关于x的方程的解相同，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解和一元一次方程的解法，分别解出两方程的解，然后让它们的解相等，即可求得的值．掌握解一元一次方程是解答本题的关键． 【详解】解：， 去分母得， 去括号， 移项合并得， 解得得， 解， 移项合并得：， 解得， 由题意得：， 解得． 故答案为：． 4．若关于的方程和有相同解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，能得出关于的方程是解此题的关键．先根据等式的性质求出第一个方程的解是，把代入方程得出，再求出方程的解即可． 【详解】解析：解：解方程得：， 把代入方程得：， 解得：． 故答案为：． 题型4 一元一次方程的解法 例题4. 解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程； （1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解： 移项， 合并同类项， 化系数为1， （2）解： 去分母， 去括号， 移项， 合并同类项， 化系数为1， 【变式训练】 1．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解本题的关键． （1）方程去括号，移项，合并，把系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项，合并，把系数化为1，即可求出解． 【详解】（1） 解：去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：； （2） 解：去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：． 2．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤，是解题的关键． （1）根据移项合并同类项，最后未知数的系数化为1的步骤解方程即可； （2）根据去分母，去括号，移项合并同类项，最后未知数的系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 解得： （2）解： 解得： 3．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可； （）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可 本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题关键． （1）先去括号，然后移项，合并同类项，系数化为1即可； （2）先去分母，再去括号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：； 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 题型5 纠错问题 例题5. 小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为． 请根据上述信息求方程正确的解． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照小玲的解方程过程，去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解得，由小玲解得，可求得，再按照正确的解题过程求解即可得到答案． 【详解】解：小玲的解方程过程如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得，， ∵小玲解得， ∴， ∴； 正确解法如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 【变式训练】 1．老师在黑板上出了一道解方程的题，小明马上举手，要求到黑板上做，他是这样做的：   ① ② ③ ④ ⑤ 老师说：小明解一元一次方程的一般步骤都知道，却没有掌握好，因此解题时有一步出现了错误． (1)请你指出他错在______（填编号），该方程正确的解是：______； (2)请你自己细心地解下面的方程：． 【答案】(1)①； (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，“先去分母、再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1”，准确计算． （1）根据小明的解题过程进行判断即可； （2）先去分母、再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1． 【详解】（1）解：小明在第①步去分母时，1漏乘了12； ， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； 故答案为：①；． （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 2．老师在黑板上出了一道解方程的题小明是这样做的：     ①          ②          ③                  ④                  ⑤ (1)老师说：小明解一元一次方程的一般步骤都知道却没有掌握好，因此解题时有一步出现了错误，请你指出他错在第________步，错误的原因是．_______________．这一步的依据是_______________． (2)请你自己细心地解此方程． (3)请你根据平时学习经验，针对解一元一次方程还需要注意的事项，给其他同学提一条建议． 【答案】(1)①；去分母时，1没有乘以各分母的最小公倍数12；等式的基本性质2 (2) (3)把含有未知数的项都移到方程的一边,其它项都移到方程的另一边．注意:移项要变号．（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，注意去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号． （1）小明解方程的第①步中去分母时“”没有乘以； （2）解带分母的方程，要先去分母、再去括号、最后移项合并同类项，化系数为，从而得到方程的解． （3）提出注意的事项即可． 