第1章 锐角三角形过关测试卷-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版）

第1章 锐角三角函数过关测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在中，如果，，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 2．若，则锐角α的度数是（    ） A． B． C． D． 3．在中，为垂足，那么的值为（   ） A． B． C． D． 4．如图①，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，它的示意图如图②所示．若长为米，则窗角到窗框的距离的大小为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．在中，，若，，则的长是（  ） A． B． C．60 D．80 6．爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬耗能，若某人爬了，该坡角为，则他耗能（　　）（参考数据：，） A． B． C． D． 7．在中，若，则是（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 8．如图，一艘军舰在处测得小岛位于南偏东方向，向正东航行40海里后到达处，此时测得小岛位于南偏西方向，则小岛离观测点的距离是（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 9． 如图,在中，， ， 垂足为D， 若 ，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．重庆是美丽的山城，某大楼依山而建，如果要进入大楼可以从G处沿水平方向行走150米到D大门处，或者从E处沿坡比的斜坡行走130米到F处，再沿水平方向行走到M大门处，在G处仰望大楼顶端B处仰角为32°，则大楼的上部分的高度为（    ）（参考数据：，，） A．43米 B．77.5米 C．79.5米 D．93米 11．如图，在矩形中，点E在上，点F在上，把这个矩形沿折叠后，使点D恰好落在点B处，若，，则折痕的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 12．在平面直角坐标系中，正方形、、、…按如图所示的方式放在其中点在y轴上，点，，，，，、…在x轴上，已知正方形的边长为1，，，则正方形的边长是（    ） A． B． C． D． 二．填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．计算： ， ． 14．在中，，则 ． 15．在中，，则的值是 ． 16．如图，已知正方形的边长为，如果将线段绕着点旋转后，点落在的延长线上的处，那么等于 ． 17．如图，河流两岸，互相平行，点，是河岸上的两座建筑物，点，是河岸b上的两点，，的距离约为米，某人在河岸上的点处测得，，则河流的宽度约为 米． 18．如图，是内一点，，，，，则的长为 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）计算 (1)； (2)． 20．（8分）在菱形中，，，，求． 21．（8分）如图，小明为了测量学校旗杆的高度，在地面离旗杆底部C处22米的A处放置高度为1.5米的测角仪，测得旗杆顶端D的仰角为，求旗杆的高度．（结果精确到0.1米）【参考数据：，，】 22．（8分）如图，在中，平分，交于点，交的延长线于点． (1)求证： (2)若 ，，，求平行四边形的面积． 23．（10分）一条南北走向的河的两岸互相平行．甲、乙二位同学分别站在河东岸的处观察河西岸的某景观建筑物．甲同学测得该建筑物一端在的北偏西，乙同学测得建筑物另一端在的南偏西．已知两点相距240米，河宽100米，求景观建筑物两端点之间的距离．（结果精确到1米，参考数据：） 24．（10分）我校新买了一批折叠桌.如图所示，将其中一张折叠桌平稳放置地面，此时桌脚与相交于点O．，，，，． (1)求点O至的距离； (2)《中华人民共和国国家标准》中指出，桌椅高度差应控制在至范围内（包括与），现有两种规格的椅子可供挑选，甲种椅子高度为，乙种椅子高度为，请问挑选哪种椅子比较合适，为什么?（参考数据：，，） 25．（10分）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子•备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2所示的是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，． (1)求点A位于最高点时到地面的距离； (2)当点A从最高点逆时针旋转到达最低点时，求此时水桶B上升的高度．（参考数据：） 26．（10分）综合与实践 【问题情境】 在数学活动课上，老师提出这样的一个问题：如图1，四边形中，平分，试说明线段和之间的数量关系． 【初步探究】 （1）针对老师提出的问题，小敏和小捷两位同学给出了不同的思路： 小敏：如图2，从结论的角度出发：在上截取，连接， 小捷：如图3，从平分这个条件出发，将沿翻折，即：延长线段到点使，……； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比探究】 （2）如图4，中，，平面内有点（点和点在的同侧），连接，猜想线段之间的数量关系，并说明理由． 【学以致用】 （3）如图5，在（2）的条件下，若，请直接写出线段的长度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 锐角三角函数过关测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在中，如果，，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理， 在直角中，根据勾股定理可以求出的长，再根据三角函数的定义就可以求出函数值． 【详解】解：如图所示： ∵在中，，，， ∴， ∴ ． 故选D． 2．若，则锐角α的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值．直接利用特殊角的三角函数值得出即可． 【详解】解：，， ， 故选：D． 3．在中，为垂足，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，证明出是解题的关键；根据同角的余角相等求出，由勾股定理求出，再根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：如图： ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， 故选：． 4．如图①，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，它的示意图如图②所示．若长为米，则窗角到窗框的距离的大小为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角函数关系在直角三角形中的应用．熟练掌握直角三角形中得边角关系是解题得关键，在中，由三角函数关系即可得解． 【详解】解：在中， ∵， ∴米， 故选：D． 5．在中，，若，，则的长是（  ） A． B． C．60 D．80 【答案】D 【分析】本题主要考查的是解直角三角形，根据三角函数的定义求出，然后利用勾股定理即可求解．掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：D． 6．爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬耗能，若某人爬了，该坡角为，则他耗能（　　）（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查特殊角三角函数值，掌握特殊角三角函数值是解题的关键．根据特殊角三角函数值计算求解． 【详解】解： ， 故选：B． 7．在中，若，则是（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了非负数的性质，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理等知识点，先由非负数的性质得出，，根据三角函数求得，的度数，然后根据三角形内角和定理，求得的度数，从而确定三角形的形状，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值． 【详解】∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， 故选：D． 8．如图，一艘军舰在处测得小岛位于南偏东方向，向正东航行40海里后到达处，此时测得小岛位于南偏西方向，则小岛离观测点的距离是（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】B 【分析】本题主要考查了构造直角三角形，解直角三角形，过点B作，交的延长线于H，由题意可知，由含的直角三角形的性质可得出海里 ，再通过角度的计算得出，通过等角对等边可得出海里，根据余弦的定义求出，最后根据线段的和差关系可得出答案． 【详解】解：如图，过点B作，交的延长线于H， 则， 由题意可知：，海里 ∴海里，， ∵， ∴， ∴ ∴海里， ∵， ∴海里， ∴海里， 故选：B． 9． 如图,在中，， ， 垂足为D， 若 ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是得到．由勾股定理求出，由等角的余角相等得出，再根据锐角三角函数的定义求解即可 【详解】解：在中，， 由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 10．重庆是美丽的山城，某大楼依山而建，如果要进入大楼可以从G处沿水平方向行走150米到D大门处，或者从E处沿坡比的斜坡行走130米到F处，再沿水平方向行走到M大门处，在G处仰望大楼顶端B处仰角为32°，则大楼的上部分的高度为（    ）（参考数据：，，） A．43米 B．77.5米 C．79.5米 D．93米 【答案】A 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，坡度坡角问题，作于， 根据矩形的性质得到，根据坡度的概念和勾股定理求出，根据正切的概念求出，计算即可. 【详解】解：作于，则四边形为矩形， ∴，设米， 则米， 由勾股定理得 解得， ， 即米， ∴米， 在中， 即米， ∴(米) ， 故选： A. 11．如图，在矩形中，点E在上，点F在上，把这个矩形沿折叠后，使点D恰好落在点B处，若，，则折痕的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据折叠性质可得，根据平角定义可得，可得，根据矩形的性质可得，根据平行线的性质可得，即可证明是等边三角形，利用的余弦求出的长即可得答案．根据折叠性质得出是等边三角形是解答本题的关键． 【详解】解：∵把这个矩形沿折叠后，使点恰好落在点处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的翻折变换、等边三角形的判定及性质、解直角三角形等知识，掌握以上基础知识是解本题的关键. 12．在平面直角坐标系中，正方形、、、…按如图所示的方式放在其中点在y轴上，点，，，，，、…在x轴上，已知正方形的边长为1，，，则正方形的边长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了正方形的性质平行线的性质，以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键． 利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案． 【详解】解：正方形的边长为1，，， 四边形、、、都是正方形， ，，每个内角都为， ∴， ， 则， 同理可得：， 故正方形的边长是：， 则正方形的边长为：， 故选：A． 二．填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．计算： ， ． 【答案】 / 1 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的函数值是解题的关键．根据特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解：∵，， 故答案为：；1． 14．在中，，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键． 由题意可分当是锐角时和当是钝角时，进而根据三角函数及三角形面积可进行求解． 【详解】解：如图1中，当是锐角时，过点B作于H． ∵， ∴， ∴， ∴， 如图2中，当是钝角时，过点B作交的延长线于H． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：或． 15．在中，，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理、求锐角三角函数等知识．用勾股定理求出，再根据余弦的定义进行求解即可． 【详解】解：如图， 在中，， ∴， ∴， 故答案为： 16．如图，已知正方形的边长为，如果将线段绕着点旋转后，点落在的延长线上的处，那么等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握这些性质是解题的关键．先利用正方形性质和勾股定理求出的长，即的长，根据三角函数的定义即可求解． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴，， ∴，， 由旋转得：， ∴， 故答案为：． 17．如图，河流两岸，互相平行，点，是河岸上的两座建筑物，点，是河岸b上的两点，，的距离约为米，某人在河岸上的点处测得，，则河流的宽度约为 米． 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．过点作于点，结合勾股定理和锐角三角函数即可求解； 【详解】解：过点作于点， 则 ，，， ， ∴， ， ，， ， 解得：， 故答案为：． 18．如图，是内一点，，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接，证明，由相似三角形的性质得出，证明，得出，求出，由勾股定理求出AM，最后由直角三角形的性质可求出的长． 【详解】如图，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，即， ， ， ， ， 在中，， ． 【点睛】此题考查了解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）把特殊角的三角函数值代入，再计算即可； （2）把特殊角的三角函数值代入，再计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 20．（8分）在菱形中，，，，求． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形中三角函数的应用．根据，设出，则，，得出，根据，，求出，再利用勾股定理得出的长，即可求出答案． 【详解】解：， 设， 则，， ， ， ， ， ， ， ， ． 21．（8分）如图，小明为了测量学校旗杆的高度，在地面离旗杆底部C处22米的A处放置高度为1.5米的测角仪，测得旗杆顶端D的仰角为，求旗杆的高度．（结果精确到0.1米）【参考数据：，，】 【答案】旗杆的高约为米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据于E，利用正切的概念求出的长，结合图形计算即可． 【详解】解：由题意得，于E， 米，， 在中，（米）， （米）， 答：旗杆的高约为米． 22．（8分）如图，在中，平分，交于点，交的延长线于点． (1)求证： (2)若 ，，，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质，结合平分可推出，即可证明； （2）过点作，垂足为，可推出，利用，得到，最后根据即可得到答案． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形 平分 （2）过点作，垂足为 ，， 23．（10分）一条南北走向的河的两岸互相平行．甲、乙二位同学分别站在河东岸的处观察河西岸的某景观建筑物．甲同学测得该建筑物一端在的北偏西，乙同学测得建筑物另一端在的南偏西．已知两点相距240米，河宽100米，求景观建筑物两端点之间的距离．（结果精确到1米，参考数据：） 【答案】建筑物两端点之间的距离约为33米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，分别过点作的垂线，垂足为，根据，，分别求出，，然后求出米，证明四边形为平行四边形，得出答案即可． 【详解】解：由题意得，分别过点作的垂线，垂足为，如图所示： 则， 米，米， 在中，， 即（米）， 在中，， 即（米）． 米． ， ∴四边形为平行四边形， （米）． 答：建筑物两端点之间的距离约为33米． 24．（10分）我校新买了一批折叠桌.如图所示，将其中一张折叠桌平稳放置地面，此时桌脚与相交于点O．，，，，． (1)求点O至的距离； (2)《中华人民共和国国家标准》中指出，桌椅高度差应控制在至范围内（包括与），现有两种规格的椅子可供挑选，甲种椅子高度为，乙种椅子高度为，请问挑选哪种椅子比较合适，为什么?（参考数据：，，） 【答案】(1) (2)甲种椅子，理由见详解 【分析】（1）过点作于点，根据已知条件和锐角三角函数即可求点至的距离； （2）延长与交于点，结合（1）可得的长，再根据桌椅高度差应控制在至范围内，进行计算即可判断． 本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握解直角三角形． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ，， ，， ，． ， ； （2）解：甲种椅子，理由如下 延长与交于点， ，， ， ， ， 甲种：，在至范围内； 乙种：，不在至范围内． 所以张先生挑选甲种椅子比较合适． 25．（10分）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子•备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2所示的是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，． (1)求点A位于最高点时到地面的距离； (2)当点A从最高点逆时针旋转到达最低点时，求此时水桶B上升的高度．（参考数据：） 【答案】(1)点A位于最高点时到地面的距离为米 (2)此时水桶B上升的高度为米 【分析】本题考查了三角函数的实际应用，作垂线构造直角三角形是解题关键． （1）过O作于O，过A作于G，在中即可求解； （2）过O作，过B作于C，过作于D，在中求出，在求出即可求解； 【详解】（1）解：过O作于O，过A作于G， ∵米，， ∴米，米， ∵， ∴， 在中，（米）， 点A位于最高点时到地面的距离为（米）， 答：点A位于最高点时到地面的距离为米； （2）解：过O作，过B作于C，过作于D， ∵， ∴，， ∵（米）， 在中，（米）， 在中，（米）， ∴（米）， ∴此时水桶B上升的高度为米． 26．（10分）综合与实践 【问题情境】 在数学活动课上，老师提出这样的一个问题：如图1，四边形中，平分，试说明线段和之间的数量关系． 【初步探究】 （1）针对老师提出的问题，小敏和小捷两位同学给出了不同的思路： 小敏：如图2，从结论的角度出发：在上截取，连接， 小捷：如图3，从平分这个条件出发，将沿翻折，即：延长线段到点使，……； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比探究】 （2）如图4，中，，平面内有点（点和点在的同侧），连接，猜想线段之间的数量关系，并说明理由． 【学以致用】 （3）如图5，在（2）的条件下，若，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）线段的长度是． 【分析】（1）延长线段到点，使，连接，可证明，得，而，所以，则，即可推导出；另一种证明方法是：在上截取，连接，可证明，得，再证明，则，则； （2）作交的延长线于点L，，所以，则，再证明，得，由，得． （3）由，，，求得，在上取一点H，连接，使，则，求得，则，所以，即可求得． 【详解】（1）证明：如图3，延长线段到点，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 证明：如图2，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图4，作交的延长线于点L，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：线段的长度是， 理由：∵，， ∴，， 在上取一点H，连接，使，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴线段的长度是． 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、类比与转化数学 思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$