24.3 正多边形和圆 新知梳理+典型例题+配套+练习题 2024-—2025学年人教版数学九年级上册

24.3 正多边形和圆 ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ 【题型1】圆内接正方形 3 【题型2】圆内接正多边形 9 【题型3】正多边形的有关概念和计算 14 知识点1：正多边形与圆的关系 1．把圆分成n（n≥3）等份． （1）依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形； （2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形． 2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，而且这两个圆是同心圆． 知识点2：正多边形的有关概念 1．中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 2．半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． 3．中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 4．边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距． 知识点3：正多边形的对称性 1．正n边形是旋转对称图形，最小旋转角为，即任意正n边形绕其中心旋转的整数倍后，所得图形与原图形重合． 2．所有的正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都经过正n边形的中心． 3．如果正多边形有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形，它的中心就是对称中心． 知识点4：正多边形的有关计算 1．中心角：正n边形的每个中心角为． 2．内角：正n边形的每个内角的度数为（或）． 3．外角：正n边形的每个外角为． 4．正n边形的周长l=na（a为边长）． 5．面积：正n边形的面积S=nar=rl（a为边长，r为边心距，l为周长）． 知识点5：正多边形的画法 （1）用量角器等分圆周 由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相应的正多边形． 【误差较大】 （2）用尺规等分圆周． 对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作． 【有局限性，它不能将圆进行任意等分，仅限于一些特殊的正多边形，如正四边形、正八边形、正十六边形，正六边形、正十二边形、正三角形等．】 求圆内接正多边形的半径、边心距或边长时，通常从正多边形的中心向一边作垂线，连接半径构造直角三角形，综合运用垂径定理和勾股定理解决问题． 【题型1】圆内接正方形 例1 （2023秋•秀屿区校级期中）如图，正方形内接于，是的中点，连接，，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【分析】（1）证明，即可得出． （2）连接，过点作交的延长线于．证明，推出，即可解决问题． 【解答】（1）证明：四边形是正方形， ， ． 是的中点， ， ， ． （2）证明：连接，过点作交的延长线于． 四边形是正方形， ，， ， ， ． ， ． 在和中， ， ， ， ， 即． ◄ 点拨 ► 4个内角均为直角的圆内接四边形，不一定是正方形． 【变式1】　（2024•绵阳模拟）如图，正方形内接于，为的中点，直线交于点，如果的半径为，则点到的距离　　 A． B． C．1 D． 【变式2】　（2023秋•襄都区月考）如图，正方形内接于，的半径为，是上的一个动点，连接，，分别交于点，． （1）求的度数． （2）若，求的长． 【变式3】　（2023•山西模拟）如图，正方形内接于，连接，点是的中点，过点作的切线与的延长线相交于点． （1）试判断与的位置关系，并说明理由． （2）求的度数． 1．【答案】 【分析】连接、、，求出，求出，根据勾股定理求出，根据相交弦定理求出，根据垂径定理求出，在中，根据勾股定理求出即可． 【解答】解：连接，，， 正方形内接于， ， 在中，由勾股定理得：， ， 是中点， ， 在中由勾股定理得：， 由相交弦定理得：， 即， ， ， ，过圆心， ， 在中，由勾股定理得：，， 解得：， 故选：． 2．【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）连接，，依据“同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半”即可求出的度数； （2）连接，，交于点，延长交于点，由，证明，，，求出相关线段的长度，再利用相似三角形的性质和判定即可求出的长． 【解答】解：（1）如图1，连接，． 正方形内接于， ， ， （2）如图2，连接，，交于点，延长交于点． ，正方形内接于， ，， ，． ， ， ，． ， ， ，即， ． 3．【答案】（1），理由见解析；（2）． 【分析】（1）如图，连接，根据正方形的性质得到，根据切线的性质得到，，根据平行线的性质即可得到结论； （2）根据正方形的性质得到，，求得．根据平行线的自己看得到结论． 【解答】解：（1）， 理由：连接， 四边形是正方形， ， ， 与相切于点， ， ， ； （2）四边形是正方形， ，， ． 点是的中点， ， ， ， ． 【题型2】圆内接正多边形 例2 （2024•凤台县三模）如图，正三角形和正六边形都内接于，连接，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先求解，，再进一步结合等腰三角形的性质求解即可． 【解答】解：如图，连接， 正三角形， ， ， ， 正六边形， ，， ， ， ， 故选：． ◄ 点拨 ► 证明一个圆内接多边形是正多边形的两种方法： （1）证明圆内接多边形的每个内角相等，每条边也相等，二者缺一不可． （2）证明圆内接多边形的各边所对的弧相等． 技巧：当边数是奇数时，各个内角相等的圆内接多边形是正多边形． 易错点：易把正多边形的内切圆的半径（即边心距）当作正多边形的半径． 【变式4】　（2024•雁塔区校级一模）如图，正六边形内接于． （1）若是上的动点，连接，，求的度数； （2）已知的面积为，求的面积． 【变式5】　（2023秋•富县月考）如图，正五边形内接于，与相切于点，求的度数． 【变式6】　（2023秋•万年县校级月考）如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点（点不与点重合），求的大小． 4．【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）在弧取一点，连接、、、，利用弦和圆周角的关系即可求出的值； （2）①证明是等边三角形即可求出；②利用三角函数求出，，再根据的面积为，求出半径即可求出． 【解答】解：（1）如图所示，在弧取一点，连接、、、， 六边形是正六边形， ，， ， ， ， ； （2），， 是等边三角形， ； ，， ， ，即的半径为2， 的面积． 5．【答案】的度数是． 【分析】连接、，则，所以，而，则，求得，由切线的性质得，则． 【解答】解：连接、，则， ， 正五边形内接于， ， ， ， 与相切于点， ， ， ， 的度数是． 6．【答案】． 【分析】连接，．求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【解答】解：如图，连接，， 是正五边形， ， ． 【题型3】正多边形的有关概念和计算 例3 （2024•惠城区校级开学）若一个正边形的每个内角为，则这个正边形的边数是　　 A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】 【分析】先求出外角的度数，即可求解． 【解答】解：一个正边形的每个内角为， 一个正边形的每个外角为， 这个正边形的边数， 故选：． ◄ 点拨 ► 正多边形的相关计算技巧： （1）正n边形的半径、边心距、边的一半构成一个直角三角形．有关正n边形的计算问题都转化为直角三角形的问题，常作半径、边心距构造直角三角形； （2）正六边形的边长等于它的半径，正三角形的边长等于它的半径的倍，正方形的边长等于它的半径的倍． 【变式7】　（2024春•金安区校级期末）如图，正六边形和正方形有公共边，连接交于点，则的度数为　　 A． B． C． D． 【变式8】　（2023秋•宿迁期末）如图，正六边形内接于，半径为4． （1）求正六边形的边心距； （2）求正六边形的面积． 【变式9】　（2023秋•拱墅区校级期中）如图所示，已知正八边形内接于，连接、，相交于点，若的半径为1． （1）求的长； （2）求的度数． 7．【答案】 【分析】根据正六边形的性质得，，再根据正方形性质得，，则，，进而得，据此即可得出的度数． 【解答】解：六边形为正六边形， ，， 四边形为正方形， ，， ，， ， ． 故选：． 8．【答案】（1）正六边形的边心距为； （2）． 【分析】（1）连接、，过点作于，证明等边三角形，利用三角函数即可求解； （2）根据正六边形的面积即可求解． 【解答】解：（1）连接、，过点作于，则， 六边形是正六边形， ， ，为等边三角形， ，， 圆心到的距离， 即正六边形的边心距为； （2）正六边形的面积． 9．【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）连接，，与交于点，先根据正八边形和圆的性质求出，再根据特殊角三角函数值求出的长； （2）根据圆周角定理和三角形的外角定理即可求出． 【解答】解：（1）如图，连接，，设与交于点， 由题意可知，，， 是正八边形， ， ， ； （2）所对的圆心角为， 所对的圆周角为， ， ． 第5页（共19页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.3 正多边形和圆 ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ 一、选择题（共8小题） 1．（2024•成都模拟）如图，正八边形内接于，连接，，若，则的半径为　　 A．1 B． C． D．2 2．（2024•河北模拟）如图，正六边形和正六边形均以点为中心，连接，，，，，，，三点共线），若，，则正六边形的边长为　　 A． B．5 C． D．19 3．（2024•武侯区校级三模）如图，的内接正六边形，的半径为2，这个正六边形的边心距为　　 A．2 B．1 C． D． 4．（2024•吉隆县一模）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是　　 A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 5．（2024•青岛）为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形和正方形中，，的延长线分别交，于点，，则的度数是　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•厦门期末）某个正六边形螺帽需要拧4圈才能拧紧，小梧用扳手的卡口卡住螺帽，通过转动扳手的手柄来转动螺帽（如图所示）．以此方式把这个螺帽拧紧，他一共需要转动扳手的次数是　　 A．4 B．16 C．24 D．32 7．（2023秋•德宏州期末）如图，正六边形内接于，半径为6，则这个正六边形的边心距为　　 A．4 B． C． D． 8．（2024•广阳区二模）我们知道，除三角形外，其他多边形都不具有稳定性．如图，将正五边形的边固定，向右推动该正五边形，使得为的中点，且点，，，在以点为圆心的圆上，过点作的切线，则的度数为　　 A． B． C． D． 二、填空题（共8小题） 9．（2023秋•开州区期末）一个正多边形的一个内角为，则该正多边形的边数为 　　． 10．（2024•温江区校级自主招生）如图，要拧开一个边长为的正六边形螺帽，扳手张开的开口至少为 　　． 11．（2024•渝中区校级二模）已知一个正多边形的一个外角是，那么这个多边形的边数为 　　． 12．（2023秋•鹿寨县期末）一个正多边形的中心角为，则这个正多边形的边数是 　　． 13．（2024•南京模拟）如图，在正十边形中，连接、，则　　． 14．（2024•陕西校级模拟）如图，正六边形的边长为6，，分别为，边的中点，连接并延长交的延长线于点，则的长为 　　． 15．（2024•成都模拟）如图，是内接正五边形的一条边，，是优弧上的两点，且点在点的右侧．若，则的度数为 　　． 16．（2024•安徽模拟）如图，与正六边形的两边，分别相切于，两点，则　　． 三、解答题（共6小题） 17．（2024•武威校级三模）如图，在正五边形中，连结，，，交于点． （1）求的度数． （2）已知，求的长． 18．（2023秋•抚松县期末）如图，的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为为的整数），过点作的切线交的延长线于点． （1）相邻两个整钟点间所夹的圆心角等于 　　度； （2）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长； （3）连接，则和有什么特殊位置关系？请说明理由． （4）求切线长的值． 19．（2023秋•嘉峪关校级期末）有一个亭子，它的地基是半径为的圆内接正六边形，求地基的周长和面积． 20．（2023秋•韶关校级期中）如图，圆内接正六边形的中心为原点，顶点，在轴上，半径为2，点在上． （1）求的大小； （2）求点坐标． 21．（2023秋•平山县期中）如图，正六边形内接于． （1）若是上的动点，连接，，求的度数； （2）已知的面积为． ①求的度数； ②求的半径． 22．（2023秋•沛县月考）如图，正六边形的半径为4．求这个正六边形的周长和面积． 一、选择题（共8小题） 1．【答案】 【分析】连接，过点作于点，设的半径为，根据多边形的性质求得，利用锐角三角形函数求得，再利用，求解即可． 【解答】解：连接，过点作于点， 设的半径为， 在正八边形中，， ， 在△中，， 是的直径， ， ， 解得或（舍， 故选：． 2．【答案】 【分析】由正六边形的性质推出△△，得到，由含30度角的直角三角形的性质得到，，求出，由勾股定理求出．于是得到正六边形的边长． 【解答】解：过作于， 六边形和六边形是正六边形， ，， ， ，， ， ，， △△， ， ， ， ， ， ． 正六边形的边长是． 故选：． 3．【答案】 【分析】根据正六边形的性质求出，利用余弦的定义计算即可． 【解答】解：作交于点， 六边形是内接正六边形， ， ，， ， ， 故选：． 4．【答案】 【分析】先求出多边形的每一个内角为，可得到，即可求解． 【解答】解：多边形是正五边形， 正五边形的每一个内角为：， ， 正五边形的个数是． 故选：． 5．【答案】 【分析】根据正五边形的内角的计算方法求出、，根据正方形的性质分别求出、，根据四边形内角和等于计算即可． 【解答】解：五边形是正五边形， ， 四边形为正方形， ，， ，， ， 故选：． 6．【答案】 【分析】根据正六边形的性质即可得到结论． 【解答】解：根据题意的拧1圈需要转动6次， 正六边形螺帽需要拧4圈才能拧紧， 他一共需要转动扳手的次数是（次， 故选：． 7．【答案】 【分析】连接、，证明是等边三角形，得出，由垂径定理求出，再由勾股定理求出即可． 