26.1 反比例函数 （学案+练习） 2024--2025学年人教版九年级数学下册

26.1 反比例函数 ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ 一、选择题（共10小题） 1．（2024•重庆）已知点在反比例函数的图象上，则的值为　　 A． B．3 C． D．6 2．（2024•平顶山一模）若反比例函数经过点，则一次函数的图象一定不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2024秋•德惠市期中）如图，已知矩形的两点、在反比例函数的图象上，点和点都在坐标轴上，且的坐标为，，则的值为　　 A． B． C． D． 4．（2024•济宁）已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 5．（2024春•江津区月考）已知一次函数与反比例函数的图象交于，则反比例函数经过点　　 A． B． C． D． 6．（2024•东营一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，．则关于的不等式的解集是　　 A．或 B．或 C．或 D．或 7．（2024•揭东区一模）若点，，，，，都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是　　 A． B． C． D． 8．（2024•水富市校级模拟）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 9．（2023秋•阿瓦提县期末）如图，点是反比例函数的图象上任意一点，过点作轴，垂足为，若的面积等于5，则的值等于　　 A．2.5 B．10 C． D． 10．（2024秋•济南月考）反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 二、填空题（共10小题） 11．（2023秋•白银期末）反比例函数的图象如图所示，则的值可能是 　　． 12．（2023秋•兴宁市期末）直线与双曲线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为　　． 13．（2023•西城区校级模拟）在平面直角坐标系中，反比例函数 和 的图象如图所示，的值可以是 　　．（写出一个即可） 14．（2023秋•七星区校级期中）如图，已知反比例函数和的图象分别为，，是上一点，过点作轴，垂足为，与交于点．若的面积为2，则的值为 　　． 15．（2023•秦淮区二模）若一个数大于它的倒数，结合和的图象（如图），可知的取值范围是 　　． 16．（2021秋•万柏林区校级月考）若反比例函数的图象如图所示，则的值可以是 　　（写出一个即可）． 17．（2019•海口模拟）反比例函数经过，则图象在　 　象限． 18．（2018春•余杭区期末）已知一个函数的图象与反比例函数的图象关于轴对称，则这个函数的表达式是　　． 19．（2024•江汉区校级模拟）若反比例函数的图象在每一象限内，随的增大而增大，则的取值范围是 　　． 20．（2024•弥勒市二模）已知点在函数的图象上，则经过点的反比例函数的解析式为　　． 三、解答题（共7小题） 21．（2024•常州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、． （1）求一次函数、反比例函数的表达式； （2）连接、，求△的面积． 22．（2024秋•临泉县月考）已知反比例函数为常数）． （1）若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； （2）当时，随的值增大而减小，求的取值范围． 23．（2024春•万州区期中）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，且点的横坐标和点的纵坐标都是． （1）求一次函数的关系式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式中的取值范围． 24．（2024春•万州区校级期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点， （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）已知点的坐标，求△的面积． 25．（2024秋•蒙城县月考）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集． 26．（2024•兰山区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点，的坐标分别为和． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）请直接写出不等式的解集； （3）点为反比例函数图象上的任意一点，若，求点的坐标． 27．（2024•张家川县一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，在反比例函数图象上，直线交于点，交，轴正半轴于点，，且 （1）求的长； （2）若，求的值． 一、选择题（共10小题） 1．【答案】 【解答】解：点在反比例函数的图象上， ． 故选：． 2．【答案】 【解答】解：反比例函数经过， ， 一次函数解析式为，根据、的值得出图象经过二、三、四、象限，不过第一象限． 故选：． 3．【答案】 【解答】解：如图，过作于，过作于， ，， 矩形， ， ， △△，而， ， ， ，， 同理可得：，， 设，， ，， ， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， ； 故选：． 4．【答案】 【解答】解：在反比例函数中，反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大， 在第四象限， ， ， ， ， 故选：． 5．【答案】 【解答】解：由题意得，将代入， 得：， ． 将代入， ． 反比例函数解析式为：， ， ，同号，即所过点的横纵坐标同号， 故选：． 6．【答案】 【解答】解：在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为， 在反比例函数图象上， ， ， 由题意得关于的不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围， 关于的不等式的解集为或， 故选：． 7．【答案】 【解答】解：当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：． ． 故选：． 8．【答案】 【解答】解：， 图象在二四象限， ， ； 故选：． 9．【答案】 【解答】解：轴，的面积等于5， ， 而图象在第二象限，， ， 故选：． 10．【答案】 【解答】解：当时，，反比例函数的图象在二，四象限，一次函数的图象过一、三、四象限，无符合选项； 当时，，反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的图象过一、二、四象限，选项符合． 故选：． 二、填空题（共10小题） 11．【答案】（答案不唯一）． 【解答】解：双曲线的两支分别位于第二、第四象限， ， 可取． 故答案为：（答案不唯一）． 12．【答案】或． 【解答】解：直线与双曲线在同一平面直角坐标系中的图象的交点的横坐标是和3， 关于的不等式的解集是或， 故答案为：或． 13．【答案】2（答案不唯一）． 【解答】解：如图， 当时，、的坐标分别为，， ， ． 故答案为：2（答案不唯一）． 14．【答案】． 【解答】解：反比例函数和，， ，， ， ， 反比例函数图象位于第二象限， ， ， 故答案为：． 15．【答案】或． 【解答】解：令，解得， 函数和的图象的交点的横坐标为和1， 由图象可知当或时，一次函数的图象在反比例函数的上方， 根据图象可知的取值范围是或． 故答案为：或． 16．【答案】（答案不唯一）． 【解答】解：反比例函数的图象在第二象限， ， （答案不唯一）． 17．【解答】解：反比例函数经过， ， 图象在二四象限， 故答案为二四． 18．【解答】解：反比例函数的图象关于轴对称的函数互为相反数，不变．得． 故答案为． 19． 【解答】解：反比例函数的图象，在每个象限内随的增大而增大， ，解得． 故答案为：． 20．【答案】． 【解答】解：把点代入， ， ， ， 把点代入，得：， 解得：， 此函数的解析式为． 故答案为：． 三、解答题（共7小题） 21． 【解答】解：（1）一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、， ， ，， 反比例函数解析式为， 一次函数的图象过、， ，解得， 一次函数解析式为． （2）如图，设直线与轴的交点为点， 在函数中，当时，， ，即， ． 22．【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得， 的取值范围是； （2）反比例函数为常数），当时，随的值增大而减小， ， 解得， 的取值范围是． 23．【答案】（1）； （2）6； （3）或． 【解答】解：（1）点的横坐标和点的纵坐标都是， 又一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， 点纵坐标为，点横坐标为， 点坐标为，点坐标为， 将点，点代入， 得， 解得， 一次函数解析式为； （2）一次函数与轴交于点， 点坐标为， ， ， 的面积为6； （3）根据图象可知，不等式的解集为或． 24．【答案】（1）反比例函数解析式为；一次函数解析式为；（2）10． 【解答】（1）解：在反比例函数图象上， ， 解得：， 反比例函数解析式为：， 将代入反比例函数解析式为：， ， 将，代入一次函数解析式得：， 解得：， 一次函数解析式为； （2）解：如图， ， 在中，当时，， 解得：， ， ， ． 25．【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为； （2）不等式的解集为或． 【解答】解：（1）反比例函数图象点， ， 反比例函数解析式为：， 点在反比例函数图象上， ， 点， 根据题意得：，解得：， 一次函数解析式为：； （2）观察图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，即， 所以不等式的解集为：或． 