【详解】（1）解：解：第①步错误，错误原因：去分母时，1没有乘以各分母的最小公倍数12，依据是：等式的基本性质2． （2）解： 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并得： 系数化为1得：. （3）把含有未知数的项都移到方程的一边,其它项都移到方程的另一边．注意:移项要变号．（答案不唯一） 3．按要求完成下面题目： 解方程： 解：去分母，得 ……① 即  ……② 移项,得  ……③ 合并同类项，得   ……④   ……⑤ 上述解方程的过程中，是否有错误? 答： （填“有”或“没有” ）；如果有错误，则错在 （填序号）步.如果上述解方程有错误，请你给出正确的解题过程. 【答案】有，①，过程见解析 【分析】本题主要考查一元一次方程解法的运用，计算时要注意括号的运用以及正负号的计算． 【详解】解：有，①； 正确的解题过程如下： ， ， ， ． 故答案为：有，①． 4．李颖在解方程时，是这样做的：   ①   ②   ③   ④ 老师说：李颖对解一元一次方程的步骤都掌握了，但解题时有一步做错了，请你指出他错在第______步（填编号），错误的原因是______，现在，请你细心的解方程． 【答案】①；去分母时，等号左边的1漏乘6；解方程见解析 【分析】本题考查解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤．李颖解题过程错在第①步，左边的1没有乘以6，按照解方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1可得． 【详解】解：李颖错在了第①步，错误的原因是：去分母时，等号左边的1漏乘6， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 题型6 由错解求正解问题 例题6．小明是七年级（2）班的学生，他在对方程去分母时由于粗心，方程右边的没有乘6而得到错解，你能由此判断出a的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 【答案】， 【分析】先把错误的解法得到的x的值代入方程求出a的值，然后根据一元一次方程的解法，先去分母，再去括号，最后移项，合并同类项，从而得到方程的解． 【详解】解：∵方程右边的忘记乘6，求出的解为， ∴， 解得， 则原方程为：， 去分母，得， 移项、合并同类项，得． 【变式训练】 1．小明是七（2）班的学生，他在对方程去分母时由于粗心，方程右边的没有乘以6而得到错解，你能由此判断出a的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 【答案】，． 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据题意把代入方程，得出，根据等式的性质求出方程的解是，得出方程为，再根据等式的性质求出方程的解即可． 【详解】解：∵小明是七（2）班的学生，他在对方程去分母时由于粗心，方程右边的没有乘以6而得到错解， ∴把代入方程，得， ， ， ， ， 方程为， ， ， ， ， ， 即，方程的解是． 2．解方程： (1)； (2)甲同学在解方程时，由于粗心，错把看成了，结果解得，求的值及方程正确的解． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解方程即可； （2）先把代入错误的方程，解关于m的一元一次方程求出m的值，再把m的值代入正确的方程，解方程求出正确的解即可； 此题考查了一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法和一元一次方程解的定义是解题的关键． 【详解】（1）解： 两边都乘以2得， 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化1得， （2）把代入得， ， 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化1得，， 当时，变为： 去分母得到， 去括号得， 移项合并同类项得，， 系数化为1得， 3．林平同学在解方程时由于粗心，在化简方程去分母这一步时，方程左边的没有乘，进而求得的方程的解为请你求出方程的正确解及的值． 【答案】；． 【分析】按林平同学的解法求出a的值，再把a的值代入原方程，按正确的解法求解即可． 【详解】解：根据题意可得， ， ， 把代入得． 移项合并得， 解得． 把代入原方程得， 去分母得， 解得． 4．在数学课上，冰冰在解方程时，因为粗心，去分母时方程左边的1没有乘以10，从而求得的方程的解为x＝－6，试求的值，并解出原方程正确的解． 【答案】的值为1，原方程正确的解为x=3 【分析】先将错误解法求得的解x=6代入错误方程中求得a值，再把a代入原方程中，解方程求出正确的解即可． 【详解】解：把x=-6代入2(2x-1)+1=5(x+a)中，解得a=1， 把a=1代入中得， 去分母，得2（2x-1）+10=5（x+1）， 去括号，得4x-2+10=5x+5， 移项、合并同类项，得-x=－3， 系数化为1，得x=3， 答：的值为1，原方程正确的解为x=3． 题型7 新定义方程问题 例题7．解一元一次方程时，发现这样一种特殊情况：的解为，恰巧，我们将这种类型的方程做如下定义：如果一个方程的解满足，则称它为“巧合方程”，请解决以下问题． (1)请判断方程是否是巧合方程：______（直接写“是”或“不是”）； (2)已知方程是巧合方程，请求出b的值； (3)若和都是巧合方程，请求出的值． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，本题是阅读型题目，理解题干中的新定义并熟练应用是解题的关键． （1）解原方程，利用“巧合方程”的定义进行验证即可； （2）先解方程，再根据“巧合方程”定义，建立关于b的方程求解即可； （3）同理（2）求出，n的值，代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ， 是巧合方程； （2）解： ， 方程是巧合方程， ； （3）解： ， 方程是巧合方程， ，即， 解得：； 解得：， 方程是巧合方程， ， ， ， ， 解得：， ． 【变式训练】 1．定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“美好方程”，求关于的一元一次方程的解． 