两直线的位置关系突破练-2025届高考数学一轮复习备考

两直线的位置关系 一、单选题 1．已知直线：，：，若“”是“”的充要条件，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．在平面直角坐标系中，点，直线，点关于直线的对称点为，则面积的最大值是（   ） A． B． C． D． 3．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B．3 C． D．5 4．已知点在直线上，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．设直线：，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 6．在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且，则下列说法正确的是（    ） A．点的轨迹为圆 B．点到原点最短距离为2 C．点的轨迹是一个正方形 D．点的轨迹所围成的图形面积为24 7．设直线 ， 一束光线从原点 出发沿射线 向直线 射出， 经 反射后与 轴交于点 ， 再次经 轴反射后与 轴交于点 . 若 ， 则 的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知直线：与直线，且，则的最小值为（    ） A．12 B． C．15 D． 二、多选题 9．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m，n，其方程分别为，，将军的出发点是点，军营所在位置为，则下列说法错误的是（    ） A．若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为 B．将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是 C．将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程是 D．将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是 10．一条斜率不为0的直线，令，则直线l的方程可表示为.现光线沿直线l射到x轴上的点，反射后射到y轴上的点，再经反射后沿直线射出.若和中和y的系数相同，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知点，，且点在直线：上，则（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．的最小值为 D．最大值为3 12．对平面直角坐标系中的两组点，如果存在一条直线使这两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”．对于一条分类直线，记所有的点到的距离的最小值为，约定：越大，分类直线的分类效果越好．某学校高三（2）班的7位同学在2020年期间网购文具的费用（单位：百元）和网购图书的费用（单位：百元）的情况如图所示，现将和为第I组点将和归为第II点．在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直线，记为．给出下列四个结论：    ①直线比直线的分类效果好； ②分类直线的斜率为2； ③该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为300元，则小明的这两项网购花销的费用所对应的点与第II组点位于的同侧； ④如果从第I组点中去掉点，第II组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 三、填空题 13．已知直线，它关于直线对称的直线方程为 . 14．已知光线从点入射，经过直线反射，反射光线经过点，则入射光线所在的直线方程为 . 15．若直线与直线平行，则直线与的距离为 . 16．在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为 ． 四、解答题 17．已知直线与直线. (1)当为何值时，与平行，并求与的距离; (2)当为何值时，与垂直. 18．（1）已知函数，解不等式； （2）光线沿直线射入，遇直线后反射，求反射光线所在的直线方程. （把最后结果写成直线的一般式方程） 19．在平面直角坐标系中，直线， ，，， （）. （1）证明直线和过同一个定点，并求到直线的距离； （2）若与交于点，与交于点，记，，求的最大值． 参考答案： 1．B 由题意可知若，则， 又因为即，故，即. 2．B 设，则与的中点坐标为， 由题意得， 消去得， 故点为以为圆心，半径为1的圆，（除去）， 故的最大值为2，位于的正上方， 故面积的最大值为 3．C 设点关于直线对称的点为， 则有， 所以“将军饮马”的最短总路程为， 4．B 就是到原点距离， 到原点距离的最小值为 则的最小值为2， 5．