第17课 一元一次不等式-2024-2025学年八年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第17课 一元一次不等式 ( 目标导航 ) 学习目标 1.理解一元一次不等式、一元一次不等式的解的概念. 2.掌握解一元一次不等式的一般步骤，会解一元一次不等式 3.会在数轴上表示一元一次不等式的解. 4.会用一元一次不等式解决简单的实际问题. ( 知识精讲 ) 知识点01 一元一次不等式的概念 1.一元一次不等式：不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次的不等式叫做一元一次不等式. 2.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值的全体叫做不等式的解集，简称为不等式的解. 知识点02 解一元一次不等式 解一元一次不等式的一般步骤与依据： 步 骤 依 据 1 去分母 不等式的基本性质3 2 去括号 多项式乘多项式法则 3 移项 不等式的基本性质2 4 合并同类项，得或（） 合并同类项法则 5 两边同除以（或乘以） 不等式的基本性质3 知识点03 由实际问题列一元一次不等式 1.用一元一次不等式可以刻画实际生活中的有关数量不等关系的问题. 2. 由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 3. 列一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式． 知识点04 一元一次不等式的应用 利用列不等式(组)解决实际问题，其关键是根据题中的“超过”“不足”“大于”“小于”“不低于”“不少于”等反映数量关系的词语，列出不等式(组)，问题便迎刃而解．问题的答案要根据解和题意两方面(隐含条件，实际问题取整数等)来确定，要使实际问题有意义． ( 能力拓展 )考点01 一元一次不等式的概念 【典例1】下列各式中，是一元一次不等式的是（　　） A．x2+3x＞1 B．x﹣＜0 C． D．≤5 【即学即练1】若（m﹣1）x|m|+2＞0是关于x的一元一次不等式，则m＝（　　） A．±1 B．1 C．﹣1 D．0 考点02 解一元一次不等式 【典例2】解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． （1）2x﹣5＞3x+4； （2） 【即学即练2】解不等式，并在数轴上表示出其解集． （1）3（1﹣3x）﹣2（4﹣2x）≥0； （2）． 考点03 一元一次不等式的特殊解 【典例3】．求不等式的最小整数解． 【即学即练3】已知关于x的方程，若该方程的解是不等式的最大整数解，求m的值． 考点04 一元一次不等式的应用 【典例4】某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体育管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程．需要购进一批篮球和足球，已知篮球的单价为100元，足球的单价为80元． （1）原计划用5600元全部用于购买篮球和足球，恰好能够购买篮球和足球共60个，那么篮球和足球各买多少个？ （2）由于学校对篮球和足球的需求量大，实际购买时预算为6890元，若购买篮球和足球共80个，且支出不超过6890元，那么篮球最多能买多少个？ 【即学即练4】七年级某班计划购买A、B两款笔记本作为期中奖品．若购买3本A款的笔记本和1本B款的笔记本需用22元；若购买2本A款的笔记本和3本B款的笔记本需用24元． （1）每本A款的笔记本和每本B款的笔记本各多少元； （2）该班决定购买以上两款的笔记本共40本，总费用不超过210元，那么该班最多可以购买多少本A款的笔记本？ ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．把不等式x﹣4≤3x的解集在数轴上表示出来，则正确的是（　　） A． B． C． D． 2．下面是小明解不等式的过程： 解：去分母，得x+5﹣1＜3x+2…① 移项，得x﹣3x＜2﹣5+1…② 合并同类项，得﹣2x＜﹣2…③ 两边同时除以﹣2，得x＜1…④ 小明的计算过程中，没掌握好基本知识或粗心出错的步骤是（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 3．不等式的负整数解有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．不等式﹣≤1的最小整数解是（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣2 5．若＞2是关于x的一元一次不等式，则a＝　　． 6．不等式3x﹣5＜3+x的非负整数解有　　个． 7．代数式的值不小于代数式x﹣2的值，则x的取值范围是 　　． 8．下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：2（2x+1）＞3（3x﹣2）﹣12，第一步 4x+2＞9x﹣6﹣12，第二步 4x﹣9x＞﹣6﹣12﹣2，第三步 ﹣5x＞﹣20，第四步 x＞4．第五步 任务一： 填空： ①以上解题过程中，第二步是依据 　 　（运算律）进行变形的； ②第 　五　步开始出现错误，这一步错误的原因是 　 　； 任务二： 请直接写出该不等式的正确解集． 9．计算：解不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上． （1） （2） （3） （4）3﹣x＜2x+6 （5）求不等式4（x+1）≤24的正整数解． 10．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来，写出符合条件的x的非正整数解． 11．已知（m+2）x|m+3|﹣1＞2是关于x的一元一次不等式． （1）求m的值． （2）求出原一元一次不等式的解集． 12．若代数式﹣1的值不大于的值时，求x的取值范围． 13. 若不等式5（x﹣2）+8＜6（x﹣1）﹣7的最小整数解是方程2x﹣ax＝3的解，求4a﹣的值． 14. 为了促进学生身心健康，培养学生团队协作精神，构建校园体育文化，某校在校园文化节时举办了篮球联赛．比赛中规定，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得3分，负1场得1分．如果某队要在第一轮的6场比赛中至少得14分，那么这个队至少要胜多少场？ 题组B 能力提升练 15．已知（m+4）x|m|﹣3+6＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（　　） A．4 B．±4 C．3 D．±3 16．关于x的方程2x+3（m﹣1）＝1+x的解是正数，那么m的取值范围是（　　） A．m＞ B．m＜﹣ C．m＜ D．m≤ 17．某批电子产品的进价为200元/件，售价为350元/件．为提高销量，商店准备将这批电子产品降价销售，若要保证单件利润率不低于5%，则该批电子产品最多可降价（　　） A．120元 B．132.5元 C．140元 D．142.5元 18．把一些书分给几名同学，若（　　）；若每人分11本，则不够．依题意，设有x名同学可列不等式7（x+9）＜11x． A．每人分7本，则可多分9个人 B．每人分7本，则剩余9本 C．每人分9本，则剩余7本 D．其中一个人分7本，则其他同学每人可分9本 19．若不等式的解集为x＜5，则m的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 20．现定义一种新的运算：a*b＝a2﹣2b，例如：3*4＝32﹣2×4＝1，则不等式（﹣2）*x≥0的解集为　　． 21．定义一种法则“⊗”如下：a⊗b＝，如：1⊗2＝2，若（2m﹣5）⊗3＝3，则m的取值范围是 　　． 22．若不等式3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3是关于x的一元一次不等式，求m、n的取值． 23. 已知关于x的方程3x+ax＝14的解是不等式的最小整数解，求a的算术平方根． 24. 污水治理，保护环境，某市治污公司决定购买A，B两种型号污水处理设备共12台，已知A，B两种型号的设备，每台的价格，月处理污水量如表： A型 B型 价格（万元/台） a b 处理污水量（吨/月） 220 180 （1）经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多3万元，购买1台A型设备比购买3台B型设备少3万元，求a，b的值； （2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过50万元，若两种设备都要购买，你认为该公司有哪几种购买方案； （3）在（2）问的条件下，若每月要求处理的污水量不低于2260吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案． 题组C 培优拔尖练 25．若关于x的不等式5x+m≥7x的正整数解是1、2、3、4．则m的取值范围为（　　） A．m＜10 B．m≥8 C．8≤m≤10 D．8≤m＜10 26．若不等式5x﹣k≤0的正整数解是1、2、3，则k的取值范围是 　　． 27. 已知关于x的不等式（2a﹣b）x+a﹣5b＞0的解集为x＜，求关于的不等式ax＞b的解集． 28. 某公司有A、B两种型号的客车共20辆，它们的载客量、每天的租金如表所示．已知在20辆客车都坐满的情况下，共载客720人． A型号客车 B型号客车 载客量（人/辆） 45 30 租金（元/辆） 600 450 （1）求A、B两种型号的客车各有多少辆？ （2）某中学计划租用A、B两种型号的客车共8辆，同时送七年级师生到沙家浜参加社会实践活动，已知该中学租车的总费用不超过4600元． ①求最多能租用多少辆A型号客车？ ②若七年级的师生共有305人，请写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案． ( 20 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17课 一元一次不等式 ( 目标导航 ) 学习目标 1.理解一元一次不等式、一元一次不等式的解的概念. 2.掌握解一元一次不等式的一般步骤，会解一元一次不等式 3.会在数轴上表示一元一次不等式的解. 4.会用一元一次不等式解决简单的实际问题. ( 知识精讲 ) 知识点01 一元一次不等式的概念 1.