【答案】(1)； (2)或； (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． （1）先表示两个方程的解，再求解； （2）根据条件建立关于的方程，再求解； （3）由关于的一元一次方程和是“美好方程”，可求出的解为，再将变形为，则，从而求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵关于的方程与方程是“美好方程” ∴， ∴． （2）解：∵“美好方程”的两个解和为，其中一个解为， ∴另一个方程的解是 ∵两个解的差是 ∴或 ∴或； （3）解：∵ ∴ ∵关于的一元一次方程和是“美好方程” ∴关于的一元一次方程的解为： ∴关于的一元一次方程可化为 ∴ ∴． 2．阅读材料题 定义：关于的方程与方程（，均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则__________； (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求，的值； (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 【答案】(1)3； (2)，； (3)． 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用，能够正确理解“反对方程”的概念是解决此题关键． （1）根据“反对方程”的定义直接可得答案； （2）将“反对方程”组成方程组求解可得答案； （3）根据“反对方程”与的解均为整数，可得与都为整数，由此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得， 故答案为：3． （2）解：与互为“反对方程”， ，， 解得，； （3）解：的“反对方程”为， 由得，，由，得， 与的解均为整数， 与都为整数． 也为整数， 当时，，，都为整数； 当时，，，都为整数， 的值为． 3．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”． 例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求与的值． 【答案】(1) (2)或 (3)， 【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是根据“和谐方程”的定义，一元一次方程的解，进行解答，即可． （1）解出和的解，再根据“和谐方程”的定义，即可； （2）根据“和谐方程”的定义，则一个方程的解为：；另一个方程的解为：，即可； （3）先解出的解，再根据“和谐方程”的定义，即可． 【详解】（1）∵， 解得：， ∵， ∴， ∵方程与方程是“和谐方程”， ∴， ∴． （2）∵“和谐方程”的两个解的差为，其中一个解为， ∴另一个方程的解为：， ∴， 解得：， ∴或． （3）∵， ∴， ∴方程的解为：， ∴， ∴， ∴， ∵取任何有理数上式都成立， ∴， \解得：， ∴，． 4．【定义】若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“友好方程”． 【运用】 (1)，，三个方程中，为“友好方程”的是 （填写序号）； (2)若关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值； (3)若关于的一元一次方程是“友好方程”，且它的解为，求、的值． 【答案】(1)②； (2)； (3)，． 【分析】（）利用题中的新定义判断即可； （）根据题中的新定义列出有关的方程，求出方程的解即可得到的值，利用题中的新定义确定出所求即可； （）根据“友好方程”的定义即可得出关于、的二元二次方程组，解之即可得出、 的值； 此题考查了一元一次方程的解，解题的关键是正确理解方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】（1） 解得：， 而，不是“友好方程”； 解得：， ，是“友好方程”； ，不是“友好方程”； 故答案为： ②； （2）方程：的解为， ∵关于的一元一次方程是“友好方程” ∴， 解得 ； （3）∵关于的一元一次方程，它的解为， ∴， ∵， ∴，解得：， ∵关于的一元一次方程是“友好方程”， 它的解为， ∴，解得：． 题型8绝对值方程问题 例题8．（1）解方程 （2）在解形如这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分和两种情况讨论： 当时，原方程可化为．解得．符合． 当时，原方程可化为．解得．符合． 所以原方程的解为或． 请你类比此法解方程：． （3）新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的一个解，且，满足，则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，当时，满足，所以关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”，求a的值． 【答案】（1）或；（2）或；（3）或 【分析】本题主要考查了解一元一次方程： （1）先推出，进而得到或，进而解方程即可； （2）仿照题意进行求解即可； （3）先解方程得到或，，再根据新定义得到或，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴或， 解得或； （2） 当时，原方程可化为．解得．符合． 当时，原方程可化为．解得．符合． 所以原方程的解为或； （3）∵， ∴， ∴或， ∴或； ∵， ∴， ∴， 解得， ∵关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”， ∴或， 解得或． 【变式训练】 1．有些含绝对值的方程，可以通过分类讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解． 例如：解方程 解：当时，方程可化为： ，符合题意 当<0时，方程可化为： =-3，符合题意 所以原方程的解为：或 =-3 仿照上面解法，解方程： 【答案】或=-2 【分析】按照所给解法，结合绝对值的意义解方程即可． 【详解】解：当时，方程可化为： 符合题意 当<1时，方程可化为： -2=4 =-2符合题意 所以原方程的解为：或=-2． 