专题24.1 圆的有关性质（圆的概念、垂径定理、弧、弦、圆心角）（八大考点+过关训练）-【学霸满分】2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

专题24.1 圆的有关性质（圆的概念、垂径定理、弧、弦、圆心角） 目录 【典型例题】 1 【考点一 求过圆内一点的最长弦】 1 【考点二 利用垂径定理求值】 3 【考点三 利用垂径定理求平行弦问题】 5 【考点四 垂径定理的推论】 8 【考点五 垂径定理的实际应用】 9 【考点六 圆心角概念辨析】 12 【考点七 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 14 【考点八 利用弧、弦、圆心角的关系求证】 16 【过关检测】 21 【典型例题】 【考点一 求过圆内一点的最长弦】 例题：（23-24九年级下·全国·单元测试）已知的半径是，则中最长弦长是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆的基本概念辨析、求过圆内一点的最长弦 【分析】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（ 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．利用圆的直径为圆中最长的弦求解． 【详解】解：∵的半径是， ∴中最长弦长是． 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24九年级下·吉林松原·阶段练习）如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【知识点】求过圆内一点的最长弦 【分析】本题主要考查直径是最长的弦，由是直径得是中最长的弦，且，故有，所以可得结论． 【详解】解：是直径， ∴是中最长的弦， ∴， ∵ ∴ ∴只有选项D符合题意， 故选：D． 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知的半径为3，且A，B是上不同的两点，则弦的范围是 ． 【答案】 【知识点】求过圆内一点的最长弦 【分析】本题考查了圆的认识，掌握弦、直径的概念是解题的关键．根据“连接圆上任意两点之间的线段就是圆的弦，直径是圆中最长的弦”，可以求出弦的范围． 【详解】解：A、是上不同的两点，， ， 的半径为，， 的直径为，直径是圆中最长的弦， ， 故答案为：． 【考点二 利用垂径定理求值】 例题：（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，为的直径，弦于点E，已知，，则的半径为 ． 【答案】5 【知识点】利用垂径定理求值 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理．连接，设的半径为r，则，．根据垂径定理可得，在中，根据勾股定理列方程即可求出的r值． 【详解】解：如图，连接，设的半径为r，则， ， ， ∵为的直径，弦于点E， ∴， 在中，根据勾股定理得， ， 解得， ∴的半径为5． 故答案为：5． 【变式训练】 1．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，是的半径，弦于点D，连接，若的半径为，的长为，则的长是 ． 【答案】2 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识．根据垂径定理得到的长，再由勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：∵是的半径，弦于点D， ∴， ∴， ∴； 答案为：2． 2．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，是的弦，，垂足为C，将劣弧沿弦折叠交于点D，，若，则的半径为 ． 【答案】5 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、折叠问题 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质等知识点，如图，延长交于E，连接，设，则，，利用折叠的性质得，则，再根据垂径定理得到，在中利用勾股定理得，然后求出x即可得到的半径，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，延长交于E，连接，设，则，， ∵劣弧沿弦折叠交于D， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 解得（负值舍去）， ∴， ∴的半径为5， 故答案为5． 【考点三 利用垂径定理求平行弦问题】 例题：（2023九年级上·全国·专题练习）已知的直径为， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 【答案】2或14 【知识点】利用垂径定理求平行弦问题 【分析】作于E，延长交于F，连接、，如图，利用平行线的性质，根据垂径定理得到，，则利用勾股定理可计算出，，讨论：当点O在与之间时，；当点O不在与之间时，． 【详解】解：作于E，延长交于F，连接、，如图       ∵，， ∴， ∴， ， 在中，， 在中，， 当点O在与之间时，如图1，， 当点O不在与之间时，如图2，， 故答案为：2或14． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论． 【变式训练】 1．（22-23九年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在圆中两条平行弦的长分别6和8，若圆的半径为5，则两条平行弦间的距离为 ． 【答案】或/7或1 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求平行弦问题 【分析】如图，，，过点作于，交于点，连，根据垂径定理得，由于，，则，根据垂径定理得，然后利用勾股定理可计算出，再进行讨论即可求解． 【详解】解：如图，，， 过点作于，交于点，连， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中， ， 同理可得， 当圆心在与之间时，与的距离； 当圆心不在与之间时，与的距离． 故答案为7或1． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 2．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）设AB、CD是⊙O的两条弦，ABCD．若⊙O的半径为13，AB=24，CD=10，则AB与CD之间的距离为 ． 【答案】17或7/7或17 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求平行弦问题 【分析】根据题意画出图形，由于AB、CD在圆心的同侧或异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【详解】解：①当AB、CD如图（一）所示时，过O作OE⊥CD，交AB于F，连接OA、OC， ∵ABCD，OE⊥CD， ∴OF⊥AB， 由垂径定理可知AF=AB=×24=12，CE=CD=×10=5， 在Rt△CEO中，OE==12； 同理，OF==5， 故EF=OE﹣OF=12﹣5=7； ②当AB、CD如图（二）所示时，过O作OE⊥CD，交AB于F，连接OA、OC， 同（一）可得OE=12，OF=5，EF=OE+OF=12+5=17； 故答案为：17或7． 【点睛】本题考查的是垂径定理，勾股定理，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解． 【考点四 垂径定理的推论】 例题：（23-24九年级上·广西防城港·期末）下列判断正确的是（　　） A．弦心距相等则弦也相等 B．不与直径垂直的弦，不可能被该直径平分 C．在两个圆中，若有两条弦相等，则这两条弦所对的弧一定相等 D．弦的垂直平分线必定经过圆心 【答案】D 【知识点】利用垂径定理求值、垂径定理的推论 【分析】本题考查了圆的相关性质，熟练掌握垂径定理及其推论是解题的关键． 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分弦经过圆心，并且平方弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直于平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等． 【详解】解：A、在同圆或等圆中，弦心距相等则弦也相等，故该选项错误； B、一个圆的两条直径，虽不垂直，但一条一定平分另一条，故该选项错误； C、必须在同圆或等圆中，若有两条弦相等，则这两条弦所对的弧一定相等，故该选项错误； D、根据垂径定理得到，故该选项正确． 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧 B．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心 C．过弦中点的直径平分弦所对的两条弧 D．平分弦所对的两条弧的直线平分弦 【答案】D 【知识点】利用垂径定理求解其他问题、垂径定理的推论 【分析】本题考查对垂径定理的理解，解题的关键在于正确理解垂径定理及其推论的“知二推三”．根据相关定理逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、过弦（弦不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧，故选项错误，不符合题意； B、弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，一定过圆心，故选项错误，不符合题意； C、过弦（弦不是直径）中点的直径平分弦所对的两条弧，故选项错误，不符合题意； D、平分弦所对的两条弧的直线平分弦，选项正确，符合题意； 故选：D． 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）下列命题正确的有（    ） ①平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦；②垂直于弦的直线平分弦；③平分弦的直线必平分弦所对的两条弧；④与直径不垂直的弦不能被该直径平分；⑤平分弦的直径必平分弦所对的两条弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】垂径定理的推论、利用垂径定理求解其他问题 【分析】本题考查了垂径定理：熟练掌握垂径定理及其推论是解决问题的关键．根据垂径定理对①进行判断；根据垂径定理的推论对②③④⑤进行判断． 【详解】解：一条直线如果具备经过圆心、垂直于弦、平分弦（不是直径）、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧这五条中的任意两条，必然具备其余三条． ①该直线满足平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧两个条件，所以①正确； ②只满足其中的一个条件，所以不正确； ③不满足条件，所以不正确； ④⑤要考虑到特殊情况，条件中的弦有可能是直径，所以不正确． 故选：A． 【考点五 垂径定理的实际应用】 例题：（24-25九年级上·北京海淀·期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，当筒车工作时，则盛水桶在水面以下的最大深度为 m．      【答案】1 【知识点】垂径定理的实际应用 【分析】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键；过点O作，交于点C，交于点H，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：过点O作，交于点C，交于点H，如图所示：    ∴， ∴， ∴； 故答案为：1． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）我国数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”．问题翻译为：如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来测得深度为8寸，锯长AB为24寸，则圆材的直径为 寸． 【答案】13 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用 【分析】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键．设圆形木材的圆心为，延长，连接，由题意知过点，且，由垂径定理可得，设圆形木材半径为，可知寸，寸，根据列方程求解可得． 【详解】解：设圆形木材的圆心为，延长，连接， 如图所示：由题意知：过点，且， 则， 设圆形木材半径为寸， 则寸，寸， ∵， ∴， 解得：， ∴的半径为13寸， 故答案为：13． 2．（2024九年级上·北京·专题练习）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，则直径长为 寸． 【答案】26 【知识点】垂径定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，设寸，则寸，由垂径定理得到寸，再由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设寸，则寸， ，是直径， 寸， 在中，由勾股定理得， ， ， 寸， 故答案为：26． 