一元一次不等式：不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次的不等式叫做一元一次不等式. 2.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值的全体叫做不等式的解集，简称为不等式的解. 知识点02 解一元一次不等式 解一元一次不等式的一般步骤与依据： 步 骤 依 据 1 去分母 不等式的基本性质3 2 去括号 多项式乘多项式法则 3 移项 不等式的基本性质2 4 合并同类项，得或（） 合并同类项法则 5 两边同除以（或乘以） 不等式的基本性质3 知识点03 由实际问题列一元一次不等式 1.用一元一次不等式可以刻画实际生活中的有关数量不等关系的问题. 2. 由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 3. 列一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式． 知识点04 一元一次不等式的应用 利用列不等式(组)解决实际问题，其关键是根据题中的“超过”“不足”“大于”“小于”“不低于”“不少于”等反映数量关系的词语，列出不等式(组)，问题便迎刃而解．问题的答案要根据解和题意两方面(隐含条件，实际问题取整数等)来确定，要使实际问题有意义． ( 能力拓展 )考点01 一元一次不等式的概念 【典例1】下列各式中，是一元一次不等式的是（　　） A．x2+3x＞1 B．x﹣＜0 C． D．≤5 【思路点拨】根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，逐一判断即可得． 【解析】解：A．x2+3x＞1中x2的次数为2，不是一元一次不等式； B．x﹣＜0含有2个未知数x、y，不是一元一次不等式； C．是一元一次不等式； D．≤5中是分式，不是一元一次不等式； 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式的定义，解题的关键是掌握含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 【即学即练1】若（m﹣1）x|m|+2＞0是关于x的一元一次不等式，则m＝（　　） A．±1 B．1 C．﹣1 D．0 【思路点拨】根据一元一次不等式的定义列式求解即可． 【解析】解：∵（m﹣1）x|m|+2＞0是关于x的一元一次不等式， ∴m﹣1≠0，|m|＝1， 解得：m＝﹣1， 故选：C． 【点睛】本题考查一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的不等式是一元一次不等式，注意：未知数的系数不能为0． 考点02 解一元一次不等式 【典例2】解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． （1）2x﹣5＞3x+4； （2） 【思路点拨】（1）先移项，再合并后把x的系数化为1得到不等式的解集，然后利用数轴表示其解集； （2）先去分母，再去括号，然后移项、合并后把x的系数化为1得到不等式的解集，然后利用数轴表示其解集． 【解析】解：（1）2x﹣3x＞4+5， ﹣x＞9， 所以x＜﹣9， 用数轴表示为： （2）2（2x﹣1）﹣6≤3（5x+1）， 4x﹣2﹣6≤15x+3， 4x﹣15x≤3+8， ﹣11x≤11， 所以x≥﹣1， 用数轴表示为： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤． 【即学即练2】解不等式，并在数轴上表示出其解集． （1）3（1﹣3x）﹣2（4﹣2x）≥0； （2）． 【思路点拨】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． （2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【解析】解：（1）3（1﹣3x）﹣2（4﹣2x）≥0， 3﹣9x﹣8+4x≥0， ﹣9x+4x≥8﹣3， ﹣5x≥5， x≤﹣1， 将不等式的解集表示在数轴上如下： （2）， 4（x﹣1）＜x﹣3+12， 4x﹣4＜x﹣3+12， 4x﹣x＜﹣3+12+4， 3x＜13， ， 将不等式的解集表示在数轴上如下： ． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 考点03 一元一次不等式的特殊解 【典例3】．求不等式的最小整数解． 【思路点拨】先求出不等式的解集，即可得到不等式的最小整数解． 【解析】解：， 去分母，得：2（2x+5）﹣6≥3（x﹣4）， 去括号，得：4x+10﹣6≥3x﹣12， 移项，得：4x﹣3x≥6﹣10﹣12， 合并同类项，得：x≥﹣16， ∴该不等式的最小整数解是﹣16． 【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 【即学即练3】已知关于x的方程，若该方程的解是不等式的最大整数解，求m的值． 【思路点拨】先求出不等式的解集，利用方程的解是不等式的最大整数解，即可求出x的值，将x的值代入方程即可求出m的值． 【解析】解：， 去分母，得：4x﹣2＜1+3x， 移项，合并同类项，得x＜3， 则最大的整数解是2． 把x＝2代入得：m＝2． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解集和解一元一次方程．熟练掌握解不等式是关键． 考点04 一元一次不等式的应用 【典例4】某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体育管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程．需要购进一批篮球和足球，已知篮球的单价为100元，足球的单价为80元． （1）原计划用5600元全部用于购买篮球和足球，恰好能够购买篮球和足球共60个，那么篮球和足球各买多少个？ （2）由于学校对篮球和足球的需求量大，实际购买时预算为6890元，若购买篮球和足球共80个，且支出不超过6890元，那么篮球最多能买多少个？ 【思路点拨】（1）设购买篮球x个，则购买足球（60﹣x）个，根据题意可列出关于x的等式，解之即可； （2）设篮球最多能买y个，则购买足球（80﹣y）个，根据题意可列出关于y的一元一次不等式，求出y的解集，再根据y为整数求解即可． 【解析】解：（1）设购买篮球x个，则购买足球（60﹣x）个， 根据题意有：100x+80（60﹣x）＝5600， 解得：x＝40， 60﹣40＝20个， 答：篮球购买40个，足球购买20个； （2）设篮球最多能买y个，则购买足球（80﹣y）个， 根据题意有：100y+80（80﹣y）≤6890， 解得：， 因为y为整数， 所以篮球最多能买24个． 【点睛】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的实际应用．理解题意，找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键． 【即学即练4】七年级某班计划购买A、B两款笔记本作为期中奖品．若购买3本A款的笔记本和1本B款的笔记本需用22元；若购买2本A款的笔记本和3本B款的笔记本需用24元． （1）每本A款的笔记本和每本B款的笔记本各多少元； （2）该班决定购买以上两款的笔记本共40本，总费用不超过210元，那么该班最多可以购买多少本A款的笔记本？ 【思路点拨】（1）设每本A款的笔记本为x元，每本B款的笔记本为y元，根据“若购买3本A款的笔记本和1本B款的笔记本需用22元；若购买2本A款的笔记本和3本B款的笔记本需用24元”列出二元一次方程组，求解即可得到答案； （2）设该班购买m本A款的笔记本，则购买（40﹣m）本B款的笔记本，根据“该班决定购买以上两款的笔记本共40本，总费用不超过210元”列出不等式，解不等式即可得到答案． 【解析】解：（1）设每本A款的笔记本为x元，每本B款的笔记本为y元， 由题意得：， 解得：， 答：每本A款的笔记本为6元，每本B款的笔记本为4元； （2）解：设该班购买m本A款的笔记本，则购买（40﹣m）本B款的笔记本， 由题意得：6m+4（40﹣m）≤210， 解得：m≤25， 答：该班最多可以购买25本A款的笔记本． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，读懂题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式是解题的关键. ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．把不等式x﹣4≤3x的解集在数轴上表示出来，则正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再表示在数轴上即可． 【解析】解：x﹣4≤3x， 移项得x﹣3x≤4， 合并同类项得﹣2x≤4， 把未知数系数化为1得x≥﹣2， 表示在数轴上如下： 故选：B． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的一般步骤． 2．下面是小明解不等式的过程： 解：去分母，得x+5﹣1＜3x+2…① 移项，得x﹣3x＜2﹣5+1…② 合并同类项，得﹣2x＜﹣2…③ 两边同时除以﹣2，得x＜1…④ 小明的计算过程中，没掌握好基本知识或粗心出错的步骤是（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 【思路点拨】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1逐一判断即可得出答案． 【解析】解：小明计算步骤①中，常数﹣1没有乘以2，此步骤错误； 步骤④两边同时除以﹣2，不等号的方向没有改变，此步骤错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 3．不等式的负整数解有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】先求出不等式的解集，然后得出负整数解，即可得出答案． 【解析】解：， 去分母得：2（x﹣9）+6＜3（3x+4）， 去括号得：2x﹣18+6＜9x+12， 移项合并同类项得：﹣7x＜24， 不等式两边同除以﹣7得：， ∴不等式的负整数解有﹣3，﹣2，﹣1共3个，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了求一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键，注意不等式两边同除以一个负数，不等号方向发生改变． 