第5章 一元一次方程 复习讲义 2024--2025学年人教版七年级数学上册

一元一次方程章节练习2----人教版2024新版2024-2025学年七年级上学期期末复习 知识回顾： 要点一、方程的有关概念 1．定义：含有未知数的等式叫做方程. 要点诠释： 判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数． 2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 要点诠释： 判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值；②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是． 3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程. 4．方程的两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（或未知数）. 要点二、一元一次方程的有关概念 定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 要点诠释： “元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件： ①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数． 要点三、等式的性质 　1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式. 　2．等式的性质： 　　等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即： 　　如果，那么 (c为一个数或一个式子) . 　　等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即： 如果，那么；如果，那么. 要点诠释： （1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； (2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立， 如x＝0中，两边加上得x＋，这个等式不成立; (3) 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零． 习题练习： 一、单选题 1．爸爸比儿子大27岁，今年爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，求父子二人今年各是多少岁？（   ） A．爸爸36岁，儿子9岁 B．爸爸35岁，儿子8岁 C．爸爸35岁，儿子9岁 D．爸爸36岁，儿子8岁 2．下列各式中，属于方程的是（    ） A． B． C． D． 3．已知等式，则下列等式中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．小明在计算有规律的算式时，不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了，则原式从左到右数，写错的运算符号是（  ） A．第11个 B．第12个 C．第13个 D．第14个 5．某商人一次卖出两件商品，一件赚了，一件赔了，卖价都是480元，在这次买卖过程中，商人（   ） A．赚了40元 B．赔了40元 C．赔了60元 D．不赚不赔 6．设，有，则y的值是（   ） A． B．4 C． D．1 7．某市对市区主干道进行绿化，现有甲、乙两个施工队，甲施工队有13位工人，乙施工队有27位工人，现计划有变，需要从乙施工队借调名工人到甲施工队，刚好甲施工队人数是乙施工队人数的3倍，则根据题意列出方程正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知方程有一个负根而没有正根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 9．关于x的一元二次方程的一个解是，则（    ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 10．下列等式的变形中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、填空题 11．点A在数轴上，点A所对应的数用表示，且点A到原点的距离等于8，则a的值为 ． 12．若方程是关于x的一元一次方程，则的值是 13．若，则 ；若，则 ． 14．下列各变形中： ①由，可得到后； ②由，可得到； ③由，可得到； ④由，可得到．其中一定正确的有 （填序号）． 15．已知关于x的方程是一元一次方程，则的值为 ． 16．若是关于x的一元一次方程，则的值为 ． 17．是关于x的方程的解，则m的值是 ． 18．把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分本，则剩余本；如果每人分本，则还缺本．则这个班有 名学生． 19．方程，■处是被墨水盖住的常数，已知方程的解是，那么■处的常数是 ． 20．方程的解是 ． 三、解答题 21．解下列方程： (1) (2) 22．方程求解 (1)； (2)． 23．解方程：． 24．观察下面三行数： 第一行：，4，，16，，64，…… 第二行：，2，，8，，32，…… 第三行：0，6，，18，，66，…… (1)第一行的第8个数是 ，第三行的第8个数是 ； (2)若设第一行的第n个数是x，则第二行的第n个数是 ，第三行的第n个数是 （用含x的式子表示） (3)取每行数的第n个数，这三个数的和能否等于322？若能，求出这三个数，若不能，请说明理由． 25．解下列方程： (1)； (2)． 26．【阅读材料】 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系．我们知道，是5的绝对值，可以理解为数5在数轴上所对应的点到原点的距离，表示5与2的差的绝对值，也可以理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可以理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如果有理数a、b在数轴上对应的点为点A、B，那么A、B两点之间的距离就可以表示为． 【理解运用】 请你结合数轴，运用阅读材料回答下列问题： (1)数轴上表示3和的两点之间的距离是_______； (2)如果，那么_______； (3)如果有理数a所表示的点到表示2和的点的距离之和为7，那么所有符合条件的整数a的和为_______； (4)已知，求x的值． 27．有以下运算程序，如图所示： 例如：输入数对，输出． (1)若输入数对，则输出 ； (2)分别输入数对和，输出的结果分别是，，试比较，的大小，并说明理由： (3)设，若输入数对之后，输出，求x的值． 28．阅读下列材料： 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：，，……都是含有绝对值的方程． 怎样才能求出含有绝对值的方程的解？ 以方程和为例来探求解法． 探究思路： 根据绝对值的意义，把绝对值的符号去掉，含有绝对值的方程转化为一元一次方程进行求解． 探究结论： 1．解方程． 解：根据绝对值的意义可得：或． 2．解方程． 分析：把看作一个整体． 解：根据绝对值的意义可得：或， 解得：或． 应用材料中的方法解下列方程： (1)； (2)． 29．解方程 (1)； (2)． 30．如图，已知点、、、在数轴上对应的数分别是、、、，其中、满足，点到原点距离是点到原点距离的倍． (1)填空： ； (2)如图，若点、、分别同时以每秒个单位长度、个单位长度和（）个单位长度的速度匀速向左运动，假设经过秒后，点与点之间的距离表示为． ①为何值时，？ ②若的值始终保持不变，求的值； (3)如图，将数轴在原点、点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点从点出发．以每秒个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点．同时，动点从点出发以每秒个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为秒．若、两点在点处相遇，则点表示的数为 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C B B B B A A C 1．A 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，依题意设儿子年龄是x岁，则爸爸的年龄为岁．可得，再解方程即可． 【详解】解：依题意设儿子年龄是x岁，则爸爸的年龄为岁． ∴， 解得：， ∴爸爸的年龄为36岁． 故选：A． 2．D 【分析】本题主要考查了方程的定义，解题的关键是掌握方程的定义：含有未知数的等式是方程． 根据方程的定义：含有未知数的等式是方程，即可进行解答． 【详解】解：A、不含未知数，不是方程，不符合题意； B、不是等式，故不是方程，不符合题意； C、不是等式，故不是方程，不符合题意； D、是含有未知数的等式，是方程，符合题意． 故选：D． 3．C 【分析】此题考查了等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数（或代数式），等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为的数（或代数式），等式仍然成立．根据等式的性质分别判断． 【详解】A、等式两边同时减去得：，原变形正确，故选项不符合题意； B、等式两边同时加上得：，原变形正确，故选项不符合题意； C、等式两边同时乘以得：，原变形错误，故选项符合题意； D、等式两边同时除以得：，原变形正确，故选项不符合题意； 故选：C． 4．B 【分析】本题考查有理数的加减运算及解一元一次方程，通过计算确定写错的符号，再根据计算的特点列出方程是解题的关键．先求出这列数的和为，再由题意可知是“”错写成“”，设写错符合的数是，则，解得，即可确定写出的运算符号是第12个． 【详解】解： ， 运算结果比小， “”错写成“”， 设写错符号的数是， ， 解得， 写错的运算符号第12个， 故选：B 5．B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系是解题关键．设赚了的商品进价为元，赔了的商品进价为元，根据卖价都是480元分别列方程求出进价，即可得到答案． 【详解】解：设赚了的商品进价为元， 则，解得（元）； 设赔了的商品进价为元， 则，解得， ∴（元）， 即这次买卖过程中，商人赔了40元． 故选：B． 6．B 【分析】此题考查解一元一次方程，根据题意列得方程求解即可，正确掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 【详解】解：设，， 则 去括号得 解得 故选：B． 7．B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据两队原有人数及借调人数，可得出借调后甲施工队有位工人，乙施工队有位工人，结合借调后甲施工队人数是乙施工队人数的3倍，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：∵要从乙施工队借调x名工人到甲施工队， ∴借调后甲施工队有位工人，乙施工队有位工人． 根据题意得：． 故选：B． 8．A 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的应用，根据得出方程，求出，计算即可得解，注意分类讨论思想的应用． 【详解】解：方程有一个负根而没有正根， ，原方程可化为：， ∴， ∴， ， ， 若，原方程可化为：， ∴， ， ， 没有正根， 不成立， ∴． 故本题选：． 9．A 【分析】本题考查了一元二次方程的解的概念，使方程两边成立的未知数的值叫方程的解． 利用一元二次方程解的定义得到，然后再对所求代数式变形，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是， ∴，即， ∴． 故选A． 10．C 【分析】此题考查解一元一次方程，分别解各选项的方程进行判断即可，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键 ． 【详解】解：A.若，则，故不符合题意； B.若，则，故不符合题意； C.若，则，故符合题意； D.若，则，故不符合题意； 故选：C． 11．或 【分析】本题主要考查了绝对值方程，数轴上两点距离计算公式，一元一次方程的应用，根据数轴上两点距离计算公式得到，则或，据此解方程即可． 【详解】解：∵点A所对应的数用表示，且点A到原点的距离等于8， ∴， ∴或， ∴或， 故答案为：或． 12． 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，能根据一元一次方程的定义得出是解此题的关键． 根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是一次的整理式方程叫一元一次方程，得到，解之即可求解． 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴， ∴． 故答案为：． 13． 5 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 故答案为：，5． 14．②③ 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】由，只有当时，等式的两边才能同时除以a得出，故①错误； 由的两边都减去3，得出，故②正确； 的两边都乘a得，故③正确； 由可得，故④错误． 综上，正确的有②③． 故答案为：②③ 15．3 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，以及解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解此题的关键． 根据一元一次方程未知数的次数为列方程，解方程可求出的值． 【详解】解：关于x的方程是一元一次方程， ， 解得：， 故答案为： 16． 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，绝对值，以及代数式求值，熟记“只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程是一元一次方程”是解题关键．根据一元一次方程的定义，求出，再代入计算求值即可． 【详解】解：是关于x的一元一次方程， ，， ， ， 故答案为：． 17． 【分析】此题考查方程的解，将方程的解代入方程求出m的值即可，正确理解方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：将代入方程， 得， 解得， 故答案为：． 18． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．设这个班有名学生，根据每人分本，则剩余本，可知共有本书，根据每人分本，则还缺本，可知共有本书，由此建立方程求解即可． 【详解】解：设这个班有名学生， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 19． 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的解的定义，熟练掌握方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．将，代入方程中，求出■的值即可． 【详解】将，代入方程中， 得， 解得， 故答案为：． 20．4 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，． 故答案为：4． 21．(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程； （1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解： 移项， 合并同类项， 化系数为1， （2）解： 去分母， 去括号， 移项， 合并同类项， 化系数为1， 22．(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． （1）系数化为1求解即可； （2）系数化为1求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ． 23． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程， 先去括号，再移项，合并同类项，最后化系数为1即可． 【详解】解： 24．(1) (2)，； (3)这三个数的和不能等于，理由见解析 【分析】本题考查了规律型数字的变化类，一元一次方程的应用，解决本题的关键是观察每一行数寻找规律． （1）分别找出第一行及第三行数的规律，再求出第一行的第8个数及第三行的第8个数； （2）观察每一行数的规律即可写出每一行的第n个数； （3）利用已知规律得出三行数据的规律进而得出方程求出即可． 【详解】（1）根据第一行数的规律知，第n个数为， ∴第一行的第8个数是， 根据第三行数的规律知，第n个数为， ∴第三行的第8个数是， 故答案为： （2）观察可得：若设第一行的第n个数是x，则第二行的第n个数是，第三行的第n个数是， 故答案为：，； （3）依题意得： ， 解得：， 即， 此方程无解， 故这三个数的和不能等于． 25．(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，“先去分母、再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1”，准确计算． （1）先移项合并同类项，再系数化为1即可； （2）先去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1即可． 【详解】（1）解：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：． （2）解：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 26．(1) (2)或 (3) (4)或 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用，解绝对值方程： （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）根据题意可得或，分别解方程即可得到答案； （3）分，，，三种情况分别去绝对值后解方程确定a的值，最后求和即可； （4）仿照（3）去绝对值解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，数轴上表示3和的两点之间的距离是， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或； （3）解：∵有理数a所表示的点到表示2和的点的距离之和为7， ∴， ∴， 当时，则，解得（舍去）； 当时，则，此时恒成立； 当时，则，解得（舍去）； 综上所述，当时，满足， 所有符合条件的整数a为， ∴所有符合条件的整数a的和为， 故答案为：； （4）解：∵， ∴当时，则，解得； 当时，则，此时不符合题意； 当时，则，解得； 综上所述，或． 27．(1)1 (2)；理由见解析 (3)x的值为或 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，化简绝对值及解一元一次方程．理解程序图中的运算法则是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2）由题意知，，，计算比较即可； （3）分，和三种情况，分别求出的值，再根据，分别求解即可． 【详解】（1）解：若输入数对，则输出； （2）解：，理由如下： 由题意知，， ， ∴； （3）解：当时，， ∴， 即， 解得:（不符合题意）； 当时，， ∴， 即， ∴或， 解得:或（不符合题意）； 当时，， ∴， 即， ∴当时，， 解得:（不符合题意）； 当时，， 解得:； 综上所述，x的值为或． 28．(1)或 (2)或 【分析】本题考查了绝对值的意义、解一元一次方程，正确理解绝对值的意义是解此题的关键． （1）根据绝对值的意义可得：或，再解一元一次方程即可得解； （2）根据绝对值的意义可得：或，再解一元一次方程即可得解． 【详解】（1）解：根据绝对值的意义可得：或， 解得：或； （2）解：根据绝对值的意义可得：或， 解得：或． 29．(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是： （1）按照去括号，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． （2）按照去分母，去括号，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 30．(1)； (2)①t为12秒时，；②； (3)． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴，非负数的性质，两点间的距离等知识点， （1）分别利用偶次方和绝对值的非负性质，求出和，再由与的数量关系求出，即可得解； （2）①分别用含的代数式表示出点和对应的数，再由、之间的距离列绝对值方程并求解即可；②化简得，由的值始终保持不变，得，故； （3）分别求出点在、、、上的速度，并将对应的数用含的代数式表示出来，并标明的取值范围；根据、两点相遇时，点和表示的数相同，建立方程并求解，求出此时点表示的数即可； 利用绝对值和偶次方的非负性求出和是解决本题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵点到原点距离是点到原点距离的倍 ∴，即 ∴， 故答案为：； （2）解：∵，，点到原点距离是点到原点距离的倍 ∴，即 ∴， ①经过秒后，点对应的数为，点对应的数为， ∵， ∴， ∴， 故为秒时，； ②经过秒后，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， ∴， ∵的值始终保持不变， ∴， ∴； （3）解：点在数轴上对应的数为， 当点在上时，速度为每秒个单位长度，对应的数为， 当点在上时，速度为每秒个单位长度，对应的数为， 当点在上时，速度为每秒个单位长度，对应的数为， 当点在上时，速度为每秒个单位长度，对应的数为−， ①当点在上时，得，解得（不在取值范围内，不符合题意，舍去）， ②当点在上时，得，解得（不在取值范围内，不符合题意，舍去）， ③当点在上时，得，解得， ④当点在上时，得，解得（不在取值范围内，不符合题意，舍去）， ∴当时，、两点在点处相遇，此时点表示的数为， 故答案为：． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$