第2章 二次函数过关测试卷-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版）

第2章 二次函数过关测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各点在二次函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 2．函数的图象与轴的交点的情况是（   ） A．有两个交点 B．有一个交点 C．没有交点 D．无法判断 3．将抛物线的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是（   ） A． B． C． D． 4．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是 C．顶点坐标是 D．与x轴有两个交点 5．某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（万元）关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 6．抛物线的图象开口向下，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．m可取一切实数 7．在平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（   ） A．B．C．D． 8．“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度与飞行时间满足的关系为．已知“水火箭”的升空高度为，则此时的飞行时间为（   ） A． B． C． D．或 9．已知二次函数的图象过点，则的大小关系（   ） A． B． C． D． 10．如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中，正确结论的是（ ） A．①②③ B．①② C．②③ D．③ 11．若抛物线的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 12．二次函数的图象如图所示，现有以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．二次函数图象的顶点坐标是 ． 14．已知二次函数，若，则的取值范围是 ． 15．如图是二次函数和一次函数的图象，当时，x的取值范围是 ． 16．把二次函数的图象绕原点旋转后得到的图象的解析式为 ． 17．如图为抛物线型拱桥的横截面，当水面宽度为米时，拱顶离水面的距离为米，当水面下降米时，水面的宽度为 米． 18．如图在平面直角坐标系中，抛物线上已知点A的坐标为，过点A作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，…，依此规律进行下去，则点的坐标为 ，点的坐标为 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．如图，抛物线与直线相交于点和点． (1)求和的值； (2)求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集． 20．为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如下图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为． AI (1)求与之间的函数关系式； (2)当菜地面积为时，栅栏的三边长各为多少？ 21．某商品售价为每件60元，每周可卖出300件，为提高利润，商家决定涨价销售，经过一段时间发现，每涨价5元，每周少卖50件，已知商品的进价为每件40元，当售价定为多少时利润最大？求最大利润． 22．一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离起跳点的水平距离为时，达到最大高度． (1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)求该运动员从起跳点到入水点的水平距离的长． 23．如图，在矩形中，．点P从点A开始沿方向向点B以的速度移动，同时，点Q从点B开始沿边向C以的速度移动．如果两点分别到达两点停止移动． (1)求运动几秒钟时，五边形的面积为？ (2)移动几秒钟时的面积最大？并求出面积的最大值？ 24．综合探究．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为． (1)求点C的坐标； (2)若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线距离的最大值； (3)在对称轴上是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由． 25．如图，边长为6的正方形中，E，F，G，H分别是，，，边上的动点，且，点E从点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向点B运动（到达点时停止），设运动时间为t（单位：秒）． (1)①当运动停止时，t的值为______； ②设A，H之间的距离为y，则y与t满足______关系（选填“正比例函数”，“一次函数”，“二次函数”） (2)设四边形的面积为S， ①直接写出S的表达式______（用含有t的代数式表示），并写出t的取值范围______； ②S是否可以为20？若可以，请求出此时t的值，若不能，请通过计算说明理由． 26．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，是坐标原点，已点的坐标是，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点在轴上方抛物线上，且，求点的坐标； (3)点是轴上一动点，若以、、为顶点的三角形与△相似，求出符合条件的点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 二次函数过关测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各点在二次函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，把各点的横坐标代入所给函数解析式，看所得函数值是否和点的纵坐标相等即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、当时，，此选项点不在二次函数的图象上； 、当时，，此选项点在二次函数的图象上； 、当时，，此选项点不在二次函数的图象上； 、当时，，此选项点不在二次函数的图象上； 故选：． 2．函数的图象与轴的交点的情况是（   ） A．有两个交点 B．有一个交点 C．没有交点 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，当时，，再根据一元二次方程根的判别式即可求解，解题的关键是把函数图象的交点问题转换成方程解的问题． 【详解】解：由函数得， 当时，， 则， ∴一元二次方程无实数根， ∴函数的图象与轴无交点， 故选：． 3．将抛物线的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位所得直线解析式为：； 再向下平移3个单位为：． 故选：B． 4．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是 C．顶点坐标是 D．与x轴有两个交点 【答案】C 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以逐一判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：二次函数， A、该函数图象开口向上，故选项A错误，不符合题意； B、对称轴是直线，故选项B错误，不符合题意； C、顶点坐标是，故选项C正确，符合题意； D、当时，方程无解，即该函数图象与轴无交点，故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 5．某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（万元）关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式，直接利用二月的研发资金为：，故三月份新产品的研发资金为：，进而得出答案，正确表示出三月份的研发资金是解题关键． 【详解】∵每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x， ∴该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为：， 故选：C． 6．抛物线的图象开口向下，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．m可取一切实数 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，熟知当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口（a为抛物线二次项的系数）是解题关键． 由抛物线开口向下，可知二次项系数，求解即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， 解得：， 故选：C． 7．在平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象，解答此题只要大致画出一次函数和二次函数的图象，就可以直接找出问题的答案．可根据图象的基本性质，直接判断． 【详解】解：因为一次函数的图象应该经过原点及第二、四象限，故可排除D； 因为二次函数的图象的顶点坐标应该为，且开口向上，故可排除A，B； 故选：C． 8．“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度与飞行时间满足的关系为．已知“水火箭”的升空高度为，则此时的飞行时间为（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的性质，把代入求解时间即可． 【详解】解：∵， 当时， ， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴“水火箭”升空的时间为， 故选：C． 9．已知二次函数的图象过点，则的大小关系（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据二次函数解析式可推出二次函数开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越远函数值越大，据此求出三点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为，且， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵二次函数的图象过点，且， ∴， 故选：D． 10．如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中，正确结论的是（ ） A．①②③ B．①② C．②③ D．③ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键．设的长为米，菜园的面积为平方米，可得；根据即可判断①；求解即可判断②；根据，，即可判断③； 【详解】解：设的长为米，菜园的面积为平方米　， 由题意得：的长为米， ∴； ∵， ∴， ∴的长不可以为；故①错误； 由解得： ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，故②正确； ∵，， ∴当时，菜园面积有最大值，故③正确； 故选：C 11．若抛物线的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据二次函数的图象可知当时，，据此即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：由图象可得，与轴的交点坐标为和， 当时，， ∴为， 故选：． 12．二次函数的图象如图所示，现有以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与压轴交点位置可判断①④，由时可判断②，由抛物线对称性及时可判断③，由时取最大值可判断⑤． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线对称轴为直线， ， ，④正确， 抛物线与轴交点在轴上方， ， ，①错误． 时，， ，②错误． 抛物线对称轴为直线，时， 时，，③正确． 时取最大值， ，即，⑤正确． 故选：C． 二．填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．二次函数图象的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，化为顶点式进行求解．将题目中的函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的顶点坐标． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的顶点坐标为， 故答案为：． 14．已知二次函数，若，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，理解并掌握二次函数的图像与性质是解题关键．先将二次函数解析式化为顶点式，求得开口方向与对称轴，结合二次函数图像的性质，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∵， ∴该二次函数的图像开口向下，其对称轴为， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∵，，， ∴当时取得最大值，当时，取得最小值， 当时，，当时，， ∴的取值范围是， 故答案为：． 15．如图是二次函数和一次函数的图象，当时，x的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据图象可以直接回答，使得的自变量x的取值范围就是二次函数的图象落在直线下方的部分对应的自变量x的取值范围． 【详解】解：根据图象可得出：当或时，， 故答案为：或． 16．把二次函数的图象绕原点旋转后得到的图象的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与几何变换，根据顶点式解析式求出原二次函数的顶点坐标，然后根据关于中心对称的点的横坐标与纵坐标互为相反数求出旋转后的二次函数的顶点坐标，最后根据旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状写出解析式即可．利用点的变换解决函数图象的变换，求出变换后的顶点坐标是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数顶点坐标为， 又∵图象绕原点旋转后得到的二次函数图象的顶点坐标为，开口方向向下， ∴旋转后的新函数图象的解析式为． 故答案为：． 17．如图为抛物线型拱桥的横截面，当水面宽度为米时，拱顶离水面的距离为米，当水面下降米时，水面的宽度为 米． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是把实际问题转化为二次函数问题解决．根据所建立的直角坐标系可得，设抛物线的解析式为，求出抛物线的解析式为，根据题意可得：当水面下降米时，，求出此时自变量的值，即可求解． 【详解】解：由如可知，以拱桥的顶点为原点，抛物线的对称轴为轴，建立直角坐标系， 水面宽度为米，拱顶离水面的距离为米， ， 设抛物线的解析式为，将代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 当水面下降米时，， ， 解得：，， 当水面下降米时，水面的宽度为米， 故答案为：． 18．如图在平面直角坐标系中，抛物线上已知点A的坐标为，过点A作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，…，依此规律进行下去，则点的坐标为 ，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标．根据二次函数性质可得出点的坐标，求得直线为，联立方程求得的坐标，即可求得的坐标，同理求得的坐标，即可求得的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点的坐标． 【详解】解：设直线函数关系式为 点坐标为， ， 直线为， ，轴， ， ∵， 设直线为， 将代入得， ， ，解得或， ， ， 同理可得 ， ， ∴，， ∴， 故答案为：，． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．如图，抛物线与直线相交于点和点． (1)求和的值； (2)求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，理解函数与方程、不等式之间的关系是解题的关键． （1）根据抛物线和直线都经过点，利用待定系数法可以求得抛物线和一次函数的解析式； （2）首先联立抛物线和直线求出点的坐标为，然后根据图象求解即可． 【详解】（1）解：因为抛物线经过点， 所以， 所以． 因为直线经过点， 所以， 所以； （2）解：由（1）知抛物线的解析式为，直线的解析式为． 联立 解得或 所以点的坐标为． 结合图象可知，不等式的解集为． 20．为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如下图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为． AI (1)求与之间的函数关系式； (2)当菜地面积为时，栅栏的三边长各为多少？ 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的综合，解题的关键是根据矩形的性质，列出函数解析式，进行解答，即可． （1）根据题意，则，，根据矩形的面积为：，即可； （2）由（1）得，函数解析式，当，求出，即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的面积为：， ∵，， ∴，， 解得：， ∴与之间的函数关系式为：． （2）解：由（1）得，， ∴当菜地面积为，， 解得：，（舍）； ∴， 答：，，． 21．某商品售价为每件60元，每周可卖出300件，为提高利润，商家决定涨价销售，经过一段时间发现，每涨价5元，每周少卖50件，已知商品的进价为每件40元，当售价定为多少时利润最大？求最大利润． 【答案】售价定为65元时利润最大，最大利润为6250元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，最值问题一般的解决方法是转化为函数问题，根据函数的性质求解．设每件涨价元，每周可获利元，所售件数是件，每件的利润是元，根据利润每件的利润所售的件数，即可列出函数解析式，再根据函数的性质即可求得如何定价才能使利润最大． 【详解】解：根据题意得：， ， 当时，有最大值，最大值为：6250， 此时售价为：元， 答：当售价定为65元时利润最大，最大利润为6250元． 22．一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离起跳点的水平距离为时，达到最大高度． (1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)求该运动员从起跳点到入水点的水平距离的长． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）根据点及顶点坐标，然后设抛物线的顶点式求解即可； （2）求出函数解析式中时的值即可得出答案． 本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能将实际问题转化为数学问题解决． 