专题突破4-1相似三角形常见模型之平行类相似（4大题型）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（浙教版）

专题突破4-1：相似三角形常见模型之平行类相似 一、A字图及其变形“斜A型” 当DE∥BC时 △ADE∽△ABC 性质： 当∠ADE=∠ACB时 △ADE∽△ACB 性质： 变型 ☆：斜A型在圆中的应用： 如图可得：△PAB∽△PCD ☆：“A字图”最值应用 A字图中作动态矩形求最大面积时，通常当MN为△ABC中位线， 矩形面积达到最大值！ 二、8字图及其变形“蝴蝶型”当∠A=∠C时 △AJB∽△CJD 性质： 当AB∥CD时 △AOB∽△DOC 性质： 变型 ☆：“蝴蝶型”常见应用 ①常出现在“圆”中，直接由相交弦得到，求角度相关此时注意“同弧所对圆周角相等”的应用； ②出现在“手拉手模型”中，用于证明“两直线垂直”或者“两直线成一固定已知角度” ☆：A字图与8字图相似模型均是由“平行”直接得到的，∴有“∥”，多想此两种模型 常见“∥”的引入方式： ①直接给出平行的已知条件； ②平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等几何图形中自带的平行； ③由很多中点构造的“中位线”的平行； ④根据线段成比例的条件或结论自己构造平行辅助线； 题型一 A字图及其变型“斜A型” 【例1】．（2023秋•兰溪市校级期中）如图，在△ABC中，D是AB边上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E，若AD：DB＝3：1，则S△ADE：S△ABC的值为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】．（2023秋•婺城区校级期中）如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（　　） A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C． D．AC2＝AD•AB 【变式1-2】．（2023秋•河东区期末）如图，在△ABC中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC与△ACB相似的条件是（　　） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 【变式1-3】．（2024秋•西湖区校级月考）如图，正方形MNPQ内接于△ABC，点M、N在BC上，点P、Q分别在AC和AB边上，且BC边上的高AD＝6cm，BC＝12cm，则正方形MNPQ的边长为 　 　． 【变式1-4】．（2024秋•义乌市期中）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是BC的中点，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F． （1）线段DF的长为 　 　； （2）连接AC，若AC交DF于点M，则＝　 　． 【变式1-5】．（2023秋•婺城区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止，点D的运动速度为1cm/s，点E的运动速度为2cm/s．若D，E两点同时出发，则当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为 　 　s． 【变式1-6】．（2024秋•义乌市期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连接AC、BE，它们相交于点F，且∠ACB＝∠ABE． （1）求证：AE2＝EF•BE； （2）若AE＝2，EF＝1，CF＝4，求AB的长． 【变式1-7】．（2021秋•娄星区校级期中）某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面1.6米，凉亭顶端离地面1.9米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为38米，小亮身高为1.7米．请根据以上数据求出城楼的高度． 【变式1-8】．（2024•温州模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，点E在CD上，∠DAE＝45°，F为BC的中点，连结AE，AF，分别交BD于点G，H，连结EF． （1）求证：BD＝2EF． （2）当EF＝6时，求GH的长． 题型二 8字图及其变型“蝴蝶型” 【例2】．（2024秋•杭州月考）如图，线段AB，CD的端点都在正方形网格的格点上，它们相交于点M．若每个小正方形的边长都是1，则的值为（　　） A． B． C． D．2 【变式2-1】．（2014秋•宁海县月考）半圆O的直径AB＝9，两弦AB、CD相交于点E，弦CD＝，且BD＝7，则DE＝　 　． 【变式2-2】．（2019•丹江口市模拟）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG＝2，则线段AE的长度为　 　． 【变式2-3】．（2024•钱塘区三模）如图，在菱形ABCD中，点E在边AD上，连结CE交对角线BD于点F，过点E作EG∥AB交BD于点G． （1）若CD＝CE，∠A＝110°，求∠BCF的度数． （2）若BD＝15，DE＝2AE，求FG的长． （3）求证：DF2＝FG•BF． 【变式2-4】．（2024•瑞安市校级模拟）如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，BC＝5，AD＝9．点E在线段AC上，EF∥BC交AB于点F，EG∥CD交AD于点G，FG交AC于点H，连结BD． （1）试判断FG与BD的位置关系，并说明理由． （2）求的值． （3）若E为AC的中点，BD＝12，求FG的长． 题型三 平行类相似与特殊平行四边形的结合 【例3】．（2024秋•义乌市校级月考）在平行四边形ABCD中，则S△ADN：S四边形CMNB为（　　） A．5：9 B．5：19 C．4：19 D．4：9 【变式3-1】．（2024•温州三模）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，连结HF交DE于点M．