2024-2025学年人教版九年级数学上期中模拟练习（盐城专版）

2024-2025学年人教版九年级数学上期中模拟练习（盐城专版） （考查范围： 第1-3章 时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（24分） 1．已知m是方程x2－2x－1＝0的一个根，则代数式2m2－4m＋2 024的值为(　　) A．2 024 B.2 023 C．2 025 D．2 026 2．用配方法解方程x2﹣4x+6＝0，下列配方正确的是（　　） 3、定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 4．数学老师计算同学们的一学期的平均成绩时，将平时、期中和期末的成绩按3：3：4计算，若小红平时、期中和期末的成绩分别是90分、80分、100分，则小红一学期的数学平均成绩是（　　） A．90分 B．91分 C．92分 D．93分 5．在下列语句中，叙述正确的个数为（　　） ①相等的圆周角所对弧相等； ②同圆等圆中，同弦或等弦所对圆周角相等； ③平分弦的直径垂直于弦； ④等弧所对圆周角相等；⑤圆的内接平行四边形是矩形； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，在直角坐标系中放置一个边长为的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为（　D　） A．π+π B．2π+2 C．3π+3π D．6π+6 第6题图 第7题图 第8题图 7．如图，⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，O1O2＝8．若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现（　B　） A．3次 B．5次 C．6次 D．7次 8. 在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，点N是线段BC的中点，点E、G分别为射线DA，线段AB上的动点，CE交以DE为直径的圆于点M，则GM+GN的最小值为（ A ）. A. B. C. 5 D. 6 二．填空题(24分) 9、对于实数a,b,定义运算“﹡”：a﹡b=例如4﹡2，因为4>2,所以4﹡2.若是一元二次方程的两个根，则﹡= 　　　　　 10．已知一组由小到大排列的数据3、a、4、6的中位数为4，则a＝　 　 11．某服装店原计划按每套200元的价格销售一批保暖内衣，但上市后销售不佳，为减少库存积压，连续两次降价打折处理，最后价格调整为每套128元．若两次降价折扣率相同，则每次降价率为　 　． 12．已知实数x满足，则＝　 　． 13．如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥CD于N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周从点D逆时针方向运动到点C的过程中，当∠QCN度数取最大值时，线段CQ的长为　　． 第13题图 第14题图 第15题图 第16题图 14.如图，在半径为4的扇形OAB中，∠AOB＝90°，点C是AB上一动点，点D是OC的中点，连结AD并延长交OB于点E，则图中阴影部分面积的最小值为___________ 15. 如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=30°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D=_______°． 16.如图，在矩形ABCD中，AB=3，⊙O与边BC，CD相切，现有一条过点B的直线与⊙O相切于点E，连接BE，△ABE恰为等边三角形，则⊙O的半径为 . 三．解答题（102分） 17．（16分）解下列方程 （1）2x2﹣=0； （2）2x2﹣4x+1=0（配方法） （3）2（x﹣3）2=x（x﹣3）； （4）3y2+5（2y+1）=0 （公式法）． 18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（4m+1）x+3m2+m＝0． （1）求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根； （2）若原方程的两个实数根之和大于0，求m的取值范围． 19．（12分）某中学开展“唱红歌”比赛活动，九年级（1）、（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示． （1）根据图示填写下表： 班级 中位数（分） 众数（分） 九（1） 85 九（2） 100 （2）通过计算得知九（2）班的平均成绩为85分，请计算九（1）班的平均成绩． （3）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好． （4）已知九（1）班复赛成绩的方差是70，请计算九（2）班的复赛成绩的方差，并说明哪个班的成绩比较稳定？ 