专题13 空间向量与立体几何（知识串讲+热考题型+真题训练）-备考2025年高考数学一轮复习高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

专题13 空间向量与立体几何 【考点1 用基向量表示指定向量的方法】 【考点2 三点共线和空间四点共面的问题】 【考点3 空间向量数量积的应用】 【考点4 利用空间向量证明空间线面位置关系】 【考点5 用向量法求异面直线所成角】 【考点6 用向量法求解直线与平面所成角】 【考点7 利用向量法解二面角问题】 【考点8 利用空间向量求空间距离】 知识点1：空间向量的线性运算及有关定理 1、空间向量的有关概念 （1）空间向量：在空间中，具有大小和方向的量； （2）相等向量：方向相同且模相等的向量； （3）相反向量：方向相反且模相等的向量； （4）共线向量(或平行向量)：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量； （5）共面向量：平行于同一个平面的向量 2、空间向量的线性运算 （1）空间向量的加减法 空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法（如下图）． 空间向量加减法的运算律：交换律；结合律． （2）空间向量的数乘：实数与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算． 当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，． 的长度是的长度的倍． 空间向量数乘的运算律：分配律；结合律． 3、空间向量的有关定理 （1）共线向量定理：对空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使得. （2）共面向量定理：如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使. （3）空间向量基本定理：如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}，使得，其中，叫做空间的一个基底． 知识点2：两个向量的数量积及其运算 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角）范围： 2、空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 3、向量的投影 3.1．如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． 3.2．如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 4、数量积的运算： （1），. （2）(交换律)． （3）(分配律). 5、空间向量数量积的坐标表示及其应用 设，， 向量表示 坐标表示 数量积 共线 ，， 垂直 模 夹角 知识点3：空间中的平行与垂直的向量表示 1、直线的方向向量和平面的法向量 （1）直线的方向向量：如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量为直线l的方向向量． （2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量，则向量叫做平面α的法向量． 2、空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为， 直线l的方向向量为，平面α的法向量为 平面α，β的法向量分别为， 知识点4：用向量法求空间角 1、用向量运算求两条直线所成角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则 ① ② 2、用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 3、用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； 知识点5：点到线面距离 1、点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 2、点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 3、线面距和面面距 线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． （1）直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． （2）两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。 【考点1 用基向量表示指定向量的方法】 【典例1】如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在四面体中，，点为的中点，，则（    ）    A． B． C． D． 【变式1-2】如图，、分别是四面体的边、的中点，是靠近的三等分点.若向量，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在四面体中，，，，D为BC的中点，E为AD的中点，则可用向量，，表示为（    ） A． B． C． D． 【考点2 三点共线和空间四点共面的问题】 【典例2】已知，，不共面，若，，且三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2-1】如图，在正三棱锥D-ABC中，，，O为底面ABC的中心，点P在线段DO上，且，若平面PBC，则实数（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知空间向量，若共面，则实数 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-3】如图四棱锥，且，平面平面，且是以为直角的等腰直角三角形，其中为棱的中点，点在棱上，且.求证：四点共面. 【变式2-4】在四棱柱中，，．    (1)当时，试用表示； (2)证明：四点共面； 【考点3 空间向量数量积的应用】 【典例3】如图，在三棱锥P-ABC中，，，，点D，E，F满足，，，则直线CE与DF所成的角为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】空间向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为棱的中点，且，则（    ）    A．6 B．8 C．9 D．10 【变式3-3】如图所示的四棱锥中，底面为正方形，且各棱长均相等，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式3-4】如图，在所有棱长均为的平行六面体中，为与交点，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【考点4 利用空间向量证明空间线面位置关系】 【典例4】如图，在多面体中，都是等边三角形，平面为的中点. (1)证明：； (2)求与平面所成角的正弦值. 【变式4-1】如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点.    (1)证明：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由. 【变式4-2】如图，在正方体，中，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点． (1)证明：∥平面； (2)证明： 【变式4-3】已知四棱锥的底面是边长为4的菱形，，，，是线段上的点，且．    (1)证明：平面； (2)点在直线上，求与平面所成角的最大值． 【变式4-4】如图所示，内接于圆，为圆的直径，，，，且平面，为的中点． (1)求证：平面平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的夹角的余弦值为，若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【考点5 用向量法求异面直线所成角】 【典例5】如图所示，设有底面半径为的圆锥．已知圆锥的侧面积为，为中点，． (1)求圆锥的体积； (2)求异面直线与所成角． 【变式5-1】如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长均相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【考点6 用向量法求解直线与平面所成角】 【典例6】如图，边长为4的两个正三角形，所在平面互相垂直，，分别为，的中点，点在棱上，，直线与平面相交于点. (1)证明：； (2)求直线与平面的距离. 【变式6-1】如图，直四棱柱各棱长均为2，，O是线段BD的中点． (1)求点O到平面的距离； (2)求直线AB与平面所成角的正弦值． 【变式6-2】如图，在四棱锥中，平面，且 ．    (1)求点到平面PBC的距离； (2)求直线CM与平面PBC所成角的正弦值. 【考点7 利用向量法解二面角问题】 【典例7】在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点， (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【变式7-1】四棱锥中，，，，且，，，． (1)求证：平面ABCD； (2)若直线PC与平面ABCD所成的角为，求平面PAB与平面PDC所成的锐二面角的余弦值． 【变式7-2】在三棱柱中，，，，分别为，的中点，． (1)求证：； (2)若，求二面角的正弦值． 【变式7-3】如图，在四棱台中，底面四边形ABCD为菱形，平面ABCD.    (1)证明：； (2)若M是棱BC上的点，且满足，求二面角的余弦值. 【变式7-4】如图，多面体中，已知面是边长为4的正方形，是等边三角形，，，平面平面． (1)求证：； (2)求二面角的大小． 【考点8 利用空间向量求空间距离】 【典例8】如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，，点是线段的中点    (1)证明：平面； (2)若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离. 【变式8-1】如图，在三棱锥中，两两互相垂直，分别是的中点. (1)证明：； (2)设和平面所成的角为，求点到平面的距离. 【变式8-2】如图，在多面体中，底面为菱形，，平面，平面，.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正切值； (3)求点C到平面的距离. 一、单选题 1．设，且，则（ ） A． B．0 C．3 D． 2．已知正方体中，E为中点，则异面直线与 所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（    ）   A．三棱锥的体积是定值 B．存在点P，使得与所成的角为 C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D．若，则P的轨迹的长度为 三、解答题 5．如图，在三棱锥中，，.    (1)证明：平面； (2)若是棱上一点且，求二面角的大小. 6．如图，在四棱锥中，直线平面PCD，，，，平面平面ABCD，F为线段BC的中点，E为线段PF上一点． (1)证明：； (2)证明：； (3)当EF为何值时，直线BE与平面PAD夹角的正弦值为． 7．如图，在四面体ABCD中，，，E，F分别为AB，AC的中点. (1)证明：平面平面BCD； (2)求点A到平面BDF的距离. 8．如图，在直角梯形中，，把梯形ABCD绕AB旋转至分别为中点.    (1)证明:平面； (2)若，求点到平面的距离. 9．如图，在四棱锥中，已知棱两两垂直，长度分别为1，2，2，若，且向量与夹角的余弦值为. (1)求实数值； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 10．如图， 在三棱锥 中， 的中点分别为 ，点在上，. (1)证明: 平面； (2)证明: 平面； (3)求二面角的余弦值. 11．如图，在多面体ABCDE中，平面ACD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，△ABC和△ACD均为正三角形，，，点F在棱AC上. (1)若BF∥平面CDE，求CF的长； (2)若F是棱AC的中点，求二面角的正弦值. 12．如图，已知多面体的底面ABCD是菱形，侧棱底面，且．    (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 13．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，E为线段的中点，． (1)求证：； (2)求点E到平面的距离． 14．由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台中，分别为的中点，，侧面与底面所成角为.    (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由. 15．如图，四棱锥的底面是正方形，平面，点是的中点，是线段上靠近的三等分点，. (1)求证： 平面； (2)求点到平面的距离. 16．如图所示，为矩形，为梯形，平面平面， . (1)若点为的中点，证明:平面； (2)求异面直线与所成角的大小. 17．如图，四棱锥中，底面，，分别为线段上一点，. (1)若为的中点，证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 空间向量与立体几何 【考点1 用基向量表示指定向量的方法】 【考点2 三点共线和空间四点共面的问题】 【考点3 空间向量数量积的应用】 【考点4 利用空间向量证明空间线面位置关系】 【考点5 用向量法求异面直线所成角】 【考点6 用向量法求解直线与平面所成角】 【考点7 利用向量法解二面角问题】 【考点8 利用空间向量求空间距离】 知识点1：空间向量的线性运算及有关定理 1、空间向量的有关概念 （1）空间向量：在空间中，具有大小和方向的量； （2）相等向量：方向相同且模相等的向量； （3）相反向量：方向相反且模相等的向量； （4）共线向量(或平行向量)：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量； （5）共面向量：平行于同一个平面的向量 2、空间向量的线性运算 （1）空间向量的加减法 空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法（如下图）． 