专题 2.3 二次函数的实际应用（6个考点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版）

专题 2.3 二次函数的实际应用（6个考点） 【考点1 运动类（1）落地模型】 【考点2 运动类（2）最值模型】 【考点3经济类-二次函数与一次函数初步综合】 【考点4经济类-二次函数中的“每每问题”】 【考点5面积类】 【考点6拱桥类】 【考点1 运动类（1）落地模型】 1．运动员将一个足球踢出，起始速度位米/秒，足球在空中的高度h（米）与时间t（秒）的函数关系为，当足球达到最高点时，足球的运动时间为（ ） A．2秒 B．3秒 C．2.5秒 D．1.5秒 2．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是，汽车刹车后行驶的最远距离为，则a的值为（　　） A． B． C． D．6 3．小刚在操场上掷铅球，已知铅球出手时的高度为，当球出手后水平距离为时到达最大高度，则这次小刚能掷 ．    4．向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为．若此炮弹在第6秒与第14秒时的高度相等，则第 秒时炮弹所在高度最高． 5．铅球是利用人体全身的力量，将一定重量的铅球从肩上用手臂推出的田径运动项目之一，是集力量和技术于一体的运动，绝对力量和完美技术都是取得好成绩的因素，铅球行进高度和铅球行进曲线都影响着铅球投掷的成绩．如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系是，此运动员投掷时，铅球的最大行进高度是 m． 6．小明和小红两人在课余时间打羽毛球，羽毛球的飞行路线可近似看成抛物线形状．某一时刻小明发出一球，在如图所示的体系中，设小明的击球出手点为P， 当球运行到距OP的水平距离为4m时，球达到最高点 ．已知球网距原点5m． (1)求抛物线的解析式； (2)若小红站在距球网1m远的C处，求小红的球拍距地面（即）多高时，球拍的上边缘正好与球接触？ 7．足球训练中球员从球门正前方8米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若球门米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当时球员带球向正后方移动米再射门，足球恰好进球（不含点和），求的取值范围． 8．如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，篮球运行的水平距离为2.5米时达到最大高度，在如图所示的直角坐标系中，抛物线的表达式为，沿此​抛物线篮球可准确落入篮圈． (1)求篮圈中心到地面的距离为多少米． (2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ (3)篮球被投出后，对方一名近身防守运动员跳起盖帽，这名防守运动员最大能摸高3.05m，若他想盖帽成功，则两名运动员之间的距离不能超过多少米？（直接写出答案） 【考点2 运动类（2）最值模型】 9．某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：）关于行驶时间t（单位：）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了（   ）． A． B． C． D． 10．某车的刹车距离（m）与开始刹车时的速度（m/s）之间满足二次函数，若该车某次的刹车距离为m，则开始刹车时的速度为（　　） A．4m/s B．5m/s C．8m/s D．10m/s 11．某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离（单位：）关于行驶时间（单位：）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了 ． 【考点3经济类-二次函数与一次函数初步综合】 12．一位助农主播利用“互联网+”销售一种农业加工品，这种加工品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种加工品的销售利润率不高于，市场调查发现，该加工品每天的销售量（件）与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示． (1)求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)求每天的销售利润（元）与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（销售利润销售量每件的利润） (3)该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润能否是128元？若能，求出销售单价应为多少元；若不能，请说明理由． 13．网络直播已经成为一种热门的销售方式，某销售商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/，每日销售量与销售单价x（元/）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经调查发现销售单价不低于成本价且不高于30元/．设销售板栗的日获利为w（元）． x（元/） 7 8 9 4300 4200 4100 (1)求日销售量y与销售单价x之间的函数解析式；（不用写自变量的取值范围） (2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？ 14．某公司销售一种商品，成本为4元/件，公司规定售价不能低于5元/件，物价局核定该商品的售价不能高于15元/件，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其销售单价、日销售量的几组对应数值如下表： 销售单价x（元） 6 7 8 9 日销售量y（件） 90 85 80 75 (1)求出y与x之间的函数关系式并写出x的取值范围； (2)该商品的销售单价定为多少元，公司日销售此商品获得的利润为375元？ (3)该商品的销售单价定为多少元，公司日销售此商品获得的利润最大？最大值为多少？ 15．某农户生产经营一种农产品，已知这种农产品的成本价为每千克20元，经市场调查发现，该产品每天的销售量（千克）与销售价（元/千克）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求与之间的函数关系式； (2)该农户想要每天获得最大的利润，销售价应定为每千克多少元？ 16．某服装店购进一批T恤，每件进价为元，出于营销考虑，每件售价不低于元且不高于元，在销售过程中发现销售量（件）与每件售价（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为时，销售量件；当销售单价为元时，销售量为件． (1)求与的函数关系式； (2)当服装店销售这种恤获得元的利润时，每件恤销售单价是多少元？ (3)设该服装店销售这种恤的利润为元，则该恤销售单价定为多少元时，才能使所获利润最大？最大利润是多少？ 17．4月19日，瓦房店市第七届桃花节暨2024年群众文化艺术节在复州城镇盛装启幕，景区售卖一种当地特产，每袋成本为3元，经调查，每天的销售量y（袋）与每袋的售价x（元）之间的函数关系式如图所示． (1)求y与x的函数关系式； (2)设每天的总利润w（元），每袋特产的售价定为多少元时，获利最大？最大利润是多少？ 【考点4经济类-二次函数中的“每每问题”】 18．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于30元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． (1)请直接写出y与x的函数关系式； (2)当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ (3)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 19．某商场将每件进价为80元的A商品按每件100元出售，一天可售出128件，经过市场调查，发现这种商品的销售单价每降低2元，其日销量可增加16件，设该商品每件降价x元，商场一天可通过A商品获利润y元． (1)求y与x之间的函数解析式（要展开化简，不必写出自变量x的取值范围）． (2)A商品销售单价为多少时，该商场每天通过A商品所获的利润最大？最大利润为多少元？ 20．