《专题7　相似三角形的判定与性质》专题培优2024－2025学年浙教版数学九年级上册

浙教版数学九年级上册专题培优 专题7 相似三角形的判定与性质 【知识梳理】 1.相似三角形的性质 (1)相似三角形的对应角_,对应边_. (2)相似三角形对应_、对应_、对应角_之比等于相似比. (3)相似三角形的周长之比等于_. (4)相似三角形的面积之比等于_. 2.相似三角形的判定 (1)_,所构成的三角形与原三角形相似. (2)_的两个三角形相似. (3)两边_,且夹角_的两个三角形相似. (4)三边_的两个三角形相似. 证明相似时先考虑角,若角的条件不够,再考虑证明两边夹角或三条边对应成比例(通常通过计算获得). 3.熟悉以下形如“A型”“X型”“子母型”“双直角型”“三直角型”等常见的相似三角形. 4.三角形的重心 三角形的_相交于一点,这个交点叫做三角形的重心.三角形的重心把每条_分成_的两条线段. 【例题探究】 【例1】 如图, ABC中,点D,E分别在AB,AC上,且==,下列结论正确的是( ) A.DE∶BC=1∶2 B. ADE与 ABC的面积比为1∶3 C. ADE与 ABC的周长比为1∶2 D.DE∥BC 【思路点拨】 根据相似三角形的判定与性质进行判断即可得出答案. 【例2】 如图,点E是平行四边形ABCD中BC的延长线上的一点,连结AE交CD于点F,交BD于点M,则图中相似三角形共有( ) A.4对 B.5对 C.6对 D.7对 【思路点拨】 由平行四边形条件可得两组对边分别平行,再根据相似三角形的判定定理即可得出结论. 【例3】 如图,在 ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,连结DE,EF.已知四边形BFED是平行四边形,=. (1)若AB=8,求线段AD的长. (2)若 ADE的面积为1,求平行四边形BFED的面积. 【思路点拨】(1)证明 ADE∽ ABC,根据相似三角形对应边成比例即可求出AD的长;(2)根据相似三角形面积的比等于相似比的平方分别求出 ABC和 EFC的面积,即可得出平行四边形BFED的面积. 【例4】 如图,在正方形ABCD中,E是CD上一点,连结AE.过点D作DM⊥AE,垂足为点M,⊙O经过点A、B、M,与AD相交于点F. (1)求证: ABM∽ DFM. (2)若正方形ABCD的边长为5,⊙O的直径为,求DE的长. 【思路点拨】 (1)由条件证明∠BAM=∠ADM,∠ABM=∠DFM,即可得出 ABM∽ DFM;(2)连结BF,得BF为⊙O的直径,由勾股定理可得到AF的长,从而得FD=3,由 ABM∽ DFM可得==,再证 ADM∽ DEM,可得=,即可得出DE的长度. 【例5】 如图,在 ABC中,AD是BC边上的中线,且AD=AC,DE⊥BC,DE与AB相交于点E,EC与AD相交于点F. (1)求证: FCD∽ ABC. (2)若S FCD=10,BC=16,求DE的长. 【思路点拨】 (1)由题意可得DE是BC的垂直平分线,所以EB=EC,得到∠B=∠DCE,根据AD=AC可以得到∠ADC=∠ACB,即可得出结论;(2)作AM⊥BC于点M,证明 BED∽ BAM,可得==,再由 ABC∽ FCD,利用相似三角形面积的比等于相似比的平方,得出S ABC=40,进而求得AM=5,即可求得DE的长. 【例6】 如图,在等腰三角形ABC中,∠BAC=120 ,AB=AC=2,点D是BC边上的一 个动点(不与B、C重合),在AC上取一点E,使∠ADE=30 . (1)求证: ABD∽ DCE. (2)设BD=x,AE=y,求y关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围. (3)当 ADE是等腰三角形时,求AE的长. 【思路点拨】 (1)根据两角对应相等的两个三角形相似即可得证;(2)利用相似三角形对应边成比例可得函数表达式;(3)分三种情况:AD=DE,AE=ED,AD=AE分别讨论求解. 【例7】 如图,在Rt ABC中,∠C=90 ,翻折∠C,使点C落在斜边AB上的某一点D处,折痕为EF(点E、F分别在边AC、BC上). (1)若 CEF与 ABC相似. ①当AC=BC=2时,AD的长为_; ②当AC=3,BC=4时,AD的长为_. (2)当点D是AB的中点时, CEF与 ABC相似吗?说明理由. 【答案解析】 【知识梳理】 1.