空间向量加减法的运算律：交换律；结合律． （2）空间向量的数乘：实数与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算． 当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，． 的长度是的长度的倍． 空间向量数乘的运算律：分配律；结合律． 3、空间向量的有关定理 （1）共线向量定理：对空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使得. （2）共面向量定理：如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使. （3）空间向量基本定理：如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}，使得，其中，叫做空间的一个基底． 知识点2：两个向量的数量积及其运算 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角）范围： 2、空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 3、向量的投影 3.1．如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． 3.2．如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 4、数量积的运算： （1），. （2）(交换律)． （3）(分配律). 5、空间向量数量积的坐标表示及其应用 设，， 向量表示 坐标表示 数量积 共线 ，， 垂直 模 夹角 知识点3：空间中的平行与垂直的向量表示 1、直线的方向向量和平面的法向量 （1）直线的方向向量：如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量为直线l的方向向量． （2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量，则向量叫做平面α的法向量． 2、空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为， 直线l的方向向量为，平面α的法向量为 平面α，β的法向量分别为， 知识点4：用向量法求空间角 1、用向量运算求两条直线所成角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则 ① ② 2、用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 3、用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； 知识点5：点到线面距离 1、点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 2、点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 3、线面距和面面距 线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． （1）直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． （2）两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。 【考点1 用基向量表示指定向量的方法】 【典例1】如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算即可得到答案. 【详解】因为为与的交点， 所以 . 故选：D. 【变式1-1】如图，在四面体中，，点为的中点，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】综合应用空间向量的线性运算即可解决. 【详解】因为，所以 故 . 故选：B. 【变式1-2】如图，、分别是四面体的边、的中点，是靠近的三等分点.若向量，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的加法和减法可得出在基底下的表达式. 【详解】因为是靠近的三等分点，则， 所以，，所以，，则， 因为为的中点，则， 因为为的中点，则， 因此，. 故选：A. 【变式1-3】如图，在四面体中，，，，D为BC的中点，E为AD的中点，则可用向量，，表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的基本定理，用，，表示向量． 【详解】因为是的中点，是的中点， ，． 故选：B 【考点2 三点共线和空间四点共面的问题】 【典例2】已知，，不共面，若，，且三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据向量共线设，从而得到方程组，求出，得到答案. 【详解】因为三点共线，所以， 即，故，解得， 所以. 故选：C 【变式2-1】如图，在正三棱锥D-ABC中，，，O为底面ABC的中心，点P在线段DO上，且，若平面PBC，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正棱锥的结构特征构建空间直角坐标系，根据已知条件确定相关点坐标并求出面PBC的法向量，结合线面平行及向量共线定理求参数即可. 【详解】由题设，△为边长为的等边三角形，且， 等边△的高为， 在正棱锥中，以为原点，平行为x轴，垂直为y轴，为z轴，如上图示， 则，且， 所以，，， 若为面PBC的法向量，则，令，则， 又平面PBC，则且k为实数，，故. 故选：D 【变式2-2】已知空间向量，若共面，则实数 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据空间向量共面定理可知存在一对有序实数，使，然后列方程组可求得答案. 【详解】因为不共线，共面， 所以存在一对有序实数，使， 所以， 所以，解得， 故选：A 【变式2-3】如图四棱锥，且，平面平面，且是以为直角的等腰直角三角形，其中为棱的中点，点在棱上，且.求证：四点共面. 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，根据条件写出相应点的坐标，利用空间向量基本定理即可求证即可. 【详解】证明：由，且， 取的中点，连接，则，且， 所以， 又是以为直角的等腰直角三角形，所以. 过点作，垂足为，则点为的中点，且， 因为平面平面，且平面平面， 所以平面， 故以所在的直线分别为轴，轴，过点作垂直于平面的轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，， 因为为棱的中点，所以，又因为点在棱上，且， 所以，则，，， 令， 则， 则，解得， 故，则共面，且向量有公共点， 所以四点共面. 【变式2-4】在四棱柱中，，．    (1)当时，试用表示； (2)证明：四点共面； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据空间向量线性运算进行求解； （2）设（不为0），推导出，进而证明出四点共面. 