26．【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； （2）或； （3）点的坐标为或． 【解答】解：（1）直线过点，． ， ， 一次函数的解析式为， 反比例函数的图象过点， ， 反比例函数的解析式为； （2）把代入，得， 点的坐标为， 观察图象，不等式的解集为或； （3）把代入得：， 即点的坐标为：， ， ， ， ， 当点的纵坐标为3时，则，解得， 当点的纵坐标为时，则，解得， 点的坐标为或． 27． 【解答】解：（1）， ，， 菱形， ，，，， 为等腰直角三角形，， ； 答：的长为6． （2）过点作，垂足为，则是等腰直角三角形， 设，则，， 在中，由勾股定理得： ，解得：， 当时，，，， 当时，，，， 因此： 答：的值为：4． 第20页（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 26.1 反比例函数 ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ 【题型1】反比例函数的概念 4 【题型2】用待定系数法求反比例函数的解析式 7 【题型3】反比例函数的图象的对称性 10 【题型4】反比例函数的图象的性质 13 【题型5】反比例函数中比例系数k的几何意义 16 【题型6】反比例函数与一次函数的图象在同一坐标系中表示 19 【题型7】反比例函数与一次函数综合 24 1．反比例函数 （1）概念：一般地，形如y=（k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数．其中x是自变量，y是函数．自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． （2）三种表示形式 ①y=（k为常数，k≠0）． ②xy=k（k为常数，k≠0）． ③（k为常数，k≠0）． （2）反比例函数y=中的x，y成反比例，无论变量x，y怎样变化，k的值始终等于x与y的乘积，因此人们习惯上称k为比例系数，若k=0，则y=0恒成立，为一常数函数，失去了反比例函数的意义． 2．用待定系数法求反比例函数的解析式 （1）设——根据题意，设反比例函数的解析式为； （2）代——把它的一对对应值（x，y）代入中，得到关于k的方程； （3）解——解方程，求出常数k； （4）写——把k的值代入反比例函数的解析式中即可写出解析式． 3．反比例函数的图象和性质 （1）反比例函数图象的画法 ①列表：自变量的取值以原点O为中心，一般地，在点O的两边分别取三列表对或三对以上互为相反数的数，并计算相应的y值，以表格的形式表示出来； ②描点：以表格中各对对应值为点的坐标，描出各点； ③连线：按照从左到右的顺序用平滑的连线曲线顺次连接各点并向两端延伸． （2）反比例函数图象的特点 ①反比例函数的图象是双曲线，它的两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限； ②双曲线有两个分支，延伸部分无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交； ③双曲线既是中心对称图形（对称中心是原点），又是轴对称图形（对称轴是直线y=x或直线y=-x）． （3）①自变量x的取值范围是x≠0的一切实数； ②必须用平滑的曲线连接各点，而不能用折线； ③因为x≠0，y≠0，所以图象不可能经过原点，且与x轴、y轴都没有交点； ④为了更好地反映图象的全貌，要尽可能多地取一些数值，多描一些点． （4）反比例函数的性质： 反比例函数 k的符号 k>0 k<0 图象 性质 （1）自变量x的取值范围为x≠0； （2）图象的两个分支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小 （1）自变量x的取值范围为x≠0； （2）图象的两个分支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大 4．反比例函数中比例系数k的几何意义 如图，过双曲线上任意一点P（x，y）分别作x轴、y轴的垂线PM，PN，所得长方形PMON的面积S=PM·PN =|y|·|x|=|xy|．因为，所以xy=k，所以S=|k|，即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得长方形的面积为|k|． 1．识别一个函数是不是反比例函数，可对照反比例函数的基本形式或变形形式xy=k（k是常数，k≠0），（k是常数，k≠0）进行筛选． 2．因为（k≠0）中k有正、负之分，所以在利用函数解析式求矩形、三角形面积时，都加上绝对值符号． 【题型1】反比例函数的概念 例1 （2024秋•沅陵县校级月考）下列等式中，是的反比例函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义：形如为常数，的函数称为反比例函数，分别判断即可． 【解答】解：是正比例函数，不是反比例函数， 故不符合题意； 不是反比例函数， 故不符合题意； 是一次函数，不是正比例函数， 故不符合题意； ，是反比例函数， 故符合题意， 故选：． ◄ 点拨 ► 判断一个函数是不是反比例函数，先看它是否能写成反比例函数的三种解析式形式，再看k是否为不等于0的常数． 反比例函数的三种表示形式： ①y=（k为常数，k≠0）． ②xy=k（k为常数，k≠0）． ③（k为常数，k≠0）． 【变式1】　（2023秋•古冶区期末）下列函数中，是的反比例函数的是　　 A． B． C． D． 【变式2】　（2023秋•斗门区期末）在下列函数中，是的反比例函数的是　　 A． B． C． D． 【变式3】　（2023秋•怀化期末）下列函数中，是的反比例函数的是　　 A． B． C． D． 1．【答案】 【分析】根据反比例函数的定义解答即可． 【解答】解：，，不是反比例函数，不符合题意； 是反比例函数，符合题意． 故选：． 2．【答案】 【分析】根据反比例函数转化为的形式，可得答案． 【解答】解：、 不是反比例函数，故不符合题意； 、不是反比例函数，故不符合题意； 、是反比例函数，故符合题意； 、不是反比例函数，故不符合题意． 故选：． 3．【答案】 【分析】根据形如为常数，的函数称为反比例函数，即可判断． 【解答】解：、是一次函数，不是反比例函数， 故选项不符合题意； 、是反比例函数，， 故选项符合题意； 、不是反比例函数， 故选线不符合题意； 、的次数是2次的，不是反比例函数， 故选项不符合题意， 故选：． 【题型2】用待定系数法求反比例函数的解析式 例2 （2024•双柏县三模）已知反比例函数的图象经过点，那么该反比例函数的表达式为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据待定系数法求反比例函数解析式解答即可． 【解答】解：设反比例函数解析式为， 反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数解析式为． 故选：． ◄ 点拨 ► 用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： ①设出含有待定系数的函数解析式； ②把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于待定系数的方程（组）； ③解方程（组），求出待定系数；④将求得的待定系数的值代回所设的解析式． 【变式4】　（2024•罗平县模拟）若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的解析式为　　 A． B． C． D． 【变式5】　（2024•渭城区二模）在平面直角坐标系中，已知点，在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 　　． 【变式6】　（2024•昭阳区一模）若点关于原点的对称点在反比例函数的图象上，则该反比例函数的解析式为 　　． 4．【答案】 【分析】把代入函数中求出的值即可求出函数解析式． 【解答】解：设反比例函数的解析式为， 把代入函数，得，． 所以，反比例函数的解析式为：． 故选：． 5．【答案】． 【分析】设这个反比例函数的表达式是，根据题意列方程，求得，于是得到结论． 【解答】解：设这个反比例函数的表达式是， 点，在同一个反比例函数的图象上， ， ， ， 这个反比例函数的表达式是， 故答案为：． 6．【答案】． 【分析】先求出点关于原点的对称点，再代入反比例函数即可求解． 【解答】解：点关于原点的对称点是， 把代入得：， 该反比例函数的解析式为， 故答案为：． 【题型3】反比例函数的图象的对称性 例3 （2023•海口二模）如图，直线与双曲线相交于、两点，则点坐标为　　 A． B． C． D．， 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【解答】解：点与关于原点对称， 点的坐标为． 故选：． ◄ 点拨 ► 反比例函数图象的对称性： 反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线；②一、三象限的角平分线；对称中心是：坐标原点． 【变式7】　（2024•汝南县一模）如图，双曲线与直线相交于、两点，点坐标为，则点坐标为　　 A． B． C． D． 【变式8】　（2023秋•宣汉县期末）正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，那么点的坐标为　　 A． B． C． D． 【变式9】　（2023秋•竞秀区期末）如图，点是反比例函数的图象与的一个交点，图中阴影部分的面积为，则该反比例函数的表达式为　　 A． B． C． D． 7．【答案】 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【解答】解：点与关于原点对称，且点坐标为， 点的坐标为． 故选：． 8．【分析】解由两个函数解析式组成的方程组可求交点坐标． 【解答】解：解方程组 得，． 因为点的坐标为，那么点的坐标为． 故选：． 9．【答案】 【分析】根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积，即可求得圆的半径，再根据在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得的值． 【解答】解：设圆的半径是，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：． 解得：． 点是反比例函数与的一个交点． 且． ． ， 则反比例函数的解析式是：． 故选：． 【题型4】反比例函数的图象的性质 例4 （2024•宜兴市模拟）反比例函数的图象在每一象限内随的增大而减小，那么的值可以是　　 A． B．0 C．5 D．6 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质解答即可． 【解答】解：反比例函数的图象在每一象限内随的增大而减小， ，即． 故选：． ◄ 点拨 ► 1．反比例函数的增减性，必须强调在“每一象限内”． 2．反比例关系不一定是反比例函数，比如y与x2成反比例，但y不是x的反比例函数，但反比例函数中的两个变量一定成反比例关系． 【变式10】　（2023秋•息县期末）已知反比例函数图象的两支分布在第二、四象限，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【变式11】　（2024•肇东市模拟）反比例函数的图象，当时，随的增大而增大，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【变式12】　（2023秋•固原期末）关于反比例函数，下列说法中错误的是　　 A．时，随的增大而减小 B．当时， C．它的图象位于第二、四象限 D．当时，有最小值为 10．【答案】 【分析】根据反比例函数的图象和性质，由即可解得答案． 【解答】解：反比例函数图象的两支分布在第二、四象限， ， 解得． 故选：． 11．【答案】 【分析】根据反比例函数的性质解题． 【解答】解：当时，随的增大而增大， 函数图象必在第四象限， ， ． 故选：． 12．【答案】 【分析】根据反比例函数的单调性、所在的象限进行判断即可． 【解答】解：、，反比例函数位于第一、三象限，且在每一个象限内随的增大而减小；故本选项正确，不符合题意； 、，反比例函数位于第一、三象限，且在每一个象限内随的增大而减小；当时，，故本选项正确，不符合题意； 、，反比例函数位于第一、三象限，故本选项错误，符合题意； 、，反比例函数位于第一、三象限，且在每一个象限内随的增大而减小；当时，，则有最小值为，故本选项正确，不符合题意； 故选：． 【题型5】反比例函数中比例系数k的几何意义 例5 （2024•天河区校级三模）如图，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，点是点关于轴的对称点，连接，若的面积为18，则的值为　　 A．18 B．36 C． D． 【答案】 【分析】根据点与点关于轴对称，求出，再根据三角形中线平分三角形的面积和反比例函数系数的几何意义可求出的值． 【解答】解：连接， 点是点关于轴的对称点， ， ， 的面积为18， ， ． 又反比例函数的图象在第二象限， ． 故选：． ◄ 点拨 ► 由于k有正、负之分，在利用反比例系数k的几何意义，求面积时，加上绝对值符号． 【变式13】　（2024秋•娄星区校级月考）如图，反比例函数在第一象限，△的面积是1.5，则反比例函数中，是　　 A．1.5 B． C．3 D． 【变式14】　（2024•萨迦县一模）如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作平行四边形，使点、在轴上，点在轴上．已知平行四边形的面积为6，则的值为　　 A．6 B． C．3 D． 【变式15】　（2024秋•资兴市月考）反比例函数的图象如图所示，若△的面积是3，则的值为 　　． 13．【答案】 【分析】根据所给三角形的面积，得出，再根据所给图象即可解决问题． 【解答】解：因为△的面积为1.5， 所以， 则． 又因为反比例函数的图象在第一象限， 所以． 故选：． 14．【分析】作于，由四边形为平行四边形得轴，则可判断四边形为矩形，所以，根据反比例函数的几何意义得到，利用反比例函数图象得到． 【解答】解：作于，如图， 四边形为平行四边形， 轴， 四边形为矩形， ， 而， ， 而，即， ． 故选：． 15．【答案】． 【分析】利用反比例函数的几何意义解决问题即可． 【解答】解：四边形是矩形， 由题意，△的面积的二倍， ， 故答案为：． 【题型6】反比例函数与一次函数的图象在同一坐标系中表示 例6 （2023秋•双峰县期末）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】时的情况下，根据一次函数和反比例函数图象的特点进行判断即可． 【解答】解：， 一次函数经过一、二、四象限，反比例函数的图象经过二、四象限， 故选项的图象符合要求． 故选：． ◄ 点拨 ► 解题的关键是掌握一次函数和反比例函数的图象和系数的关系． 【变式16】　（2024•昭阳区模拟）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致为　　 A． B． C． D． 【变式17】　（2024春•万州区期中）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可以是　　 A． B． C． D． 【变式18】　（2024•浦东新区模拟）在同一平面直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是　　 A． B． C． D． 16．【答案】 【分析】根据的取值范围，分别讨论和时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案． 【解答】解：①当时， 一次函数经过一、二、三象限， 反比例函数的的图象在一、三象限，故选项的图象符合要求； ②当时， 一次函数经过二、三、四象限， 反比例函数的的图象在二、四象限，没有符合条件的选项． 故选：． 17．【答案】 【分析】分别根据一次函数和反比例函数的图象判断和的符号，然后进行比较求解即可． 【解答】解：、由一次函数图象随的增大而增大可得，由一次函数与轴交于负半轴可得，即， 由反比例函数的图象在第一三象限可得， 选项符合题意； 、由一次函数图象随的增大而增大可得，由一次函数与轴交于正半轴可得，即，即， 由反比例函数的图象在第一三象限可得， 选项不符合题意； 、由一次函数图象随的增大而减小可得，由一次函数与轴交于正半轴可得，即，即， 由反比例函数的图象在第二四象限可得， 选项不符合题意； 、由一次函数图象经过原点可得，即， 由反比例函数图象可得， 选项不符合题意； 故选：． 18．【答案】 【分析】根据、的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论． 【解答】解：， ①若，，则经过一、三、四象限，反比例函数位于二、四象限， ②若，，则经过一、二、四象限，反比例函数位于一、三象限， 只有选项符合题意， 故选：． 【题型7】反比例函数与一次函数综合 例7 （2024•岳阳县一模）如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴相交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求一次函数的解析式； （3）连接，，求的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）的面积为4． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）先求出点的坐标，再根据进行求解即可． 【解答】解：（1）把代入中得：， ， 反比例函数解析式为； （2）把，代入中得：， ， 一次函数解析式为； （3）在中，当时，， ， ， ， ， ． ◄ 点拨 ► 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点． 【变式19】　（2024秋•西安校级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． （1）求反比例函数的解析式及点坐标； （2）直接写出不等式时的取值范围． 【变式20】　（2023秋•曲周县期末）如图，一次函数的图象与反比例函数且的图象在第一象限交于点、，且该一次函数的图象与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，过、分别作轴的垂线，垂足分别为、． 已知，． （1）求的值和反比例函数的解析式； （2）求一次函数的解析式． 【变式21】　（2024秋•七星区校级月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）在反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标． 19．【答案】（1）反比例函数的解析式为；； （2）不等式时的取值范围是或． 【分析】（1）将代入得出，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式为，联立，计算即可得解； （2）由函数图象即可得解． 【解答】解：（1）将代入得：， 解得：，即， 将坐标代入得， ； 联立方程组，解得：；， ； （2）由图象和交点坐标可得，不等式时的取值范围是或． 20．【答案】（1）的值为4或；反比例函数解析式为：；（2）． 【分析】（1）将点代入，即可求出的值，进一步可求出反比例函数解析式； （2）先证△△，由可求出的长度，可进一步求出点的坐标，然后利用待定系数法即可求出直线的解析式． 【解答】解：（1）将点代入，得：， 解得，，， 的值为4或； 反比例函数解析式为：； （2）轴，轴， ， △△， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 将，代入，得：， 解得：， ． 21．【答案】（1）反比例函数表达式为，一次函数表达式为； （2）点或． 【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据一次函数解析式先求出点、坐标，再设点点坐标为利用三角形面积公式计算出值即可得到点的坐标． 【解答】解：（1）一次函数的图象与反比例函数图象交于点，， ，， 反比例函数解析式为， 一次函数图象过，， ， 解得， 一次函数解析式为； （2）根据解析式可知，， ， ， 设点的坐标为， ， 解得， 点或． 第21页（共30页） 学科网（北京）股份有限公司 $$