B 如图，设点关于直线的对称点为， 则得，即， 由题意知与直线不平行，故， 由，得，即， 故直线的斜率为， 直线的直线方程为：， 令得，故， 令得，故由对称性可得， 由得，即， 解得，得或， 若，则第二次反射后光线不会与轴相交，故不符合条件． 故， 6．D 设点的坐标为，因为，动点满足， 所以，得， 因为，所以， 即点的轨迹方程为， 当时，方程为， 当时，方程为， 当时，方程为， 当时，方程为， 所以点对应的轨迹如图所示，且，, 所以点的轨迹为菱形，所以AC错误， 原点到直线的距离为，所以B错误， 点的轨迹所围成的图形面积为，所以D正确.    7．B 如图，设点关于直线的对称点为， 则得，即， 由题意知与直线不平行，故， 由，得，即， 故直线的斜率为， 直线的直线方程为：， 令得，故， 令得，故由对称性可得， 由得，即， 解得，得或， 若，则第二次反射后光线不会与轴相交，故不符合条件． 故， 8．B 由题意知直线：与直线，， 则，即， 故， 当且仅当，结合，即时等号成立。 故的最小值为， 9．ABD 对于A，如图①所示，设点关于直线的对称点为， 由解得， 所以将军在河边饮马的地点的坐标为，故A错误； 对于B，如图②所示，因为点关于直线的对称点为， 将军先去河流饮马，再返回军营的最短路程是，故B错误； 对于C，如图③所示，因为点关于直线的对称点分别为，； 点关于直线的对称点为， 所以将军先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回军营的最短路程，故C正确； 对于D，如图④所示，设点关于直线的对称点分别为， 由解得；点关于直线的对称点为， 将军先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回军营的最短路程是，故D错误.             10．AB 由题意知的图象过点和，所以直线， ，又和中和y的系数相同，且的图象过，所以. 对于A，，所以A正确； 对于B，， ，所以，选项B正确； 对于C，，所以C错误； 对于D，，，所以D错误. 11．BCD 对于A：设，若时，此时的斜率不存在， ，与不垂直，同理时与不垂直， 当且时，， 若，则， 去分母整理得，，方程无解，故与不垂直，故A错误； 对于B：设，若，则， 即，由，所以方程有解，则存在点，使得，故B正确； 对于C：如图设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以， 当且仅当、、三点共线时取等号（在线段之间），故C正确；    对于D：如下图，，当且仅当在的延长线与直线的交点时取等号，故D正确.    12．BCD 由图象知：    ，，，，，，， 当直线为分类直线时，， 当直线为分类直线时，其过， 由图可知，到直线距离最小， 到直线的距离为， 到直线的距离为， 所以，所以直线分类效果好，故①错误； 由图知的位置由，，确定， 所有的点到的距离的最小值为，约定：越大，分类直线的分类效果越好． 可知点，，直到线的距离相等， 所以直线过点，的中点，而的中点为,的中点为， 故直线的斜率为，故②正确； 又直线的方程为， 此时点在的右侧，故③正确； 去掉点后，，到直线的距离相等， 此时直线为线段，的垂直平分线，故④正确； 13． 设对称的直线方程的点为，对称点为， 直线斜率为1， 则有，消去得， 故答案为： 14． 直线的斜率为1，根据点关于斜率为的直线直接求对称点的结论：知求，知求可得， 当时代入得； 当时代入得，即得关于的对称点； 入射光线所在直线方程为：； 化简得：. 故答案为：. 15．/ 由于与平行，则，即，解得或， 当时，两直线方程分别为，此时两直线重合，不符合题意； 当时，两直线方程分别为，此时两直线平行，符合题意； 综上所述：，两直线方程分别为， 所以直线与的距离为. 故答案为：. 16． 设直线与轴交于，直线与轴交于，. 当时，直线为，直线为，所以两条直线的交点为. 当时，两条直线的斜率分别为、，斜率乘积为，故，所以点的轨迹是以为直径的圆（除两点外）. 设以为直径的圆的圆心为，半径，圆的方程为.点满足圆的方程. 综上所述，点点的轨迹是以为直径的圆（除两点外）. 圆心到直线的距离为. 所以点到直线的距离的最大值为. 故答案为：. 17．(1)， (2)或 （1）由直线与平行，则，解得， 所以此时直线， 所以与的距离为. （2）由直线与垂直，则，解得或. 18．（1）{或}.（2）. （1）， 当时，，∴，∴； 当时，，∴，∴； 当时，，∴，∴. 综上，不等式的解集为{或}. (2)由得 ∴反射点M的坐标为(－1，2).    又取直线上一点P(－5，0)，设P关于直线l的对称点， 由可知，. 而的中点Q的坐标为，又Q点在上， ∴.由得 根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为. 19．（1）证明见解析，；（2）. （1）由得， 由，解得，所以过定点， 由得， 由，解得，所以过定点， 所以直线和过同一个定点， 到直线的距离； 过作垂直于点，则， 因为，所以，即， 因为，，所以， 因此，， 所以， 因为，所以当时，． 学科网（北京）股份有限公司 $$