【详解】（1）四棱柱中，， 因为， 所以 ； （2）设（不为0）， ， 则共面且有公共点，则四点共面； 【考点3 空间向量数量积的应用】 【典例3】如图，在三棱锥P-ABC中，，，，点D，E，F满足，，，则直线CE与DF所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，，利用空间向量运算得，，利用数量积的运算律求解数量积，即可解答. 【详解】设，，，则，， ， ， 所以 ， 故直线CE与DF所成的角为. 故选：D 【变式3-1】空间向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两个向量的坐标，结合投影向量概念，可以通过计算得出结果. 【详解】与方向相同的单位向量为， 由，，则，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 【变式3-2】如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为棱的中点，且，则（    ）    A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】利用空间向量的基本运算及数量积公式表示出，计算即可. 【详解】底面为菱形，， , 为棱的中点, ， 解得. 故选: A. 【变式3-3】如图所示的四棱锥中，底面为正方形，且各棱长均相等，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，以为空间向量的一个基底，再利用空间向量夹角公式求解即得. 【详解】令四棱锥的各条棱长均为2，则，由是的中点，得, 显然不共面，，又， ， 因此， 所以则异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D 【变式3-4】如图，在所有棱长均为的平行六面体中，为与交点，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以，，作为一组基底表示出，再根据数量积的运算律求出，即可得解. 【详解】依题意 ， 所以 ， 所以，即. 故选：C 【考点4 利用空间向量证明空间线面位置关系】 【典例4】如图，在多面体中，都是等边三角形，平面为的中点. (1)证明：； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）由全等三角形的判断方法和线面垂直的判定定理可得平而，进而可得，建立如图空间直角坐标系，利用向量法证明即可； （2）由（1），利用空间向量法求解线面角即可. 【详解】（1）由都是等边三角形，， 可得. 取的中点为，则， 又，所以， 所以，即， 又平而，故平而. 因为，所以. 因为平面，平面， 所以 ，又，所以两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 所以， 所以，则. （2）由（1）知， 设平面的法向量为， 则即 取，则，所以， 设与平面所成的角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 【变式4-1】如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点.    (1)证明：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，1. 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）由（1）中坐标系，假定存在，利用线面角的向量求法列式计算即得. 【详解】（1）在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，   ，，，，，， ，，，， 设平面的法向量为，则，令，得 ， 设平面的法向量为，则，令，得 ， 显然，点平面，所以平面平面. （2）假设线段上存在点满足条件，，， 设直线与平面所成的角为， 则， 化简得，而，解得， 所以存在点符合题意，此时. 【变式4-2】如图，在正方体，中，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点． (1)证明：∥平面； (2)证明： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）建系，求平面的法向量，利用空间向量证明线面平行； （2）由（1）可得：，利用空间向量证明线线垂直. 【详解】（1）如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 不妨设，则， 可得 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为，且平面，所以∥平面. （2）由（1）可得：， 则，所以. 【变式4-3】已知四棱锥的底面是边长为4的菱形，，，，是线段上的点，且．    (1)证明：平面； (2)点在直线上，求与平面所成角的最大值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）连结，交于点，由条件证明，建立空间直角坐标系，利用向量方法证明，结合线面垂直判定定理证明结论； （2）根据线面角的向量求法求出与平面所成角的正弦值，再求其最大值，由此可求线面角的最大值. 【详解】（1）连结，交于点，连， 由， 知， 又平面 又底面为菱形，所以 以为坐标原点，，，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 如图所示，边长为4，则， 在直角三角形中，所以 所以点 ，则 所以， 所以， ， 所以， 所以， 又，平面， 所以平面， （2）设， 所以， 故， 所以 平面的一个法向量是， 设与平面所成角为，则 当时，平面，； 当时， ， 当且仅当时取等号， 又所以， 故与平面所成角的最大值为    【变式4-4】如图所示，内接于圆，为圆的直径，，，，且平面，为的中点． (1)求证：平面平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的夹角的余弦值为，若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点且 【分析】（1）由是圆的直径，得到，再由平面，得到，，然后以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，由两法向量的数量积为零求解； （2）假设存在点，设，，求得平面的一个法向量为，然后由求解． 【详解】（1）解：由题意知：是圆的直径，则， 因为平面，平面，平面， 所以，． 以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，． 设是平面的法向量， 则 令．则，故． ，， 设是平面的法向量， 则， 令，，，故． ，则平面平面． （2）存在点，且， 使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为， 理由如下： 设，， 故，． 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，， 所以． 由（1）知是平面的法向量， ． 整理得，解得或（舍去）． 