【考点六 圆心角概念辨析】 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，表示圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆心角概念辨析 【分析】本题主要考查了圆心角的判断，根据定义解答即可.顶点在圆心，角的两边与圆周相交的角，叫作圆心角． 【详解】解：图D中是圆心角． 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·福建泉州·期中）下列图形中的角是圆心角的是（　　） A．  B．  C．  D．   【答案】A 【知识点】圆心角概念辨析 【分析】本题考查了圆心角的定义，能熟记圆心角的定义（顶点在圆心上，并且两边与圆相交的角，叫圆心角）是解此题的关键．根据圆心角的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．顶点在圆心上，是圆心角，故本选项符合题意； B．顶点在圆上，是圆周角，故本选项不符合题意； C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； D．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）图中是圆心角的是（　　） A．  B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】圆心角概念辨析 【分析】圆心角是过弧AB两端的半径构成的角． 【详解】解：A为圆周角，不符合题意； B是圆心角，符合题意； C不是圆心角，不符合题意； D不是圆心角，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查圆心角的定义．熟记相关定义即可． 【考点七 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 例题：（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，的直径，半径，点在弧上，，，垂足分别为、，若点为的中点，弧的度数为 ．    【答案】/度 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、根据矩形的性质与判定求线段长、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了矩形的性质，弧与圆心角的关系，等边三角形的性质与判定；连接，交于点，进而得出四边形是矩形，结合已知条件证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，交于点，      ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴ ∵点为的中点， ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴，即弧的度数为 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，半径，，则的度数是 ． 【答案】/80度 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、等边对等角 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，连接，由平行线的性质可得，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数是， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交于点D、点E，则弧的度数为 ． 【答案】/40度 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．先利用互余计算出，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到，则根据三角形内角和定理可计算出，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴弧的度数为． 故答案为：． 【考点八 利用弧、弦、圆心角的关系求证】 例题：（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，，是的半径，且，弦分别经过，的中点D，E． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】此题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质． （1）根据弧与圆心角的关系，可得，又由点D，E分别是，的中点，可得，继而可证得，则可得； （2）由得到，推出，再得到，则． 【详解】（1）解：，理由如下， 证明：过点作直径，如图， ，，是的半径，， ， 点D，E分别是，的中点，， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·上海·期中）如图，是的两条弦，且． (1)求证：平分； (2)若，求半径的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证、用勾股定理解三角形、三线合一、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（）连接，由弧弦圆心角的关系可得，进而可得，得到，即可求证； （）延长交于点，由三线合一可得，，利用勾股定理可得，设的半径为，则，，在中再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：延长交于点， ∵，平分， ∴， ∴，， ∴， 设的半径为，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了弧弦圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，A，C在以AB为直径的⊙O上，D为弧AC的中点，连接BD与AC交于点E，若 (1)求证： (2)求⊙O 的半径． 【答案】(1)见解析 (2)⊙O 的半径为 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证、利用垂径定理求值、与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查对圆的认识，垂径定理和勾股定理等知识，连接，证明是解答本题的关键． （1）连接，证明得，可得结论； （2）由求出证明得由三角形中位线得再由勾股定理可得结论． 