4．不等式﹣≤1的最小整数解是（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣2 【思路点拨】去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1，求出不等式的解集，即可得出答案． 【解析】解：﹣≤1， 2x﹣3（x﹣1）≤6， 2x﹣3x+3≤6， 2x﹣3x≤6﹣3， ﹣x≤3， x≥﹣3， ∴不等式﹣≤1的最小整数解是﹣3， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式，一元一次不等式的整数解的应用，关键是求出不等式的解集． 5．若＞2是关于x的一元一次不等式，则a＝　﹣2　． 【思路点拨】根据一元一次不等式的未知数x的次数等于1，系数不等于0即可得出答案． 【解析】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴a2﹣3＝1且a﹣2≠0， 解得：a＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的未知数x的次数等于1，系数不等于0是解题的关键． 6．不等式3x﹣5＜3+x的非负整数解有　4　个． 【思路点拨】先移项、合并同类项、系数化为1得出不等式的解集，从而得出答案． 【解析】解：移项，得：3x﹣x＜3+5， 合并同类项，得：2x＜8， 系数化为1，得：x＜4， 则此不等式的非负整数解有0、1、2、3，共4个， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的步骤和依据． 7．代数式的值不小于代数式x﹣2的值，则x的取值范围是 　x≤1　． 【思路点拨】根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可确定出x的范围． 【解析】解：根据题意得：≥x﹣2， 去分母得：1﹣3x≥2x﹣4， 移项合并得：﹣5x≥﹣5， 解得：x≤1． 故答案为：x≤1． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键． 8．下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：2（2x+1）＞3（3x﹣2）﹣12，第一步 4x+2＞9x﹣6﹣12，第二步 4x﹣9x＞﹣6﹣12﹣2，第三步 ﹣5x＞﹣20，第四步 x＞4．第五步 任务一： 填空： ①以上解题过程中，第二步是依据 　乘法分配律　（运算律）进行变形的； ②第 　五　步开始出现错误，这一步错误的原因是 　不等式两边都除以﹣5，不等号的方向没有改变　； 任务二： 请直接写出该不等式的正确解集． 【思路点拨】去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为1，依此即可求解． 【解析】解：2（2x+1）＞3（3x﹣2）﹣12，第一步 4x+2＞9x﹣6﹣12，第二步 4x﹣9x＞﹣6﹣12﹣2，第三步 ﹣5x＞﹣20，第四步 x＜4，第五步 任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据乘法分配律（运算律）进行变形的； ②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边都除以﹣5，不等号的方向没有改变； 任务二：该不等式的正确解集是x＜4． 故答案为：乘法分配律；五，不等式两边都除以﹣5，不等号的方向没有改变；x＜4． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．同时考查了解一元一次不等式，步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 9．计算：解不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上． （1） （2） （3） （4）3﹣x＜2x+6 （5）求不等式4（x+1）≤24的正整数解． 【思路点拨】（1）按照解一元一次不等的步骤求出不等式的解集，并在数轴上表示出来即可； （2）按照解一元一次不等的步骤求出不等式的解集，并在数轴上表示出来即可； （3）按照解一元一次不等的步骤求出不等式的解集，并在数轴上表示出来即可； （4）按照解一元一次不等的步骤求出不等式的解集，并在数轴上表示出来即可； （5）按照解一元一次不等的步骤求出不等式的正整数解，并在数轴上表示出来即可． 【解析】解：（1）， ∴3（x﹣2）≥2（7﹣x）， 整理得：5x≥20， ∴x≥4， 这个不等式的解集在数轴上表示如图： （2） ∴7x+5﹣14＞14（x+1）， 整理得：﹣7x＞23， ∴， 这个不等式的解集在数轴上表示如图： （3）， ∴2（2x+1）≤﹣3（x+5）， 整理得：7x≤﹣17， ∴， 这个不等式的解集在数轴上表示如图： （4）3﹣x＜2x+6， ∴﹣3x＜3， ∴x＞﹣1， 这个不等式的解集在数轴上表示如图： （5）4（x+1）≤24 ∴4x+4≤24， ∴4x≤20， ∴x≤5， ∴不等式4（x+1）≤24的正整数解是：1、2、3、4、5， 这个不等式的正整数解在数轴上表示如图： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的性质是解题的关键． 10．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来，写出符合条件的x的非正整数解． 【思路点拨】按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【解析】解：， 2（x+1）﹣3（x﹣1）≤6， 2x+2﹣3x+3≤6， 2x﹣3x≤6﹣2﹣3， ﹣x≤1， x≥﹣1， ∴该不等式的解集在数轴上表示如图所示： ∴符合条件的x的非正整数解为：﹣1，0． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 11．已知（m+2）x|m+3|﹣1＞2是关于x的一元一次不等式． （1）求m的值． （2）求出原一元一次不等式的解集． 【思路点拨】（1）根据一元一次不等式的定义，|m+3|＝1且m+2≠0，分别进行求解即可． （2）代入m的值，利用解一元一次不等式的一般步骤求解即可． 【解析】解：（1）根据题意|m+3|＝1且m+2≠0，解得m+3＝±1且m≠﹣2， 所以m＝﹣4． （2）原一元一次不等式为﹣2x﹣1＞2， 移项得﹣2x＞2+1， 合并同类项得﹣2x＞3， 解得． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，解一元一次不等式，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 12．若代数式﹣1的值不大于的值时，求x的取值范围． 【思路点拨】代数式﹣1的值不大于的值，则可以列不等式﹣1≤，解不等式即可求解． 【解析】解：根据题意得：﹣1≤， 去分母，得3（3+x）﹣6≤4x+3， 去括号，得9+3x﹣6≤4x+3， 移项，得3x﹣4x≤3﹣9+6， 合并同类项，得﹣x≤0， 系数化成1得x≥0． 【点睛】本题考查了不等式的解法，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 13. 若不等式5（x﹣2）+8＜6（x﹣1）﹣7的最小整数解是方程2x﹣ax＝3的解，求4a﹣的值． 【思路点拨】先求出不等式5（x﹣2）+8＜6（x﹣1）﹣7的最小整数解，代入方程2x﹣ax＝3，求出a的值，然后代入4a﹣，计算即可． 【解析】解：∵5（x﹣2）+8＜6（x﹣1）﹣7， ∴x＞11， ∴不等式5（x﹣2）+8＜6（x﹣1）﹣7的最小整数解是12， 把x＝12代入方程2x﹣ax＝3，得24﹣12a＝3，解得a＝． ∴4a﹣＝4×﹣＝7﹣8＝﹣1． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式的整数解，一元一次方程的解以及代数式求值．解决此类问题的关键在于正确求得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，从而根据得到的条件进而代入求得代数式的值． 14. 为了促进学生身心健康，培养学生团队协作精神，构建校园体育文化，某校在校园文化节时举办了篮球联赛．比赛中规定，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得3分，负1场得1分．如果某队要在第一轮的6场比赛中至少得14分，那么这个队至少要胜多少场？ 【思路点拨】根据比赛中规定，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得3分，负1场得1分．如果某队要在第一轮的6场比赛中至少得14分，可以列出相应的不等式，然后求解即可． 【解析】解：设这个队胜了x场，则负了（6﹣x）场， 由题意可得：3x+（6﹣x）×1≥14， 解得x≥4， 答：这个队至少要胜4场． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式 题组B 能力提升练 15．已知（m+4）x|m|﹣3+6＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（　　） A．4 B．±4 C．3 D．±3 【思路点拨】根据一元一次不等式的定义，|m|﹣3＝1，m+4≠0，分别进行求解即可． 【解析】解：根据题意|m|﹣3＝1，m+4≠0解得|m|＝4，m≠﹣4 所以m＝4． 故选：A． 【点睛】本题考查一元一次不等式的定义中的未知数的最高次数为1次，本题还要注意未知数的系数不能是0． 16．关于x的方程2x+3（m﹣1）＝1+x的解是正数，那么m的取值范围是（　　） A．m＞ B．m＜﹣ C．m＜ D．m≤ 【思路点拨】解方程得x＝4﹣3m，由方程的解为正数得出关于m的不等式，解之可得． 【解析】解：解方程2x+3（m﹣1）＝1+x，得：x＝4﹣3m， ∵方程的解为正数， ∴4﹣3m＞0， 解得m＜， 故选：C． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式和一元一次方程的能力． 