2．先阅读下面的材料，再解答问题：解含有绝对值符号的方程时，关键是去掉绝对值符号，下面采用“找零点”的方法来求解这类方程． 例：解绝对值方程：． 解：分别令，，解得：，， 用2，将数轴分成三个区域，然后在每个区域内去掉绝对值求解， 当时，原方程可化为，解得：，检验符合； 当时，原方程可化为，解得：，经检验，它不在范围内，故不是原方程的解； 当时，原方程可化为，解得：，检验符合； 综上，原方程的解为或． 阅读完上述材料，试解下面含绝对值的方程： ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义、解一元一次方程，分别令，，解得：，，用1、将数轴分成三个区域，然后在每个区域内去掉绝对值求解即可得解，熟练掌握绝对值的意义，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：分别令，，解得：，， 用1、将数轴分成三个区域，然后在每个区域内去掉绝对值求解， 当时，可化为，解得：， 经检验，它不在范围内，故不是原方程的解； 当时，可化为，解得：，符合题意； 当时，可化为，解得：， 经检验，它不在范围内，故不是原方程的解； 综上，原方程的解为． 3．阅读下列材料： 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：，，……都是含有绝对值的方程． 怎样才能求出含有绝对值的方程的解？ 以方程和为例来探求解法． 探究思路： 根据绝对值的意义，把绝对值的符号去掉，含有绝对值的方程转化为一元一次方程进行求解． 探究结论： 1．解方程． 解：根据绝对值的意义可得：或． 2．解方程． 分析：把看作一个整体． 解：根据绝对值的意义可得：或， 解得：或． 应用材料中的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了绝对值的意义、解一元一次方程，正确理解绝对值的意义是解此题的关键． （1）根据绝对值的意义可得：或，再解一元一次方程即可得解； （2）根据绝对值的意义可得：或，再解一元一次方程即可得解． 【详解】（1）解：根据绝对值的意义可得：或， 解得：或； （2）解：根据绝对值的意义可得：或， 解得：或． 4．根据绝对值定义，若有，则或，若，则，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：． 解：方程可化为：或， 当时，则有，； 当时，则有，； 综上，方程的解为或． (1)解方程：； (2)已知，求的值． 【答案】(1)或 (2)12或20 【分析】本题考查了绝对值的意义，解一元一次方程，熟练掌握绝对值的意义是解此题的关键． （1）由绝对值的意义可得或，再解一元一次方程即可得解； （2）由绝对值的意义可得或，将看成整体解方程即可得解． 【详解】（1）解：解方程：， 或， 解得：或； 方程的解为或； （2）解：∵， ∴或， 解得：或， ∴的值为或20． 题型检测 一、选择题（本大题共10小题） 1．下列解方程变形错误的是（    ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由去分母得 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．根据一元一次方程的解法判断即可． 【详解】解：由得，故选项A不符合题意； 由得，故选项B不符合题意； 由得，故选项C不符合题意； 由去分母得，故选项D不符合题意； 故选D． 2．关于x的方程与的解相同，则m等于（   ） A．5 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查方程的解，解一元一次方程，先求出的解，代入得到关于m的一元一次方程，再解方程即可． 【详解】解：解，得：， 将代入，得：， 解得， 故选A． 3．关于的一元一次方程的解为，则的值为（   ） A．9 B．8 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，一元一次方程的定义，代数式求值，解题的关键是熟练掌握一元一次方程定义，只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程．根据一元一次方程的定义求出a的值，根据方程的解为求出m的值，然后求出代数式的值即可． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程， ∴， 解得：， ∴方程为， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴把代入得：， 解得：， ∴． 故选：C． 4．研究下面解方程的过程： 去括号，得，① 移项，得，② 合并同类项，得，③ 两边都除以6，得．④ 以上解题过程中，最先出现错误的步骤是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的求解．熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤是解题的关键，注意：括号前是负号去括号时括号中各项都变号． 根据解方程的方法和步骤即可判断，括号前是负号去括号时括号中各项都变号． 【详解】去括号，得， ①变形错误． 故选：A． 5．下列几位同学的方程变形中，正确的是（  ） A．小高 B．小红 C．小英 D．小聪 【答案】C 【分析】根据方程移项，去分母，系数化为1，去括号的运算法则逐项判断即可． 【详解】A． ，移项得，故选项错误，不符合题意； B． ，去分母得，故选项错误，不符合题意； C． ，系数化为1，得，故选项正确，符合题意； D． ，去括号，得，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 6．设为任意两个有理数，规定，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解一元一次方程的解，根据新定义得到关于m的方程是解题的关键．利用题中的新定义化简，然后解一元一次方程即可求出m的值． 【详解】解：根据题意得：， 即， 解得：， 故选：D． 7．关于的方程的解与方程的解互为相反数，则的值是（ ） A．0.6 B．1 C．－1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解和一元一次方程的解法，先求出方程的解，然后把它的相反数代入即可求解． 