20.1.1　平均数 课件 2023—2024学年人教版数学八年级下册

20.1.1　平均数 （第1课时） 收集数据 整理数据 制表 描述数据 绘图 分析数据 得出结论 全面调查 抽样调查 条形图 扇形图 折线图 直方图 　　1．数据处理的一般过程： 　　2．求下列各组数据的平均数： 　　（1）已知数据：3，5，6； 　　（2）已知数据：3，3，5，5，5，6，6，6，6． 　　解：（1）平均数为 ； 　　（2）平均数为 ． 还有其他方法吗？ 　　还可以这样计算： ． 　　一家公司打算招聘一名英文翻译，对甲、乙两位应试者进行了听、说、读、写的英语水平测试，他们的各项成绩（百分制）如表所示． 问题 应试者 听 说 读 写 甲 85 78 85 73 乙 73 80 82 83 　　（1）如果这家公司想招一名综合能力较强的翻译，计算两名应试者的平均成绩（百分制）．从他们的成绩来看，应该录取谁？ 　　分析：综合能力需要同时对听、说、读、写进行考量，所以需要分别计算出甲、乙四项的平均成绩． 　　解：（1）根据平均数的公式，甲的平均成绩为 　　乙的平均成绩为 ， ． 　　因为甲的平均成绩比乙高，所以应该录取甲． 每个数据同等重要 　　（2）如果这家公司想招一名笔译能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照 2∶1∶3∶4 的比确定，计算两名应试者的平均成绩（百分制）．从他们的成绩看，应该录取谁？ 　　分析：听、说、读、写成绩按照 2∶1∶3∶4 的比确定，这说明各项成绩的“重要程度”有所不同，读、写的成绩比听、说的成绩更加“重要”． 　　解：（2）甲的平均成绩为 　　乙的平均成绩为 ， ． 　　因为乙的平均成绩比甲高，所以应该录取乙． 　　对每个数据赋予与其重要程度相对应的比重． 　　解：（2）甲的平均成绩为 　　乙的平均成绩为 ， ． 　　因为乙的平均成绩比甲高，所以应该录取乙． 　　2，1，3，4 分别称为听、说、读、写四项成绩的权． 　　解：（2）甲的平均成绩为 　　乙的平均成绩为 ， ． 　　因为乙的平均成绩比甲高，所以应该录取乙． 　　79.5，80.4 分别称为甲和乙的听、说、读、写四项成绩的加权平均数． 新知 　　如果有 n 个数 x1，x2，⋯，xn，那么我们把 叫做这 n 个数的算术平均数，简称平均数，记作 ，读作 x 拔，则 ． 算术平均数对应的一组数据中的各个数据的“重要程度”相同． 新知 　　一般地，若 n 个数 x1，x2，⋯，xn 的权分别是 w1，w2，⋯，wn，则 叫做这 n 个数的加权平均数． 　　加权平均数对应的一组数据中的各个数据的“重要程度”未必相同，即各个数据的权未必相同． 　　分析：听、说、读、写成绩按照 3∶3∶2∶2 的比确定，这说明听、说成绩的“重要程度”更高． 思考 　　如果这家公司想招一名口语能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照 3∶3∶2∶2 的比确定，那么甲、乙两人谁将被录取？与上述问题中（1）（2）相比较，你能体会到权的作用吗？ 权是连比的形式 　　解：甲的平均成绩为 　　乙的平均成绩为 ， ． 　　因为甲的平均成绩比乙高，所以应该录取甲． 　　数据的权能够反映数据的相对重要程度．所以同样一张应试者的应聘成绩表，由于各个数据被赋予的权数不同，造成的录取结果会截然不同． 　　例1　一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分．各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占50%、演讲能力占40%、演讲效果占10%，计算选手的综合成绩（百分制）．进入决赛的前两名选手的单项成绩如表所示，请确定两人的名次 ． 选手 演讲内容 演讲能力 演讲效果 A 85 95 95 B 95 85 95 　　解：选手 A 的最后得分是 　　选手 B 的最后得分是 　　由上可知选手 B 获得第一名，选手 A 获得第二名． ， ． 权是百分数的形式 选手 演讲内容 演讲能力 演讲效果 A 85 95 95 B 95 85 95 选手 演讲内容 演讲能力 演讲效果 A 85 95 95 B 95 85 95 　　两名选手的单项成绩都是两个 95 分与一个 85 分，为什么他们的最后得分不同呢？从中你能体会到权的作用吗？ 　　数据的权能够反映数据的相对重要程度，因为各个数据被赋予的权数不同，所以他们的最后得分不同．权越大，该数据所占的比重越大，反之则越小． 归纳 “三步法”求实际问题中的加权平均数 　　第 1 步：定数据，即根据相关的统计图（表），确定每个数据； 　　第 2 步：看权重，即分析题意，确定各数据的权； 　　第 3 步：求结果，即代入加权平均数公式计算，通过计算分析得出问题答案． 　　例2　某公司招聘一名前台服务人员，甲、乙两位应试者分别参加了笔试和面试，他们的成绩（百分制）如下表所示． 应试者 笔试 面试 甲 85 92 乙 88 91 　　请根据表中的数据回答问题： 　　（1）公司管理层认为笔试成绩和面试成绩同等重要，则应该选择甲、乙中的哪个人？ 　　解：（1）甲的平均成绩是 （分）． 　　乙的平均成绩是 （分）． 　　所以通过计算可以知道，乙的成绩更高一些，应该选择乙． 　　（2）公司管理层认为招聘岗位为前台服务人员，面试成绩更为重要，并分别给笔试成绩和面试成绩赋予的权重为 3 和 7，则应该选择甲、乙中的哪个人？ 　　解：（2）甲的平均成绩是 （分）． 　　乙的平均成绩是 （分）． 　　所以通过计算可以知道，乙的成绩更高一些，应该选择乙． 归纳 算术平均数与加权平均数的区别和联系 　　区别：算术平均数对应的一组数据中的各个数据的“重要程度”相同．加权平均数对应的一组数据中的各个数据的“重要程度”不一定相同，即各个数据的权不一定相同． 　　联系：若各个数据的权相同，则加权平均数就是算术平均数，因而算术平均数实际是加权平均数的一种特例． 　　某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，结果如下：13 岁 8人，14 岁 16 人，15 岁 24 人，16 岁 2 人．求这个跳水队运动员的平均年龄（结果取整数）． 　　解：这个跳水队运动员的平均年龄为 （岁）． 权是出现的个数 探究 新知 　　在求 n 个数的平均数时，如果 x1 出现 f1 次，x2 出现 f2 次，⋯，xk 出现 fk 次（这里的 f1＋f2＋⋯＋fk＝n），那么这 n 个数的平均数 也叫做 x1，x2，⋯，xk 这 k 个数的加权平均数，其中 f1，f2，⋯，fk 分别叫做 x1，x2，⋯，xk 的权． 探究 　　为了解 5 路公共汽车的运营情况，公交部门统计了某天 5 路公共汽车每个运行班次的载客量，得到表格． 　　这天 5 路公共汽车平均每班的载客量是多少（结果取整数）？ 　　分析：根据频数分布表求加权平均数时，统计中常用各组的组中值代表各组的实际数据，把各组的频数看作相应组中值的权． 　　数据分组后，一个小组的组中值是指这个小组的两个端点的数的平 均数．例如，小组 1≤x＜21 的组中值为 ． 　　解：这天 5 路公共汽车平均每班的载客量是 （人）． 新知 　　一般的计算器都有统计功能，利用统计功能可以求平均数．使用计算器的统计功能求平均数时，不同品牌的计算器的操作步骤有所不同，操作时需要参阅计算器的使用说明书．通常需要先按动有关键，使计算器进入统计状态；然后依次输人数据 x1，x2，⋯，xk 以及它们 的权 f1，f2，⋯，fk ；最后按动求平均数的功能键（例如 键）， 计算器便会求出平均数 的值． 　　例3　为参加全市中学生足球赛，某中学从全校学生中选拔 22 名足球运动员组建校足球队，这 22 名运动员的年龄（单位：岁）如下表所示，该足球队队员的平均年龄是（　　）． 年龄/岁 12 13 14 15 人数 7 10 3 2 　　A．12 岁 B．13 岁 C．14 岁 D．15 岁 B 　　解析：该足球队队员的平均年龄是 （岁）． 年龄/岁 12 13 14 15 人数 7 10 3 2 　　例4　为了绿化环境，柳荫街引进一批法国梧桐．三年后这些树的树干的周长情况如图所示．计算这批法国梧桐树树干的平均周长（结果取整数，可以使用计算器）． 如何确定组中值呢？ 　　解：这批法国梧桐树树干的平均周长为 （cm）． 　　则这批法国梧桐树树干的平均周长约为 64 cm． 　　第 1 步，算：计算每个小组的组中值． 　　第 2 步，求：求出每一组的频数． 　　第 3 步，答：利用加权平均数公式得到答案． 　　借助频数分布表（直方图）求平均数的三步骤 归纳 当所考察的对象很多，或者对考察对象带有破坏性时，我们该如何求取平均数？ 在统计中我们常常通过用样本估计总体的方法来获得对总体的认识．因此，我们可以用样本的平均数来估计总体的平均数． 例5　某灯泡厂为测量一批灯泡的使用寿命，从中随机抽查了 50 只灯泡．它们的使用寿命如下表所示．这批灯泡的平均使用寿命是多少？ 分析：抽出的 50 只灯泡的使用寿命组成一个样本．我们可以利用样本的平均使用寿命来估计这批灯泡的平均使用寿命． 使用寿命 x/h 600≤x＜1 000 1 000≤x＜1 400 1 400≤x＜1 800 1 800≤x＜2 200 2 200≤x＜2 600 灯泡只数 5 10 12 17 6 34 解：由表可以得出每组数据的组中值，于是 ＝1 672， 　　即样本平均数为1 672． 因此，可以估计这批灯泡的平均使用寿命大约是 1 672 h． 使用寿命 x/h 600≤x＜1 000 1 000≤x＜1 400 1 400≤x＜1 800 1 800≤x＜2 200 2 200≤x＜2 600 灯泡只数 5 10 12 17 6 用全面调查的方法考察这批灯泡的平均使用寿命合适吗？ 因为要考察这批灯泡的平均使用寿命，考察本身带有破坏性，所以不能用全面调查的方法，只能通过抽样，利用部分灯泡的平均使用寿命估计这批灯泡的平均使用寿命，即用样本的平均数估计总体的平均数． 思考 用样本平均数估计总体平均数的一般步骤： （1）确定样本容量（样本中个体的总数）； （2）计算样本的数据总和； （3）计算样本平均数（样本的数据总和÷样本容量）； （4）估计总体平均数． 归纳 例6　为了检查一批零件（5 000 件）的质量，从中随机抽取了 10 件，测得它们的长度（单位：mm）分别为：15.0，15.1，15.4，15.0，15.5，15.2，15.2，15.1，15.5，15.3．根据以上数据，你能估计出这批零件的平均长度吗？ 分析：抽出的 10 件零件的长度组成一个样本．我们可以利用样本的平均长度来估计这批零件的平均长度． 解：由测得的 10 件零件长度，可知 ＝15.23， 即样本平均数为 15.23． 因此，可以估计这批零件的平均长度大约是 15.23 mm． 用全面调查的方法考察这批零件的平均长度合适吗？ 因为要考察这批零件的平均长度，考察的对象很多，我们不可能对所有零件进行一一测量，所以不能用全面调查的方法，只能通过抽样，利用部分零件的平均长度估计这批零件的平均长度，即用样本的平均数估计总体的平均数． 思考 在统计中，之所以要用样本的情况估计总体的情况，主要基于以下两点： （1）在很多情况下总体包含的个体数往往很多，不可能一一加以考察； （2）有些考察带有破坏性，因而考察的个体不允许太多． 归纳 例7　某校为了了解学生做课外作业所用时间的情况，对学生做课外作业所用的时间进行了调查，右表是从该校八年级中随机抽取的 50 名学生某一天做数学课外作业所用时间的情况统计表． 所用时间 t/min 人数 0＜t≤10 4 10＜t≤20 6 20＜t≤30 14 30＜t≤40 13 40＜t≤50 9 50＜t≤60 4 （1）第二组数据的组中值是多少？ （2）估计该校八年级学生平均每天做数学作业所用的时间． 解：（1）第二组数据的组中值是 ． （2）所抽取的 50 名学生平均每天做数学作业所用的时间为 （min）． 因此，可以估计该校八年级学生平均每天做数学作业所用的时间大约为 30.8 min． 平均数 算术平均数 加权平均数 权 作用 计算 权相同 权不同 $$