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件 (1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式； (2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大，最大利润是多少？ 21．某超市销售某种商品，每件商品进价为40元，当每件售价为50元时，每天能售出500件，经市场调查表明：若售价每提高1元，日销售量就要少售出10件． (1)若售价每提高x元，则日销售量为__________件．设每天利润为y元，则y与x的关系式是__________． (2)要使日利润达到8750元，且尽量让消费者得到实惠，求每件售价应定为多少元？ 22．某超市将成本为30元的台灯以40元售出，平均每月售出600个；为提高利润，商家决定涨价出售，该台灯售价每上涨5元，其月销售量就减少50个． (1)求出月销售量y（个）与售价x（元）之间的关系式． (2)当售价定为何值时，该台灯月销售利润最大，求最大利润． 23．某商场销售一批商品，已知进价为每件6元，平时以12元的价格出售，平均每天可售出80件，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每降价1元，商场平均每天可多售出40件． (1)若商场平均每天要盈利280元，每件商品应定价多少元？ (2)若该商场要每天盈利最大，每件商品应定价多少元？盈利最大是多少元？ 24．小华以元/千克的价格购进一批小型西瓜，以元/千克的价格出售，每天可售出千克．为了促销，小华决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价元/千克，每天可多售出千克，另外，每天的房租等固定成本共元． (1)小华要想每天盈利元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？ (2)若小华想获得最大利润，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？此时，最大利润是多少？ 25．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价增加元（x为整数）． (1)直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式； (2)某日，宾馆了解当天的住宿的情况，发现当日所获利润为8000元，每个房间刚好住满2人，且当天房间支出不少于500元，问这天宾馆入住的游客有多少人？ (3)设宾馆每天的利润为w元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少？ 【考点5面积类】 26．为提高学生的综合素质，丰富学生的校园生活，某学校的师生们要在一块一边高墙（墙长15米）的空地上修建一个矩形劳动教育基地，劳动教育基地的一边靠墙，另三边用总长40米的栅栏围成（如图所示）．若设劳动教育基地的边长为x米，面积为y平方米． (1)判断该劳动教育基地的面积能否达到150平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． (2)当x是多少时，劳动教育基地面积y最大？最大面积是多少？ 27．如图，某单位拟在一块空地上修建矩形植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过米，另外三边由米长的栅栏围成，设矩形中，垂直于墙的边米，面积为y平方米． (1)若矩形的面积为平方米，求x的值； (2)当矩形的面积最大时，利用的墙长是多少米？并求此时的最大面积． 28．如图，利用一面墙（墙最长可利用24米），围成一个矩形苗圃园，与围墙平行的一边上要预留3米宽的入口（如图所示，不用砌墙），用46米长的墙的材料做围墙，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米． (1)若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x的函数表达式及其自变量x的取值范围； (2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值. 29．如图，利用一面墙墙的长度为，用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为米．    (1)若两个鸡场的面积和为S，求S关于的关系式并写出的取值范围； (2)两个鸡场面积和S有最大值吗？若有，最大值是多少？ 30．如图，，是边上的高，．P，N分别是边上的点，Q，M是上的点，连接，，交与E．求： (1)若四边形是正方形，求的长（图一）； (2)若四边形是矩形，且．求的长（图二）； (3)若四边形是矩形，求当矩形面积最大时，求最大面积和的长． 31．如图，在一个矩形空地上修建一个矩形花坛，要求点在上，点在上，点在对角线上．若，，设的长为，矩形的面积为． (1)求S与x的函数关系式； (2)当x为何值时，S有最大值？请求出最大值． 32．如图①，是一块锐角三角形材料，边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个定点分别在，上，这个正方形零件的边长是多少？ （1）解这个题目，求出这个正方形零件的边长是多少？ 变式训练： （2）如果要加工成一个矩形零件，如图②，这样，此矩形零件的两边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长是多少？ （3）如图③，在中，，正方形的边长是8，且四个顶点都在的各边上，．求的值． 【考点6拱桥类】 33．如图1是某地公园的一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，得到函数，在正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽 米．    34．如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分和矩形的三边，，组成，已知河底是水平的，，，抛物线的顶点C 到的距离是， 以所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系． (1)根据题意，填空： ①顶点C 的坐标为 ； ②点B 的坐标为 (2)求抛物线的解析式． (3)已知从某时刻开始的内，水面与河底的距离l(单位：m) 随时间t(单位：h)的变化满足函数关系，且当点C到水面的距离不大于时，需禁止船只通行，请通过计算说明，在这一时段内，有多少小时禁止船只通行？ 35．如图所示，一拱桥的截面呈抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是，拱桥的跨度为，拱桥与水面的最大距离是，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面景观灯． (1)求抛物线的解析式； (2)求两盏景观灯之间的水平距离． 36．图1是山西晋城丹河大桥，位处太行山脉南端，桥梁栏杆上有多幅与历史文化有关的石雕图画，体现了现代与传统文明的完美结合．丹河大桥拱桥桥洞的形状呈抛物线形，现以水面为x轴，拱桥左侧与水面的交点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，已知水面的宽度为米，拱桥离水面的最大高度为米． (1)求该抛物线的表达式； (2)若要在桥洞两侧壁上距离水面米的点B和点C处各安一盏景观灯，求两盏景观灯之间的水平距离． 37．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的．正常水位时，大孔水面宽度为，大孔顶点P距水面（即），小孔水面宽度为，小孔顶点Q距水面（即），建立如图所示的平面直角坐标系．    (1)求大孔抛物线的解析式； (2)现有一艘船高度是，宽度是，这艘船在正常水位时能否安全通过拱桥大孔？并说明理由． (3)当水位上涨时，求小孔的水面宽度． 38．河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽为6米时，水面离桥孔顶部4米．如图1，桥孔与水面交于A、B两点，以点A为坐标原点，所在水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)请求出此抛物线对应的二次函数表达式； (2)因降暴雨水位上升米，一艘装满货物的小船，露出水面部分的高为，宽为（横截面如图2），暴雨后，这艘小船能从这座石拱桥下通过吗？请说明理由． 39．如图是一座拱桥，图2是以左侧桥墩与水面接触点为原点建立的平面直角坐标系，其抛物线形桥拱的示意图，经测量得水面宽度，拱顶到水面的距离为． (1)求这条抛物线的表达式； (2)为迎接新年，管理部门在桥下悬挂了3个长为的灯笼，中间的灯笼正好悬挂在处，两边灯笼与最中间灯笼的水平距离为，为了安全，要求灯笼的最低处到水面的距离不得小于．根据气象局预报，过年期间将会有一定量的降雨，桥下水面会上升，请通过计算说明，现在的悬挂方式是否安全． 40．如图，某市新建的一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽． (1)按如图所示的直角坐标系，此抛物线的函数表达式为 ． (2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，当水位达到处时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变继续向此桥行驶时，它能否安全通过此桥？ 41．如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽．      (1)按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨．为保证安全，当水位达到距拱桥最高点时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 2.3 二次函数的实际应用（6个考点） 【考点1 运动类（1）落地模型】 【考点2 运动类（2）最值模型】 【考点3经济类-二次函数与一次函数初步综合】 【考点4经济类-二次函数中的“每每问题”】 【考点5面积类】 【考点6拱桥类】 【考点1 运动类（1）落地模型】 1．运动员将一个足球踢出，起始速度位米/秒，足球在空中的高度h（米）与时间t（秒）的函数关系为，当足球达到最高点时，足球的运动时间为（ ） A．2秒 B．3秒 C．2.5秒 D．1.5秒 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，通过将二次函数的解析式化成顶点式成为解题的关键． 利用配方法把变形成顶点式，然后根据二次函数的最值问题求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴当时，h最大． 故选：A． 2．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是，汽车刹车后行驶的最远距离为，则a的值为（　　） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】此题主要考查了求二次函数的最值的问题，根据已知得出顶点式是解题关键．把二次函数化成顶点式，求最值即可． 【详解】解：∵，且汽车刹车后行驶的最远距离为， ∴ ∴ 故选：C． 3．小刚在操场上掷铅球，已知铅球出手时的高度为，当球出手后水平距离为时到达最大高度，则这次小刚能掷 ．    【答案】10 【分析】本题主要考查了二次函数的应用等知识点，通过建立坐标系，确定点A、B的坐标，由点A、B的坐标求出函数表达式，令，即可求解，熟练掌握其性质，建立合适坐标系是解决此题的关键． 【详解】建立如图所示的直角坐标系，    ∴点A、B的坐标分别为、， ∴设函数的表达式为：， 将代入解析中得，， 解得：， 则函数的表达式为：， 当时，（舍去）或， ∴该男生将铅球推出的距离为10米， 故答案为：10． 4．向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为．若此炮弹在第6秒与第14秒时的高度相等，则第 秒时炮弹所在高度最高． 【答案】10 【分析】本题考查二次函数的应用，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．求出抛物线的对称轴，即可得炮弹位置达到最高时的值． 【详解】解：∵此炮弹在第6秒与第14秒时的高度相等， ∴对称轴为直线, ∴炮弹位置达到最高时，时间是第10秒． 故答案为：10． 5．铅球是利用人体全身的力量，将一定重量的铅球从肩上用手臂推出的田径运动项目之一，是集力量和技术于一体的运动，绝对力量和完美技术都是取得好成绩的因素，铅球行进高度和铅球行进曲线都影响着铅球投掷的成绩．如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系是，此运动员投掷时，铅球的最大行进高度是 m． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次函数的函数和性质，把二次函数一般形式化成顶点式即可得出答案． 【详解】解：∵， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，y取的最大值，最大值为3． 则铅球的最大行进高度是， 故答案为：3． 6．小明和小红两人在课余时间打羽毛球，羽毛球的飞行路线可近似看成抛物线形状．某一时刻小明发出一球，在如图所示的体系中，设小明的击球出手点为P， 当球运行到距OP的水平距离为4m时，球达到最高点 ．已知球网距原点5m． (1)求抛物线的解析式； (2)若小红站在距球网1m远的C处，求小红的球拍距地面（即）多高时，球拍的上边缘正好与球接触？ 【答案】(1) (2)小红的球拍距地面（即）时，球拍的上边缘正好与球接触 【分析】本题考查二次函数的应用，解题关键是明确题意，再根据二次函数的图象与性质解题． （1）设顶点式，用待定系数法即可求解； （2）将代入即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：， 把点代入，得：， 解得：， ； （2）解：当时，得： ． 答：小红的球拍距地面（即）时，球拍的上边缘正好与球接触． 7．足球训练中球员从球门正前方8米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若球门米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当时球员带球向正后方移动米再射门，足球恰好进球（不含点和），求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求解析式，平移规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，先得到抛物线的顶点坐标为，设设抛物线，把点代入，即可作答． （2）依题意，设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，再把点和点分别代入，算出的值，即可作答． 【详解】（1）解： ， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线，把点代入得： ， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得：， 解得（舍去）或， 把点代入得：， 解得：（舍去）或， ∵足球恰好进球（不含点和）， 即． 8．如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，篮球运行的水平距离为2.5米时达到最大高度，在如图所示的直角坐标系中，抛物线的表达式为，沿此​抛物线篮球可准确落入篮圈． (1)求篮圈中心到地面的距离为多少米． (2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ (3)篮球被投出后，对方一名近身防守运动员跳起盖帽，这名防守运动员最大能摸高3.05m，若他想盖帽成功，则两名运动员之间的距离不能超过多少米？（直接写出答案） 【答案】(1)3.05米； (2)0.2米； (3)1米； 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握二次函数图象上点坐标的特征． （1）求出篮圈中心的横坐标为，在中，令可得篮圈中心到地面的距离为3.05米；（2）设球出手时，他跳离地面的高度是米，知出手点坐标为，故，解出的值可得答案； （3）在中，令得（舍去）或，即知两名运动员之间的距离不能超过1米． 【详解】（1）解：根据已知可得，篮圈中心的横坐标为， 在中，令得， 篮圈中心的纵坐标为3.05， 篮圈中心到地面的距离为3.05米； （2）解：设球出手时，他跳离地面的高度是米，则出手点坐标为， ， 解得， 球出手时，他跳离地面的高度是0.2米； （3）解：在中，令得：， 解得（舍去）或， ， 两名运动员之间的距离不能超过1米． 【考点2 运动类（2）最值模型】 9．某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：）关于行驶时间t（单位：）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，汽车从刹车后到停下来时所行进的距离最远，即S最大，据此把解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了． 