【详解】解： 移项合并同类项，得 系数化为1，得 把代入得， 解得． 故选C． 8．把方程的分母化为整数的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解一元一次方程，方程利用分数的基本性质化简，整理即可得到结果． 【详解】解：把方程的分母化为整数的方程是， 故选：D． 9．马小虎同学在解关于的方程时，误将等号右边的“”看作“”，其他解题过程均正确，从而解得方程的解为，则原方程正确的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将代入求出a的值，再解关于的方程． 【详解】解：由题意知：是方程的解， ， 解得， 原方程为， 解得， 故选B． 10．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．例如：．若，则x的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值． 【详解】解：， 即 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 故选：A． 二、填空题（本大题共10小题） 11．方程的解是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，． 故答案为：4． 12．方程，■处是被墨水盖住的常数，已知方程的解是，那么■处的常数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的解的定义，熟练掌握方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．将，代入方程中，求出■的值即可． 【详解】将，代入方程中， 得， 解得， 故答案为：． 13．已知是关于的一元一次方程的解，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程．熟练掌握一元一次方程的解，解一元一次方程是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴， 解得，， 故答案为：． 14．若关于的单项式与的差仍为单项式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查同类项的判断，合并同类项，代数式求值．掌握同类项的定义是解答本题的关键． 由题意可得单项式与是同类项，即可得出，解出、的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵单项式与的差仍为单项式， ∴单项式与是同类项， ， 解得：， ， 故答案为：． 15．当 时，代数式与的值相等． 【答案】10 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解题的关键． 根据题意列出出方程，求出方程的解即可． 【详解】根据题意，得：， 去括号，得， 移项、得 合并同类项，得， 故答案为：10． 16．当的值为 时，代数式的值比的值大1． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程．根据题意，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：． 故答案为：． 17．若关于的方程和的解相同，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解与一元一次方程，先求出x的值，再把x的值代入求出k的值即可． 【详解】解：， ， ， ， 把代入得：， ， 解得：． 故答案为：． 18．对于有理数a，b定义一种新运算，规定．若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，新定义，根据新定义得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 19．如图是一个数值运算的程序，若输出的值为3，则输入的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题目中的运算程序，可以列出相应的方程，然后求解即可． 【详解】解：由图可知：， 当时，， 解得， 故答案为：． 20．已知，，，为有理数，现规定一种新的运算：，那么当时， ． 【答案】/ 【分析】此题考查了解一元一次方程．已知等式利用题中的新定义化简，求出解即可得到的值． 【详解】解：根据题中的新定义化简得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题） 21．解方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是： （1）按照去括号，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． （2）按照去括号，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． （3）按照去括号，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． （4）按照去分母，去括号，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （3）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （4）解∶原方程变形为， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 22．下面是小颖解方程的过程： 解：________，得 （第一步） 去括号，得  （第二步） 移项，得   （第三步）   合并同类项，得      （第四步） 方程两边同除以，得   （第五步） 请认真阅读上面的过程，解答下列问题： (1)以上求解步骤中，第一步进行的是_______，这一步的依据是______； (2)以上求解步骤中，第_____步开始出现错误； (3)请写出正确的解方程过程． 