相似三角形的性质 (1)相似三角形的对应角相等,对应边成比例. (2)相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比. (3)相似三角形的周长之比等于相似比. (4)相似三角形的面积之比等于相似比的平方. 2.相似三角形的判定 (1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似. (2)两个角对应相等的两个三角形相似. (3)两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似. (4)三边对应成比例的两个三角形相似. 证明相似时先考虑角,若角的条件不够,再考虑证明两边夹角或三条边对应成比例(通常通过计算获得). 3.熟悉以下形如“A型”“X型”“子母型”“双直角型”“三直角型”等常见的相似三角形. 4.三角形的重心 三角形的三条中线相交于一点,这个交点叫做三角形的重心.三角形的重心把每条中线分成1∶2的两条线段. 【例题探究】 【例1】 如图, ABC中,点D,E分别在AB,AC上,且==,下列结论正确的是( ) A.DE∶BC=1∶2 B. ADE与 ABC的面积比为1∶3 C. ADE与 ABC的周长比为1∶2 D.DE∥BC 【解题过程】∵==, ∴==. ∵∠A=∠A, ∴ ADE∽ ABC, ∴DE∶BC=1∶3,故选项A错误; ∵ ADE∽ ABC, ∴ ADE与 ABC的面积比为1∶9,周长比为1∶3,故选项B和C错误; ∵ ADE∽ ABC, ∴∠ADE=∠B, ∴DE∥BC,故选项D正确. 故选D. 【方法归纳】 本题考查了相似三角形的判定与性质,掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键. 【例2】 如图,点E是平行四边形ABCD中BC的延长线上的一点,连结AE交CD于点F,交BD于点M,则图中相似三角形共有( ) A.4对 B.5对 C.6对 D.7对 【解题过程】 在 ABCD中,AB∥CD,AD∥BC, ∴ ABM∽ FDM, EFC∽ EAB∽ AFD, ADM∽ EBM, ABD≌ CDB, ∴图中相似三角形共有6对. 故选C. 【方法归纳】 本题主要考查了相似三角形的两种判定方法:①判定三角形相似的预备定理;②有两个角对应相等的两个三角形相似. 【例3】 如图,在 ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,连结DE,EF.已知四边形BFED是平行四边形,=. (1)若AB=8,求线段AD的长. (2)若 ADE的面积为1,求平行四边形BFED的面积. 【解题过程】 (1)∵四边形BFED是平行四边形, ∴DE∥BC, ∴ ADE∽ ABC, ∴===. ∵AB=8, ∴AD=2. 【解题过程】∵ ADE∽ ABC, ∴=,即=, ∴S ABC=16, ∵四边形BFED是平行四边形, ∴EF∥AB, ∴ EFC∽ ABC, ∴=,即=, ∴S EFC=9, ∴平行四边形BFED的面积为16-9-1=6. 【方法归纳】 本题主要考查平行四边形的性质、相似三角形的性质和判定,掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题关键. 【例4】 如图,在正方形ABCD中,E是CD上一点,连结AE.过点D作DM⊥AE,垂足为点M,⊙O经过点A、B、M,与AD相交于点F. (1)求证: ABM∽ DFM. (2)若正方形ABCD的边长为5,⊙O的直径为,求DE的长. 【解题过程】 (1)∵四边形ABCD为正方形, ∴∠BAD=90 . ∴∠BAM+∠MAD=90 . ∵DM⊥AE, ∴∠MAD+∠ADM=90 . ∴∠BAM=∠ADM. ∵四边形BAFM为⊙O的内接四边形, ∴∠ABM+∠AFM=180 . ∵∠AFM+∠MFD=180 , ∴∠ABM=∠MFD. ∴ ABM∽ DFM. (2)如图,连结BF. ∵∠BAF=90 , ∴BF为⊙O的直径. 在Rt ABF中,由勾股定理,得AF==2. ∴FD=3. ∵ ABM∽ DFM, ∴==. ∵∠DAM=∠EDM,∠AMD=∠DME=90 , ∴ ADM∽ DEM. ∴==. ∴DE=AD= 5=3. 【方法归纳】 本题主要考查相似三角形的判定及性质.(2)问中判定 ADM∽ DEM是解题的关键. 【例5】 如图,在 ABC中,AD是BC边上的中线,且AD=AC,DE⊥BC,DE与AB相交于点E,EC与AD相交于点F. (1)求证: FCD∽ ABC. (2)若S FCD=10,BC=16,求DE的长. 