【考点5 用向量法求异面直线所成角】 【典例5】如图所示，设有底面半径为的圆锥．已知圆锥的侧面积为，为中点，． (1)求圆锥的体积； (2)求异面直线与所成角． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由圆锥侧面积公式可求得母线长，进而得到圆锥的高，利用圆锥体积公式可求得结果； （2）解法一：取边上中点，由线面垂直的判定可证得平面，由线面垂直性质得，由此可得结果； 解法二：取圆弧中点，连结，以为坐标原点可建立空间直角坐标系，由向量运算可得，知，由此可得结果. 【详解】（1）设圆锥母线长为， ，，即， 圆锥的高， . （2）解法一：取边上中点，连结，，， 是的中位线，； 垂直于底面，垂直于底面，； ，为中点，，即； ，平面，平面， 又平面，，即异面直线与所成角为. 解法二：取圆弧中点，连结，则； 以为坐标原点，的正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，， ，即，异面直线与所成角为. 【变式5-1】如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长均相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，然后利用夹角公式求异面直线与所成角的余弦值即可. 【详解】设，，，棱长均为， 由题意，，，， ，， ， ， ， ， 异面直线与所成角的余弦值为， 故选：A. 【考点6 用向量法求解直线与平面所成角】 【变式5-2】如图，边长为4的两个正三角形，所在平面互相垂直，，分别为，的中点，点在棱上，，直线与平面相交于点. (1)证明：； (2)求直线与平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）首先证明平面，再由线面平行的性质证明即可； （2）连接,，以点为原点，建立空间直角坐标系，利用点到平面距离公式求解即得. 【详解】（1）因为、分别为、的中点，所以， 又平面，平面，则平面， 又平面，平面平面，所以. （2）由（1）知，平面， 则点到平面的距离即为与平面的距离， 连接,，由均为正三角形，为的中点，得， 又平面平面，平面平面平面， 于是平面，又平面，则， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，又，， 又，可得， 所以，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，得， 设点到平面的距离为，则， 所以与平面的距离为. 【变式5-3】如图，直四棱柱各棱长均为2，，O是线段BD的中点． (1)求点O到平面的距离； (2)求直线AB与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，交于点，连接，以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可； （2）利用向量法求解即可. 【详解】（1）连接，由题意，点为的交点， 连接交于点，连接，则平面， 因为四边形为菱形，则， 如图，以点为原点，建立空间直角坐标系， 在中，，则为等边三角形，则， 则， 故， 设平面的法向量为，则有，可取， 则点O到平面的距离为； （2），故， 则， 即直线AB与平面所成角的正弦值为． 【变式5-3】如图，在四棱锥中，平面，且 ．    (1)求点到平面PBC的距离； (2)求直线CM与平面PBC所成角的正弦值. 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）如图，根据线面垂直的性质可知，由建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求距离即可； （2）由得，利用空间向量法求线面角即可； 【详解】（1）取CD中点，连接AE， 因为且，所以四边形ABCE为平行四边形， 又，所以， 又因为平面平面ABCD， 所以， 所以以A为坐标原点，AE，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，    则，， 设平面PBC的一个法向量为， ， 所以，令，则， 所以， 所以点到平面PBC的距离为． （2）由可得， 由（1）知平面PBC的一个法向量为， 所以， 所以直线CM与平面PBC所成角的正弦值为． 【考点7 利用向量法解二面角问题】 【典例7】在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点， (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，连接，，通过证明四边形为平行四边形，即可证明结论； （2）由直线与平面所成的角为，可得，建立以为原点的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案. 【详解】（1）取中点，连接，， 为的中点，，， 又，，，， 四边形为平行四边形，， 平面，平面， 平面； （2）平面平面，平面平面平面， 平面， 取中点，连接，则平面， ， ，又， 如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ， ，设平面的一个法向量，， 则，取，则， 平面的一个法向量可取， 设平面与平面所成锐二面角为， ， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【变式7-1】四棱锥中，，，，且，，，． (1)求证：平面ABCD； (2)若直线PC与平面ABCD所成的角为，求平面PAB与平面PDC所成的锐二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，可证平面，可得，根据题意结合线面垂直的判定定理分析证明； （2）由（1）结合线面夹角可得，建系标点，分别求平面PAB与平面PDC的法向量，利用空间向量求二面角. 【详解】（1）连接， 因为，，，则， 且，则， 又因为，所以为等边三角形， 取的中点，连接， 可知，且，平面， 则平面， 由平面，可得， 且，，平面， 所以平面ABCD. （2）由题意可知：平面ABCD， 则直线PC与平面ABCD所成的角为，可得， 以C为坐标原点，为轴，过C与平行的直线为z轴，如图所示， 则，可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 由题意可知：平面PDC的法向量为， 则， 所以平面PAB与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为. 【变式7-2】在三棱柱中，，，，分别为，的中点，． (1)求证：； (2)若，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用已知条件证出平面，即可得出； （2）以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，再利用夹角公式求解即可． 【详解】（1）如图，连接，取中点为，连接，， 因为，所以， 因为，为，的中点，且， 所以，所以， 所以， 又因为，所以， 又因为，且， 所以平面， 因为平面， 所以； （2）因为，在中，， 所以，又平面，故平面， 以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， ，，，，， 所以，，， 设平面与平面的一个法向量分别为，， 则 ，令，解得，故， ，令，解得，，故， 设二面角的平面角为， 则， 所以， 所以二面角的正弦值为． 【变式7-3】如图，在四棱台中，底面四边形ABCD为菱形，平面ABCD.    (1)证明：； (2)若M是棱BC上的点，且满足，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据线面垂直的性质得，再根据线面垂直的判定定理得平面，从而利用线面垂直的性质定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出点的坐标，然后利用法向量求法求出平面和平面的法向量，再利用向量法求解即可. 【详解】（1）在四棱台中，延长后必交于一点， 故四点共面，因为平面，平面，故， 连接，因为底面四边形为菱形，故， 平面，故平面， 因为平面，所以 .    （2）过点A作的垂线，交与点N，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图），    设，则，由于，故， 则，， 则，，， 记平面的法向量为， 则，即，令， 则，即， 平面的法向量可取为， 则. 所以二面角的余弦值为. 【变式7-4】如图，多面体中，已知面是边长为4的正方形，是等边三角形，，，平面平面． (1)求证：； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理即可得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量求法求出二面角. 【详解】（1）由是正方形，得，而平面平面，平面平面， 平面，则平面，又平面，于是，又， 所以. （2）在平面内过作，由平面平面，平面平面， 得平面，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为，则，令，得， 而平面的法向量为，设二面角的平面角为，显然为锐角， 于是，则， 所以二面角的大小. 【考点8 利用空间向量求空间距离】 【典例8】如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，，点是线段的中点    (1)证明：平面； (2)若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点为，通过证明，得证平面； （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离. 【详解】（1）证明：取中点，连接，如图所示，   为中点，则，又，得， 由，，得， 所以四边形为平行四边形，， 又平面，平面，所以平面. （2），易知，又，得. 由平面，且直线与圆柱底面所成角为，即，则有. 如图，以为原点，分别为轴，过垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系，    则有，， ， 设平面的一个法向量为，则， 令，有，得， ， 设点到平面的距离为， . 【变式8-1】如图，在三棱锥中，两两互相垂直，分别是的中点. (1)证明：； (2)设和平面所成的角为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）解法一：取的中点，连接，证明平面即可；解法二：以为原点，分别以直线为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，证明即可； （2）解法一：证明平面，可得的长为点到平面的距离，求解即可；解法二：以为原点，分别以直线为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】（1）解法一：取的中点，连接. 因为分别是的中点， 所以，又， 所以，又，且平面， 从而平面，又平面，所以. 解法二：因为，平面，所以平面. 过点在平面内作，因为，所以. 故可以为原点，分别以直线为轴､轴､轴建立空间直角坐标系（如图）. 设，则，. 从而. 因为，所以. （2）解法一：因为，平面， 所以平面，即的长为点到平面的距离. 同理可得平面，进而有. 连接(图参考第一问法一)，易知. 在Rt中，. 因为，所以平面, 故是和平面所成的角，即， 且,于是. 故点到平面的距离为. 解法二：因为，平面，所以平面. 过点在平面内作，因为，所以. 故可以为原点，分别以直线为轴､轴､轴建立空间直角坐标系（图参考第一问法二）. 设，则，. 从而，易知是平面的一个法向量. 因为和平面所成的角为，所以，即. 在Rt中，， 在Rt中，， 即，解得. 因为，平面， 所以平面，即的长为点到平面的距离. 故点到平面的距离为. 【变式8-2】如图，在多面体中，底面为菱形，，平面，平面，.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正切值； (3)求点C到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）首先建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行. （2）先求出平面的法向量，再利用空间向量线面角的求法，即可求解. （3）利用点到平面的距离公式求解即可. 【详解】（1）取的中点M，连接．因为四边形为菱形，， 所以为等边三角形，所以．因为，所以． 因为平面，所以两两垂直． 如图，以D为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．    因为， 所以， 显然平面的法向量为，因为， 所以，又平面，所以平面． （2）设平面的法向量为， 由得 令，则，所以，， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 直线与平面所成角的正切值为． （3），所以点C到平面的距离为： . 所以点C到平面的距离为. 一、单选题 1．设，且，则（ ） A． B．0 C．3 D． 【答案】D 【分析】由向量的共线与垂直条件求解的坐标，再由向量坐标运算及求模公式可得. 【详解】， 由，则有，解得，则. 由，则有，解得，， 所以，故， 则. 故选：D. 2．已知正方体中，E为中点，则异面直线与 所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，根据异面直线所成角的定义，转化为求（或其补角），然后在中用余弦定理即可解得. 【详解】连接，，如图： 因为为正方体可得，所以（或其补角）是异面直线与 所成角， 设正方体的棱长为，， ， 在中， ， 所以异面直线与 所成角的余弦值是. 故选：D. 二、多选题 3．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由题意可知，，再利用空间向量的线性运算和数量积运算逐个判断各个选项即可． 【详解】由题意可知，， 对于A，，故A正确； 对于B，又因为， 所以， 所以，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：AD． 4．如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（    ）    A．三棱锥的体积是定值 B．存在点P，使得与所成的角为 C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D．