【答案】(1)去分母；等式两边同时乘同一个数，所得结果仍是等式 (2)三 (3)，过程见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，等式的基本性质是解题的关键． （1）根据等式的基本性质解答即可； （2）根据解一元一次方程的步骤解答即可； （3）按照解一元一次方程的步骤进行计算即可． 【详解】（1）解：以上求解步骤中，第一步进行的是去分母，这一步的依据是等式两边同时乘同一个数，所得结果仍是等式 故答案为：去分母；等式两边同时乘同一个数，所得结果仍是等式； （2）解：以上求解步骤中，第三步开始出现错误； 故答案为：三； （3）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 23．阅读下面的例题：解方程：． ①当时，原方程可化为一元一次方程，它的解是； ②当时，原方程可化为一元一次方程，它的解是． 故原方程的解是或． 依照以上例题，解方程：． 【答案】或 【分析】本题主要考查了绝对值的性质、解一元二次方程等知识，正确理解题意是解题关键．分和两种情况，将原方程可化为一元一次方程，然后求解即可． 【详解】解：， ①当时，原方程可化为一元一次方程， 它的解是； ②当时，原方程可化为一元一次方程， 它的解是． 综上所述，原方程的解是或． 24．已知a、b为有理数，且，若关于x的一元一次方程的解为，则此方程为“合并式方程”．例如：，∴此方程为“合并式方程”，请根据上述定义解答下列问题： (1)一元一次方程是否是“合并式方程”？并说明理由； (2)若关于x的一元一次方程是“合并式方程”，且它的解为，求a、b的值． 【答案】(1)不是合并式方程，理由见解析； (2)． 【分析】（1）根据“合并式方程”的定义进行计算即可； （2）由“合并式方程”的定义可得，解方程组即可． 本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，已知式子的值求代数值的值，理解一元一次方程的解的定义以及“合并式方程”的定义是解决问题的关键． 【详解】（1）解：依题意，一元一次方程的解为， 而， ∴一元一次方程不是“合并式方程”； （2）解： 关于的一元一次方程是“合并式方程”，且它的解为， ， 即， ∵，它的解为， ∴ 把代入 得 解得， 再把代入 解得， 答：． 25．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程和为“兄弟方程”． (1)若关于x的方程与方程是“兄弟方程”，求m的值； (2)若两个“兄弟方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的方程和是“兄弟方程”，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义： （1）先解方程得，再由“兄弟方程”的定义得到关于x的方程：的解为，据此把代入方程中求出m的值即可； （2）根据“兄弟方程”的定义得到另一个解为，进而得到或，解方程即可； （3）解方程得，解方程得，根据“兄弟方程”的定义得到，解方程即可． 【详解】（1）解：解方程得， ∵关于x的方程：与方程是“兄弟方程”， ∴关于x的方程：的解为， ∴， ∴； （2）解：∵两个“兄弟方程”的两个解中有一个解为n， ∴另一个解为， ∵这两个解的差为6， ∴或， 解得； （3）解：解方程得，解方程得， ∵关于x的方程和是“兄弟方程”， ∴， 解得． 26．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如： 方程和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”， 求m的值； (3)若关于x的一元一次方程和 是“美好方程”，求关于y的一次方程：的解． 【答案】(1)方程与方程互为“美好方程” (2)9 (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． （1）解得；解得，由，可知方程与方程互为“美好方程”； （2）解得，；解得；由若关于x的方程与方程是“美好方程”，可得，计算求解即可； （3）解得，，由关于x的一元一次方程和是“美好方程”，可知是关于x的一元一次方程的解，则，计算求解即可． 【详解】（1）解：， 解得，； ， 解得，， ∵， ∴方程与方程互为“美好方程”； （2）解：， 解得，； ， 解得，； ∵若关于x的方程与方程是“美好方程”， ∴， 解得，， ∴m的值为9； （3）解：， 解得，， ∵关于x的一元一次方程和是“美好方程”， ∴是关于x的一元一次方程的解， ∴， 解得，， ∴若求关于y的一次方程：的解为． 27．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，则　　； (2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求k的值； (3)①已知关于x的一元一次方程的解是，请写出解是的关于y的一元一次方程：（只需要补充含有y的代数式）； ②若关于x的一元一次方程和互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】(1) (2)3或 (3)①，；② 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． （1）分别求得两个方程的解，利用“阳光方程”的定义列出关于m的方程解答即可； （2）利用“阳光方程”的定义得出两个“阳光方程”的解为由两个“阳光方程”的解的差为5列出关于k的方程解答即可； （3）①由题意可知的解是，结合，则即可求解； ②求得方程的解，利用“阳光方程”的定义得到方程的解，再将关于y的方程变形得，利用同解方程的定义即可得到，从而求得方程的解． 【详解】（1）解：关于x的一元一次方程的解为：, 方程的解为：， 关于x的一元一次方程与是“阳光方程”， 解得：； 故答案为：； （2）解： 互为“阳光方程”的一个解为，则另一个解为， 又这两个“阳光方程”的解的差为5 则或， 解得或． 故k的值为3或； （3）解：①关于x的一元一次方程的解是， 即的解是， 关于y的一元一次方程：的解是， 则的解是， 即的解是， 故答案为：，； ②∵关于x的一元一次方程的解为， 又∵关于x一元一次方程和互为“阳光方程”， 方程的解为：， 把关于y的一元一次方程， 整理得： ， 解得：， 关于y的一元一次方程的解为： 故答案为： 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$