24.2 点和圆、直线和圆的位置关系（2） 新知梳理+典型例题+配套+练习题 2024-2025学年人教版九年级数学上 册

24.2 点和圆、直线和圆的位置关系（2） ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ 一、选择题（共8小题） 1．（2024秋•姑苏区校级月考）如图，△的内切圆与、、相切于点、、，已知，，，则的长是　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•建湖县月考）如图，是△的内切圆，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•民权县期末）如图，线段是的直径，是的弦，过点作的切线交的延长线于点，，则　　 A． B． C． D． 4．（2024•宿迁二模）如图，等边三角形的边长为4，的半径为，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为　　 A． B． C． D．3 5．（2024•重庆模拟）如图，已知与相切于点，是的直径，连接交于点，为上一点，连接，，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 6．（2024•沙坪坝区自主招生）如图，是的切线，点为切点，弦，连接并延长交于点．若，，则的长是　　 A．1 B． C．2 D． 7．（2024•石家庄模拟）已知一个三角形的内心与外心重合，若它的内切圆的半径为2，则它的外接圆的面积为　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•北碚区校级期末）如图，是的直径，是的切线，切点为，与的延长线交于点，若，，则的长度为　　 A． B． C． D． 二、填空题（共8小题） 9．（2024秋•建邺区校级月考）如图，点在上，射线切于点，若，则　　． 10．（2024•鹤壁模拟）如图，与相切于点，与弦相交于点，，若，，则的长为 　　． 11．（2024•河南模拟）如图，切于点，交于点，点在上，若，则的度数是 　　． 12．（2024•禅城区校级开学）如图，是的直径，，是上的两点，，过点作的切线交延长线于点，则的度数为 　　． 13．（2024•徐州）如图，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，若，则　　． 14．（2024春•海淀区校级月考）如图，为的直径，，分别与相切于点，，过点作的垂线，垂足为，交于点．若，，则线段的长为 　　． 15．（2024•顺城区一模）已知是的直径，点是延长线上的一个动点，过作的切线，切点为，的平分线交于点，则等于 　　． 16．（2023秋•交城县期末）如图，是的直径，弦平分，过点作的切线交于点，若，则　　． 三、解答题（共7小题） 17．（2024•港南区二模）如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接． （1）求证：为的切线； （2）若且，求的半径． 18．（2024秋•天门校级月考）如图，线段经过的圆心，交于，两点，，为的弦，连接，，连接并延长交于点，连接交于点． （1）求证：直线是的切线； （2）求的半径和线段的长 19．（2024•武威二模）如图，直角三角形中，，点为上一点，以为直径的上一点在上，且平分． （1）证明：是的切线； （2）若，，求的长． 20．（2024•青川县三模）如图是的外接圆，，延长于，连接，使得，交于． （1）求证：与相切； （2）若，．求的半径和的长度． 21．（2024秋•朝阳区校级月考）如图，是的直径，是的弦，过点作的切线与的延长线交于点．若，求证：． 22．（2024•湖南模拟）如图，在中，以为直径的交于点，过点作，交于点，连接，且． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 23．（2024•杂多县三模）如图，是的直径，为的弦，，与的延长线交于点，点在上，满足． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 一、选择题（共8小题） 1．【答案】 【分析】连接，，，，，．根据题意可知，且，，，再根据求出，接下来设，根据切线长定理得出，，，求出，再根据勾股定理求出，结合，可知是的垂直平分线，然后根据求出，进而得出答案． 【解答】解：连接，，，，，． 根据题意可知，且，，， ，，， △是直角三角形 ， ， 即， 解得． 设， 则，，，得， ， ， ， ． 在△中，， ，， 是的垂直平分线， ． ， 即， 解得， ． 故选：． 2．【答案】 【分析】根据三角形内角和定理得到，再根据三角形内切圆圆心是其角平分线的交点得到，据此求出，则由三角形内角和定理可得答案． 【解答】解：， ， 是△的内切圆， 、分别平分、， ， ， ， 故选：． 3．【答案】 【分析】连接，根据切线的性质可知，再由直角三角形的性质得出的度数，由圆周角定理即可得出结论． 【解答】解：连接， 是的切线， ， ， ， ． 故选：． 4．【答案】 【分析】连接、，过点作于，根据切线的性质得到，根据勾股定理求出，根据等边三角形的性质求出，根据垂线段最短解答即可． 【解答】解：连接、，过点作于， 是的切线， ， ， 当时，最小，取最小值， 为等边三角形， ， ， 的最小值为：， 故选：． 5．【答案】 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，即可求出的度数，再根据同弧所对的圆周角相等得出，再根据切线的性质得出，即可求出的度数． 【解答】解：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， 与相切于点，是的直径， ， ， 故选：． 6．【答案】 【分析】如图，记、的交点为，由是的切线，弦，可得，，则，根据，计算求解即可． 【解答】解：如图，记、的交点为， 是的切线，弦， ，， ， ， 故选：． 7．