福建省宁德市2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题

高三半期考数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量与复数。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．函数的最小正周期为（ ） A．4 B． C．8 D． 3．在中国传统的十二生肖中，马、牛、羊、鸡、狗、猪为六畜，则“甲的生肖不是马”是“甲的生肖不属于六畜”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知复数，则的虚部为（ ） A． B． C． D．10 5．在梯形中，，与交于点，则（ ） A． B． C． D． 6．将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象．若的图象关于点对称，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 7．已知，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 8．若，则的值可以为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若与分别为定义在上的偶函数、奇函数，则函数的部分图象可能为（ ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，点，分别边，上，点，均在边上，设，矩形的面积为，且关于的函数为，则（ ） A．的面积为 B． C．先增后减 D．的最大值为 11．已知向量，，满足，，，，则（ ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．________． 13．已知，函数在上单调递增，则的最大值为________． 14．已知函数，，若与的零点构成的集合的元素个数为3，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角； （2）若，的面积为，求． 16．（15分） 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若恒成立，求的取值范围． 17．（15分） 已知函数． （1）将化成的形式； （2）求在上的值域； （3）将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求不等式的解集． 18．（17分） 已知函数，满足，． （1）若为上的增函数，求的取值范围． （2）证明：与的图象关于一条直线对称． （3）若，且关于的方程在内有解，求的取值范围． 19．（17分） 若存在有限个，使得，且不是偶函数，则称为“缺陷偶函数”，称为的偶点． （1）证明：为“缺陷偶函数”，且偶点唯一． （2）对任意，函数，都满足 ①若是“缺陷偶函数”，证明：函数有2个极值点． ②若，证明：当时，． 参考数据：，． 高三半期考数学试卷参考答案 1．C 因为，，所以． 2．D 函数的最小正周期． 3．B 若甲的生肖不是马，则甲的生肖未必不属于六畜；若甲的生肖不属于六畜，则甲的生肖一定不是马．故“甲的生肖不是马”是“甲的生肖不属于六畜”的必要不充分条件． 4．A 因为，所以的虚部为． 5．A 因为，所以，且，所以． 6．A 依题意可得．因为的图象关于点对称，所以，即，所以的最小值为． 7．D 因为，所以，当且仅当，即，时，等号成立．故的最大值为． 8．B 因为，，且，所以，所以，所以的值可以为． 9．AC 因为与分别为定义在上的偶函数、奇函数，所以，，所以，则为奇函数，其图象关于原点对称，故选AC． 10．ACD 取的中点，连接，则，且，所以的面积为，A正确．过作，垂足为，设与交于点，由等面积法可得，则．由，得，则，所以，则，则在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为，B错误，C，D均正确． 11．BC ，A错误．建立平面直角坐标系，不妨假设，，设，则，，代入，整理得，所以点在以为圆心，为半径的圆上．因为该圆经过坐标原点，所以的最大值为，B正确．因为，所以点在圆内，因为，，所以的最小值为，的最大值为，C正确，D错误． 12． ． 13． 因为，所以，又，所以，所以，解得，则的最大值为． 14． 令，得，令，得． 设，，则在上单调递增，在上单调递减，所以．当时，，所以结合，的图象（图略）及，得的取值范围是． 15．解：（1）因为， 所以，2分 因为，，所以，4分 所以．6分 又，所以．7分 （2）因为，所以，9分 所以，12分 解得．13分 16．解：（1），2分 所以．3分 因为，所以曲线在点处的切线方程为，即．6分 （2）在上单调递增．8分 因为，9分 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增，11分 所以，13分 解得，故的取值范围为．15分 17．解：（1）1分 ．4分 （2）由，得．5分 当时，取得最小值，最小值为；6分 当时，取得最大值，最大值为．7分 故在上的值域为．8分 （3）由题意可得，11分 则不等式即为，得，13分 解得，即不等式的解集为．15分 18．（1）解：因为为上的增函数，所以恒成立，2分 因为，3分 当且仅当，即时，等号成立，4分 所以，即，的取值范围为．5分 （2）证明：因为，， 所以，7分 所以，9分 则与的图象关于直线对称．10分 （3）解：因为，所以由（2）知， 即．12分 由（1）知，当时，为上的增函数，所以， 即．13分 设，则， 当时，，当时，，14分 所以，又，， 所以．16分 故的取值范围是．17分 19．证明：（1）由，得， 则，1分 解得，所以只有1个偶点，且偶点为0， 所以为“缺陷偶函数”，且偶点唯一．3分 （2）由题意得对恒成立，4分 所以存在常数，使得．5分 令，得解得．6分 ①，由，得， 即，则，即．7分 ，， 因为，所以必有两根，（设），8分 当或时，，当时，， 所以函数有2个极值点，．9分 ②若，则，，10分 当时，要证，只需证， 因为，所以， 所以只需证．12分 设函数， 则， 当时，，当时，，14分 所以，， 所以，16分 所以，从而， 故当时，．17分 学科网（北京）股份有限公司 $$圆■■■■■■■■■■■■■■■■■■■圆 请在各面规星的置色的程随内器题，组出痛运纯的答表无效 透在各班镜成的里色距市长城内答题相出西域的容家无鞋： 高三半期考数学试卷答题卡 513分 16.15分) 组名 组位 黄场号 度拉号 陆角落码区 生移TT ■ ■ 在年产特用用行件台有卡件持门作间 号花4利期州有4有以度毛事绳更1 4程种难1年到光”：方转样产村内方年 E :0H足温 1保福41想1℃角话 ■ 在高形1米件程5毫羊的活点学莲有7七 手分 5分5 5分 得在养图尾证用乐色后环域件程图，用出面风域门等享无消 清在各陆规定明第色好城内养题.可角高丙湖的苏室天蜂 得作青期理式的菌色甲和域内爷地.组通域的养第无爱： 【三拉学写提F第1到[满2美1 -1口C 请在青些线记方用色事模4内等装期明两端前行室支道 请在道理记m丽色用化成件再置，超出速江城用室 请在养想样记前领色到写（其件管运，计注A或的有实无海 1T.4I5分) 1817分1 9417分 请在容刻场比们属县中陆风城内客面短出该用线的料某无境( 情有养整化定竹光色知市民减内荐和小耳明节美毛除1 请在并面糕中中后《域内.每温城的厚事儿晚 高西数学并游卡第之其两1 520✉