【解题过程】 (1)证明:∵AD是BC边上的中线,∴BD=DC. ∵DE⊥BC,∴EB=EC,∴∠B=∠DCE. ∵AD=AC,∴∠ADC=∠ACB,∴ ABC∽ FCD. 【解题过程】解:如答图,过点A作AM⊥BC,垂足为点M, ∵AD=AC, ∴DM=DC. ∵BD=DC,∴=. ∵DE⊥BC,AM⊥BC,∴DE∥AM,∴ BED∽ BAM,∴==, ∵ ABC∽ FCD,BC=2CD, ∴=4,即=4, ∴S ABC=40. ∵BC=16, ∴AM=5, ∴DE=AM=. 【方法归纳】 本题主要考查相似三角形的判定与性质,添加辅助线构造三角形相似是解决本题的关键. 【例6】 如图,在等腰三角形ABC中,∠BAC=120 ,AB=AC=2,点D是BC边上的一 个动点(不与B、C重合),在AC上取一点E,使∠ADE=30 . (1)求证: ABD∽ DCE. (2)设BD=x,AE=y,求y关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围. (3)当 ADE是等腰三角形时,求AE的长. 【解题过程】 (1)∵ ABC是等腰三角形,∠BAC=120 ,∴∠B=∠C=30 . ∵∠ADE=30 ,∠ADC=∠B+∠DAB, ∴∠EDC+30 =30 +∠DAB,∴∠EDC=∠DAB, ∴ ABD∽ DCE. 【解题过程】如图1,过点A作AF⊥BC于点F. ∵AB=AC=2,∠ABF=30 , ∴AF=AB=1,∴BF=,∴BC=2BF=2, ∴DC=2-x,EC=2-y. ∵ ABD∽ DCE,∴=,即=, ∴y=x2-x+2(0<x<2). 【解题过程】当AD=DE时,如图2, 由(1)可知,此时 ABD≌ DCE, ∴AB=CD,即2=2-x. ∴x=2-2.代入y=x2-x+2, 得y=4-2,即AE=4-2. 当AE=ED时,如图3, ∴∠EAD=∠EDA=30 ,∠AED=120 .∴∠DEC=60 ,∠EDC=90 . ∴ED=EC,即y=(2-y).解得y=,即AE=. 当AD=AE时, ∴∠AED=∠EDA=30 ,∠EAD=120 , 此时点D与点B重合,不符合题意,舍去. ∴当 ADE是等腰三角形时,AE的长为4-2或. 【方法归纳】 本题是相似三角形的综合题,考查三角形相似的性质和判定、等腰三角形的性质、直角三角形30 角的性质以及分类讨论的思想.解题时要灵活运用相似三角形的性质. 【例7】 如图,在Rt ABC中,∠C=90 ,翻折∠C,使点C落在斜边AB上的某一点D处,折痕为EF(点E、F分别在边AC、BC上). (1)若 CEF与 ABC相似. ①当AC=BC=2时,AD的长为_; ②当AC=3,BC=4时,AD的长为_. (2)当点D是AB的中点时, CEF与 ABC相似吗?说明理由. 【解题过程】 (1)若 CEF与 ABC相似. ①当AC=BC=2时, ABC为等腰直角三角形,如图1所示, 此时D为AB的中点,连结CD,AD=AC=. ②当AC=3,BC=4时,有两种情况: (i)若CE∶CF=3∶4,如图2所示. ∵CE∶CF=AC∶BC=3∶4,∠ECF=∠ACB, ∴ CEF∽ CAB,∴∠CEF=∠A, ∴EF∥AB. 连结CD.由折叠的性质可知,CD⊥EF,∴CD⊥AB,即此时CD为AB边上的高. 在Rt ABC中,AC=3,BC=4,∴AB=5, ∴CD==, ∴AD==1.8. (ii)若CF∶CE=3∶4,如图3所示. ∵ CEF∽ CBA,∴∠CEF=∠B. 连结CD.由折叠的性质可知,∠CEF+∠ECD=90 . 又∵∠A+∠B=90 , ∴∠A=∠ECD,∴AD=CD. 同理可得∠B=∠FCD,∴CD=BD, ∴AD=AB= 5=2.5. 综上所述,当AC=3,BC=4时,AD的长为1.8或2.5. (2)当点D是AB的中点时, CEF与 CBA相似.理由如下: 如图3所示,连结CD,与EF交于点Q. ∵CD是Rt ABC的中线,∴CD=AB=DB,∴∠DCB=∠B. 由折叠的性质可知,∠CQF=∠DQF=90 , ∴∠DCB+∠CFE=90 . ∵∠B+∠A=90 ,∴∠CFE=∠A. 又∵∠ECF=∠BCA,∴ CEF∽ CBA. 【方法归纳】 本题是几何综合题,考查几何图形折叠问题和相似三角形的判定与性质.第(1)②问需要分两种情况分别计算,此处容易漏解,需要引起注意. 学科网(北京)股份有限公司 $$