故选：A． 10．某车的刹车距离（m）与开始刹车时的速度（m/s）之间满足二次函数，若该车某次的刹车距离为m，则开始刹车时的速度为（　　） A．4m/s B．5m/s C．8m/s D．10m/s 【答案】D 【分析】本题实际是告知函数值求自变量的值，代入求解即可，另外实际问题中，负值舍去． 【详解】解：当刹车距离为m时，即可得， 代入二次函数解析式得：， 解得，（舍）， 故开始刹车时的速度为m/s， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，明确、代表的实际意义，刹车距离为m，即是，难度一般． 11．某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离（单位：）关于行驶时间（单位：）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的解析式可得出汽车刹车时时间，将其代入二次函数解析式中即可得出的值. 【详解】解：根据二次函数解析式 可知，汽车的刹车时间为， 当时， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数性质的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【考点3经济类-二次函数与一次函数初步综合】 12．一位助农主播利用“互联网+”销售一种农业加工品，这种加工品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种加工品的销售利润率不高于，市场调查发现，该加工品每天的销售量（件）与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示． (1)求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)求每天的销售利润（元）与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（销售利润销售量每件的利润） (3)该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润能否是128元？若能，求出销售单价应为多少元；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，每件销售价为16元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是168元 (3)能，销售单价为14元/件 【分析】此题考查了二次函数、一次函数、一元二次方程的实际应用． （1）利用待定系数法即可求解； （2）根据题意列出二次函数解析式，再利用二次函数的性质进行解答即可； （3）该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润能是128元．据此得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设与的函数表达式为， 将代入，得：， 解得：， 所以与的函数表达式为， （元/件）， ； （2）根据题意知， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，     最大值为； 每件销售价为16元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是168元； （3）该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润能是128元． 根据题意知，， 则， 解得或（舍去）， 答：该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润能是128元，销售单价为14元/件． 13．网络直播已经成为一种热门的销售方式，某销售商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/，每日销售量与销售单价x（元/）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经调查发现销售单价不低于成本价且不高于30元/．设销售板栗的日获利为w（元）． x（元/） 7 8 9 4300 4200 4100 (1)求日销售量y与销售单价x之间的函数解析式；（不用写自变量的取值范围） (2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为48400元 【分析】本题考查的是一次函数与二次函数的实际应用，理解题意是解本题的关键； （1）设y与x之间的函数解析式为，把，和，代入即可得到答案； （2）由每千克利润乘以销售数量建立二次函数的解析式，再利用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数解析式为， 把，和，代入， 得， 解得， ∴日销售量y与销售单价x之间的函数解析式为． （2）解：由题意得： ， ∵，对称轴为直线， ∴当时，w有最大值为48400元． ∴当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为48400元． 14．某公司销售一种商品，成本为4元/件，公司规定售价不能低于5元/件，物价局核定该商品的售价不能高于15元/件，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其销售单价、日销售量的几组对应数值如下表： 销售单价x（元） 6 7 8 9 日销售量y（件） 90 85 80 75 (1)求出y与x之间的函数关系式并写出x的取值范围； (2)该商品的销售单价定为多少元，公司日销售此商品获得的利润为375元？ (3)该商品的销售单价定为多少元，公司日销售此商品获得的利润最大？最大值为多少？ 【答案】(1) (2)该商品的销售单价定为9元，公司日销售此商品获得的利润为375元 (3)该商品的销售单价定为14元，公司日销售此商品获得的利润最大，最大利润是500元 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的最值问题，正确的列出函数解析式是解题的关键． （1）设y与x之间的函数关系式为，将代入解方程组即可得到结论； （2）设公司日销售此商品获得的利润为w元，根据题意得， ，当时，解方程即可得到结论； （3）根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 将代入得， , 解得，， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：设公司日销售此商品获得的利润为w元， 根据题意得， ， 当时， 解得（舍去）， 答：该商品的销售单价定为9元，公司日销售此商品获得的利润为375元； （3）解：∵， ∵， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为500， 答：该商品的销售单价定为14元，公司日销售此商品获得的利润最大，最大利润是500元． 15．某农户生产经营一种农产品，已知这种农产品的成本价为每千克20元，经市场调查发现，该产品每天的销售量（千克）与销售价（元/千克）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求与之间的函数关系式； (2)该农户想要每天获得最大的利润，销售价应定为每千克多少元？ 【答案】(1)； (2)每天获得最大的利润为200元，销售价应定为每千克30元． 【分析】此题考查了利用待定系数法求一次函数关系式和二次函数的应用． （1）利用待定系数法求y与x之间的函数关系式即可； （2）根据利润=销售量×每千克的利润，得到二次函数，利用二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为（）， 将，代入， 得：， 解得：， 与之间的函数关系式为； （2）解：依题意得：， 整理得：， 即：， 当时利润最大，最大为200元． 答：每天获得最大的利润为200元，销售价应定为每千克30元． 16．某服装店购进一批T恤，每件进价为元，出于营销考虑，每件售价不低于元且不高于元，在销售过程中发现销售量（件）与每件售价（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为时，销售量件；当销售单价为元时，销售量为件． (1)求与的函数关系式； (2)当服装店销售这种恤获得元的利润时，每件恤销售单价是多少元？ (3)设该服装店销售这种恤的利润为元，则该恤销售单价定为多少元时，才能使所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)单价是元 (3)销售单价定为元，最大利润是元 【分析】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用、待定系数法等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题． （1）利用待定系数法即可解决问题； （2）根据题意列出方程求出即可； （3）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：设， 把与代入 得：， 解得：， 则； （2）解：设当服装店销售这种恤获得元的利润时，每件恤的销售单价是元， 根据题意得：， 则， 整理得：， 解得：，， 因为每件售价不低于元且不高于元， 所以， 答：每件恤销售单价是元； （3）解：由题意可得： ， 当时，最大， 因为每件售价不低于元且不高于元， 则当时，（元， 答：该恤销售单价定为元时，才能使所获利润最大，最大利润是元． 17．4月19日，瓦房店市第七届桃花节暨2024年群众文化艺术节在复州城镇盛装启幕，景区售卖一种当地特产，每袋成本为3元，经调查，每天的销售量y（袋）与每袋的售价x（元）之间的函数关系式如图所示． (1)求y与x的函数关系式； (2)设每天的总利润w（元），每袋特产的售价定为多少元时，获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)每袋的售价定为元时获利最大，最大利润是元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出函数解析． （1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据题意得出，根据二次函数的最值，求出结果即可． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为，将，代入，得： ， 解得， 所以y与x的函数关系式为． （2）解：由题意，可知： ∵， ∴该抛物线开口向下， ∴对称轴为直线时，w有最大值，最大值为， 答：每袋的售价定为元时获利最大，最大利润是元． 【考点4经济类-二次函数中的“每每问题”】 18．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于30元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． (1)请直接写出y与x的函数关系式； (2)当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ (3)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)25 (3)该纪念册销售单价定为30元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是200元 【分析】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量每本的利润得出函数关系式是解题关键． （1）设，根据题意，利用待定系数法确定出与的函数关系式即可； （2）根据题意结合销量每本的利润，进而求出答案； （3）根据题意结合销量每本的利润，进而利用二次函数增减性求出答案． 【详解】（1）解：设， 把与代入得：， 解得：， 则； （2）解：设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是元， 根据题意得：， 则， 整理得：， ， 解得：，， ∵， ， 答：每本纪念册的销售单价是25元； （3）解：由题意可得： ， ∵， 当时，最大，（元）， 答：该纪念册销售单价定为30元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是200元． 19．某商场将每件进价为80元的A商品按每件100元出售，一天可售出128件，经过市场调查，发现这种商品的销售单价每降低2元，其日销量可增加16件，设该商品每件降价x元，商场一天可通过A商品获利润y元． (1)求y与x之间的函数解析式（要展开化简，不必写出自变量x的取值范围）． (2)A商品销售单价为多少时，该商场每天通过A商品所获的利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)商品销售单价为98元时，通过商品所获的利润最大，最大利润为2592元 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）商品每件降价元时单价为元，销售量为件，则每件商品的利润为元，再根据总利润等于每件商品的利润乘以销售量列式求解即可； （2）根据（1）所求结合二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，商品每件降价元时单价为元，销售量为件， 则 ， 即与之间的函数解析式是； （2）解：， ∵， 当时，取得最大值，此时， 销售单价为：（元），最大利润为2592元． 答：商品销售单价为98元时，通过商品所获的利润最大．最大利润为2592元． 20．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件 (1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式； (2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当销售单价定为35元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是2250元 【分析】（1）根据销售单价为x元，则上涨元，每件的盈利元，每天可售出件，根据题意，得，解得即可． （2）根据，构造二次函数，根据抛物线的最值，即可求得． 本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，最大利润问题，数形结合思想，熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的最值是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，销售单价为x元，则上涨元，每件的盈利元，每天可售出件， 根据题意，得． 故． （2）由（1）可得 ． ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，w取得最大值，最大值为． 答：当销售单价定为35元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是2250元． 21．某超市销售某种商品，每件商品进价为40元，当每件售价为50元时，每天能售出500件，经市场调查表明：若售价每提高1元，日销售量就要少售出10件． (1)若售价每提高x元，则日销售量为__________件．设每天利润为y元，则y与x的关系式是__________． (2)要使日利润达到8750元，且尽量让消费者得到实惠，求每件售价应定为多少元？ 【答案】(1)； (2)每件售价应定为65元． 【分析】本题考查了二次函数的应用销售问题的数量关系的运用，利润=售价−进价的运用等，解题的关键是： （1）由每天能售出500件，若售价每提高1元，日销售量就要少售出10件，即可推到出答案；由总利润=销售数量×单个利润即可求解； （2）令，代入（1）中函数关系式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得若售价每提高x元，则日销售量为件， 设每天利润为y元，则y与x的关系式是， 故答案为：；； （2）解：令，则， 解得，， ∵尽量让消费者得到实惠， ∴， ∴每件售价应定为元． 22．某超市将成本为30元的台灯以40元售出，平均每月售出600个；为提高利润，商家决定涨价出售，该台灯售价每上涨5元，其月销售量就减少50个． (1)求出月销售量y（个）与售价x（元）之间的关系式． (2)当售价定为何值时，该台灯月销售利润最大，求最大利润． 【答案】(1)； (2)当售价定为65元时，利润最大，最大利润为12250元 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用，根据题意正确列出二次函数解析式是解题的关键． （）根据题意列出函数关系式即可； （）设利润为元，根据题意求出与之间的二次函数关系，再根据二次函数的性质解答即可求解； 【详解】（1）解：由题意可得，， 即； （2）解：设利润为元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，利润最大，最大利润为12250元． 23．某商场销售一批商品，已知进价为每件6元，平时以12元的价格出售，平均每天可售出80件，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每降价1元，商场平均每天可多售出40件． (1)若商场平均每天要盈利280元，每件商品应定价多少元？ (2)若该商场要每天盈利最大，每件商品应定价多少元？盈利最大是多少元？ 【答案】(1)每件商品应定价为7元 (2)每件商品应定价10元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利640元． 【分析】本题是二次函数的应用，属于销售利润问题，明确总利润销售的数量每件的利润，将一元二次方程与二次函数结合，将最大利润问题转化为二次函数的最值问题来求． （1）先设未知数：设每件商品应定价为元，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出40件，根据利润销售的数量每件的盈利，列方程可求得； （2）设利润为元，，化成一般式，配方成顶点式，求最值即可． 【详解】（1）解：设每件商品应定价为元， 根据题意得：， ， ， 或13， 商场决定采取适当的降价措施， ∴每件商品应定价为7元； （2）设每件商品应定价元时，利润为元， ， ， 有最大值， 即当时，有最大值为640元， 答：每件商品应定价10元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利640元． 24．小华以元/千克的价格购进一批小型西瓜，以元/千克的价格出售，每天可售出千克．为了促销，小华决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价元/千克，每天可多售出千克，另外，每天的房租等固定成本共元． (1)小华要想每天盈利元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？ (2)若小华想获得最大利润，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？此时，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)； 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数求最值，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程和函数表达式即可求解． （1）根据等量关系“每天的盈利（售价进价）销售量固定成本”列出方程求解即可； （2）根据等量关系“每天的盈利（售价进价）×销售量固定成本”列出函数表达式并求得最大值． 【详解】（1）解：设每千克小型西瓜的售价降低元， 由题意得：， ， ， ， 解得：或， 为了促销，这种小型西瓜每降价元/千克，每天可多售出千克； ， 所以为了促销应将每千克小型西瓜的售价降价元； （2）解：设应将每千克小型西瓜的售价降低元，每天的盈利为， 由题意得：， ， 当时，取得最大为元； 答：若小华想获得最大利润，应将每千克小型西瓜的售价降低元；此时，最大利润是元． 25．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价增加元（x为整数）． (1)直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式； (2)某日，宾馆了解当天的住宿的情况，发现当日所获利润为8000元，每个房间刚好住满2人，且当天房间支出不少于500元，问这天宾馆入住的游客有多少人？ (3)设宾馆每天的利润为w元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)（且为整数） (2)这天宾馆入住的游客有人． (3)当每间房间定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润为9000元． 【分析】 本题考查的是列一次函数关系式，一元二次方程的应用，二次函数的应用，理解题意，建立正确的函数关系式是解本题的关键． （1）根据每天游客居住的房间数量等于减少的房间数即可解决问题； （2）由每间房的利润乘以租房的数量联立一元二次方程，再解方程并检验即可； （3）每间房的利润乘以租房的数量构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题． 【详解】（1）解：（且为整数） （2）设每个房间房价增加元，根据题意，得：， 化简，得； 解得：． ∵， 解得：， ∴这天宾馆入住的游客有人． 答：这天宾馆入住的游客有人． （3）设每天所获利润为元，根据题意可知，． ∵二次项系数， ∴当时，取得最大值，即． 此时每间房间定价为（元）． 答：当每间房间定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润为9000元． 【考点5面积类】 26．为提高学生的综合素质，丰富学生的校园生活，某学校的师生们要在一块一边高墙（墙长15米）的空地上修建一个矩形劳动教育基地，劳动教育基地的一边靠墙，另三边用总长40米的栅栏围成（如图所示）．若设劳动教育基地的边长为x米，面积为y平方米． (1)判断该劳动教育基地的面积能否达到150平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． (2)当x是多少时，劳动教育基地面积y最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)能， (2)当是15时，劳动教育基地面积最大，最大面积是平方米 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意利用墙长20米判定是否符合题意． （1）根据为x米，得到米，再结合长方形的面积列方程，即可解答； （3）利用面积计算方法列出二次函数，用配方法求最大值解答问题． 【详解】（1）解：由题意可知为米，则米， ∵矩形的面积， ∴， 整理得， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴当时，劳动教育基地面积能达到150平方米； （2）解：由（1）可知 ，， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，取最大值，最大值为， 答：当是15时，劳动教育基地面积最大，最大面积是平方米． 27．如图，某单位拟在一块空地上修建矩形植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过米，另外三边由米长的栅栏围成，设矩形中，垂直于墙的边米，面积为y平方米． (1)若矩形的面积为平方米，求x的值； (2)当矩形的面积最大时，利用的墙长是多少米？并求此时的最大面积． 【答案】(1) (2)当矩形的面积最大时，利用的墙长是米，求此时的最大面积为平方米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的最值等知识．熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的最值是解题的关键． （1）由题意知，且，可求，依题意得，，令，则，计算求出满足要求的解即可； （2）由题意知，，由，对称轴为直线，可知当时，矩形的面积最大，然后求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，且， ∴， 依题意得，， 令，则，整理得，， 解得，（舍去）或， ∴x的值为； （2）解：由题意知，， ∵，对称轴为直线， ∴当时，矩形的面积最大，可利用的墙长是（米），此时的最大面积为（平方米）， ∴当矩形的面积最大时，利用的墙长是米，求此时的最大面积为平方米． 28．如图，利用一面墙（墙最长可利用24米），围成一个矩形苗圃园，与围墙平行的一边上要预留3米宽的入口（如图所示，不用砌墙），用46米长的墙的材料做围墙，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米． (1)若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x的函数表达式及其自变量x的取值范围； (2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值. 【答案】(1) (2)垂直于墙的一边的长为米时，这个苗圃园的面积最大，最大值为300平方米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用等知识点，正确求得函数解析式成为解题的关键． （1）根据题意和图像可以写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围即可； （2）根据题意可以列出面积与x之间的函数关系式，再根据第一问的到x的取值范围以及函数增减性即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∵， 解得：， 即y与x的函数关系式是． （2）解：设苗圃的面积为S平方米，则： ， ∵，对称轴为直线， ∴在时，S随x的增大而减小， ∴当时，S取得最大值，此时，即垂直于墙的一边的长为米时，这个苗圃园的面积最大，最大值为300平方米． 29．如图，利用一面墙墙的长度为，用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为米．    (1)若两个鸡场的面积和为S，求S关于的关系式并写出的取值范围； (2)两个鸡场面积和S有最大值吗？若有，最大值是多少？ 【答案】(1)， (2)两个鸡场面积和有最大值，最大值是 【分析】本题考查二次函数的应用，解一元一次不等式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）根据题意和图形可以求得关于的关系式，再由的取值范围可得出的取值范围； （2）将关于的关系化为顶点式，即可解答本题． 【详解】（1）解：由题意可得，，即， ∴， 即关于的关系式是， 又由题意可得：，即， 解得：， 即的取值范围为：； （2）解：， 当时，取得最大值，此时， 即两个鸡场面积和有最大值，最大值是． 30．如图，，是边上的高，．P，N分别是边上的点，Q，M是上的点，连接，，交与E．求： (1)若四边形是正方形，求的长（图一）； (2)若四边形是矩形，且．求的长（图二）； (3)若四边形是矩形，求当矩形面积最大时，求最大面积和的长． 【答案】(1)的长为 (2)， (3)当，时，矩形的面积最大，最大面积为 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、正方形的性质、二次函数的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设正方形的边长为，由正方形的性质得出，推出，再由相似三角形的性质计算即可得出答案； （2）设，则，由矩形的性质得出，推出，再由相似三角形的性质计算即可得出答案； （3）证明，四边形是矩形，得出，，设，矩形的面积为，则，，表示出，根据二次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：设正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴正方形的边长为， ∴的长为； （2）解：∵， ∴设，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴，； （3）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴，， 设，矩形的面积为，则，， ∴，， ∴， ∴当时，的最大值为，此时，， ∴当，时，矩形的面积最大，最大面积为． 31．如图，在一个矩形空地上修建一个矩形花坛，要求点在上，点在上，点在对角线上．若，，设的长为，矩形的面积为． (1)求S与x的函数关系式； (2)当x为何值时，S有最大值？请求出最大值． 【答案】(1) (2)当的长为3米时，矩形的面积最大；最大面积为． 【分析】本题考查的是根据实际问题选择函数模型的问题，相似三角形的判定和性质． （1）根据实际问题：由的长为米，利用相似关系即可转化出边长，从而建立函数解析式，要注意自变量的取值范围． （2）利用（1）的结论，配方即可求解． 【详解】（1） 解：四边形是矩形， ， ， ， ． ，， ， ， ； （2） 解：， 又， 有最大值． 当时，的最大值为6． 答：当的长为3米时，矩形的面积最大；最大面积为． 32．如图①，是一块锐角三角形材料，边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个定点分别在，上，这个正方形零件的边长是多少？ （1）解这个题目，求出这个正方形零件的边长是多少？ 变式训练： （2）如果要加工成一个矩形零件，如图②，这样，此矩形零件的两边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长是多少？ （3）如图③，在中，，正方形的边长是8，且四个顶点都在的各边上，．求的值． 【答案】（1）；（2）当，时，此时矩形面积最大．（3） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质： （1）设正方形零件的边长为，根据，可得，即可求解； （2）设，根据，可得，从而得到，即可求解； （3）根据，可得，从而得到，再由，即可求解． 【详解】解：（1）四边形为正方形， ， ， 设正方形零件的边长为 ，则 ，，， ， 即， 解得， 故这个正方形零件的边长是． （2）设 ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， 矩形面积， 时，此时矩形面积最大． 即当，时，此时矩形面积最大． （3）四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【考点6拱桥类】 33．如图1是某地公园的一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，得到函数，在正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽 米．    【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，根据正常水位时水面宽米，求出当时，再根据水位上升5米时，代入解析式求出x即可． 【详解】解：∵米， ∴当时，， 当水位上升5米时，， 把代入得，， 解得， 此时水面宽米， 故答案为：． 34．如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分和矩形的三边，，组成，已知河底是水平的，，，抛物线的顶点C 到的距离是， 以所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系． (1)根据题意，填空： ①顶点C 的坐标为 ； ②点B 的坐标为 (2)求抛物线的解析式． (3)已知从某时刻开始的内，水面与河底的距离l(单位：m) 随时间t(单位：h)的变化满足函数关系，且当点C到水面的距离不大于时，需禁止船只通行，请通过计算说明，在这一时段内，有多少小时禁止船只通行？ 【答案】(1)①；②； (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，构建二次函数模型解决实际问题是解题的关键． （1）求出、、的长即可解决问题． （2）根据抛物线特点设出二次函数解析式，把坐标代入即可求解； （3）水面到顶点的距离不大于米时，即水面与河底的距离至多为，把代入所给二次函数关系式，求得的值，相减即可得到禁止船只通行的时间． 【详解】（1）解：由题意知，，，， ∴，， 故答案为：和； （2）解：由（1）知，，， 设抛物线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （3）解：水面到顶点的距离不大于米时，即水面与河底的距离至多为(米) ，， ， ∴， 解得：，， (小时)， ∴需小时禁止船只通行． 35．如图所示，一拱桥的截面呈抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是，拱桥的跨度为，拱桥与水面的最大距离是，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面景观灯． (1)求抛物线的解析式； (2)求两盏景观灯之间的水平距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查抛物线的应用，分析题意，建立合适的平面直角坐标系，解决问题． （1）由图形可知这是一条抛物线，根据图形也可以知道抛物线的顶点坐标为，与轴交点坐标是，设出抛物线的解析式将两点代入可得抛物线方程； （2）第二题中要求灯的距离，只需要把纵坐标为代入，求出，然后两者相减，就是他们的距离． 【详解】（1）解：根据题意首先建立坐标系，如图所示： 抛物线的顶点坐标为，与轴交点坐标是， 设抛物线的解析式是， 把代入， 得， ； （2）解：由已知得两景观灯的纵坐标都是， ， ， ，． 两景观灯间的距离为． 36．图1是山西晋城丹河大桥，位处太行山脉南端，桥梁栏杆上有多幅与历史文化有关的石雕图画，体现了现代与传统文明的完美结合．丹河大桥拱桥桥洞的形状呈抛物线形，现以水面为x轴，拱桥左侧与水面的交点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，已知水面的宽度为米，拱桥离水面的最大高度为米． (1)求该抛物线的表达式； (2)若要在桥洞两侧壁上距离水面米的点B和点C处各安一盏景观灯，求两盏景观灯之间的水平距离． 【答案】(1) (2)两盏景观灯之间的水平距离为米 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的解析式．熟练掌握二次函数的应用，二次函数的解析式是解题的关键． （1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，设该抛物线的表达式为，然后将原点代入，计算求解，然后作答即可； （2）令，则，计算求解，可求坐标，进而可求的长． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为． 设该抛物线的表达式为． 抛物线经过原点， ， 解得， 该抛物线的表达式为； （2）解：令，则． 解得，． ∴，． ∴； 答：两盏景观灯之间的水平距离为米． 37．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的．正常水位时，大孔水面宽度为，大孔顶点P距水面（即），小孔水面宽度为，小孔顶点Q距水面（即），建立如图所示的平面直角坐标系．    (1)求大孔抛物线的解析式； (2)现有一艘船高度是，宽度是，这艘船在正常水位时能否安全通过拱桥大孔？并说明理由． (3)当水位上涨时，求小孔的水面宽度． 【答案】(1) (2)这艘船在正常水位时能安全通过拱桥大孔，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）设大孔抛物线的解析式为，把代入解析式中求解即可； （2）在中，求出当时y的值即可得到结论； （3）先求出小孔抛物线的解析式，进而求出当时，x的值即可得到答案． 【详解】（1）解；设大孔抛物线的解析式为， 由题意得，， 把代入中得：， 解得， ∴大孔抛物线的解析式为； （2）解：这艘船在正常水位时能安全通过拱桥大孔，理由如下： 在中，当时，解得， ∵， ∴这艘船在正常水位时能安全通过拱桥大孔； （3）解：设右边小孔抛物线解析式为， 由题意得，， 把代入中得， 解得， ∴右边小孔抛物线解析式为， 在中，当时， 解得或， ∴， ∴小孔的水面宽度为． 38．河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽为6米时，水面离桥孔顶部4米．如图1，桥孔与水面交于A、B两点，以点A为坐标原点，所在水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)请求出此抛物线对应的二次函数表达式； (2)因降暴雨水位上升米，一艘装满货物的小船，露出水面部分的高为，宽为（横截面如图2），暴雨后，这艘小船能从这座石拱桥下通过吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数的应用、二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点A的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）根据二次函数图象上点的坐标特征结合水高求出可通过船的最高高度（宽度固定）． （1）根据点A的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）代入求出x值，再求出可通过船的最大宽度，将其与比较后即可得出结论． 【详解】（1） 解：由题意可知，该抛物线顶点坐标为 设抛物线函数关系式为， 把代入，得， ， ∴这个二次函数的表达式为； （2） 水位上升后船顶部距原来水面高： 把代入得， ， ， ∴此时对应的桥孔宽度为． ， ∴暴雨后这艘船不能从这座拱桥下通过． 39．如图是一座拱桥，图2是以左侧桥墩与水面接触点为原点建立的平面直角坐标系，其抛物线形桥拱的示意图，经测量得水面宽度，拱顶到水面的距离为． (1)求这条抛物线的表达式； (2)为迎接新年，管理部门在桥下悬挂了3个长为的灯笼，中间的灯笼正好悬挂在处，两边灯笼与最中间灯笼的水平距离为，为了安全，要求灯笼的最低处到水面的距离不得小于．根据气象局预报，过年期间将会有一定量的降雨，桥下水面会上升，请通过计算说明，现在的悬挂方式是否安全． 【答案】(1) (2)安全，说明见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，涉及待定系数法确定函数关系式、利用二次函数图像与性质解决实际问题等知识，读懂题意，将实际问题转化为数学知识是解决问题的关键． （1）根据题意设该抛物线的表达式为，利用待定系数法，把代入表达式解方程即可确定函数关系式； （2）根据题意得到左侧最低点横坐标为，将其代入表达式解得左侧最低点的纵坐标为1.8，进而由题中限制条件判断即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意知，顶点，设该抛物线的表达式为， 把代入表达式得，解得， ∴这条抛物线的表达式为； （2）解：∵中间的灯笼正好悬挂在A处，两边灯笼与最中间灯笼的水平距离为， ∴左侧最低点横坐标为， 由（1）知抛物线的表达式为， ∴当时，， ∴左侧最低点的纵坐标为1.8， ∵灯笼长为， ∴最低点到水面的距离为， ∵降水水面会上升， ， ∴最低点距水面， ∴现在的悬挂方式安全． 40．如图，某市新建的一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽． (1)按如图所示的直角坐标系，此抛物线的函数表达式为 ． (2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，当水位达到处时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变继续向此桥行驶时，它能否安全通过此桥？ 【答案】(1) (2)该船的速度不变继续向此桥行驶时，它能安全通过此桥 【分析】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式，行程问题的数量关系，求出函数的解析式是解题的关键． （1）以拱桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数据设函数解析式为，由待定系数法求出其解即可； （2）计算出船行驶到桥下的时间，由这个时间计算水位上升的高度，从而得出此时水面宽度，再比较就可以求出结论． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，桥拱最高点到水面的距离为米． 则，， ， 解得， 抛物线的解析式为， 故答案为； （2）解：由题意得： 船行驶到桥下的时间为：小时， 水位上升的高度为：米． 设此时水面宽为， 由（1）知：， 纵坐标为：， 把代入， 得， 解得：，， ， ， 该船的速度不变继续向此桥行驶时，它能安全通过此桥． 41．如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽．      (1)按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨．为保证安全，当水位达到距拱桥最高点时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 【答案】(1) (2)如果该船的速度不变，那么它不能安全通过此桥 【分析】（1）根据题意可得，然后利用待定系数法求解即可； （2）先求出船到达桥下水面的高度，再求出抛物线顶点坐标，进而得到船到达桥下时水面距离最高点的高度，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 设抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：船行驶到桥下的时间为：小时， 水位上升的高度为：． ∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ∴当船到达桥下时，此时水面距离拱桥最高点的距离为， ∴如果该船的速度不变，那么它不能安全通过此桥． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$