若，则P的轨迹的长度为 【答案】ACD 【分析】利用等体积转换即可求得体积为定值判断A；建立空间直角坐标系，设，得，，利用向量夹角公式求解判断B；求平面的法向量，利用向量夹角公式求解判断C；由，可得，即可求解判断D. 【详解】对于A，三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 是定值，A正确； 以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，设，则 对于B，，使得与所成的角满足： ， 因为，故，故， 而，B错误； 对于C，平面的法向量， 所以直线与平面所成角的正弦值为：， 因为，故 故， 而，， 故即的取值范围为，C正确； 对于D，，由， 可得，化简可得， 在平面内，令，得，令，得，则P的轨迹的长度为 ，D正确； 故选：ACD. 三、解答题 5．如图，在三棱锥中，，.    (1)证明：平面； (2)若是棱上一点且，求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，证得和，利用线面垂直的判定定理，即可证得平面. （2）由（1），得到，，两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和的一个法向量为和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：连接，因为，所以， 因为，所以， 因为，所以，则，所以， 因为，且平面，所以平面. （2）解：由题设，又因为为的中点，所以， 由（1），可得，，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，设，因为，由题意易得， 所以为正三角形，可得， 因为，所以，所以， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以， 又由平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为，且为锐角， 所以，可得 即二面角的大小为.   【点睛】 6．如图，在四棱锥中，直线平面PCD，，，，平面平面ABCD，F为线段BC的中点，E为线段PF上一点． (1)证明：； (2)证明：； (3)当EF为何值时，直线BE与平面PAD夹角的正弦值为． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)2 【分析】（1）利用线面平行的性质定理即可证明； （2）过作，垂足为，分析可知为等边三角形，可得，结合面面垂直的性质可得平面ABCD，即可得结果； （3）取线段的中点，连接，建系，设，求平面PAD的法向量，利用空间向量处理线面夹角的问题. 【详解】（1）因为直线平面平面， 且平面平面，所以； （2）过作，垂足为， 由题意知：为矩形，可得， 由，则为等边三角形，且F为线段BC的中点，则， 又因为平面平面ABCD，平面平面，平面， 可得平面ABCD，且平面， 所以. （3）由（1）可知：平面ABCD， 取线段的中点，连接，则，， 又因为，可知， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为E为线段PF上一点，设， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 由题意可得：， 整理得，解得， 所以当，直线与平面夹角的正弦值为. 7．如图，在四面体ABCD中，，，E，F分别为AB，AC的中点. (1)证明：平面平面BCD； (2)求点A到平面BDF的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取CD的中点O，利用勾股定理得，再由线面垂直、面面垂直的判定定理可得答案； （2）利用等体积转化可得答案. 【详解】（1） 取CD的中点O，连接OA，OB， 因为，，所以，且， 又，，，， 所以，可得， 又，平面，所以平面BCD， 又平面ACD，所以平面平面BCD； （2）因为，所以由（1）可得，， ， ， 又F为AC的中点，所以， 在△BDF中，，，， 则， 所以， 则. 设点A到平面BDF的距离为d，则， 解得，即点A到平面BDF的距离为. 8．如图，在直角梯形中，，把梯形ABCD绕AB旋转至分别为中点.    (1)证明:平面； (2)若，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】（1）先证明平面平面，再用面面平行性质得到线面平行. （2）用等体积法求解即可. 【详解】（1）证明:设中点为，连接   为中位线，， 平面平面， 平面， 为梯形中位线，， 平面平面， 平面， 平面平面EFG， 平面平面， 平面平面. （2）如图连接,平面 平面到平面的距离为3， . 如图可求得直角梯形中，可求得． 由余弦定理求得为等边三角形，则， 同理．如图等腰梯形中，得.    可求，设到平面的距离为， . 到平面的距离为3. 9．如图，在四棱锥中，已知棱两两垂直，长度分别为1，2，2，若，且向量与夹角的余弦值为. (1)求实数值； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用向量夹角余弦值求出. （2）由（1）的结论，求出平面的法向量，利用平面角的向量求法求解即得. （3）求出平面的法向量，结合（2）中信息，面面角的向量求法求解即得. 【详解】（1）依题意，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ，由，得，则，而， 而，显然，解得. （2）由（1）得，，设平面的法向量， 则，令，得，又， 于是， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）由（2）令平面的法向量，则，令，得， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 10．如图， 在三棱锥 中， 的中点分别为 ，点在上，. (1)证明: 平面； (2)证明: 平面； (3)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据给定条件，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答. （2）由（1）的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直的判定推理作答. （3）求出平面与平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可. 【详解】（1）连接，设， 则，， 因为，， 则， 解得，则为的中点，由分别为的中点，    于是，即， 则四边形为平行四边形， 所以，又平面平面， 所以平面； （2）因为分别为中点，所以， 因为，所以， 因为，，， 所以， 因为，所以，即， 因为，所以， 又因为平面， 所以平面； （3）因为，过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系， ， 在中，， 在中，， 设，所以由可得：， 可得：，所以， 则，所以，， 设平面的法向量为， 则，得， 令，则，所以， 平面的法向量为， 所以， 因为为钝角，故二面角的余弦值为. 11．如图，在多面体ABCDE中，平面ACD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，△ABC和△ACD均为正三角形，，，点F在棱AC上. (1)若BF∥平面CDE，求CF的长； (2)若F是棱AC的中点，求二面角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）记中点为，连接、，依题意可得，根据面面垂直的性质得到平面，如图建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，，依题意可得求出的值，即可得解； （2）依题意点与点重合，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）记AC中点为M，连接DM、BM，三角形ACD为正三角形，，则DM⊥AC，且. 因为平面ACD⊥平面ABC，平面平面，平面ACD，所以DM⊥平面ABC， 又△ABC为正三角形，所以BM⊥AC，所以， 如图建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，， 设平面CDE的法向量为，则，令，则，，则， 设，，则， 因为BF∥平面CDE，所以，解得， 所以F为CM的中点，此时. （2）若F是AC的中点，则点F与点M重合，则平面FDE的一个法向量可以为， 设二面角为，显然二面角为锐角，则， 所以， 所以二面角的正弦值为. 12．如图，已知多面体的底面ABCD是菱形，侧棱底面，且．    (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）由向量的关系，可得直线的平行，再由题意和菱形的性质可证得平面，进而可证得结论； （2）由题意建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，求出直线的方向向量与平面法向量的坐标，求出这两个向量的夹角的余弦值，进而求出线面所成的角的正弦值． 【详解】（1）因为，所以， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为四边形是菱形，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以； （2）设交于，以为原点，以为轴，为轴，过作为轴建立空间直角坐标系，    由图可知，，，，，, 则，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则， ， 因为，，， 所以， 设直线与平面所成角为， 则． 因此直线与平面所成角的正弦值为． 13．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，E为线段的中点，． (1)求证：； (2)求点E到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据线面垂直的判定定理证明平面PAC，结合线面垂直性质定理推得线线垂直； （2）设点A到平面PBD的距离为d，得点E到平面PBD的距离为．结合三棱锥等体积变换求得距离． 【详解】（1）证明：平面，平面，， 又底面ABCD为正方形，， 又，且平面， 平面PAC， 平面PAC，． （2）E为线段AB的中点， 若点A到平面PBD的距离为d，则点E到平面PBD的距离为． 由题易知， ． ，，解得． 点E到平面的距离为． 14．由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台中，分别为的中点，，侧面与底面所成角为.    (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，且 【分析】（1）借助中位线的性质可得线线平行，即可得线面平行，利用面面平行的判定定理即可得面面平行，再由面面平行的性质定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系后，借助空间向量可用未知数表示出直线与平面所成的角的正弦值，计算即可得解. 【详解】（1）连接、，由分别为的中点，则， 又平面，平面，故平面， 正四棱台中，且， 则四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，故平面， 又，且平面，平面， 故平面平面，又平面，故平面；    （2）正四棱台中，上下底面中心的连线底面， 底面为正方形，故， 故可以为原点，、、为轴，建立空间直角坐标系， 由，侧面与底面所成角为， 则， 则，，， 假设在线段上存在点满足题设，则， 设，则， ， 设平面的法向量为， 则，令，则，，即， 因为直线与平面所成的角的正弦值为， 故， 解得或（舍），故， 故线段上存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为， 此时线段的长为.    15．如图，四棱锥的底面是正方形，平面，点是的中点，是线段上靠近的三等分点，. (1)求证： 平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）连接交于点，连接，由中位线证明线线平行，然后由线面平行的判定定理证明即可； （2）由线面垂直证明出，计算出三角形的面积，设点到平面的距离为，由等体积法求解即可. 【详解】（1）证明：如图， 连接交于点，连接， 四边形是正方形，为中点， 是中点， ， 平面平面 平面. （2）平面，平面，. 又四边形是正方形，. 又，平面，平面. 又平面. 点是的中点，. 又，平面，平面. 又平面. 又易知. . . 又是线段上靠近的三等分点， ， . 设点到平面的距离为，则，解得. 点到平面的距离为. 16．如图所示，为矩形，为梯形，平面平面， . (1)若点为的中点，证明:平面； (2)求异面直线与所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由三角形中位线可得线线平行，即可由线面平行的判定求证， （2）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而得线线垂直，即可求解长度，由三角形的边角关系即可求解. 【详解】（1）连接PC，交DE于，连接MN 为矩形为的中点 在中，M，N分别为PA，PC的中点 , 因为平面平面, 所以平面. （2） 为矩形 平面平面 又平面，平面平面 ∴平面 平面 在Rt中 又平面平面, 所以平面,平面,故， 在Rt中 ， 由于，故直线与所成角即为 从而直线与所成角为 17．如图，四棱锥中，底面，，分别为线段上一点，. (1)若为的中点，证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，，先证四边形为平行四边形，有，再由线面平行的判定定理，得证； （2）取的中点，连接，以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】（1）证明：由已知得，取的中点T，连接， 由N为的中点知， ．又，故，且， ∴四边形为平行四边形，∴， ∵平面，平面， ∴平面． （2）取的中点，连接，建立如图所示的空间坐标系． ， 不妨设， 则， 设平面的一个法向量为， ， 取，则. 设直线与平面所成角为 . 故直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$