【详解】（1）证明：连接，如图， 则 ∵D为弧AC的中点， ∴即 在和中， , ∴， ∴， ∵, ∴， ∴； （2）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是的直径， ∴ 在和中， ∴， ∴ ∵为的中点，F为的中点， ∴为的中位线， ∴即 ∴， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴，即⊙O 的半径为． 【过关检测】 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列说法中正确的个数是（   ） ①直径是圆中最长的弦  ②平分弦的直径垂直于弦  ③长度相等的两条弧是等弧  ④、是的两条弦，被垂直平分，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】圆的基本概念辨析、利用垂径定理求解其他问题 【分析】本题主要考查圆的概念及垂径定理，熟练掌握圆的每个概念及垂径定理是解题的关键．根据相关概念逐个判断，即可解题． 【详解】解：①直径是圆中最长的弦 ，正确； ②平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦 ，故②错误； ③在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧 ，故③错误； ④、是的两条弦，被垂直平分， 过圆心，即为直径， 则，正确． 综上所述，说法中正确的个数是2个． 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，点是弧的中点，，则弧的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质的应用，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出，根据弧中点得出，代入求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为， 故选：A． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，的直径与弦交于点，且，若所对的圆心角的度数为，则所对的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角、圆的基本概念辨析 【分析】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，等腰三角形的性质，三角形的外角性质和内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关的概念和性质定理等，连接，根据圆心角的度数可知它所对的弧的度数，再根据等腰三角形的性质可得，，再根据三角形的外角性质可得，再由三角形的内角定理即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵若所对的圆心角的度数为， ， ∵， ， ， ， ， ， ∴所对的圆心角的度数为， 故选：C． 4．（24-25九年级上·山西阳泉·期中）如图，是的直径，是弦，于点E．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理得到，勾股定理求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵是的直径，是弦，于点E， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选B． 5．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，为的直径，点是弧的中点．过点作于点，交于点，若，，则的半径长是（   ） A．4 B．5.5 C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查了垂径定理，弧、圆心角、弦之间的关系，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据垂径定理和点C是弧的中点得出，从而得出，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，如图，设的半径为r， ∵， ∴，， ∵点C是弧BE的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， 解得， 即的半径为． 故选：C． 6．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是如图，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺10寸）．这根圆柱形木材的直径是（    ） A．6寸 B．寸 C．13寸 D．26寸 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可得，由垂径定理可得，设半径，则，然后根据勾股定理列出方程解之即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得， 是的半径， 设半径 则 在中：，即 解得： 木材的直径为寸 故选：D． 二、填空题 7．（23-24九年级上·吉林·期中）已知中最长的弦长为，则的半径为 ． 【答案】5 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】本题考查了圆的基本知识；熟练理解圆中最长的弦是直径是解题的关键． 根据圆中最长的弦是直径以及同圆或等圆中，直径是半径的2倍，即可求得结果． 【详解】解：中最长的弦长为, 中最长的弦，即直径的长为. 故答案为：5． 8．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，则 ． 【答案】/73度 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题综合考查了圆心角、弧、弦的关系，以及等腰三角形的性质．根据等弧所对的弦相等求得，从而判定是等腰三角形；然后根据等腰三角形的两个底角；最后由三角形的内角和定理求的度数即可． 【详解】解∶∵在中，， ∴， ∴是等腰三角形， ∴； 又， ∴． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，，于点E，若的半径为3，则的长为    【答案】 【知识点】利用垂径定理求解其他问题、用勾股定理解三角形 【分析】根据垂径定理可以得到，再根据全等三角形的判定与性质，可以得到，从而可以得到，最后根据勾股定理即可求得的长． 【详解】解：连接，，作于点N，作于点M， ∴，， 又， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 10．