【详解】（1）解：根据题意可得，抛物线顶点坐标是， 设关于的函数表达式为，抛物线过， ， 解得：， 关于的函数表达式为； （2）解：在中， 令得， 解得或（舍去）， 运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为米． 23．如图，在矩形中，．点P从点A开始沿方向向点B以的速度移动，同时，点Q从点B开始沿边向C以的速度移动．如果两点分别到达两点停止移动． (1)求运动几秒钟时，五边形的面积为？ (2)移动几秒钟时的面积最大？并求出面积的最大值？ 【答案】(1)，两点出发2秒或4秒时，五边形的面积为 (2)当时，有最大值，最大值为9． 【分析】本题考查矩形的性质，一元二次方程的应用，二次函数的应用． （1）根据秒时，、两点的运动路程，分别表示、的长度，可得的面积，利用五边形的面积为，列得一元二次方程，求解即可； （2）求得，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：第秒钟时，，故，， 故， ． 由题意得； 解得：或4， 即，两点出发2秒或4秒时，五边形的面积为． （2）解：由（1）得， ，，开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为9． 24．综合探究．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为． (1)求点C的坐标； (2)若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线距离的最大值； (3)在对称轴上是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)在对称轴上存在点M，使得为等腰三角形，M的坐标为或或）或 【分析】（1）把点A的坐标代入求解即可； （2）过P作于点E，过点P作轴交于点H，，证明是等腰直角三角形，得，当最大时，最大，运用待定系数法求直线解析式为，设，则， 求得，再根据二次函数的性质求解即可； （3）分①当时，②当时，③当时，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：把点A的坐标代入得，， 解得， ∴点C的坐标为； （2）解：由（1）知，抛物线的表达式为：， 令，解得：或， ∴； 过P作于点E，过点P作轴交于点H，如图1： ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当最大时，最大， 设直线解析式为， 将代入得， ∴， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，的最大为， ∴， ∴此时最大为，点P到直线的距离值最大， 即点P到直线距离的最大值为； （3）解：存在， 设点M的坐标为， ∵，， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ①当时，如图，设对称轴l与交于点E， 则，， ∵， ∴， 解得， ∴M点的坐标为， ②当时，过点M作于H， ∴， ∴， ∴5，5， ∴或； ③当时，如图， ∵， ∴点M在的垂直平分线上， ∴， 综上所述，在对称轴上存在点M，使得为等腰三角形，M的坐标为或或）或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，二次函数的性质等知识，熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键． 25．如图，边长为6的正方形中，E，F，G，H分别是，，，边上的动点，且，点E从点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向点B运动（到达点时停止），设运动时间为t（单位：秒）． (1)①当运动停止时，t的值为______； ②设A，H之间的距离为y，则y与t满足______关系（选填“正比例函数”，“一次函数”，“二次函数”） (2)设四边形的面积为S， ①直接写出S的表达式______（用含有t的代数式表示），并写出t的取值范围______； ②S是否可以为20？若可以，请求出此时t的值，若不能，请通过计算说明理由． 【答案】(1)①；②一次函数 (2)①，；②S可以为20，此时或 【分析】本题考查正方形的判定与性质，二次函数与几何应用，勾股定理； （1）①当运动停止时，，代入计算即可； ②根据，可得，即满足一次函数关系； （2）①先证明四边形是正方形，再根据计算即可； ②令，解方程后判断即可． 【详解】（1）∵边长为6的正方形， ∴，， ∵点E从点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向点B运动， ∴， ∴， ①当运动停止时，秒， 故答案为：； ②∵， ∴y与t满足一次函数关系， 故答案为：一次函数； （2）解：①∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴四边形是正方形， ∴， 整理得， ∵，， ∴， ∴， ∴S的表达式，t的取值范围， 故答案为：，； ②令得， 整理得， 解得或， ∵， ∴S可以为20，此时或． 26．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，是坐标原点，已点的坐标是，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点在轴上方抛物线上，且，求点的坐标； (3)点是轴上一动点，若以、、为顶点的三角形与△相似，求出符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意求出点的坐标，再结合，可求出点A的坐标，再根据待定系数法求得函数解析式； （2）设点的横坐标为，则点的纵坐标为，根据图象上的点满足函数解析式，可得关于x的方程，解方程即可得答案； （3）根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得出关于y的方程，解方程即可得答案． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，又当时，， 点的坐标为， ， ， ， 即点的坐标为， 又点， ， 解得， 抛物线的函数表达式是； （2）， ， 点在轴上方， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， ， 得（舍去）或， 当时，， 点的坐标为； （3）如图， 设点的坐标为， ∵，， ∴△为的锐角三角形，所以△也是锐角三角形， 点在点的上方， ， ， ，，， ①如果，则， ，即点， ②如果则， ， 即点， 综上所述：符合条件的点D的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$