17．某批电子产品的进价为200元/件，售价为350元/件．为提高销量，商店准备将这批电子产品降价销售，若要保证单件利润率不低于5%，则该批电子产品最多可降价（　　） A．120元 B．132.5元 C．140元 D．142.5元 【思路点拨】设这批电子产品降价x元，根据题意得，求解即可得到答案． 【解析】解：设这批电子产品降价x元． 根据题意得， ， 解得x≤140， 所以，若要保证单件利润率不低于5%，则该批电子产品最多可降价140元． 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式的实际应用，关键是根据题意找到关系式． 18．把一些书分给几名同学，若（　　）；若每人分11本，则不够．依题意，设有x名同学可列不等式7（x+9）＜11x． A．每人分7本，则可多分9个人 B．每人分7本，则剩余9本 C．每人分9本，则剩余7本 D．其中一个人分7本，则其他同学每人可分9本 【思路点拨】根据不等式表示的意义解答即可． 【解析】解：由不等式7（x+9）＜11x，可得：把一些书分给几名同学，若每人分7本，则可多分9个人；若每人分11本，则不够； 故选：A． 【点睛】本题考查根据实际问题列不等式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系． 19．若不等式的解集为x＜5，则m的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【思路点拨】先用m表示出x，再由x＜5得出关于m的方程，求出m的值即可． 【解析】解：， x+4＜9m， x＜9m﹣4， ∵不等式的解集是x＜5， ∴9m﹣4＝5， m＝1， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次方程，关键是能求出关于m的方程．求出不等式的解集，根据已知得出方程，求出方程的解即可． 20．现定义一种新的运算：a*b＝a2﹣2b，例如：3*4＝32﹣2×4＝1，则不等式（﹣2）*x≥0的解集为　x≤2　． 【思路点拨】直接根据题意得出不等式，进而计算得出答案． 【解析】解：∵a*b＝a2﹣2b，例如：3*4＝32﹣2×4＝1， ∴不等式（﹣2）*x≥0可变形为：4﹣2x≥0， 解得：x≤2． 故答案为：x≤2． 【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式，正确将原式变形是解题关键． 21．定义一种法则“⊗”如下：a⊗b＝，如：1⊗2＝2，若（2m﹣5）⊗3＝3，则m的取值范围是 　m≤4　． 【思路点拨】先根据题中所给的条件得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【解析】解：∵1⊗2＝2，若（2m﹣5）⊗3＝3， ∴2m﹣5≤3， 解得m≤4． 故m的取值范围是m≤4． 故答案为：m≤4． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，新定义，根据题意得出关于m的不等式是解答此题的关键． 22．若不等式3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3是关于x的一元一次不等式，求m、n的取值． 【思路点拨】根据一元一次不等式的定义，可得答案． 【解析】解：由不等式3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3是关于x的一元一次不等式，得 m＝0，n﹣3≠0． 解得n≠3． 【点睛】本题考查了一元一次不等式，二次项系数等于零且一次项系数不等于零是解题关键． 23. 已知关于x的方程3x+ax＝14的解是不等式的最小整数解，求a的算术平方根． 【思路点拨】先求出不等式的解集，再根据关于x的方程3x+ax＝14的解是不等式的最小整数解，即可得到x的值，然后将x的值代入方程求出a的值，最后求a的算术平方根即可． 【解析】解：由可得，x＞1.4， ∵关于x的方程3x+ax＝14的解是不等式的最小整数解， ∴x＝2， ∴3×2+2a＝14， 解得a＝4， ∴＝＝2， 即a的算术平方根是2． 【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解、一元一次方程的解、算术平方根，解答本题的关键是求出a的值． 24. 污水治理，保护环境，某市治污公司决定购买A，B两种型号污水处理设备共12台，已知A，B两种型号的设备，每台的价格，月处理污水量如表： A型 B型 价格（万元/台） a b 处理污水量（吨/月） 220 180 （1）经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多3万元，购买1台A型设备比购买3台B型设备少3万元，求a，b的值； （2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过50万元，若两种设备都要购买，你认为该公司有哪几种购买方案； （3）在（2）问的条件下，若每月要求处理的污水量不低于2260吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案． 