20．（8分）如图，已知⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD （1）求证：点E是OB的中点； （2）若AB＝12，求CD的长． 21.（8分）某水果店出售一种水果，经过市场估算，若每个售价为20元时，每周可卖出300个．经过市场调查，如果每个水果每降价1元，每周可多卖出25个，若设每个水果的售价为x元x＜20． （1）则这一周可卖出这种水果为　 　个（用含x的代数式表示）； （2）若该周销售这种水果的收入为6400元，那么每个水果的售价应为多少元？　 22．（10分）【问题提出】 如图①，AB，AC是⊙O的两条弦，AC＞AB，M是的中点，MD⊥AC，垂足为D，求证：CD＝AB＋AD. 小敏在解答此题时，利用了“补短法”进行证明，她的方法如下： 证明：如图②，延长CA至点E，使AE＝AB，连结MA，MB，MC，ME，BC. ∵M是的中点，∴＝， ∴∠MCB＝∠MBC，MB＝MC.(请你在下面的空白处补全小敏的证明过程) 【推广运用】 如图③，等边三角形ABC内接于⊙O，AB＝1，D是上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD，垂足为E，则△BDC的周长是________． 【拓展研究】 如图④，若将【问题提出】中的“M是的中点”改成“M是的中点”，其余条件不变，“CD＝AB＋AD”这一结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出CD，AB，AD三者之间的数量关系，并说明理由． 23. （10分）阅读下列材料： ①关于x的方程方程两边同时乘以得：，即，故，所以． ②；． 根据以上材料，解答下列问题： （1），则______ ；______ ；______ ； （2），求的值． 24.（12分）【概念提出】圆心到弦的距离叫做该弦的弦心距． 【数学理解】如图①，在中，AB是弦，，垂足为P，则OP的长是弦AB的弦心距． （1）、若的半径为5，OP的长为3，则AB的长为______． （2）、若的半径确定，下列关于AB的长随着OP的长的变化而变化的结论： ①AB的长随着OP的长的增大而增大；②AB的长随着OP的长的增大而减小；③AB的长与OP的长无关． 其中所有正确结论的序号是______． （3）、【问题解决】若弦心距等于该弦长的一半，则这条弦所对的圆心角的度数为______°． （4）、已知如图②给定的线段EF和，点Q是内一定点．过点Q作弦AB，满足，请问这样的弦可以作______条． 25．（12分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是x1＝2和x2＝4，则方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”． （1）根据上述定义，一元二次方程2x2+x﹣1＝0　 　（填“是”或“不是”）“倍根方程”． （2）若一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，则c＝　 　． （3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“倍根方程”，则a、b、c之间的关系为　 　． （4）若（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式4m2﹣5mn+n2的值． 26.（14分）【学习心得】 （1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图，在中，，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆，则C，D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则______°． 【初步运用】 （2）如图，在四边形ABCD中，，，求的度数； 【方法迁移】 （3）如图，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得（不写作法，保留作图痕迹）； 【问题拓展】 （4）①如图，已知矩形ABCD，，，M为边CD上的点．若满足的点M恰好有两个，则m的取值范围为______． ②如图，在中，，AD是BC边上的高，且，，求AD的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版九年级数学上期中模拟练习（盐城专版） （考查范围： 第1-3章 时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（24分） 1．已知m是方程x2－2x－1＝0的一个根，则代数式2m2－4m＋2 024的值为(　　) A．2 024 B.2 023 C．2 025 D．2 026 【答案】D 【解析】 ∵m是方程x2－2x－1＝0的一个根，∴m2－2m－1＝0，∴m2－2m＝1， ∴2m2－4m＋2 022＝2(m2－2m)＋2 024＝2×1＋2 024＝2 026. 2．用配方法解方程x2﹣4x+6＝0，下列配方正确的是（　　） A．（x+2）2＝2 B．（x﹣2）2＝2 C．（x﹣2）2＝﹣2 D．（x﹣2）2＝6 【答案】C 【解析】 ∵x2﹣4x+6＝0，∴x2﹣4x＝﹣6，∴x2﹣4x+4＝﹣6+4，即（x﹣2）2＝﹣2， 3、定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意得,,代入得,∴,∴.故选A 4．数学老师计算同学们的一学期的平均成绩时，将平时、期中和期末的成绩按3：3：4计算，若小红平时、期中和期末的成绩分别是90分、80分、100分，则小红一学期的数学平均成绩是（　　） A．90分 B．91分 C．92分 D．93分 【答案】B 【解析】小红一学期的数学平均成绩是＝91（分），故选：B． 5．在下列语句中，叙述正确的个数为（　　） ①相等的圆周角所对弧相等； ②同圆等圆中，同弦或等弦所对圆周角相等； ③平分弦的直径垂直于弦； ④等弧所对圆周角相等；⑤圆的内接平行四边形是矩形； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】①在同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等，等弧是针对于同圆或等圆来说的，它不适用于大小不等的圆，此命题为假命题；②同圆或等圆中，同弦或等弦所对圆周角不一定相等，如图：BC为圆O的弦，∠A与∠D都为弦BC所对的圆周角，但是∠A与∠D互补，不一定相等，此命题为假命题；③平分弦的直径垂直弦，被平分的弦不是直径，错误；④等弧所对圆周角相等，此命题为真命题，本选项正确；⑤根据平行四边形的对角相等和圆内接四边形的对角互补，可得圆的内接四边形的两组对角都是直角，故此结论正确； 故选：B． 6．如图，在直角坐标系中放置一个边长为的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为（　D　） A．π+π B．2π+2 C．3π+3π D．6π+6 【答案】D 【解析】点A第一次回到x轴上时，点A的路径为：开始以B点为圆心，BA为半径，圆心角为90°的弧；再以C1为圆心，C1C为半径，圆心角为90°的弧；然后以D2点为圆心，D2A2为半径，圆心角为90°的弧，所以点A第一次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和=×2++2×××=2π+2，所以点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为3（2π+2）=6π+6故选D． 第6题图 第7题图 第8题图 7．如图，⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，O1O2＝8．若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现（　B　） A．3次 B．5次 C．6次 D．7次 【答案】B 【解析】∵⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，设O1O2交圆O于M，∴PM＝8﹣3﹣1＝4，圆O1与以P为圆心，以4为半径的圆相外切，∴根据图形得出有5次．故选：B． 8. 在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，点N是线段BC的中点，点E、G分别为射线DA，线段AB上的动点，CE交以DE为直径的圆于点M，则GM+GN的最小值为（ A ）. A. B. C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】作点N关于AB的对称点H，取CD的中点F，连接FH，交AB于点G，连接DM、FM、GM、NG，如图所示，当H、M、F、G1在同一直线上时，GM+GN最小，最小值为FH-FM，∵在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，∴CD=10，BC=6，∠ABC=90°，∵DE为直径，∴∠DME=∠DMC=90°， ∵CD的中点为F，AB=10，∴FM= FM=5，由对称可知，BH=BN= ，CH=9， ，GM+GN最小值为，故选：A． 二．填空题(24分) 9、对于实数a,b,定义运算“﹡”：a﹡b=例如4﹡2，因为4>2,所以4﹡2.若是一元二次方程的两个根，则﹡= 　　　　　 【答案】3或-3 【解析】（1）当，＝3时，﹡=＝－3；（2）当，＝2时，﹡=＝3； 10．已知一组由小到大排列的数据3、a、4、6的中位数为4，则a＝　 　 【答案】4 【解析】∵这组由小到大排列的数据3、a、4、6的中位数为4，∴＝4， ∴a＝4，故答案为：4． 11．某服装店原计划按每套200元的价格销售一批保暖内衣，但上市后销售不佳，为减少库存积压，连续两次降价打折处理，最后价格调整为每套128元．若两次降价折扣率相同，则每次降价率为　 　． 【答案】20％ 【解析】设每次降价率为x，根据题意得：200（1﹣x）2＝128，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去）．故答案为：20%． 12．已知实数x满足，则＝　 　． 【答案】3 【解析】设＝y，则原方程可变形为y2﹣y＝6，解得y1＝﹣2，y2＝3，当y1＝﹣2时，＝﹣2，x2+2x+2＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＜0∴此方程无解，当y2＝3时，＝3，x2﹣3x+2＝0， 13．如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥CD于N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周从点D逆时针方向运动到点C的过程中，当∠QCN度数取最大值时，线段CQ的长为　　． 【答案】 【解析】连接OQ，∵MN=OP（矩形对角线相等），⊙O的半径为2，∴OQ=MN=OP=1，可得点Q的运动轨迹是以O为圆心，1为半径的圆，当CQ与此圆相切时，∠QCN最大，则tan∠QCN的最大值，此时，在直角三角形CQ′O中，∠CQ′O=90°，OQ′=1，CO=2， ∴CQ′==，即线段CQ的长为．故答案为：．′ 第13题图 第14题图 第15题图 第16题图 14.如图，在半径为4的扇形OAB中，∠AOB＝90°，点C是AB上一动点，点D是OC的中点，连结AD并延长交OB于点E，则图中阴影部分面积的最小值为___________ 【答案】4π﹣ 【解析】 ∵点D是OC的中点，OC＝4，∴OD＝2，OA＝4，∴点D在以点O为圆心2为半径的圆弧上，∴当AE′与小圆O相切时，OE′最大，此时OC′与小圆O交于点D′，∵OA＝4，∠AOE＝90°，∴当OE最大时，阴影部分取得最小值，∵∠AD′O＝90°，OD′＝2，OA＝4，∴OA＝2OD′，∴∠OAD′＝30°，∴OE′＝，∴图中阴影部分面积的最小值为：＝4π﹣， 15. 如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=30°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D=_______°． 【答案】30 【解析】连接OC,如图,∵CD为切线，∴OC⊥CD， 故答案为30. 16.如图，在矩形ABCD中，AB=3，⊙O与边BC，CD相切，现有一条过点B的直线与⊙O相切于点E，连接BE，△ABE恰为等边三角形，则⊙O的半径为 . 【答案】6-3 【解析】过O点作GH⊥BC于G，交BE于H，连接OB、OE，∴G是BC的切点，OE⊥BH，∴BG=BE，∵△ABE为等边三角形，∴BE=AB=3，∴BG=BE=3，∵∠HBG=30°，∴GH=，BH=2，设OG=OE=x，则EH=2-3，OH=-x，在RT△OEH中，EH2+OE2=OH2，即（2-3）2+x2=（-x）2解得x=6-3 ∴⊙O的半径为6-3 三．解答题（102分） 17．（16分）解下列方程 （1）2x2﹣=0； （2）2x2﹣4x+1=0（配方法） （3）2（x﹣3）2=x（x﹣3）； （4）3y2+5（2y+1）=0 （公式法）． 解：（1）方程变形得：x2=，开方得：x=±； （2）方程变形得：x2﹣2x=﹣，配方得：x2﹣2x+1=，即（x﹣1）2=， 开方得：x﹣1=±， 解得：x1=1+，x2=1﹣； （3）方程变形得：2（x﹣3）2﹣x（x﹣3）=0，分解因式得：（x﹣3）（2x﹣6﹣x）=0，解得：x1=3，x2=6； （4）方程整理得：3y2+10y+5=0，这里a=3，b=10，c=5，∵△=100﹣60=40， ∴y==． 18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（4m+1）x+3m2+m＝0． （1）求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根； （2）若原方程的两个实数根之和大于0，求m的取值范围． 解：（1）证明：∵△＝[﹣（4m+1）]2﹣4×1×（3m2+m）＝4m2+4m+1＝（2m+1）2≥0，∴无论m取何实数时，原方程总有两个实数根； （2）解：∵原方程的两个实数根之和大于0，∴4m+1＞0，解得：m＞﹣． 19．（12分）某中学开展“唱红歌”比赛活动，九年级（1）、（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示． （1）根据图示填写下表： 班级 中位数（分） 众数（分） 九（1） 85 九（2） 100 （2）通过计算得知九（2）班的平均成绩为85分，请计算九（1）班的平均成绩． （3）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好． （4）已知九（1）班复赛成绩的方差是70，请计算九（2）班的复赛成绩的方差，并说明哪个班的成绩比较稳定？ 解：（1）填表： 班级 中位数（分） 众数（分） 九（1） 85 85 九（2） 80 100 （2）＝85答：九（1）班的平均成绩为85分 （3）九（1）班成绩好些因为两个班级的平均数都相同，九（1）班的中位数高，所以在平均数相同的情况下中位数高的九（1）班成绩好． （4）S21班＝[（75﹣85）2+（80﹣85）2+（85﹣85）2+（85﹣85）2+（100﹣85）2]＝70， S22班＝[（70﹣85）2+（100﹣85）2+（100﹣85）2+（75﹣85）2+（80﹣85）2]＝160， 因为160＞70所以九（1）班成绩稳定． 20．（8分）如图，已知⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD （1）求证：点E是OB的中点； （2）若AB＝12，求CD的长． 解：（1）证明：如图，连接AC．∵AB⊥CD于点E，∴CE＝DE，在△ACE和△ADE中，，∴△ACE≌△ADE（SAS），∴AC＝AD，同理：CA＝CD， ∴△ACD是等边三角形，∴∠OCE＝30°，∴OE＝OC而OB＝OC，∴OE＝OB． 故E是OB的中点． （2）∵AB＝12，∴OC＝6，∴OE＝OC＝3，在Rt△OCE中，CE＝＝＝3，∴CD＝2CE＝6． 21.（8分）某水果店出售一种水果，经过市场估算，若每个售价为20元时，每周可卖出300个．经过市场调查，如果每个水果每降价1元，每周可多卖出25个，若设每个水果的售价为x元x＜20． （1）则这一周可卖出这种水果为　 　个（用含x的代数式表示）； （2）若该周销售这种水果的收入为6400元，那么每个水果的售价应为多少元？　 解：（1）设每个水果的售价为x元，则这一周可卖出这种水果300+25（20﹣x）＝（800﹣25x）个．故答案为：（800﹣25x）． （2）根据题意得：x（800﹣25x）＝6400，整理得：x2﹣32x+256＝0， 解得：x1＝x2＝16．答：每个水果的售价应为16元． 22．（10分）【问题提出】 如图①，AB，AC是⊙O的两条弦，AC＞AB，M是的中点，MD⊥AC，垂足为D，求证：CD＝AB＋AD. 小敏在解答此题时，利用了“补短法”进行证明，她的方法如下： 证明：如图②，延长CA至点E，使AE＝AB，连结MA，MB，MC，ME，BC. ∵M是的中点，∴＝， ∴∠MCB＝∠MBC，MB＝MC.(请你在下面的空白处补全小敏的证明过程) 【推广运用】 如图③，等边三角形ABC内接于⊙O，AB＝1，D是上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD，垂足为E，则△BDC的周长是________． 【拓展研究】 如图④，若将【问题提出】中的“M是的中点”改成“M是的中点”，其余条件不变，“CD＝AB＋AD”这一结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出CD，AB，AD三者之间的数量关系，并说明理由． 解:【问题提出】∵∠MAC＝∠MBC，∴∠EAM＝180°－∠MAC＝180°－∠MBC. 又∵∠BAM＝180°－∠MCB，∴∠EAM＝∠BAM.在△EAM 和△BAM 中，∴△EAM≌△BAM，∴ME＝MB＝MC.又∵MD⊥AC，∴ED＝CD， ∴CD＝AE＋AD＝AB＋AD. 【推广运用】1＋ 【拓展研究】不成立，AD＝AB＋CD，理由：如图，延长MD交⊙O于点E，连结EA，EC，EB，EB交AC于点N.∵M是的中点，∴＝.∴∠BEM＝∠CEM.在△EDN 和△EDC 中， ∴△EDN≌△EDC，∴ND＝CD，∠END＝∠ECD.又∵∠ECD＝∠ABE，∠END＝∠ANB，∴∠ANB＝∠ABE，∴AN＝AB，∴AD＝AN＋ND＝AB＋CD. 23. （10分）阅读下列材料： ①关于x的方程方程两边同时乘以得：，即，故，所以． ②；． 根据以上材料，解答下列问题： （1），则______ ；______ ；______ ； （2），求的值． 解：（1）∵，∴，， ；故答案为：4；14；194； （2）∵，∴，， ． 24.（12分）【概念提出】圆心到弦的距离叫做该弦的弦心距． 【数学理解】如图①，在中，AB是弦，，垂足为P，则OP的长是弦AB的弦心距． （1）、若的半径为5，OP的长为3，则AB的长为______． （2）、若的半径确定，下列关于AB的长随着OP的长的变化而变化的结论： ①AB的长随着OP的长的增大而增大；②AB的长随着OP的长的增大而减小；③AB的长与OP的长无关． 