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】．（2024秋•海曙区校级月考）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，EF⊥BD，垂足为点H，EF分别交AD、DC及BC的延长线于点E、M、F，且ED：CF＝1：2，则DH：DB的值为（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】．（2024秋•海曙区校级月考）如图，已知在矩形ABCD中，M是AD边的中点，BM与AC垂直，交直线AC于点N，连接DN，则下列四个结论中：①CN＝2AN；②DN＝DC；③；④△AMN∽△CAB．正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【变式3-4】．（2024秋•西湖区校级月考）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，． （1）若AB＝4，求线段AD的长； （2）若△ADE的面积为2，求平行四边形BFED的面积． 【变式3-5】．（2024•鹿城区校级三模）如图1，在菱形ABCD中，BE⊥AD于点E，G为CD的中点，延长GE交BA的延长线于点F，已知∠ABE＝30°，AB＝3．点P，Q分别在线段GE，AB上（不与端点重合），且满足，设AQ＝x，PF＝y． （1）求证：GE＝EF． （2）求y关于x的函数表达式． （3）如图2，连结PQ． ①当PQ与△ABE的一边垂直时，求x的值． ②当点D落在QP的延长线上时，记PQ与BE的交点为M，求的值． 题型四 平行类相似的综合 【例4】．（2023秋•拱墅区月考）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C，D均在格点上． （1）在图①中，的值为 　 　； （2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图②，在AB上找一点P，使AP＝3； ②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽△CPD． 【变式4-1】．（2024•上城区一模）如图，点D为△ABC的边AC上一点，延长BD至点F，使得CF∥AB，点E在线段BC上，且DE∥AB，AB＝4，CF＝6． （1）若AD＝3，求CD的长． （2）若∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，求BD的长． 【变式4-2】．（2024秋•诸暨市校级月考）【阅读与思考】 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 如图1，在△ABC中，中线AD，CE相交于点G，连接DE， ∵D，E分别是BC，AB边的中点， ∴①　 　． ∴DE∥AC，且DE＝AC． ∴②　 　∽　 　，　 　∽　 　 ∴， 任务： （1）笔记中横线部分应填写①　 　； ②　 　∽　 　，　 　∽　 　． （2）如图2，在△MNH中，点K，L分别在MN，MH边上，连接HK，NL交于点F．若MK＝MN，ML＝MH，猜测KF与HF的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在平行四边形ABCD中，点E、F、G分别是AD、BC、CD的中点，BE⊥EG，AB＝3，AD＝2，求AF长． 【变式4-3】．（2023秋•义乌市月考）如图，在▱ABCD中，AB＝10，B到AD的距离为6，点P是CD边上的动点，连接BP并延长直线AD于点E，将△BCP沿直线BE折叠到△BC′P，直线BC交直线AD于点F． （1）求证：BF＝EF． （2）若四边形ABCD为菱形，且DF＝2，求的值． （3）若点P为CD的中点，在改变AD的过程中，当△ABF成为以AB为腰的等腰三角形时，求AD的长． 【变式4-4】．（2023•西湖区校级二模）如图，平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，点P为BC中点，AP交BD于点E，连接CE，AE＝CE． （1）求证：平行四边形ABCD为菱形； （2）若AB＝5，AE＝3， ①求的值． ②求BD的长． 【变式4-5】．（2023•永嘉县三模）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，sinB＝．点D为AB的中点，过点D作射线DE∥BC交AC于点E，点M为射线DE上一动点，过点M作MN⊥BC于点N，点P为边AC上一点，连结NP，且满足，设BN＝x，NP＝y． （1）求线段MN的长； （2）求y关于x的函数表达式； （3）如图2，连结MP． ①当△MNP为等腰三角形时，求x的值． ②以点M为旋转中心，将线段MP按顺时针方向旋转90°得线段MP′，当点P′落在BC边上时，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题突破4-1：相似三角形常见模型之平行类相似 一、A字图及其变形“斜A型” 当DE∥BC时 △ADE∽△ABC 性质： 当∠ADE=∠ACB时 △ADE∽△ACB 性质： 变型 ☆：斜A型在圆中的应用： 如图可得：△PAB∽△PCD ☆：“A字图”最值应用 A字图中作动态矩形求最大面积时，通常当MN为△ABC中位线， 矩形面积达到最大值！ 二、8字图及其变形“蝴蝶型”当∠A=∠C时 △AJB∽△CJD 性质： 当AB∥CD时 △AOB∽△DOC 性质： 变型 ☆：“蝴蝶型”常见应用 ①常出现在“圆”中，直接由相交弦得到，求角度相关此时注意“同弧所对圆周角相等”的应用； ②出现在“手拉手模型”中，用于证明“两直线垂直”或者“两直线成一固定已知角度” ☆：A字图与8字图相似模型均是由“平行”直接得到的，∴有“∥”，多想此两种模型 常见“∥”的引入方式： ①直接给出平行的已知条件； ②平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等几何图形中自带的平行； ③由很多中点构造的“中位线”的平行； ④根据线段成比例的条件或结论自己构造平行辅助线； 题型一 A字图及其变型“斜A型” 【例1】．