第二章讲义——二次函数2024-2025学年北师大版数学九年级下册

二次函数 知识点01 二次函数的概念与图像 1．概念：一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成的形式，则称y是x的二次函数，其中x是自变量。 2．二次函数的表达形式： （1）①．一般式的定义：在二次函数中，将 叫做二次函数的一般形式，其中分别是二次项，一次项和常数项，a是二次项系数，b是一次项的系数。 ②．一般式的图像： 二次函数 大致图像 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 当x<0时，y的值随x值的增大而减小；当x>0时，y的值随x值的增大而增大 当x<0时，y的值随x值的增大而增大；当x>0时，y的值随x值的增大而减小 最值 当x=0时，y有最小值0 当x=0时，y有最大值0 对称性 二次函数 大致图像 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 当x<0时，y的值随x值的增大而减小；当x>0时，y的值随x值的增大而增大 当x<0时，y的值随x值的增大而增大；当x>0时，y的值随x值的增大而减小 最值 （2） ①.顶点式的定义：在二次函数中，将 (a，h，k为常数，a≠0) 叫做二次函数的顶点形式，其中h为函数的对称轴，（h，k）为函数的顶点。 ②．顶点式的图像： 大致图像 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 当x<h时，y的值随x值的增大而减小；当x>h时，y的值随x值的增大而增大 当x<h时，y的值随x值的增大而增大；当x>h时，y的值随x值的增大而减小 最值 当x=h时，y有最小值k 当x=h时，y有最大值k ③．一般式与顶点式的转换： 二次函数y=ax2+bx+c可以通过配方转化为y=a(x-h)²+k的形式： 所以二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条抛物线，它的顶点坐标为，对称轴是直线 二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 【知识拓展1】根据二次函数的概念求参数 1. 若抛物线是关于x的二次函数，那么m的值是______。 2. 若是二次函数，则a的取值范围是________。 3.如果函数是二次函数，则的取值范围是_____________。 【知识拓展2】根据二次函数的图像性质求参数 1. 已知二次函数，当时，y随x增大而减小，则实数a的取值范围是________。 2.已知二次函数y=(m+2)，当时，y随x的增大而增大，则m的值为___________。 3.次函数的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（  ） A．开口向上 B．当时，函数的最大值是 C．对称轴是直线 D．抛物线与x轴有两个交点 4.画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列表如下： x …… 1 2 3 4 5 …… y …… 0 1 0 ﹣3 ﹣8 …… 关于此函数有下列说法：①函数图象开口向上；②当x＞2时，y随x的增大而减小；③当x＝0时，y＝﹣3；其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5.如图，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象，得出了下面四条信息： ①c＞0；②b2﹣4ac＞0；③a＋b＋c＜0；④对于图象上的两点（﹣5，m）、（1，n），有m＜n． 其中正确信息的个数有（    ） （3）交点式——在二次函数中，将 (，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0) 叫做二次函数的交点形式，其中（，0）(，0）为函数与x轴的交点坐标。 （4）二次函数图象特征与系数之间的关系 ①．二次函数的图象是一条抛物线。当＞0时，抛物线开口向上；当＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛物线的开口越小；||越小，抛物线的开口越大。 ②． 字母 字母符号 图象特征 a a>0 开口向上 a<0 开口向下 b b=0 对称轴为y轴（或直线x=0） ab>0(a,b同号) 对称轴在y轴左侧 ab<0(a,b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象经过原点 c>0 与y轴正半轴相关 c<0 与y轴负半轴相关 综上所述，在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式—— ①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为； ②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴与最大值、最小值时 ．可设函数的解析式为； ③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为． 【知识拓展1】根据已知条件求解二次函数 1.一个二次函数，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，则这个二次函数的关系式是_______________。 2.二次函数，（，，，为常数）的部分对应值列表如下： … 0 1 … … 1 … 则代数式的值为_______。 3.已知抛物线经过点，并且当时，y有最大值为5，求抛物线的函数关系式。 4.如图，抛物线与轴交于、两点，顶点坐标，直线与抛物线交于点，．    (1)分别求出抛物线的解析式和直线的解析式； (2)根据图象，直接写出的解集． 【知识拓展2】根据二次函数性质比较大小 1.已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 2.已知点都在二次函数的图像上，若，则下列关于，，三者的大小关系判断一定正确的是（    ） A．可能最大，不可能最小 B．可能最大，也可能最小 C．可能最大，不可能最小 D．不可能最大，可能最小 3.已知二次函数的图象过两点，下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【知识拓展3】根据二次函数性质求值或取值范围 1.在函数①；②；③中，图象开口大小按题号顺序表示为（    ） A．①②③ B．①③② C．②③① D．②①③ 2.已知抛物线的顶点的横坐标是2，则的值是________． 3.二次函数有最小值，则 的值为（   ） A． B． C． D． 3.抛物线的顶点落在一次函数的图象上，则b的最小值为__________． 4.已知函数（b为常数）的图象经过点．当时，若y的最大值与最小值之和为2，则m的值为___________。 5.在平面直角坐标系中，设二次函数，（a，b；是实数，）的最小值分别为m和n，若，则的值为(   ) A．0 B． C． D． 6.若二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为 ___________． 7.已知二次函数y=x2-4x+1．若时，该二次函数的最小值为，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8.二次函数的图象经过点,，在范围内有最大值为4，最小值为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9.如果二次函数的最小值是正数，则的取值范围是______． 10.已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝x2＋bx＋c的图象上，当＝1，＝3时，．若对于任意实数x1、x2都有≥2，则c的范围是（    ） A．c≥5 B．c≥6 C．c＜5或c＞6 D．5＜c＜6 11．如图，抛物线的图象过点和，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【知识拓展4】根据二次函数性质求最值 1.二次函数，当时，的最大值为（     ） A． B． C． D． 2.已知二次函数，当时，函数有最大值，则________． 3.若二次函数自变量满足，则函数的最小值是 _____． 4.已知点在二次函数的图象上，则的最大值等于________． 5.已知二次函数，当时，其最小值为，最大值为3，则的最大值是 ___________． 【知识拓展5】二次函数与一次函数 1.已知抛物线和直线分别交于A点和B点，则抛物线的图象可能是（    ） A．   B． C．  D．  2.已知一次函数（为常数）的图象如图所示，则函数的图象是（    ） A． B． C． D． 3. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（    ） A．  B．  C．D．   知识点02 二次函数图像的平移与对称 1.二次函数平移的规律：对于函数的一般形式，平移规律可总结为 “左加右减，上加下减”。 即—y=ax2+bx+c沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，y=ax2+bx+c变成y=ax2+bx+c+m（或y=ax2+bx+c-m） ⑵y=ax2+bx+c沿x轴平移：向左（右）平移m个单位，y=ax2+bx+c变成y=a(x+m)2+b(x+m)+c（或y=a(x-m)2+b(x-m)+c） 2.二次函数的对称： （1）关于x轴对称，x不变，y互为相反数，则：y=ax2+bx+c 关于x对称的解析式为y’=-ax2-bx-c 。 （2）关于y轴对称，y不变，x互为相反数，则：y=ax2+bx+c 关于y对称的解析式为y’=ax2-bx+c 。 （3）关于原点对称，x.y都互为相反数，则：y=ax2+bx+c 关于原点对称的解析式为y’=-ax2+bx-c 。 【知识拓展1】二次函数的平移与对称计算 1.把抛物线向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线，则、的值分别为（　　） 2. 将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移一个单位，得到对应函数图象的解析式为__________． 3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移后得到抛物线，则抛物线的表达式为_____________________。 4.在平面直角坐标系中，将抛物线绕原点旋转后得到抛物线，在抛物线上，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.先将抛物线关于x轴作轴对称变换，所得的新抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 6.将二次函数的图象沿直线翻折，所得图象的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【知识拓展2】利用二次函数的对称轴、最值求参数 1. 已知二次函数，当时，函数的最大值为，则m的值是______． 2.已知抛物线的顶点的横坐标是2，则的值是________． 3.若抛物线 的顶点在 轴上，则 ____． 4.抛物线的顶点落在一次函数的图象上，则b的最小值为__________． A．4 B．5 C．6 D．7 知识点03 二次函数的应用 解题步骤：(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量 (2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确 (3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式 (4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题 (5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案 (6)写出答案 【知识拓展1】二次函数求最值 1.有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为的篱笆围成．已知墙长为若平行于墙的一边长不小于则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别____________。 2.已知，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，矩形PQNM的四个．顶点分别在菱形的四边上，则矩形PMNQ的最大面积为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 3.如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2m时，水面宽度为4m．那么水位下降1m时，水面的宽度为（       ） A． B． C． D． 4.如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=3m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m，P距抛物线对称轴1m，则为使水不落到池外，水池半径最小为_________。 5.板球是以击球、投球和接球为主的运动，该项目主要锻炼手眼的协调能力，集上肢动作控制能力、技巧与力量为一体的综合性运动．如图，是运动员击球过程中板球运动的轨迹示意图，板球在点A处击出，落地前的点B处被对方接住，已知板球经过的路线是抛物线，其表达式为y＝-x2＋x＋1，则板球运行中离地面的最大高度为_________。 6.某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同。如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C、D为水柱的落水点，水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为． (1)求落水点C、D之间的距离； (2)若需在OD上离O点10米的E处竖立雕塑EF，，且雕塑的顶部刚好碰到水柱，求雕塑EF的高． 知识点04 二次函数与二元一次方程 1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况：求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题： 判别式 二次函数 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 2. 抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式：当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，。 ∴ 即 （△＞0） 【知识拓展1】根据二次函数与方程性质求值或求取值范围 1.已知抛物线与坐标轴有三个交点，则k的取值范围（    ） A． B． C．且 D．且 2.若关于x的函数y=（a+2）x2﹣（2a﹣1）x+a﹣2的图象与坐标轴有两个交点，则a的值为 ． 3.已知抛物线y=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1与x轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，并且抛物线与y轴的交点在点（0，）的下方，那么m的取值范围是（　　） 4.在平面直角坐标系中，已知点P，Q的坐标分别为，，抛物线也在该平面直角坐标系中．若抛物线与线段有两个不同的交点，则a的取值范围是 ． 5．已知二次函数（m为常数）． (1)求证：不论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点． (2)求证：不论m为何值，该二次函数的图象的顶点都在函数的图象上． (3)已知点，线段AB与函数的图象有公共点，则a的取值范围是　 　． 【知识拓展2】二次函数交点的大小比较 1.已知抛物线，抛物线与轴交于，两点，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2.抛物线与x轴交于，两点，将此抛物线向上平移，所得抛物线与x轴交于，两点，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3.已知抛物线的图象与x轴的两交点的横坐标分别、，而的两根为、，则、β、M、N的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，抛物线与x轴交于C、D两点，其中．若，则n的值为______． 【知识拓展3】利用函数图像求解不等式 1.如图，抛物线与直线交于A、B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（    ） A．的解集是 B．的解集是 C．的解集是 D．的解是或 2.定义为，，中的最小值，例如：，．如果，那么的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 3.我们规定：形如的函数叫作“型”函数．如图是“型”函数的图象，根据图象，以下结论： ①图象关于轴对称； ②不等式的解集是或； ③方程有两个实数解时．正确的是（    ） A．①②． B．②③． C．①③． D．①②③． 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $$