24.1.2 垂直于弦的直径 课时巩固练-2024-2025学年初中数学人教版九年级上册

24.1.2垂直于弦的直径 一、单选题 1．如图，因为⊙O的直径CD过弦EF的中点G，弦EF不是直径，所以CD⊥EF，根据是（　　） A．垂直于弦的直径平分这条线 B．平分弦的直径垂直于这条弦 C．平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦 D．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角也相等 2．如图，在中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则圆O的半径长是（  ） A．1 B． C． D．4 3．⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 4．如图，一个圆柱形的玻璃水杯，将其水平放置，截面是个圆，C为弦中点，点D是弧的中点，cm，杯内水面宽cm，则圆的半径的长是（    ）    A．6cm B．5cm C．4cm D． 5．如图，将半径为的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（    ） A．4cm B．2cm C．cm D．cm 6．如图，是圆的弦，直径，垂足为，若，，则的长为（    ） A． B．9 C． D． 7．如图，是的弦，是的直径，于点．在下列结论中，不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在扇形中，点D在上，点C在上，．若，则的半径为(   ) A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在⊙O中，AB为直径，弦于点H，若，则⊙O的半径长为 ． 10．如图，是的弦，是的三等分点，连接并延长交于点．若，，则圆心到弦的距离是 ．      11．如图，一种花边是由弓形组成的，弧ACB的半径为5，弦AB为8，则弓形的高CD为 12．⊙O的半径为10cm，弦AB＝12cm，则圆心到AB的距离为 ． 13．在中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC上一点，连接BD，AD，OC，∠ADB＝30°．若弦BC＝6cm，则图中阴影部分的面积为 . 三、解答题 14．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点C、D． (1)求证：AC＝BD； (2)若大圆的半径r＝8，小圆的半径r＝6，且圆心O到直线AB的距离为4，求AC的长． 15．如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，OF⊥AC于点F，BE＝OF． （1）求证：△AFO≌△CEB； （2）若BE＝4，CD＝8，求： ①⊙O的半径； ②求图中阴影部分的面积． 16．在《折叠圆形纸片》综合实践课上，小东同学展示了如下的操作及问题： (1)如图1，的半径为4cm，通过折叠圆形纸片，使得劣弧AB沿弦AB折叠后恰好过圆心，求AB长； (2)如图2，弦AB，垂足为点C，劣弧AB沿弦AB折叠后经过的中点D，，求的半径． 17．如图，是的直径，于点，连接并延长交于点，且恰为的中点． (1)求的度数； (2)证明：是的中点． 18．如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5． （1）若，，求的长； （2）若，且，求弦的长； 参考答案： 1．C 因为⊙O的直径CD过弦EF的中点G，弦EF不是直径，所以 理由是垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦 2．C 解：∵圆心到弦的距离为2， ∴， ∵弦的长为4， ∴， ∴， 即圆O的半径长是， 3．C 解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴E、O、F三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是14或2． 4．B 解：连接并延长，交圆于点，，，    ∵，C为弦中点， ∴，， ∴平分， ∵为的中点， ∴点重合， ∴三点共线， 设圆的半径为，则：， 由勾股定理，得：， ∴， 解得：； 5．A 如图所示，连接AO，过O作OD⊥AB，交于点D，交弦AB与点E， ∵折叠后恰好经过圆心， ∴OE=DE, ∵半径为4， ∴OE=2， ∵OD⊥AB， ∴AE=AB， 在Rt△AOE中，AE==2 ∴AB=2AE=4 故选A. 6．C 解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴． 7．D 解：根据垂径定理可以得到，故选项A不符合题意； ∵是的直径， ∴，故选项B不符合题意； ∵， ∴， ∵ ∴, 故选项C不符合题意； ∵无法证明， ∴选项D符合题意． 8．C 解：过点作与，连接交与点，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的中点， ∴， 又∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 即的半径为， 9．5 解：如图，连接OC，设圆的半径为x， 由垂径定理可得：CH=CD=4， Rt△OCH中，OH=AH-AO=8-x，则 ， ， 解得：x=5，即⊙O半径为5， 故答案为：5； 10． 解：延长交圆于点，作于点，连接．    则，， ， ， 解得：， 则， ， ， 在中，． 故答案为：． 11．2 解：根据题意，画出下图，然后根据勾股定理，由OA=5，AD=4， 可得OD=3， 因此可得CD=． 故答案为：2． 12．8cm 解：如图，连接OB，作OC⊥AB，垂足为C， ∵OC⊥AB， ∴BC=AB=6cm， 在Rt△OBC中，， ∴圆心到AB的距离为8cm． 故答案为：8cm 13． ∵BC=6， ∴ ， 在中， ， ∴ ， ∵ ， ∴∠BOC=2∠AOC=120°， ∴ （cm2）． 故答案为 14．(1)见解析 (2)AC＝ （1）证明：作OE⊥AB，则AE＝BE，CE＝DE， 故BE﹣DE＝AE﹣CE； 即AC＝BD； （2）解：连接OC，OA， ∵OE⊥AB且OE⊥CD， ∴OE＝4，CE＝DE， ∴DE＝CE＝＝＝2， AE＝＝＝4， ∴AC＝AE﹣CE＝4﹣2． 15．（1）见解析；（2）①8；② （1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，AB⊥CD， ∴BC＝BD， ∴∠A＝∠DCB， ∴OF⊥AC， ∴∠AFO＝∠CEB， ∵BE＝OF， ∴△AFO≌△CEB（AAS）． （2）①∵AB 为⊙O 的直径，AB⊥CD， ∴CE＝CD＝4 设 OC＝r，则 OE＝r﹣4， ∴r2＝（r﹣4）2+（4）2 ∴r＝8． ②连结 OD． ∵OE＝4＝OC， ∴∠OCE＝30°，∠COB＝60°， ∴∠COD＝120°， ∵△AFO≌△CEB， ∴S△AFO＝S△BCE， ∴S阴＝S扇形OCD﹣S△OCD ＝﹣ ＝﹣16. 16．(1)cm (2)cm （1）解：如图1，作交于，交于，连接 由题意知，， 在中，由勾股定理得 ∴ ∴的长为． （2）解：如图2，延长交于，连接，设半径为 由题意知，由折叠和中点的性质可知， 在中，由勾股定理得，即 解得：，（不合题意，舍去） ∴半径的长为． 17．(1) (2)见解析 （1）解：如图，连接， ，，为的直径， ， 垂直平分， ， 为的中点，过圆心， ， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ，， （2）解：为的中点， ， ， ， 为等边三角形， ， ，即是的中点． 18．（1）7；（2）8 解：（1）连接AO和DO， ∵，且EF过圆心， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理， ， ∴； （2）如图，连接BO和DO， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ，解得，（舍去）， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$