（24-25九年级上·广东珠海·期中）把半径长为2.5的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则 ．    【答案】4 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题关键是作垂径，构造直角三角形，本题记球的中心为O，连接，并过O点作，先求出，再求即可． 【详解】解：如图，记球的中心为O，连接，并过O点作，垂足为H，交于点G， ∴， ∵， ∴， 中，， ∴，    故答案为： 4． 11．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）的半径为，弦，则与之间的距离是 ． 【答案】或 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，分两种情况：当在圆心同侧，异侧，分别根据勾股定理求出圆心到弦的距离，即可得出答案． 【详解】如图所示． 当在圆心同侧时，过点O作，连接， ∵ ∴． 在中，， 根据勾股定理，得． 同理． ∵，且， ∴之间的距离； 当在圆心异侧时，过点O作，连接， ∵ ∴． 在中，， 根据勾股定理，得． 同理． ∵，且， ∴之间的距离． 所以两条直线之间的距离是或． 故答案为：或． 12．（2023·云南大理·一模）如图，在中，是的直径，，、为弧的三等分点，是上一动点，的最小值是 ．    【答案】 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了轴对称确定最短路线问题，圆心角与弧的关系及垂径定理，作点关于的对称点，连接与相交于点，根据轴对称确定最短路线问题，点为的最小值时的位置，根据垂径定理可得，然后求出为直径，从而得解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接与相交于点，    此时，点为的最小值时的位置， 由题意得， 则， ∴， ，为直径， 为直径．则． 故答案是：． 三、解答题 13．（24-25九年级上·北京·期中）如图，是的弦，半径，垂足为D，． (1)________． (2)若D为中点，求的半径． 【答案】(1) (2)2 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理． （1）根据垂径定理即可得到即可得出结果； （2）连接，设的半径为，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵是的弦，半径，垂足为D，， ∴； （2）解：连接，如图所示： 设的半径为，即， 若D为中点， ， 由（1）知， 在中，由勾股定理可知，即， 解得（负值舍去）， 的半径为． 14．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点B、C． (1)求证： (2)当时，求大圆与小圆的面积之差． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）过点作于点，利用垂径定理可得，，即可证明； （2）连接，作于点E，根据垂径定理得，，再根据圆的面积公式，勾股定理和平方差公式计算即可． 【详解】（1）证明：如下图，过点作于点， 则，， ∴， 即； （2）解：如图，连接，作于点E，则，，    大圆与小圆的面积之差为： ． 15．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，隧道的截面由圆弧和矩形构成，矩形的长为宽为，隧道的顶端E（圆弧的中点）高出道路（） (1)求圆弧所在圆的半径： (2)如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高宽，那么这辆货运卡车能否通过该隧道? 【答案】(1) (2)能通过，见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、利用垂径定理求值 【分析】（1）设圆心为点O，半径为，再根据垂径定理、勾股定理即可求解； （2）在圆弧上取一点H，过点H作于点G，且使得， 根据勾股定理，得，进而求出点G到到的距离，然后与车高进行大小比较即可． 本题考查了勾股定理，垂径定理，平行线的性质，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）解：设圆心为点O，半径为，连接，设与交于点F， ∵ 隧道的顶端E是圆弧的中点，高出道路（）， ∴， ∵ 矩形的长为宽为， ∴，且之间的距离为， ∴，， ∴， 根据勾股定理，得， 解得， 故圆弧所在圆的半径为． （2）解：在圆弧上取一点H，过点H作于点G，且使得， 根据勾股定理，得， 由点O到的距离为， 故点G到到的距离为， 故这辆货运卡车能通过该隧道． 16．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，以的顶点A为圆心，为半径作，分别交、于E、F两点，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若的度数为，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、利用平行四边形的性质求解、等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）连接，由平行四边形的性质可得，从而得出，，由等边对等角得出，从而得出，即可得证； （2）先求出，再由等边对等角结合三角形内角和定理得出，最后再由平行四边形的性质即可得解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵为的直径， ∴的度数为， ∵的度数为， ∴的度数为， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 17．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，，点，在射线上，以为直径作半圆，圆心为，半圆交射线于点，． (1)如图1，当时，若，求的长； (2)如图2，若，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】（1）过点作，连接，根据垂径定理求得，进而勾股定理求得，根据含度角的直角三角形的性质，得出，进而即可求解； （2）连接，可得，根据已知条件证明是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作，连接， ∴， ∵为的直径， ∴， 在中， 又∵，即 ∴ ∴， （2）解：如图所示，连接， ∵ ∴ ∴， ∵， 设半径为，则， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即, ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 18．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图1是一座圆弧型拱桥侧面示意图．水面宽与桥长均为24米，桥拱顶部离水面的距离为8米，以桥拱顶部为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系． (1)求圆弧型桥拱所在圆的半径； (2)如图2，桥面上方有3根高度均为4米的支柱，，，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面的距离为1米． ①求出轴右侧一条钢缆抛物线的函数表达式； ②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求经过钢缆最低点的彩带的长度． 【答案】(1)圆弧型桥拱所在圆的半径为13米 (2)①；②经过钢缆最低点的彩带的长度为米 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数)、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，垂径定理，待定系数法求解析式，勾股定理等知识点，合理作出辅助线是解题的关键． （1）设圆弧型拱桥的圆心为，圆的半径为，则米，米，利用勾股定理列式解答即可； （2）①由图象分析右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为，然后利用待定系数法求函数解析式； ②连接圆与，作于点，如图2，从而得到米，米，利用勾股定理求得米，求得米，米，进而得解． 【详解】（1）解：设圆弧型拱桥的圆心为，圆的半径为，连接，交于点，如图1， 由题意得：，米，米， ∴米，米， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， 答：圆弧型桥拱所在圆的半径为13米； （2）①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为，设其表达式为，将代入得： ， 解得：， ∴右边钢缆所在抛物线表达式为：； ②由题意可知，即为所求彩带的长度，如图2，连接圆与，作于点， 则米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：经过钢缆最低点的彩带的长度为米． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题24.1 圆的有关性质（圆的概念、垂径定理、弧、弦、圆心角） 目录 【典型例题】 1 【考点一 求过圆内一点的最长弦】 1 【考点二 利用垂径定理求值】 3 【考点三 利用垂径定理求平行弦问题】 5 【考点四 垂径定理的推论】 8 【考点五 垂径定理的实际应用】 9 【考点六 圆心角概念辨析】 12 【考点七 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 14 【考点八 利用弧、弦、圆心角的关系求证】 16 【过关检测】 21 【典型例题】 【考点一 求过圆内一点的最长弦】 例题：（23-24九年级下·全国·单元测试）已知的半径是，则中最长弦长是 （    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24九年级下·吉林松原·阶段练习）如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知的半径为3，且A，B是上不同的两点，则弦的范围是 ． 【考点二 利用垂径定理求值】 例题：（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，为的直径，弦于点E，已知，，则的半径为 ． 【变式训练】 1．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，是的半径，弦于点D，连接，若的半径为，的长为，则的长是 ． 2．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，是的弦，，垂足为C，将劣弧沿弦折叠交于点D，，若，则的半径为 ． 【考点三 利用垂径定理求平行弦问题】 例题：（2023九年级上·全国·专题练习）已知的直径为， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 【变式训练】 1．（22-23九年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在圆中两条平行弦的长分别6和8，若圆的半径为5，则两条平行弦间的距离为 ． 2．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）设AB、CD是⊙O的两条弦，ABCD．若⊙O的半径为13，AB=24，CD=10，则AB与CD之间的距离为 ． 【考点四 垂径定理的推论】 例题：（23-24九年级上·广西防城港·期末）下列判断正确的是（　　） A．弦心距相等则弦也相等 B．不与直径垂直的弦，不可能被该直径平分 C．在两个圆中，若有两条弦相等，则这两条弦所对的弧一定相等 D．弦的垂直平分线必定经过圆心 【变式训练】 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧 B．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心 C．过弦中点的直径平分弦所对的两条弧 D．平分弦所对的两条弧的直线平分弦 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）下列命题正确的有（    ） ①平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦；②垂直于弦的直线平分弦；③平分弦的直线必平分弦所对的两条弧；④与直径不垂直的弦不能被该直径平分；⑤平分弦的直径必平分弦所对的两条弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点五 垂径定理的实际应用】 例题：（24-25九年级上·北京海淀·期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，当筒车工作时，则盛水桶在水面以下的最大深度为 m．      【变式训练】 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）我国数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”．问题翻译为：如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来测得深度为8寸，锯长AB为24寸，则圆材的直径为 寸． 2．（2024九年级上·北京·专题练习）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，则直径长为 寸． 【考点六 圆心角概念辨析】 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，表示圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·福建泉州·期中）下列图形中的角是圆心角的是（　　） A．  B．  C．  D．   2．（23-24九年级上·全国·课后作业）图中是圆心角的是（　　） A．  B．   C．   D．   【考点七 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 例题：（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，的直径，半径，点在弧上，，，垂足分别为、，若点为的中点，弧的度数为 ．    【变式训练】 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，半径，，则的度数是 ． 2．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交于点D、点E，则弧的度数为 ． 【考点八 利用弧、弦、圆心角的关系求证】 例题：（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，，是的半径，且，弦分别经过，的中点D，E． (1)求证：； (2)求证：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·上海·期中）如图，是的两条弦，且． (1)求证：平分； (2)若，求半径的长． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，A，C在以AB为直径的⊙O上，D为弧AC的中点，连接BD与AC交于点E，若 (1)求证： (2)求⊙O 的半径． 【过关检测】 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列说法中正确的个数是（   ） ①直径是圆中最长的弦  ②平分弦的直径垂直于弦  ③长度相等的两条弧是等弧  ④、是的两条弦，被垂直平分，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，点是弧的中点，，则弧的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，的直径与弦交于点，且，若所对的圆心角的度数为，则所对的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山西阳泉·期中）如图，是的直径，是弦，于点E．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，为的直径，点是弧的中点．过点作于点，交于点，若，，则的半径长是（   ） A．4 B．5.5 C． D． 6．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是如图，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺10寸）．这根圆柱形木材的直径是（    ） A．6寸 B．寸 C．13寸 D．26寸 二、填空题 7．（23-24九年级上·吉林·期中）已知中最长的弦长为，则的半径为 ． 8．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，则 ． 9．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，，于点E，若的半径为3，则的长为    10．（24-25九年级上·广东珠海·期中）把半径长为2.5的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则 ．    11．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）的半径为，弦，则与之间的距离是 ． 12．（2023·云南大理·一模）如图，在中，是的直径，，、为弧的三等分点，是上一动点，的最小值是 ．    三、解答题 13．（24-25九年级上·北京·期中）如图，是的弦，半径，垂足为D，． (1)________． (2)若D为中点，求的半径． 14．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点B、C． (1)求证： (2)当时，求大圆与小圆的面积之差． 15．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，隧道的截面由圆弧和矩形构成，矩形的长为宽为，隧道的顶端E（圆弧的中点）高出道路（） (1)求圆弧所在圆的半径： (2)如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高宽，那么这辆货运卡车能否通过该隧道? 16．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，以的顶点A为圆心，为半径作，分别交、于E、F两点，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若的度数为，求的度数． 17．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，，点，在射线上，以为直径作半圆，圆心为，半圆交射线于点，． (1)如图1，当时，若，求的长； (2)如图2，若，且，求的值． 18．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图1是一座圆弧型拱桥侧面示意图．水面宽与桥长均为24米，桥拱顶部离水面的距离为8米，以桥拱顶部为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系． (1)求圆弧型桥拱所在圆的半径； (2)如图2，桥面上方有3根高度均为4米的支柱，，，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面的距离为1米． ①求出轴右侧一条钢缆抛物线的函数表达式； ②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求经过钢缆最低点的彩带的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $$