专题 2.4 二次函数与一元二次方程（5个考点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版）

专题 2.4 二次函数与一元二次方程（5个考点） 【考点1 二次函数与x轴交点问题】 【考点2 图像法确定一元二次方程的根】 【考点3已知函数值y求X的取值范围】 【考点4二次函数与一次函数不等式的关系】 【考点5二次函数综合】 【考点1 二次函数与x轴交点问题】 1．抛物线与x轴的两个交点分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．抛物线与x轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 3．抛物线与x轴的两个交点的坐标为（    ） A．和 B．和 C．或 D．和 4．若函数的图象与轴只有一个交点，则的值为（    ） A． B．或 C．或 D． 或或 5．二次函数的图象与坐标轴的交点情况为（    ） A．两个交点 B．一个交点 C．没有交点 D．无法确定 6．若抛物线与轴有交点，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 7．若抛物线（m为常数）经过点，则该抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【考点2 图像法确定一元二次方程的根】 8．已知抛物线与轴交于点，，则关于的方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 9．二次函数的图象如图所示，则方程的解是（   ） A． B． C．或 D．或 10．如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点坐标为，则关于x的方程的解为（    ） A． B． C．， D．， 11．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 12．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 13．根据下列表格对应值： x                                    判断关于x的方程的一个解x的范围是（  ） A． B． C． D． 14．已知二次函数的变量，的部分对应值如表： x … 0 1 … y … 1 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是（    ） A． B． C． D． 15．根据下列表格中的对应值，可以判断关于的一元二次方程的一个解的范围是（　　） x 0 0.5 1 1.5 2 -2 -0.75 1 3.75 6 A． B． C． D． 16．根据下表： … 4 5 6 13 5 … 5 13 确定方程的解的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【考点3已知函数值y求X的取值范围】 17．二次函数的函数值是8，那么对应的x的值是（    ） A．3 B．5 C．和5 D．3和 18．已知二次函数，当y＝0时，x的值是（　　） A．2或 B．或6 C．或1 D．或 19．抛物线与直线的两个交点的横坐标为（    ） A．0，4 B．1，5 C． D． 20．二次函数的函数值是，那么对应的值是（    ）． A． B． C．和 D． 和 21．二次函数y＝x2+2x﹣7的函数值是8，那么对应的x的值是（　　） A．3 B．5 C．﹣3和5 D．3和﹣5 22．若函数，则当函数值时，自变量的值是（ ） A．± B．4 C．±或4 D．4或－ 【考点4二次函数与一次函数不等式的关系】 23.如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 24．如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（    ） A． B． C．且 D．或 25．二次函数与一次函数的图像如图所示，则满足的的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 26．如图是二次函数的图象，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 27．二次函数的部分图象如图，当时，的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 28．如图，一次函数与二次函数的图象交于和两点，当时，x的取值范围是（　　）    A． B． C． D． 29．已知二次函数的图象如图所示，根据图中提供的信息，可求得使成立的的取值范围是（      ） A． B． C． D．或 30．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x … -1 0 1 2 3 y … 10 5 2 1 2 … 则当时，x的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 31．已知二次函数的图象如图所示，根据图中提供的信息，可求得使成立的x的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【考点5二次函数综合】 32．如图，抛物线交x轴正半轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴正半轴于点C，连接．若的面积为3，求抛物线的解析式． 33．如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)若抛物线上存在一点（不与点重合），使得，请求出点的坐标． 34．已知点与点都在二次函数的图像上． (1)求和的值，并直接写出该抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向； (2)求该抛物线上纵坐标为的点的坐标； (3)当时， 求函数的最大值和最小值． 35．如图，抛物线与轴交于点和点，交轴于点，连接，，点在抛物线上． (1)求抛物线的表达式； (2)判断的形状，并说明理由； (3)连接，点在抛物线上，，求点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 2.4 二次函数与一元二次方程（5个考点） 【考点1 二次函数与x轴交点问题】 【考点2 图像法确定一元二次方程的根】 【考点3已知函数值y求X的取值范围】 【考点4二次函数与一次函数不等式的关系】 【考点5二次函数综合】 【考点1 二次函数与x轴交点问题】 1．抛物线与x轴的两个交点分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数和一元二次方程的关系，理解掌握两者的实质关系是解本题的关键．求出一元二次方程的两个根，，即可得出抛物线与x轴的两个交点，． 【详解】解：令， 即， 解得一元二次方程的根为：，； 则抛物线与x轴的两个交点分别为和； 故答案选：A． 2．抛物线与x轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，根据x轴上的点的纵坐标为0，将代入解一元二次方程即可． 【详解】解：令得，，化解为， 解得， 所以抛物线与x轴的交点坐标为， 故选∶A． 3．抛物线与x轴的两个交点的坐标为（    ） A．和 B．和 C．或 D．和 【答案】C 【分析】把带入抛物线的表达式求解即可． 【详解】解：当时，， ， 或， ， ∴抛物线与轴的交点坐标为或． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点坐标，解题的关键是熟练掌握求抛物线与x轴的交点坐标的方法． 4．若函数的图象与轴只有一个交点，则的值为（    ） A． B．或 C．或 D． 或或 【答案】D 【分析】若，一次函数与轴只有一个交点，满足题意；若不为，根据抛物线图象与轴只有一个交点，得到根的判别式等于，即可求出的值． 【详解】解：若时，一次函数与轴只有一个交点，满足题意； 若不为，根据抛物线图象与轴只有一个交点， ∴， 整理得：，解得或， ∴的值为或或， 故选：． 【点睛】此题考查了函数与轴的交点问题，正确分类、掌握求解的方法是关键． 5．二次函数的图象与坐标轴的交点情况为（    ） A．两个交点 B．一个交点 C．没有交点 D．无法确定 【答案】A 【分析】首先用△判定图象与轴的交点情况；再判定与轴交点的情况即可解答． 【详解】解： ， 图象与轴有1个交点， 当时，， 函数图象与轴有一个交点， 二次函数与坐标轴有2个交点． 故选：A． 【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，关键是利用判别式判断抛物线与轴交点的个数． 6．若抛物线与轴有交点，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的定义，掌握二次函数与轴的交点的横坐标即为时对应一元二次方程的解是解题关键．根据抛物线与x轴有交点，即求令的一元二次方程有实数根，利用根的判别式求解，再结合二次函数的定义，即可确定的取值范围． 【详解】解：抛物线与轴有交点， 关于的方程有实数根，且， ，且， 解得：且， 故选：A． 7．若抛物线（m为常数）经过点，则该抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，把点代入求得解析式为，再令，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：把点代入得：， ∴， ∴抛物线解析式为：， 令，， 解得：，， ∴该抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为，， 故选：B． 【考点2 图像法确定一元二次方程的根】 8．已知抛物线与轴交于点，，则关于的方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程的根与抛物线与x轴的交点的横坐标的关系，二次函数的性质等知识点，利用抛物线与x轴的交点的横坐标与一元二次方程根的联系即可得出结论．熟练掌握其性质，利用数形结合法是解决此题的关键． 【详解】∵与x轴交于点，两点， ∴方程的两个根为，， 故选：B． 9．二次函数的图象如图所示，则方程的解是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系．解题的关键是掌握抛物线与x轴的交点坐标的横坐标即为一元二次方程的解． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点和， ∴方程的解是或， 故选：C． 10．如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点坐标为，则关于x的方程的解为（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，根据抛物线与轴的交点的横坐标即为对应的一元二次方程的解，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线的对称轴为直线， ∵二次函数的部分图象与x轴的一个交点坐标为， ∴另一个交点的坐标为， ∴关于x的方程的解为，； 故选C． 11．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，先利用抛物线的对称性求出抛物线与轴的一个交点坐标为，然后根据抛物线与轴的交点坐标即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的一个交点坐标为， 即或时，函数值， ∴关于的方程的解为，， 故选：． 12．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查数形结合思想，涉及抛物线和直线交点，根据题意可知方程的解即为抛物线和直线的交点． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，， ∴方程的解即为抛物线和直线的交点， ∴解为，， 故选：B． 13．根据下列表格对应值： x                                    判断关于x的方程的一个解x的范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程解的估算，解题的关键是根据表格中的数据，找出一元二次方程一个解的范围． 利用和所对应的的值可判断关于的方程的一个解的范围． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴关于的方程的一个解的范围是． 故选：B． 14．已知二次函数的变量，的部分对应值如表： x … 0 1 … y … 1 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题：在和时函数值由负数变为正数，即可得到方程的一个近似解的范围． 【详解】解：当时，；当时，， 方程的一个近似根的范围是, 故选：C． 