24.2.2 直线和圆的位置关系(3) 课件 2024—2025学年人教版数学九年级上册

第二十四章 圆 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 第2课时 直线和圆的位置关系 九年级上册•人教版 第3节 切线长定理和三角形的内切圆 学习目标 1.了解切线长的概念，探索并证明切线长定理. 2.了解三角形内切圆、内心的概念. 3.能用切线长定理和三角形内心的性质解决相关问题. 复习引入 问题1. 圆的切线是如何被定义的？ 如果直线和圆只有一个公共点，那么这条直线叫做圆的切线 问题2 在同一平面内有一点P和☉O,过点P能否作☉O的切线？如果能，可以作几条切线？如果不能，请说明理由. O. 1.若点P在☉O内 O. P 过点P的直线都与☉O相交，所以不存在过P点的直线与☉O相切. 2.若点P在☉O上 O. P 作法： （1）连接OP （2）过P点作已知线段OP的垂线l 直线l就是☉O的切线 l 作图依据：切线定理 3.若点P在☉O外 O. P A B M 作法： （1）连接OP； （2）作线段OP的中点M； （3）作以M为中心，OM长为半径的☉M，与☉ O交于A、B两点； （4）作直线PA、PB 则直线PA、PB即为☉O的两条切线. 思考：这样作图的依据是什么？ 作图依据： （1）直径所对的圆周角是直角; （2）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线; （3）两点确定一条直线. 总结： 1.若点P在☉O内，过P点，不存在圆的切线. 2.若点P在☉O上，过P点，可以作圆的一条切线. 3.若点P在☉O外，过P点，可以作圆的两条切线. 直线PA,PB是⊙O的两条切线. 切点分别为A，B. 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 线段PA,PB的长就叫点P到⊙O的切线长. O. P A B 思考：切线与切线长有什么区别与联系？ O. P A B 切线和切线长是两个不同的概念： 1.切线是一条与圆相切的直线； 2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点. 探究1：如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B，将⊙O沿着直线OP对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系?试着证明一下. O. P A B 证明：∵ PA、PB 是☉O 的两条切线， ∵ OA = OB，OP = OP， ∴ Rt △OAP Rt △OBP(HL). ∴ PA =PB，∠APO =∠BPO. ∴ OA⊥PA，OB⊥PB. 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角，并且夹角相等. 切线长定理： PA、PB分别切⊙O于A、B PA = PB ∠OPA=∠OPB 用几何语言表示: O. P A B O. P A B 探究2：若连接AB，交OP于F点，还能得出什么结论？ F 证明：∵ PA，PB 是 ⊙O 的切线， 点 A，B 是切点， ∴ PA = PB，∠OPA =∠OPB. ∴ △PAB 是等腰三角形， PF 为顶角的平分线. ∴ OP⊥AB，AF=BF, ∠PAB=∠PBA，∠OAB=∠OBA. OP 垂直平分 AB. 切线长定理是证明线段相等、角相等、垂直平分的重要依据. 探究3 如图，是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切？ 问题1 如果圆与三角形的三边都相切，那么圆心应满足什么条件？ 圆心到三角形三边的距离相等，都等于半径. 问题2 在三角形的内部，如何找到满足条件的圆心呢？ 三角形三条角平分线交于一点，这一点到三角形三边的距离相等.圆心应是三角形的三条角平分线的交点. 做一做： 作法： 1. 作∠ABC 、∠ACB 和∠BAC的平分线BM 、CN和AD，交点为O. 2. 过点O作OF⊥BC，垂足为F. 3. 以O为圆心，OF为半径作圆O. ☉O 就是所求的圆. A B C M D N O F 1. 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2. 三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心. 3. 这个三角形叫做这个圆的外切三角形. B A C I ☉I 是△ABC 的内切圆， 点I是△ABC 的内心， △ABC 是☉I的外切三角形. 归纳总结： 例题讲解 例 如图，△ABC 的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm， （1）求 AF、BD、CE的长. B A C E D F O B A C E D F O 解： 设 AF = x cm，则 AE = x cm. ∴ CE = CD = AC - AE = 9 - x (cm)， BF = BD = AB - AF =13 - x (cm). 由 BD + CD = BC，可得 (13 - x) + (9 - x) = 14， 解得 x = 4. ∴ AF = 4 cm，BD = 9 cm，CE = 5 cm. （2）若△ABC的面积为 S=84 求△ABC内切圆的半径. B A C E D F O 解：S△ABC=S△AOC＋S△BOC＋S△AOB OD=OE=OF=r ∵OD⊥BC， OE⊥AC， OF⊥AB, S△ABC=== S△ABC= (a＋b＋c) r= = = 三角形内切圆半径公式：r= 其中S为三角形的面积；C为三角形的周长. 总结 课堂练习 如图，PA、PB 是⊙OZ 的两条切线，切点分别是 A、B，若AP= 4，∠APB =40， 则∠APO = °，PB = . 20 4 B P O A · A B C D O E 2. 如图 ，☉O 为 △ ABC 的内切圆 ，AC = 10，AB = 8，BC = 9，点 D，E 分为 BC，AC 上的点，且 DE 为☉O 的切线，则△CDE 的周长为______. 11 3. 如图，已知在△ABC 中，∠B＝90°，O 是 AB 上一点， 以 O 为圆心，OB 为半径的圆与 AB 交于 E，与 AC 相切于点 D. 求证：DE∥OC. 证明：连接 OD，如图. ∵ AC 切⊙O 于点 D，∴ OD⊥AC. ∴ ∠ODC =∠B = 90°. ∵ OD = OB，OC = OC， ∴ Rt△ODC Rt△OBC（HL）. ∴ ∠DOC =∠BOC. ∵ OD = OE，∴∠ODE =∠OED. ∵∠DOB =∠ODE +∠OED， ∴∠BOC =∠OED. ∴ DE∥OC． 切线长 切线长定理 作用 提供了证线段和角相等的新方法 三角形内切圆 运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程 应用 重要结论 三角形内切圆半径公式：r= 图形的轴对称性 原理 课堂小结 切线长定理是证明线段相等、角相等、垂直平分的重要依据. $$