（2023秋•兰溪市校级期中）如图，在△ABC中，D是AB边上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E，若AD：DB＝3：1，则S△ADE：S△ABC的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】由题意易得AD：DB＝3：1，△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的性质可求解． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∵AD：DB＝3：1， ∴AD：AB＝3：4， ∴． 故选：D． 【变式1-1】．（2023秋•婺城区校级期中）如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（　　） A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C． D．AC2＝AD•AB 【分析】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案． 【解答】解：A、当∠ACD＝∠B时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意； B、当∠ADC＝∠ACB时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意； C、当时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意； D、当AC2＝AD•AB时，即，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意； 故选：C． 【变式1-2】．（2023秋•河东区期末）如图，在△ABC中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC与△ACB相似的条件是（　　） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断． 【解答】解：当∠ACP＝∠B，∵∠A＝∠A， 所以△APC∽△ACB； 当∠APC＝∠ACB，∵∠A＝∠A， 所以△APC∽△ACB； 当AC2＝AP•AB， 即AC：AB＝AP：AC，∵∠A＝∠A 所以△APC∽△ACB； 当AB•CP＝AP•CB，即PC：BC＝AP：AB， 而∠PAC＝∠CAB， 所以不能判断△APC和△ACB相似． 故选：D． 【变式1-3】．（2024秋•西湖区校级月考）如图，正方形MNPQ内接于△ABC，点M、N在BC上，点P、Q分别在AC和AB边上，且BC边上的高AD＝6cm，BC＝12cm，则正方形MNPQ的边长为 　4cm　． 【分析】图中ED的长等于正方形MNPQ的边长．欲求正方形MNPQ的边长即PQ的长，已知BC和AD的长，AE可用PQ表示出来，考虑借助相似三角形的性质解题． 【解答】解：设正方形MNPQ的边长为x cm，则ED＝x cm，AE＝AD﹣x＝（6﹣x）cm． ∵四边形MNPQ是正方形， ∴PQ∥BC． ∴△APQ∽△ACB． 又∵AD⊥BC， ∴＝． ∵PQ＝x cm，AE＝（6﹣x）cm，BC＝12cm，AD＝6cm， ∴＝， 解得x＝4． 故答案为：4cm． 【变式1-4】．（2024秋•义乌市期中）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是BC的中点，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F． （1）线段DF的长为 　　； （2）连接AC，若AC交DF于点M，则＝　　． 【分析】（1）利用三角形面积相等，列出等式，求解即可； （2）延长DF交CB的延长线于K，利用相似三角形的性质求出KE，再利用平行线分线段成比例定理求解即可． 【解答】解：（1）根据题意，画出图： ∵AB＝4，AD＝6，BE＝＝3， ∴AE＝5， ∴S△ADE＝＝，S△ADE＝＝12， ∴DF＝； 故答案为：； （2）若AC交DF于点M，延长DF交BC延长线于点K，如图所示： 在Rt△AFD中， AF＝＝＝， EF＝AE﹣AF＝5﹣＝， ∵∠KEF＝∠AEB，∠EFK＝∠ABE＝90°， ∴△KEF∽△AEB， ∴， ∴ ∴KE＝， ∴CK＝KE+EC＝+3＝， ∵AD∥CK， ∴＝． 【变式1-5】．（2023秋•婺城区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止，点D的运动速度为1cm/s，点E的运动速度为2cm/s．若D，E两点同时出发，则当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为 　3或4.8　s． 【分析】分△ADE∽△ABC和△ADE∽△ACB两种情况分别求解即可． 【解答】解：设运动时间为t s时，以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时， 则AD＝t，CE＝2t，AE＝AC﹣CE＝12﹣2t， ①当D与B对应时，△ADE∽△ABC， ∴， 即， ∴t＝3； ②当D与C对应时，△ADE∽△ACB， ∴， 即， ∴t＝4.8， ∴当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为3s或4.8s， 故答案为：3或4.8． 【变式1-6】．（2024秋•义乌市期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连接AC、BE，它们相交于点F，且∠ACB＝∠ABE． （1）求证：AE2＝EF•BE； （2）若AE＝2，EF＝1，CF＝4，求AB的长． 【分析】（1）利用平行四边形的性质得到AD∥BC，则∠DAC＝∠ACB，然后证明△EAF∽△EBA，则利用相似三角形的性质得到结论； （2）先利用AE2＝EF•BE计算出BE＝4，则BF＝3，再由AE∥BC，利用平行线分线段成比例定理计算出AF＝，然后利用△EAF∽△EBA，根据相似比求出AB的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∵∠ACB＝∠ABE， ∴∠DAC＝∠ABE， ∵∠EAF＝∠EBA，∠AEF＝∠BEA， ∴△EAF∽△EBA， ∴EA：EB＝EF：EA， ∴AE2＝EF•BE； （2）∵AE2＝EF•BE， ∴BE＝＝4， ∴BF＝BE﹣EF＝4﹣1＝3， ∵AE∥BC， ∴＝，即＝，解得AF＝， ∵△EAF∽△EBA， ∴＝，即＝， ∴AB＝． 