15．根据下列表格中的对应值，可以判断关于的一元二次方程的一个解的范围是（　　） x 0 0.5 1 1.5 2 -2 -0.75 1 3.75 6 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的近似解，根据表格中x与的值的特征，确定的解x的范围即可． 【详解】解：根据表格的： 当时，， 当时，， 则关于x的一元一次方程的一个解x的范围是． 故选：B． 16．根据下表： … 4 5 6 13 5 … 5 13 确定方程的解的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】此题考查了估算一元二次方程的近似解．观察已知表格，根据代数式的值的变化确定出方程解的范围即可． 【详解】解：由表格得：时，， 时，； 时，； 时，， 可得方程的解取值范围是或． 故选：A． 【考点3已知函数值y求X的取值范围】 17．二次函数的函数值是8，那么对应的x的值是（    ） A．3 B．5 C．和5 D．3和 【答案】D 【分析】本题考查了求二次函数的自变量，因式分解法解一元二次方程．熟练掌握求二次函数的自变量，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 由题意得，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：由题意得，， ， ， 解得，或， 故选：D． 18．已知二次函数，当y＝0时，x的值是（　　） A．2或 B．或6 C．或1 D．或 【答案】B 【分析】此题考查了抛物线与轴的交点，列出关于的方程是解本题的关键．令得到关于的一元二次方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：令，得到， 即， 解得：或6． 故选：B 19．抛物线与直线的两个交点的横坐标为（    ） A．0，4 B．1，5 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了直线与抛物线的交点问题，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解答此题的关键． 【详解】解：把代入得：， 解得：，， ∴抛物线与直线的两个交点的横坐标为， 故选：D． 20．二次函数的函数值是，那么对应的值是（    ）． A． B． C．和 D． 和 【答案】C 【分析】把函数值代入函数解析式，解关于的一元二次方程即可． 【详解】把代入， 得 ， 整理得，， 解得，， ∴对应的自变量的值是或， 故选：． 【点睛】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，一元二次方程的解法，把函数值代入函数解析式得到方程是解题的关键． 21．二次函数y＝x2+2x﹣7的函数值是8，那么对应的x的值是（　　） A．3 B．5 C．﹣3和5 D．3和﹣5 【答案】D 【分析】根据题意，把函数的值代入函数表达式，然后解关于x的方程即可． 【详解】解：根据题意，得 x2+2x﹣7＝8， 即x2+2x﹣15＝0， 解得x＝3或﹣5， 故选D． 【点睛】本题考查关键将二次函数转化为求一元二次方程，再进行求解． 22．若函数，则当函数值时，自变量的值是（ ） A．± B．4 C．±或4 D．4或－ 【答案】D 【详解】试题分析：此类试题分类求解： 当满足时，，因为要满足，故此时x= 当2x=8时，则有x=4，，所以x=4符合要求 综上，故x=4或－，故选D 考点：函数的分类解析 点评：在解题时要能灵运用二次函数的图象和性质求出二次函数的解析式，利用数形结合思想解题是本题的关键．, 【考点4二次函数与一次函数不等式的关系】 23.如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象，根据图象得出二次函数和一次函数相交于两点的横坐标分别为，1，即可得． 【详解】解：根据图象得，二次函数和一次函数相交于两点，两点的横坐标分别为，1， 则当时，x的取值范围为或． 故选：B． 24．如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（    ） A． B． C．且 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与不等式、二次函数的对称性，先利用抛物线的对称性求出与x轴的另一个交点坐标，然后写出抛物线在x轴上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴不等式的解集是． 故选：A． 25．二次函数与一次函数的图像如图所示，则满足的的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据函数图像可得中x的取值范围就是二次函数图像在一次函数图像下方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：若，则， 有图像可知，当或时，二次函数的图像在一次函数图像的下方，即， ∴当或时，， 则当或时，， 故选：B． 26．如图是二次函数的图象，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查利用二次函数图象求不等式的解集，求出点关于对称轴的对称点，结合函数图象即可得出的解集． 【详解】解：由图可知二次函数的图象的对称轴为，与y轴的交点坐标为， 由二次函数图象的对称性可知，点也在函数的图象上， 由图可知，当或时，对应的y值小于3， 因此的解集为：或． 故选：D． 27．二次函数的部分图象如图，当时，的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据图象可得对称轴为直线，则另一个交点为，进而根据，写出的取值范围，即可求解． 【详解】解：依题意，抛物线的对称轴为直线，与轴的交点为和，抛物线开口向下， 当时，图象在轴的下方， ∴或， 故选：C． 28．如图，一次函数与二次函数的图象交于和两点，当时，x的取值范围是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，由图象中抛物线在直线上方时x的取值范围求解．解题关键是掌握二次函数与不等式的关系． 【详解】解：由图象可得在点D，B之间时，二次函数图象在一次函数的上方， ∵， ∴当时，则， 故选：C 29．已知二次函数的图象如图所示，根据图中提供的信息，可求得使成立的的取值范围是（      ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据图象即可得出答案． 