其中所有正确结论的序号是______． （3）、【问题解决】若弦心距等于该弦长的一半，则这条弦所对的圆心角的度数为______°． （4）、已知如图②给定的线段EF和，点Q是内一定点．过点Q作弦AB，满足，请问这样的弦可以作______条． 解：（1）连接OA，如图，∵OP⊥AB，∴AP=BP=AB，在Rt△OAP中，由勾股定理得：AP==4，∴AB=2AP=8，故答案为：8； （2）：设⊙O的半径为r（r＞0）（定值），OP=x（x＞0），由（1）知，AB=2AP， AP=， ，∵二次项-4x2的系数-4＜0，∴x＞0时，AB2随x的增大而减小，∵OP＞0，∴AB2随x的增大而减小， ∴AB也随x的增大而减小，即AB的长随OP的长增大而减小，故正确结论的序号是②，故答案为：②； （3）：连接OA，OB，∵弦心距等于该弦长的一半，∴OP=AP，∴∠AOP=45° ∴∠AOB=2∠AOP=90°，故答案为：90； （4）：如图，作，则AB=EF，根据圆的轴对称性可知，这样的弦可以作2条，故答案为：2． 25．（12分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是x1＝2和x2＝4，则方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”． （1）根据上述定义，一元二次方程2x2+x﹣1＝0　 　（填“是”或“不是”）“倍根方程”． （2）若一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，则c＝　 　． （3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“倍根方程”，则a、b、c之间的关系为　 　． （4）若（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式4m2﹣5mn+n2的值． 解：（1）2x2+x﹣1＝0，（2x﹣1）（x+1）＝0，解得x1＝和x2＝﹣1，故一元二次方程2x2+x﹣1＝0 不是（填“是”或“不是”）“倍根方程”．（2）由题意可知：x＝m与x＝2m是方程x2﹣3x+c＝0的解，∴m2﹣3m+c＝0，4m2﹣6m+c＝0，∴m＝1，c＝2；（3）设x＝m与x＝2m是方程ax2+bx+c＝0的解，∴2m+m＝﹣，2m2＝，∴消去m得：2b2＝9ac， （4）由（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，且该方程的两根分别为x＝2和x＝，∴＝4或＝1，当n＝4m时，原式＝（m﹣n）（4m﹣n）＝0当n＝m时， 原式＝（m﹣n）（4m﹣n）＝0． 26.（14分）【学习心得】 （1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图，在中，，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆，则C，D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则______°． 【初步运用】 （2）如图，在四边形ABCD中，，，求的度数； 【方法迁移】 （3）如图，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得（不写作法，保留作图痕迹）； 【问题拓展】 （4）①如图，已知矩形ABCD，，，M为边CD上的点．若满足的点M恰好有两个，则m的取值范围为______． ②如图，在中，，AD是BC边上的高，且，，求AD的长． 解：（1）∵AB=AC=AD，∴B、C、D三点都在以A为圆心，以AB长为半径的圆上， ∵∠BAC=90°，∴，故答案为：； （2）如图所示，取BD中点E，连接AE，CE，∵∠BAD=∠BCD=90°，E为BD的中点， ∴，∴A、B、C、D在以E为圆心，为半径的圆心，∴； （3）如图所示，、即为所求； （4）①如图所示，在BC上截取一点F使得BF=BA，连接AF，以AF为直径作圆O，过点F作EF⊥AD交AD于E，过点O作OG⊥EF交EF于H交圆O于G，过点G作圆O的切线分别交AD，BC于K、Q，则四边形ABFE为正方形∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE=90°， ∴B在圆O上，，∴，∵OH⊥EF，∴，∴，∴，∴，∴，即 ②如图所示，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于E，OF⊥AD于F，连接OB，OC，OA，则四边形OFDE是矩形∵∠BAC=45°，∴∠BOC=90°，在直角△BOC中BC=BD+CD=8， ∴，∵OE⊥BC，∴，∴DE=OF=2 ，∴，∴ 学科网（北京）股份有限公司 $$