【变式1-7】．（2021秋•娄星区校级期中）某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面1.6米，凉亭顶端离地面1.9米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为38米，小亮身高为1.7米．请根据以上数据求出城楼的高度． 【分析】根据题意构造直角三角形，进而利用相似三角形的判定与性质求出即可． 【解答】解：过点A作AM⊥EF于点M，交CD于点N， 由题意得：AN＝2米，CN＝1.9﹣1.6＝0.3（米），MN＝38米， ∵CN∥EM， ∴△ACN∽△AEM， ∴， ∴， ∴EM＝6， ∵AB＝MF＝1.7米， ∴城楼的高度为：6+1.6﹣1.7＝5.9（米）． 【变式1-8】．（2024•温州模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，点E在CD上，∠DAE＝45°，F为BC的中点，连结AE，AF，分别交BD于点G，H，连结EF． （1）求证：BD＝2EF． （2）当EF＝6时，求GH的长． 【分析】（1）根据矩形的性质得出AB＝CD＝2AD，∠ADC＝∠DAB＝90°，结合直角三角形的性质、等腰三角形的判定求出AD＝ED，则DE＝CE，即可求出EF是△BCD的中位线，根据三角形中位线的性质求解即可； （2）结合（1）求出BD＝12，根据矩形的性质求出＝，＝，CD∥AB，AD∥BC，即可判定△DEG∽△BAG，△FBH∽△ADH，根据相似三角形的性质求出DG＝4，BH＝4，根据线段的和差求解即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，AB＝2AD， ∴AB＝CD＝2AD，∠ADC＝∠DAB＝90°，AD＝BC， ∵∠DAE＝45°， ∴∠DEA＝90°﹣45°＝45°＝∠DAE， ∴AD＝ED， ∴CD＝2DE， ∴DE＝CE， ∵F为BC的中点， ∴EF是△BCD的中位线， ∴BD＝2EF； （2）解：由（1）知，BD＝2EF， ∵EF＝6， ∴BD＝12， ∵AB＝CD＝2AD＝2DE，AD＝BC，F为BC的中点， ∴＝，＝， 在矩形ABCD中，CD∥AB，AD∥BC， ∴△DEG∽△BAG，△FBH∽△ADH， ∴＝＝，＝＝， ∴＝，＝， ∴DG＝4，BH＝4， ∴GH＝BD﹣DG﹣BH＝4． 题型二 8字图及其变型“蝴蝶型” 【例2】．（2024秋•杭州月考）如图，线段AB，CD的端点都在正方形网格的格点上，它们相交于点M．若每个小正方形的边长都是1，则的值为（　　） A． B． C． D．2 【分析】判定△AFE∽△BGE，推出FE：EG＝AF：GB＝1：3，求出EG＝FG＝，DE＝1+＝，判定△DEM∽△CBM，推出＝＝． 【解答】解：∵AF∥GB， ∴△AFE∽△BGE， ∴FE：EG＝AF：GB＝1：3， ∴EG＝FG， ∵每个小正方形的边长都是1， ∴FG＝DG＝1，BC＝3， ∴EG＝FG＝， ∴DE＝1+＝， ∵DE∥BC， ∴△DEM∽△CBM， ∴＝＝＝． 故选：A． 【变式2-1】．（2014秋•宁海县月考）半圆O的直径AB＝9，两弦AB、CD相交于点E，弦CD＝，且BD＝7，则DE＝　3　． 【分析】根据圆周角定理得出的两组相等的对应角，易证得△AEB∽△DEC，根据CD、AB的长，即可求出两个三角形的相似比；设BE＝x，则DE＝7﹣x，然后根据相似比表示出AE、EC的长，连接BC，首先在Rt△BEC中，根据勾股定理求得BC的表达式，然后在Rt△ABC中，由勾股定理求得x的值，进而可求出DE的长． 【解答】解：∵∠D＝∠A，∠DCA＝∠ABD， ∴△AEB∽△DEC， ∴＝＝＝， 设BE＝x，则DE＝7﹣x，EC＝x，AE＝（7﹣x）， 连接BC，则∠ACB＝90°， Rt△BCE中，BE＝x，EC＝x，则BC＝x， 在Rt△ABC中，AC＝AE+EC＝﹣x，BC＝x， 由勾股定理，得：AB2＝AC2+BC2， 即：92＝（﹣x）2+（x）2， 整理，得x2﹣14x+31＝0， 解得：x1＝7+3（不合题意舍去），x2＝7﹣3， 则DE＝7﹣x＝3． 故答案为：3 【变式2-2】．（2019•丹江口市模拟）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG＝2，则线段AE的长度为　12　． 【分析】根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出＝＝2，结合FG＝2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB＝2CG可得出CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABF＝∠GDF，∠BAF＝∠DGF， ∴△ABF∽△GDF， ∴＝＝2， ∴AF＝2GF＝4， ∴AG＝6． ∵CG∥AB，AB＝2CG， ∴CG为△EAB的中位线， ∴AE＝2AG＝12． 故答案为：12． 【变式2-3】．（2024•钱塘区三模）如图，在菱形ABCD中，点E在边AD上，连结CE交对角线BD于点F，过点E作EG∥AB交BD于点G． （1）若CD＝CE，∠A＝110°，求∠BCF的度数． （2）若BD＝15，DE＝2AE，求FG的长． （3）求证：DF2＝FG•BF． 【分析】（1）先根据菱形得性质得到CD∥BC，AD∥BC，再根据平行线的性质得到∠CDA＝70°，接着利用等腰三角形的性质得到∠CED＝∠CDA＝70°，然后根据平行线的性质，由AD∥BC得到∠BCF＝∠CED； （2）先证明△DEG∽△DAB得到＝＝＝，所以DG＝BD＝10，再证明△EGF∽△CDF得到＝，则＝，然后利用比例的性质求出FG的长； （3）先证明△CDF∽△EGF得到＝，证明△BCF∽△DEF得到＝，则利用等量代换得到＝，然后根据比例的性质得到结论． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD为菱形， ∴CD∥BC，AD∥BC， ∴∠CDA＝180°﹣∠A＝70°， ∵CD＝CE， ∴∠CED＝∠CDA＝70°， ∵AD∥BC， ∴∠BCF＝∠CED＝70°； （2）解：∵DE＝2AE， ∴DE＝DA， ∵EG∥AB， ∴△DEG∽△DAB， ∴＝＝＝， ∴DG＝BD＝×15＝10， ∵四边形ABCD为菱形， ∴CD∥AB，CD＝AB， ∴CD∥EG， ∴△EGF∽△CDF， ∴＝， ∴＝＝， ∴FG＝DG＝×10＝4； （3）证明：∵EG∥CD， ∴△CDF∽△EGF， ∴＝， ∵DE∥BC， ∴△BCF∽△DEF， ∴＝， ∴＝， ∴DF2＝FG•BF． 