【详解】解：由图可得，抛物线上纵坐标为1的两点坐标为，， 观察图象可知，当时，或， 故选：D． 【点睛】本题考查了利用图象法解不等式，读懂函数图象，采用数形结合的思想是解此题的关键． 30．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x … -1 0 1 2 3 y … 10 5 2 1 2 … 则当时，x的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据表格数据，利用二次函数的对称性可判断二次函数的对称轴以及当y=5时，x的另一个取值；然后根据表格以及二次函数的性质即可求出当时，x的取值范围． 【详解】由表可知，二次函数的对称轴为直线x=2， 当x=0时，y=5；当x=4时，y=5， ∴当时，x的取值范围为x<0或x>4 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，掌握二次函数图象的对称性根据表格得出函数的对称轴是关键． 31．已知二次函数的图象如图所示，根据图中提供的信息，可求得使成立的x的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据函数图象写出y=1对应的自变量x的值,再根据判断范围即可． 【详解】由图可知，使得时 使成立的x的取值范围是或 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，准确识图是解题的关键． 【考点5二次函数综合】 32．如图，抛物线交x轴正半轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴正半轴于点C，连接．若的面积为3，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用待定系数法． 依据题意求出点、、的坐标分别为，再根据的面积为3求得进而可以得解． 【详解】解：由题意，令， 或3． 令，则， 点A、B、C的坐标分别为． 又， 解得：． 抛物线的表达式为：． 33．如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)若抛物线上存在一点（不与点重合），使得，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或或 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，待定系数法求二次函数的解析式；解题的关键是由面积相等得出P点纵坐标； （1）根据抛物线与轴相交于，两点，可以直接写成交点式，再化为一般式； （2）由，可以得出点的纵坐标为3或，再分别令，列方程求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴相交于，两点， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ， ， 设P点纵坐标为m， ， ， 整理得：， ， 点的纵坐标为3或， 令，得，， 令，得（舍去），， ∴点的坐标为或或． 34．已知点与点都在二次函数的图像上． (1)求和的值，并直接写出该抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向； (2)求该抛物线上纵坐标为的点的坐标； (3)当时， 求函数的最大值和最小值． 【答案】(1)，对称轴为，顶点坐标为，二次函数图象开口向上 (2) (3)函数的最大值为，最小值为 【分析】本题主要考查二次函数图象的的性质，待定系数法求解析式， （1）把点代入，运用待定系数法可求出解析式，再把点代入即可求解； （2）根据题意，把代入二次函数解析式，即可求解； （3）根据二次函数图象的性质，当时，；当时，；当时，；由此即可求解． 【详解】（1）解：已知点在二次函数的图象上， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为， ∵点在二次函数图象上， ∴， ∵， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为，对称轴为； （2）解：抛物线上纵坐标为，即， ∴， 解得，， ∴纵坐标为的点的坐标为，； （3）解：∵二次函数的对称轴为，开口向上， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 当时，时，，时，，时，， ∴当时，函数的最大值为，最小值为． 35．如图，抛物线与轴交于点和点，交轴于点，连接，，点在抛物线上． (1)求抛物线的表达式； (2)判断的形状，并说明理由； (3)连接，点在抛物线上，，求点的坐标． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）将点，代入得到关于、的二元一次方程组，求解即可； （2）确定，得，，，确定，得，在中得，在中得，推出，可得结论； （3）如图，过作轴交于点，确定直线的解析式为，推出，过作于，则，证明，得，即，证明，得，在上截取，则，证明，得，推出，确定直线的解析式为，再解方程组即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）是直角三角形． 理由：∵抛物线与轴交于点和点，交轴于点， 当时，得：， 解得：，， ∴， ∴，， ∴， 令，得：， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，； （3）如图，过作轴交于点， 设直线的解析式为，过点，， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵轴，，， ∴， ∴， ∴， 过作于，则， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∵，，， 在和中， ， ∴， ∴， 在上截取，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得，， ∴点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数与一次函数综合题，考查了坐标与图形，待定系数法确定函数解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，二次函数与一次函数的交点坐标等知识点．通过作辅助线构造全等三角形的是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$