【解答】解：连接、，如图所示： 则， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 故选：． 8．【答案】 【分析】连接，，根据正五边形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据切线的性质得到，于是得到结论． 【解答】解：连接，， 五边形的正五边形， ， ， 是的直径， ， ， ， 点作的切线， ， ， 故选：． 二、填空题（共8小题） 9．【答案】12． 【分析】设这个正多边形的边数为，根据正多边形的每个内角，据此得，解此方程求出即可． 【解答】解：设这个正多边形的边数为， 这个正多边形的一个内角的度数为：， 又正多边形的一个内角是， ， 解得：． 检验后知道：是原方程的根． 这个正多边形的边数12． 故答案为：12． 10．【答案】． 【分析】设正六边形的中心是，其一边是，连接、、、，交于，则，得出，则四边形是菱形，得出，，由，即可得出结果． 【解答】解：设正六边形的中心是，其一边是，连接、、、，交于，如图所示： ， ， 四边形是菱形， ，， ，， ， ， ， 故答案为：． 11．【答案】5． 【分析】根据多边形的外角和度数为360度即可求解． 【解答】解：， 这个多边形的边数为5， 故答案为：5． 12． 【分析】根据正多边形的中心角的计算公式：计算即可． 【解答】解：设这个多边形的边数是， 由题意得，， 解得，， 故答案为：9． 13． 【分析】找出正十边形的圆心，连接，，再由圆周角定理即可得出结论． 【解答】解：如图，设正十边形内接于，连接，， 正十边形的各边都相等， ， ． 故答案为：54． 14．【答案】． 【分析】根据多边形是正六边形，得到，，，，求得，推出，根据对顶角的性质得到，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：多边形是正六边形， ，，，， 四边形是平行四边形， ， ， ，分别为，边的中点， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15．【答案】． 【分析】连接，，，由是内接正五边形的一条边可得出的度数，进而可得出的度数，由得出的度数，进而可得出的度数，由圆周角定理即可出结论． 【解答】解：连接，，， 是内接正五边形的一条边， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 16．【答案】120． 【分析】先根据六边形的内角和求，由切线的性质得：，最后利用五边形的内角和相减可得结论． 【解答】解：正六边形的内角， ， ，分别相切于，两点， ， 正五边形的内角和是， ， 故答案为：120． 三、解答题（共6小题） 17．【答案】（1）； （2）的长是． 【分析】（1）根据五边形是正五边形，判断出，，，，，．即可得到； （2）证明，推出，设，则，列出方程，解方程即可求出的长． 【解答】解：（1）五边形是正五边形， ，，，，，． 四边形是菱形， ， 同理可求：， ； （2）四边形是菱形， ． ， 同理， ， ，即， 设，则， ，即， 解得（舍去负值）． 的长是． 18．【答案】（1）30； （2）垂直，证明见解析部分； （3）． 【分析】（1）利用正多边形的性质求解即可； （2）利用弧长公式求解即可； （3）利用圆周角定理判断即可； （4）利用勾股定理求解即可． 【解答】解：（1）， 故答案为：30； （2）如图，连接，，由（1）得：劣弧所对应的圆心角， 劣弧的长， ， 劣弧的长度更长． （3）垂直．理由如下： 连接，，， ， 是的直径， ，即， 和相互垂直． （4）如图，是的切线， ， 由（1）知，， ， （或， ， 在△中，． ． 19．【答案】；． 【分析】连接、求出圆心角的度数，再由等边三角形的性质即可求出正六边形的周长；过作的高，利用等边三角形及特殊角的三角函数值可求出的长，利用三角形的面积公式即可解答． 【解答】解：连接、； 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， 正六边形的周长． 过作于， 是等边三角形，， ， ， ， ． 20．【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）连，由正六边形的性质得到，由圆周角定理推出； （2）作轴于，求出，由含30度角的直角三角形的性质得到，，即可得到的坐标． 【解答】解：（1）连， 六边形是正六边形， ， ； （2）作轴于， ， ， ， 的坐标是． 21．【答案】（1）； （2）①；②2． 【分析】（1）在弧取一点，连接、、、，利用弦和圆周角的关系即可求出的值； （2）①证明是等边三角形即可求出；②利用三角函数求出，，再根据的面积为即可求出． 【解答】解：（1）如图所示，在弧取一点，连接、、、， 六边形是正六边形， ，， ， ， ， ； （2）①，， 是等边三角形， ； ②， ，， ， ， 即的半径为2． 22．【答案】24；． 【分析】根据正六边形的半径等于边长即可得出正六边形的周长，再由三角函数求出边心距，即可求出正六边形的面积． 【解答】解：正六边形的半径等于边长， 正六边形的边长； 正六边形的周长； ， 正六边形的面积． 第7页（共21页） 学科网（北京）股份有限公司 $$