【变式2-4】．（2024•瑞安市校级模拟）如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，BC＝5，AD＝9．点E在线段AC上，EF∥BC交AB于点F，EG∥CD交AD于点G，FG交AC于点H，连结BD． （1）试判断FG与BD的位置关系，并说明理由． （2）求的值． （3）若E为AC的中点，BD＝12，求FG的长． 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得出，，于是得出，又∠FAG＝∠BAD，即可证得△AFG∽△ABD，得出∠AFG＝∠ABD，于是问题得证； （2）先证△BCM∽△DAM，得出，再证△AFH∽△ABM，得出，同理证得，于是推出，从而得解； （3）根据平行线分线段成比例定理先证点F是AB的中点，点G是AD的中点，得到FG是△ABD的中位线，根据三角形中位线定理即可求出FG的长． 【解答】解：（1）判断：FG∥BD．理由如下： ∵EF∥BC， ∴， ∵EG∥CD， ∴， ∴， ∵∠FAG＝∠BAD， ∴△AFG∽△ABD， ∴∠AFG＝∠ABD， ∴FG∥BD； （2）∵BC∥AD， ∴△BCM∽△DAM， ∴， 由（1）知FG∥BD，即FH∥BM， ∴△AFH∽△ABM， ∴， 同理得：， ∴， ∴； （3）∵EF∥BC， ∴， ∵E为AC的中点， ∴， ∴， 即点F是AB的中点， ∵EG∥CD， ∴， ∴， 即点G是AD的中点， ∴FG是△ABD的中位线， ∴． 题型三 平行类相似与特殊平行四边形的结合 【例3】．（2024秋•义乌市校级月考）在平行四边形ABCD中，则S△ADN：S四边形CMNB为（　　） A．5：9 B．5：19 C．4：19 D．4：9 【分析】根据平行四边形的性质证明△ANM∽△CDM，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出，设S△ANM＝x，则S△ADM＝16x，根据同高三角形的面积比等于底边比，求出S△ADM＝4x，进而可得S△ADN＝5x，然后推出S四边形CMNB＝19x，即可得出结果． 【解答】解：∵AB∥CD，AB＝CD，， ∴△ANM∽△CDM， ∴， 根据相似三角形面积之比等于相似比的平方可得： ∴， 设S△ANM＝x，则S△ADM＝16x， ∵， ∴S△ADM＝4x， ∴S△ADN＝S△AMN+S△ADM＝5x，S△ACD＝S△ADM+S△CDM＝4x+16x＝20x， ∴S△ABC＝S△ACD＝20x， ∴S四边形CMNB＝S△ABC﹣S△ANM＝19x， ∴S△ADN：S四边形CMNB＝5：19． 故选：B． 【变式3-1】．（2024•温州三模）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，连结HF交DE于点M．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】延长CB，DE，交于点N，设AH＝1，AE＝2，依据△ADE∽△BNE，即可得出BN＝1.5；再根据△DHM∽△NFM，即可得到的值． 【解答】解：如图所示，延长CB，DE，交于点N，设AH＝1，AE＝2， ∵正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成， ∴BE＝1，DH＝BF＝2， ∵AD∥BN， ∴△ADE∽△BNE， ∴＝，即＝， ∴BN＝1.5， ∵DH∥NF， ∴△DHM∽△NFM， ∴＝＝＝， 故选：C． 【变式3-2】．（2024秋•海曙区校级月考）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，EF⊥BD，垂足为点H，EF分别交AD、DC及BC的延长线于点E、M、F，且ED：CF＝1：2，则DH：DB的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】先由菱形的性质得到AD∥BC，AC⊥BD，AD＝BC，再证明AC∥EF，进而证明四边形AEFC是平行四边形，得到AE＝CF，由此可得到DE：BF＝1：5，再证明△DEH∽△BFH，得到，则． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AC⊥BD，AD＝BC， ∵EF⊥BD， ∴AC∥EF， ∴四边形AEFC是平行四边形， ∴AE＝CF， ∵ED：CF＝1：2， ∴ED：AE＝1：2， ∴ED：AD＝ED：BC＝1：3， ∴DE：BF＝1：5， ∵AD∥BC， ∴△DEH∽△BFH， ∴， ∴， 故选：D． 【变式3-3】．（2024秋•海曙区校级月考）如图，已知在矩形ABCD中，M是AD边的中点，BM与AC垂直，交直线AC于点N，连接DN，则下列四个结论中：①CN＝2AN；②DN＝DC；③；④△AMN∽△CAB．正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【分析】通过证明△AMN∽△CBN，可得，可证CN＝2AN；过D作DH∥BM交AC于G，可证四边形BMDH是平行四边形，可得，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可得DN＝DC；由平行线性质可得∠DAC＝∠ACB，∠ABC＝∠ANM＝90°，可证△AMN∽△CAB；通过证明△ABM∽△BCA，可得，可求，即可得，则可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴△AMN∽△CBN， ∴， ∵在矩形ABCD中，M是AD边的中点， ∴， ∴， ∴CN＝2AN， 故①正确； 如图，BM与AC垂直，交直线AC于点N，连接DN，过D作DH∥BM交AC于G， ∵DH∥BM，BM⊥AC， ∴DH⊥AC， ∵DH∥BM，AD∥BC， ∴四边形BMDH是平行四边形， ∴， ∴BH＝CH， ∵∠BNC＝90°， ∴NH＝HC，且DH⊥AC， ∴DH是NC的垂直平分线， ∴DN＝CD， 故②正确； ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC， ∴∠DAC＝∠ACB，∠ABC＝∠ANM＝90°， ∴△AMN∽△CAB， 故④正确； ∵△AMN∽△CAB， ∴， ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA，且∠BAC+∠ACB＝90°，∠DAC+∠AMB＝90°， ∴∠BAC＝∠AMB，且∠BAM＝∠ABC， ∴△ABM∽△BCA， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③错误． 