【思路点拨】（1）根据等量关系列出方程组求解即可求解． （2）设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备（12﹣x）台，根据不等关系列出不等式，并不等式，根据x取正整数，进而可求解； （3）根据不等关系列出不等式，根据x取正整数，进而可求解； 【解析】解：（1）根据题意得：， 解得：． （2）设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备（12﹣x）台，根据题意得， 6x+3（12﹣x）≤50， ∴， ∵x取正整数， ∴x＝1、2、3、4， ∴12﹣x＝11、10、9、8， ∴有四种购买方案： ①A型设备1台，B型设备11台； ②A型设备2台，B型设备10台； ③A型设备3台，B型设备9台； ④A型设备4台，B型设备8台． （3）由题意：220x+180（12﹣x）≥2260， ∴x≥2.5， 又∵， ∴， ∵x取正整数， ∴x为3，4． 当x＝3时，购买资金为3×6+9×3＝45（万元）， 当x＝4时，购买资金为4×6+8×3＝48（万元）， 45＜48， ∴为了节约资金，应选购A型设备3台，B型设备9台． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用：根据等量关系列出方程组及根据不等关系列出不等式是解题的关键． 题组C 培优拔尖练 25．若关于x的不等式5x+m≥7x的正整数解是1、2、3、4．则m的取值范围为（　　） A．m＜10 B．m≥8 C．8≤m≤10 D．8≤m＜10 【思路点拨】解5x+m≥7x得，再由题意可得，解这个不等式即可得出答案． 【解析】解：解5x+m≥7x得， ∵该不等式的正整数解为1、2、3、4， ∴， 解得8≤m＜10． 故选：D． 【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解，熟记运算法则是解题的关键． 26．若不等式5x﹣k≤0的正整数解是1、2、3，则k的取值范围是 　15≤k＜20　． 【思路点拨】首先解关于x的不等式，根据正整数解即可确定k的范围． 【解析】解：由不等式5x﹣k≤0，得：x≤， ∵不等式的正整数解是1、2、3， ∴3≤＜4， 解得：15≤k＜20． 故答案为：15≤k＜20． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集，确定k的范围，是解答本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 27. 已知关于x的不等式（2a﹣b）x+a﹣5b＞0的解集为x＜，求关于的不等式ax＞b的解集． 【思路点拨】根据已知不等式的解集，即可确定的值以及a的符号，从而解不等式． 【解析】解：移项，得：（2a﹣b）x＞5b﹣a， 根据题意得：2a﹣b＜0且＝， 即20a﹣10b＝35b﹣7a， 则27a＝45b，即3a＝5b，b＝a， 又2a﹣b＜0，即2a﹣a＜0， 则a＜0且＝＝， 则不等式ax＞b的解集是：x＜，即x＜． 【点睛】本题考查了不等式的解法，正确确定a的符号是关键． 28. 某公司有A、B两种型号的客车共20辆，它们的载客量、每天的租金如表所示．已知在20辆客车都坐满的情况下，共载客720人． A型号客车 B型号客车 载客量（人/辆） 45 30 租金（元/辆） 600 450 （1）求A、B两种型号的客车各有多少辆？ （2）某中学计划租用A、B两种型号的客车共8辆，同时送七年级师生到沙家浜参加社会实践活动，已知该中学租车的总费用不超过4600元． ①求最多能租用多少辆A型号客车？ ②若七年级的师生共有305人，请写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案． 【思路点拨】（1）设A型号的客车有x辆，B型号的客车有y辆，由题意得等量关系：①A、B两种型号的客车共20辆；②共载客720人，根据等量关系列出方程组，再解即可； （2）①设租用A型号的客车m辆，则租用B型号客车（8﹣m）辆，由题意得不等关系：A的总租金+B的总租金≤4600，根据不等关系列出不等式，再解即可； ②根据题意可得不等关系：A的总载客人数+B的总载客人数≥305，根据不等关系，列出不等式，再解可得m的范围，再结合①中m的范围，确定m的值． 【解析】解：（1）设A型号的客车有x辆，B型号的客车有y辆，由题意得： ， 解得：， 答：A型号的客车有8辆，B型号的客车有12辆． （2）①设租用A型号的客车m辆，则租用B型号客车（8﹣m）辆，由题意得： 600m+450（8﹣m）≤4600， 解得：m≤， 答：最多能租用6辆A型号客车； ②由题意得：45m+30（8﹣m）≥305， 解得：m≥， 由①知，m≤， 则≤m≤， ∵m为非负整数， ∴m＝5，6， ∴方案1，租用5辆A型号客车，租用3辆B型号客车； 方案2，租用6辆A型号客车，租用2辆B型号客车； ∵B型号租金少， ∴多租B，少租A， 因此租用5辆A型号客车，租用3辆B型号客车最省钱． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系，设出未知数，列出不等式． ( 20 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$