第9讲 一次函数的图像与性质 2024-2025学年北师大版数学八年级上册

第10讲 一次函数的基本性质 【教学目标】 1、掌握函数的概念与表示方法； 2、会求函数的值，并确定自变量的取值范围； 3、掌握一次函数、正比例函数的概念； 【基础知识梳理】 1. 一次函数及正比例函数的概念 下列函数：①；②；③；④，其中一次函数为__________（正确的序号都填上 ） 若 y=2x+m-2是正比例函数，m=_________ 当k=_____时，y=kxk-2+1是一次函数。 2、一次函数的图象与性质： ①一次函数y=x-1的图象是经过（0，____)和(___,0)两点的一条_______线，它一定不过第_____象限，且y随x的增大而___________。 3、 确定一次函数y=kx+b(k≠0)解析式（关键：用待定系数法求k、b的值） ①若正比例函数y=kx的图像经过（1,2），则k的值是_________。 ②写出一个经过第一二四象限，且过（-1,3）的函数关系是________ (写出一个即可） ③已知一次函数的图像与直线y=-x+1平行，且过点（8,2），那么此一次函数的解析式是 _____________________。 【NO1一次函数的图像】 1、正比例函数和一次函数图像和性质如表： 函数 图象 性质 经过象限 变化规律 y=kx+b （k、b为常数， 且k≠0） 　 k＞0 b＞0 　 　 　 b=0 　 　 b＜0 　 　 k＜0 b＞0 　 　 b=0 　 b＜0 　 　 【典例精讲】 知识点一：求函数解析式 例1、如图，四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，AC+BD＝10，设AC＝x（0＜x＜10），四边形ABCD的面积为y，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝x（10﹣x） B．y＝x（10﹣x） C．y＝x（10+x） D．y＝（10﹣x）2 【变式练习】 1. (金牛区期末)下列各曲线表示的y 与x 的关系中，y 不是x 的函数的是 ( ) A B C D 1、某水库的水位在5小时内持续上涨，初始的水位高度为6米，水位以每小时0.3米的速度匀速上升，则水库的水位高度y米与时间x小时（0≤x≤5）的函数表达式为（　　） A．y＝﹣0.3x+6 B．y＝﹣0.3x﹣6 C．y＝0.3x+6 D．y＝0.3x﹣6 知识点二：求自变量取值范围 例2、函数y＝中自变量x的取值范围是（　　） A．x≠0 B．x≥2或x≠0 C．x≥2 D．x≤﹣2且x≠0 【变式练习】 1、下列函数中，自变量取值范围错误的是（　　） A．y＝（x≠） B．y＝（x≤1） C．y＝x2﹣1（x为任意实数） D．y＝（x≥1） 知识点三：求函数的值 例3、根据图中的程序计算y的值，若输入的x值为3，则输出的y值为（　　） A．﹣5 B．5 C． D．4 【变式练习】 1、按照如图所示的程序计算函数y的值时，若输入x的值是3，则输出y的值是﹣7，若输入x的值是1，则输出y的值是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．2 知识点四：从函数图象获取信息判断选项是否正确 例4、如图，甲、乙两汽车从A城出发前往B城在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时间t的对应关系如图所示下列结论：①A，B两城相距300km；②行程中甲、乙两车的速度比为2：3；③乙车于7：20分追上甲车；④9：00时，甲、乙两车相距60km．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式练习】 1、甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖2天后，每天挖50米；③甲队比乙队提前3天完成任务；④当x＝2或6时，甲、乙两队所挖管道长度都相差100米．正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 2、一艘游船在沙湖上航行，往返于码头和景点之间，假设游船在静水中的速度不变，沙湖的水流速度不变，该游船从码头出发，逆水航行到景点，停留一段时间（游客下船、游客上船），又顺水返回码头．若该游船从码头出发后所用时间为x（h），游船距码头的距离为y（km），则下列各图中，能够反映y与x之间函数关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． 知识点五：一次函数的定义 例5、下列函数中，y是x的一次函数的有（　　） ①y＝x﹣6； ②y＝2x2+3； ； ⑤y＝x2 ；⑥y＝； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式练习】 1、若y＝（m+2）x+3是一次函数，则m的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D． 2、已知函数y＝2x|a﹣2|+a2﹣1是正比例函数，则a＝（　　 ） A．1 B．±1 C．3 D．3或1 3. (高新区期末)下列说法正确的是 ( ) A.y=kx+b(k,b 为任意常数)一定是一次 B.(常数k≠0)不是正比例函数 C.正比例函数一定是一次函数 D.一次函数一定是正比例函数 知识点六：一次函数的图象性质与性质 例6、若实数a，b，c满足a+b+c＝0，且a＞b＞c，则关于x的一次函数y＝﹣cx﹣a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式练习】 1、若m＜﹣2，则一次函数y＝（m+1）x+1﹣m的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2、已知正比例函数y＝kx的图象如图所示，则一次函数y＝kx﹣k的图象是（　　） A． B． C． D． 3、在平面直角坐标系中，函数y＝2kx（k≠0）的图象如图所示，则函数y＝2kx﹣3+2k的图象大致是（　　） A． B． C． D． 4、已知直线y＝2x+b，当b＜0时，该直线不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5、已知一次函数y＝（a+3）x+b+1的图象经过过一、二、四象限，那么a，b的取值范围是（　　） A．a＞﹣3，b＞﹣1 B．a＜﹣3，b＜﹣1 C．a＞﹣3，b＜﹣1 D．a＜﹣3，b＞﹣1 6. (锦江区期末)对于一次函数y=x+6, 下列说法错误的是 ( ) A.y 的值随着x 值的增大而增大 B. 函数图象与x 轴正方向成45°角 C.函数图象不经过第四象限 D. 函数图象与x 轴的交点坐标是(0,6) 知识点七：一次函数的图象与几何变换（平移问题） 例7、将直线y＝3x向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，平移后所得新直线的表达式为（　　） A．y＝3（x﹣2）+5 B．y＝3（x+2）+5 C．y＝3（x﹣2）﹣5 D．y＝3（x+2）﹣5 【变式练习】 1、在平面直角坐标系中，将直线b：y＝﹣2x+4平移后，得到直线a：y＝﹣2x﹣2，则下列平移方法正确的是（　　） A．将b向左平移3个单位长度得到直线a B．将b向右平移6个单位长度得到直线a C．将b向下平移2个单位长度得到直线a D．将b向下平移4个单位长度得到直线a 知识点八：一次函数中比较大小 例8、),是正比例函数图象上的两点，下列判断中，正确的是（ ） A、 B、 C、当时 D、当时, 【变式练习】 1、已知点A(-4, a),B(-2,b)都在一次函数y=x+k(k为常数)的图像上,则a与b的大小关系是a__ _ _b(填”<”、”=”或”>”) 2.已知点A（﹣5，a），B（4，b）在直线y=﹣3x+2上，则a　 b．（填“＞”“＜”或“=”号 ） 知识点九：一次函数的综合练习 例9、已知一次函数y=(2-k)x-3k+18, (1) k为何值时,它的图像经过原点; (2) k为何值时,它的图像经过点(0,-2); (3) k为何值时,它的图像与y轴的交点在x轴的上方; (4) k为何值时,它的图像平行于直线y=-x; (5) k为何值时,y随x的增大而减小. 【变式练习】 1、已知一次函数y=(3-k)x-2k2 +18. （1）k为何值时,它的图象经过原点? (2) k 为何值时,它的图象经过点(0, -2)？ (3) k 为何值时, y随x的增大而减小？ 2、已知一次函数的图象经过A(-2，-3)，B(1，3)两点. (1)求这个一次函数的解析式. (2)试判断点P(-1，1)是否在这个一次函数的图象上. (3)求此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积. 【家庭作业】 1、弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的质量x（kg）间有下面的关系（弹簧的弹性范围x≤10kg）； x 0 2 4 6 8 10 y 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法不正确的是（　　） A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为10cm C．所挂物体质量为5kg时，弹簧长度增加了1.25cm D．所挂物体质量为9kg时，弹簧长度增加到11.25cm 2、已知函数，要使函数值随自变量的增大而减小，则的取值范围是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 3、一次函数中，的值随的减小而减小，则的取值范围是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 4、已知直线，经过点和点，若，且，则与的大小关系是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．不能确定 5、若直线经过第二、三、四象限，则的取值范围是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 6.一次函数的图象不经过（　　） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 7、直线与轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 。与坐标轴围成的三角形的面积是 。 8、一次函数的图象经过一、三、四象限，则的取值范围是　　　　　． 9、下列图象中不可能是一次函数的图象的是（　　） x y O x y O x y O x y O Ｄ． Ｃ． B． A． 10、两个一次函数与，它们在同一直角坐标系中的图象可能是（　　） Ｏ y x Ｏ y x Ｏ y x Ｏ y x Ｄ． Ｃ． B． A． 11、已知一次函数y=x+m和y=-x+n的图像都经过点A(-2,0), 且与y轴分别交于B,C两点,求△ABC的面积。 【课堂限时训练】 姓名： 1．一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/时，特快车的速度为150千米/时，甲乙两地相距1500千米，两车同时出发，则图中折线可以表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间函数关系的图象的是（　　） A．B． C．D． 2、若一次函数y＝kx+b不经过第三象限，则下列说法正确的是（　　） A．b＜0，y随x的增大而减小 B．b≤0，y随x的增大而减小 C．b＞0，y随x的增大而增大 D．b≥0，y随x的增大而减小 3、一次函数y＝kx+b中，若kb＜0，且y随着x的增大而增大，则其图象可能是（　　） A． B． C． D． 4、对于函数y＝﹣x﹣1，下列结论正确的是（　　） A．它的图象必经过点（﹣1，3） B．它的图象经过第一、二、三象限 C．当x＞1时，y＜0 D．y的值随x值的增大而增大 5、如果直线y＝2x+m与两坐标轴围成的三角形面积等于4，则m的值是（　　） A．±3 B．3 C．±4 D．4 6、一次函数中，的值随的减小而减小，则的取值范围 。 7、若函数y=(3m-2)x2+(2-2m)x(m为常数)是正比例函数，则m的值为 8、已知关于的一次函数。若其图像经过原点， ， 若随着的增大而减小，则的取值范围是 。 9、已知直线y=2x+8与x轴和y轴的交点的坐标分别是_______、_______．与两条坐标轴围成的三角形的面积是__________． 10、已知l1：直线y=﹣x+3和l2：直线y=2x，l1与x轴交点为A．求： （1）l1与l2的交点坐标是 ． （2） 经过点A且平行于l2的直线的解析式是 ． （3） 求与两坐标轴围城的面积是 。 11、已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A（3，4），且一次函数的图象过点B，点B在x轴上，且AO=BO． （1）求两个函数的解析式； （2）求△AOB的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$