故选：B． 【变式3-4】．（2024秋•西湖区校级月考）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，． （1）若AB＝4，求线段AD的长； （2）若△ADE的面积为2，求平行四边形BFED的面积． 【分析】（1）证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边的比相等列式，可解答； （2）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得△ABC的面积是32，同理可得△EFC的面积是18，根据面积差可得答案． 【解答】解：（1）在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上已知四边形BFED是平行四边形，， ∴DE∥BF， ∴DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵AB＝4， ∴AD＝1； （2）∵△ADE∽△ABC， ∴， ∵△ADE的面积为2， ∴△ABC的面积是32， ∵四边形BFED是平行四边形， ∴EF∥AB， ∴△EFC∽△ABC， ∴， ∴△EFC的面积是18， ∴平行四边形BFED的面积＝32﹣18﹣2＝12． 【变式3-5】．（2024•鹿城区校级三模）如图1，在菱形ABCD中，BE⊥AD于点E，G为CD的中点，延长GE交BA的延长线于点F，已知∠ABE＝30°，AB＝3．点P，Q分别在线段GE，AB上（不与端点重合），且满足，设AQ＝x，PF＝y． （1）求证：GE＝EF． （2）求y关于x的函数表达式． （3）如图2，连结PQ． ①当PQ与△ABE的一边垂直时，求x的值． ②当点D落在QP的延长线上时，记PQ与BE的交点为M，求的值． 【分析】（1）连接BD，利用菱形性质可得AB＝AD＝CD＝BC＝3，AB∥CD，再证得△ABD是等边三角形，进而运用AAS证得△AEF≌△DEG，即可证得结论； （2）由中点性质得DE＝DG＝，进而得出EG＝DE＝，设AQ＝x，PF＝y，则PG＝GF﹣PF＝3﹣y，再结合已知条件即可求得答案； （3）①由于点P，Q分别在线段GE，AB上（不与端点重合），故PQ不可能垂直AE，分两种情况讨论：当PQ⊥AB时，当PQ⊥BE时，分别求得x的值； ②过点Q作QH∥FG交DA的延长线于点H，作QJ⊥BE于J，由QH∥FG，得△DEP∽△DHQ，利用相似三角形性质建立方程求得x的值，再由JQ∥AD，可得△MQJ∽△MDE，利用相似三角形性质即可求得答案． 【解答】（1）证明：如图1，连接BD， ∵BE⊥AD， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣∠ABE＝90°﹣30°＝60°， ∵四边形 ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝CD＝BC＝3，AB∥CD， ∴△ABD是等边三角形，∠F＝∠DGE， ∴点E为AD的中点， ∴AE＝DE， 又∵∠AEF＝∠DEG， ∴△AEF≌△DEG（AAS）， ∴GE＝EF． （2）解：∵E、G分别为AD、CD的中点， ∴DE＝DG＝， ∵∠EDG＝120°， ∴EG＝DE＝， 由（1）知GE＝EF， ∴EF＝， ∴GF＝3， 设AQ＝x，PF＝y， 则PG＝GF﹣PF＝3﹣y， ∵PG＝AQ， ∴3﹣y＝x， ∴y＝3﹣x； （3）解：①∵点P，Q分别在线段GE，AB上（不与端点重合）， ∴PQ不可能垂直AE， 当PQ⊥AB时，如图2，连接BG，BD， 则∠FQP＝90°， 同理可得△BCD是等边三角形， ∵点G是CD的中点， ∴BG⊥CD， ∵AB∥CD， ∴BG⊥AB， ∴∠FBG＝90°， ∴∠FQP＝∠FBG， 又∵∠PFQ＝∠GFB， ∴△FPQ∽△FGB， ∴＝， 即FQ•FG＝FP•FB， 由（2）得AF＝DE＝，AQ＝x，GF＝3，PG＝x， ∴FQ＝AQ+AF＝x+，FB＝AF+AB＝+3＝，FP＝3﹣x， ∴3（x+）＝（3﹣x）， 解得：x＝； 当PQ⊥BE时，如图3， ∵PQ⊥BE，AE⊥BE， ∴AE∥PQ， ∴＝， 即AF•FP＝EF•FQ， ∴（3﹣x）＝（x+）， 解得：x＝； 综上所述，x的值为或． ②如图4，过点Q作QH∥FG交DA的延长线于点H，作QJ⊥BE于J， 则∠H＝∠AEF＝30°，∠AQH＝∠F＝30°， ∴∠H＝∠AQH， ∴AQ＝AH＝x， 则QH＝x，DH＝x+3， 由（2）知DE＝，EG＝，PG＝x， ∴PE＝EG﹣PG＝﹣x， ∵QH∥FG， ∴△DEP∽△DHQ， ∴＝，即＝， 解得：x＝（负值舍去）， ∴AQ＝，PE＝﹣×＝， ∵QJ⊥BE， ∴∠BJQ＝90°， ∵∠ABE＝30°， ∴QJ＝BQ＝（3﹣x）＝， ∵∠BJQ＝∠BEA＝90°， ∴JQ∥AD， ∴△MQJ∽△MDE， ∴＝＝＝． 题型四 平行类相似的综合 【例4】．（2023秋•拱墅区月考）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C，D均在格点上． （1）在图①中，的值为 　1：3　； （2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图②，在AB上找一点P，使AP＝3； ②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽△CPD． 【分析】（1）如图①中，利用平行线的性质求解即可． （2）①根据勾股定理得AB的长为5，再根据相似三角形的判定方法即可找到点P； ②作点A的对称点A′，连接A′C与BD的交点即为要找的点P，使△APB∽△CPD． 【解答】解：（1）如图①中， ∵AB∥CD， ∴△PCD∽△PBA． ∴＝＝， 故答案为：1：3； （2） ①取格点E，F，连接EF交AB于点P，点P即为所求的点． 由勾股定理知：AB＝＝5． ∵AP＝3， ∴BP＝2． ∵BE∥FA， ∴△EPB∽△FPA． ∵AP：BP＝AF：BE＝3：2． ∴取格点E，F，连接EF交AB于点P，点P即为所求的点； ②如图③所示，作点A的对称点A′， 连接A′C，交BD于点P， 点P即为所要找的点， ∵AB∥CD， ∴△APB∽△CPD． 【变式4-1】．（2024•上城区一模）如图，点D为△ABC的边AC上一点，延长BD至点F，使得CF∥AB，点E在线段BC上，且DE∥AB，AB＝4，CF＝6． （1）若AD＝3，求CD的长． （2）若∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，求BD的长． 【分析】（1）由△ABD∽△CFD，得到AD：CD＝AB：CF，即可求出CD的长． （2）过E作EH⊥BD于H，由平行线的性质，等腰三角形的性质，锐角的正弦推出BD＝2DH＝DE，由△CDE∽△CAB，△BDE∽△BFC，推出+＝1，即可求出DE＝，于是得到BD＝DE＝． 【解答】解：（1）∵AB∥CF， ∴△ABD∽△CFD， ∴AD：CD＝AB：CF， ∴3：CD＝4：6， ∴CD＝4.5． （2）过E作EH⊥BD于H， ∵DE∥AB， ∴∠BDE＝∠ABD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝×60°＝30°， ∴∠BDE＝∠DBE＝30°， ∴DE＝BE， ∴BD＝2DH， ∵cos∠EDH＝cos30°＝＝， ∴DH＝DE， ∴BD＝2DH＝DE， ∵CF∥AB，DE∥AB， ∴DE∥CF， ∴△CDE∽△CAB，△BDE∽△BFC， ∴＝，＝， ∴+＝+＝1， ∵AB＝4，CF＝6， ∴DE＝， ∴BD＝DE＝． 【变式4-2】．（2024秋•诸暨市校级月考）【阅读与思考】 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 如图1，在△ABC中，中线AD，CE相交于点G，连接DE， ∵D，E分别是BC，AB边的中点， ∴①　BE＝AE，BD＝CD　． ∴DE∥AC，且DE＝AC． ∴②　△BDE　∽　△BCA　，　△DEG　∽　△ACG　 ∴， 任务： （1）笔记中横线部分应填写①　BE＝AE，BD＝CD　； ②　△BDE　∽　△BCA　，　△DEG　∽　△ACG　． （2）如图2，在△MNH中，点K，L分别在MN，MH边上，连接HK，NL交于点F．若MK＝MN，ML＝MH，猜测KF与HF的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在平行四边形ABCD中，点E、F、G分别是AD、BC、CD的中点，BE⊥EG，AB＝3，AD＝2，求AF长． 【分析】（1）由三角形中位线定理可得出结论； （2）连接KL，证明△KML∽△NMH，得出∠MKL＝∠MNH，＝＝，证明△KFL∽△HFN，得出＝＝，则可得出答案； （3）连接AC，EC，由平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，证明四边形AFCE是平行四边形，得出AF＝CE，由平行线得出AF＝CE，可证△AEQ∽△CBQ，得出＝＝＝，设AQ＝a，EQ＝b，则CQ＝2a，BQ＝2b，证明EG是△ACD的中位线，由三角形中位线定理得出EG∥AC，得出BE⊥AC，由勾股定理得得出方程，求出a2，b2在Rt△EQC中，由勾股定理求出CE，即可得AF的长． 【解答】解：（1）∵D，E分别是BC，AB边的中点， ∴BE＝AE，BD＝CD， ∴DE∥AC，且DE＝AC， ∴△BDE∽△BCA，△DEG∽△ACG， ∴，， 故答案为：BE＝AE，BD＝CD；△BDE，△BCA；△DEG，△ACG； （2）KF与HF的数量关系是KF＝HF，理由如下： 如图2，连接KL， ∵MK＝MN，ML＝MH， ∴＝＝， ∵∠M＝∠M， ∴△KML∽△NMH， ∴∠MKL＝∠MNH，＝＝， ∴KL∥NH， ∴△KFL∽△HFN， ∴＝＝， ∴KF＝HF； （3）如图3，连接AC，EC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC，BC＝AD＝2， ∴点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点， ∴AE＝AD，CF＝BC， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∴AF＝CE， ∵AD∥BC， ∴△AEQ∽△CBQ， ∴＝＝＝， 设AQ＝a，EQ＝b，则CQ＝2a，BQ＝2b， ∵点E，G分别是AD，CD的中点， ∴EG是△ACD的中位线， ∴EG∥AC， ∵BE⊥EG， ∴BE⊥AC， 由勾股定理得：AB2﹣AQ2＝BC2﹣CQ2， ∴9﹣a2＝（2）2﹣4a2， ∴a2＝， ∴BQ2＝4b2＝（2）2﹣4×＝， ∴b2＝， 在Rt△EQC中， CE2＝EQ2+CQ2＝b2+4a2＝16， ∴CE＝4， ∴AF＝4． 【变式4-3】．（2023秋•义乌市月考）如图，在▱ABCD中，AB＝10，B到AD的距离为6，点P是CD边上的动点，连接BP并延长直线AD于点E，将△BCP沿直线BE折叠到△BC′P，直线BC交直线AD于点F． （1）求证：BF＝EF． （2）若四边形ABCD为菱形，且DF＝2，求的值． （3）若点P为CD的中点，在改变AD的过程中，当△ABF成为以AB为腰的等腰三角形时，求AD的长． 【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD∥BC，再利用平行线的性质可得∠E＝∠CBE，由折叠得∠CBE＝∠FBE，进而推出∠E＝∠FBE，即可推出BF＝EF； （2）分两种情况：当点F在点D右侧时，过点B作BM⊥AE于M；当点F在点D的左侧时，点F与点M重合，分别运用相似三角形的判定与性质进行求解即可得到答案； （3）分五种情况：当BA＝BF，点F在点E的左侧时；当BA＝BF，点F在点E的右侧时；当AB＝AF时，若点F在线段DE上；当AB＝AF，点F在线段DE的延长线上时；当AB＝AF时，点F在线段DE的反向延长线上时；分别画出图形，利用全等三角形的判定与性质、勾股定理求解即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠E＝∠CBE， 由折叠得∠CBE＝∠FBE， ∴∠E＝∠FBE， ∴BF＝EF； （2）解：当点F在点D右侧时，如图1，过点B作BM⊥AE于M， ， ∵B到AD的距离为6， ∴BM＝6，BM⊥AD， ∵AB＝10， ∴， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AD＝AB＝BC＝10，AD∥BC， ∴MD＝AD﹣AM＝10﹣8＝2， ∵DF＝2， ∴MF＝MD+DF＝2+2＝4， ∴， 由（1）知：EF＝BF， ∴， ∴， ∵AD∥BC， ∴△DPE∽△CPB， ∴； 当点F在点D的左侧时，如图2，点F与点M重合， ， 则EF＝BF＝6， ∴DE＝EF﹣DF＝6﹣2＝4， ∵AD∥BC， ∴△DPE∽△CPB， ∴； 综上所述：的值为或； （3）解：①当BA＝BF，点F在点E的左侧时，如图3，过点B作BM⊥AD于点M， ， 由（1）（2）知，BF＝EF，AM＝8，BM＝6， ∵BA＝BF＝10，BM⊥AD， ∴MF＝AM＝8，EF＝10， ∴AE＝2AM+EF＝8×2+10＝26， ∵点P是CD的中点， ∴CP＝DP， ∵AD∥BC， ∴∠CBP＝∠E，∠PDE＝∠C， ∴△BCP≌△EDP（AAS）， ∴DE＝BC＝AD， ∵2AD＝AE＝26， ∴AD＝13； ②当BA＝BF，点F在点E的右侧时，如图4， ， 则AM＝MF＝8，BM＝6，EF＝BF＝10， 同理可得：DE＝BC＝AD， ∵AD+DE+EF＝2AM＝16， ∴2AD+10＝16， ∴AD＝3； ③当AB＝AF时，若点F在线段DE上，如图5，过点B作BM⊥AE于点M， ， 由（1）（2）知，BF＝EF，AM＝8，BM＝6， 由（3）①知：DE＝BC＝AD， ∵MF＝AF﹣AM＝10﹣8＝2， ∴， ∴，， ∵2AD＝AE， ∴； ④当AB＝AF，点F在线段DE的延长线上时，如图6， ， 同理可得：，AF＝AB＝10，DE＝BC＝AD， ∴， ∴； ⑤当AB＝AF时，点F在线段DE的反向延长线上，如图7， ， 同理可得：AF＝AB＝10，DE＝BC＝AD，AM＝8，BM＝6，EF＝BF， ∴FM＝AF+AM＝10+8＝18， ∴， ∴， ∵2AD+AF＝EF，即， ∴， 综上所述：AD的长为13或3或或或． 【变式4-4】．（2023•西湖区校级二模）如图，平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，点P为BC中点，AP交BD于点E，连接CE，AE＝CE． （1）求证：平行四边形ABCD为菱形； （2）若AB＝5，AE＝3， ①求的值． ②求BD的长． 【分析】（1）先利用平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质证明△AOE≌△COE得到∠COE＝∠AOE＝90°，再根据菱形的判定可证得结论； （2）①利用平行四边形的性质和平行线分线段成比例得到，设OE＝x，则BE＝OB﹣x，DE＝2OB﹣x，则有，进而求解即可； ②设OE＝x，则BE＝2x，利用勾股定理列方程求解x值，再根据OB＝3x、BD＝2OB求解即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC， ∵AE＝CE，OE＝OE， ∴△AOE≌△COE（SSS）， ∴∠AOE＝∠COE， ∵∠AOE+∠COE＝180°， ∴∠COE＝∠AOE＝90°， 即 AC⊥BD， 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：①∵平行四边形ABCD对角线的交点为O， ∴OB＝OD，AD∥BC，AD＝BC， ∴△ADE∽△PBE， ∴， ∵P为BC的中点， ∴， 设OE＝x，则BE＝OB﹣x，DE＝OB+x， ∴，解得， ∴，， ∴； ②设OE＝x，则BE＝2x，OB＝3x， 在Rt△AOE中，由勾股定理，得OA2＝AE2﹣OE2＝32﹣x2＝9﹣x2， 在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2＝AB2﹣OB2＝52﹣（3x）2＝25﹣9x2， 则9﹣x2＝25﹣9x2， ∴（负值舍去）， ∴， ∴． 【变式4-5】．（2023•永嘉县三模）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，sinB＝．点D为AB的中点，过点D作射线DE∥BC交AC于点E，点M为射线DE上一动点，过点M作MN⊥BC于点N，点P为边AC上一点，连结NP，且满足，设BN＝x，NP＝y． （1）求线段MN的长； （2）求y关于x的函数表达式； （3）如图2，连结MP． ①当△MNP为等腰三角形时，求x的值． ②以点M为旋转中心，将线段MP按顺时针方向旋转90°得线段MP′，当点P′落在BC边上时，求的值． 【分析】（1）过点D作DF⊥BC于点F．求出DF即可解决问题； （2）证明△CAB∽△CPN，推出＝＝，可得结论； （3）①分三种情形：当MN＝NP时，当MN＝MP时，当NP＝MP时，分别求解即可； （4）如图构造Rt△MNP′≌Rt△PHM，可得MN＝PH，再根据PH＝NP，构建方程求解． 【解答】解：（1）过点D作DF⊥BC于点F． ∵MN⊥BC， ∴DF∥NM， ∵DE∥BC， ∴MN＝DF， 在Rt△BFD中，sinB＝，AB＝6，点D为AB的中点， ∴MN＝DF＝3×＝； （2）∵∠A＝90°，sinB＝， ∴＝， ∵＝， ∴＝＝， ∵∠C＝∠C， ∴△CAB∽△CPN， ∴＝＝， ∵BN＝x，NP＝y， ∴y＝﹣x+6． （3）①分三种情形： 当MN＝NP时，﹣x+6＝， ∴x＝6． 当MN＝MP时，过点M作MQ⊥PN于点Q，则NQ＝NP，∠MNP＝∠C， ∴cos∠MNP＝cosC＝＝， ∴（﹣x+6）＝×， ∴x＝． 当NP＝MP时，过点P作PR⊥MN于点R，则NR＝MN，∠MNP＝∠C． ∴cos∠MNP＝cosC＝＝， ∴×＝×（﹣x+6）， ∴x＝． 综上所述，满足条件的x的值为6或或； ②如图，过点P作PHMN交NM的延长线于点H． ∵∠H＝∠MNP′＝∠PMP′＝90°， ∴∠PMH+∠NMP′＝90°，∠PMH+∠MPH＝90°， ∴∠MPH＝∠NMP′， ∵MP＝MP′， ∴△MNP′≌△PHM（AAS）， ∴MN＝PH， ∵PH＝NP， ∴（﹣x+6）＝， ∴x＝， ∴＝＝． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$