【答案】 【分析】根据题意判断三角形是等边三角形，作出图形，根据内切圆的半径为2求出外接圆的半径，利用圆面积公式即可求出答案． 【解答】解：一个三角形的内心与外心重合， 该三角形是等边三角形， 根据题意，如图，是等边三角形，其内心外心均为点，连接，过点作于点，则， ，平分， ， 在中， ， 的外接圆半径为4， 它的外接圆的面积为， 故选：． 8．【答案】 【分析】连接，如图，先根据圆周角定理得到，再利用含30度角的直角三角形三边的关系求出，，再证明，接着根据切线的性质得到，然后计算出的长，最后计算． 【解答】解：连接，如图， 是的直径， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 是的切线， ， ， 在中，， ， ． 故选：． 二、填空题（共8小题） 9．【答案】65． 【分析】根据切线的性质，角的和差关系求出，再根据等边对等角，得到即可． 【解答】解：射线切于点， ， ， ， 点在上， ， ； 故答案为：65． 10．【答案】4． 【分析】连接，如图，先根据切线的性质得到，再证明得到，设，则，，利用勾股定理得到，然后解方程即可． 【解答】解：连接，如图， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 设，则，， ， ， 解得， 即的长为4． 故答案为：4． 11．【答案】． 【分析】首先根据圆周角定理得到，然后根据切线的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：， ， 切于点， ． 故答案为：． 12． 【分析】连接，根据同弧所对的圆周角相等推出，得出的度数，再根据切线的性质结合直角三角形量锐角互余即可推出结果． 【解答】解：如图，连接， ， ， ， ， ， 是的切线， ， ， ， 故答案为：． 13． 【分析】连接，构造直角三角形，利用，可求得，从而得出的度数． 【解答】解：连接，则，； ， ， 故答案为：35 14．【答案】2． 【分析】连接，由切线的性质得，由切线长定理得，因为，所以是等边三角形，则，求得，而于点，，则，，所以，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接， 为的直径，，分别与相切于点，， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， 于点，， ，， ， 故答案为：2． 15．【答案】． 【分析】连接，根据题意，可知，，可推出，即． 【解答】解：如图，连接， ，平分， ，， 为的切线， ， ， ， ， 即． 故答案为：． 16．【答案】67． 【分析】求出，再利用切线的性质求解． 【解答】解：连接， 过点作的切线交于点， ， 又， ， ， 故答案为：67． 三、解答题（共7小题） 17． 【分析】（1）连接，根据等边对等角结合对等角相等即可推出结论； （2）设的半径，则，，在中，由勾股定理得得出方程求解即可． 【解答】解：（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ，， ， 即， ， 是半径， 为的切线； （2）解：设的半径，则， ， 在中，由勾股定理得， ， ， 解得，或（舍去）， 的半径为3． 18．【答案】（1）见解析； （2）的半径为5；． 【分析】（1）利用等腰三角形的性质及三角形性质外角的性质得，，进而可求证，进而可求证结论； （2）连接，利用三角形的特征得，进而可得，则可求得的半径为5，进而可得，，在△中和在△中利用勾股定理即可求解． 【解答】（1）证明：，， ， ， ， ， ， 是半径， 是的切线． （2）解：连接，如图： 由（1）得：， ， ， ，， ， 的半径为5， ，， 在△中，，，， ， 为直径， ， ， ，即：， 解得：， 在△中，，，， ． 19．【答案】（1）证明见解答过程； （2）8． 【分析】（1）连接，根据平行线判定推出，推出，根据切线的判定推出即可； （2）根据勾股定理求出，再根据线段的和差求解即可． 【解答】（1）证明：连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 为半径， 是切线； （2）解：设， 在中，，， ， 由勾股定理，得：， 解得：， ， ． 20． 【分析】（1）连接，要证明切线，只需证明，根据，只需得到，根据圆周角定理即可证明； （2）设的半径为，则，，，在中根据勾股定理可计算出；作于，根据垂径定理得，再利用面积法计算出，然后根据勾股定理计算出，再利用垂径定理得出． 【解答】（1）证明：连接； ， ， ； 又， ， 是的切线． （2）解：设的半径为，则，，， 在中，， ，解得， 作于，如图，， 则， ， ， 在中，， ， ． 21．【答案】见解析． 【分析】连接，由切线的性质可得，由可得，三角形外角的性质可得，可求得，据此即可证明结论成立． 【解答】解：连接，如图： 与相切， ， ， ， ， ， ． 22．【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）由得出弧弧，得出，再由，得出，所以直线是的切线； （2）通过垂径定理和勾股定理，求得半径，再根据平行线分线段成比例，求出的长度． 【解答】（1）证明：， 弧弧， ， ， ， 直线是的切线； （2）解：连接， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 23．【分析】（1）连接，如图，根据圆周角定理得到，再根据等腰三角形的性质和已知条件证出，即可得出结论； （2）证明，然后利用相似比求的长． 【解答】（1）证明：连接，如图， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 解得：． 第4页（共25页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系（2） ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ 【题型1】直线与圆的位置关系 3 【题型2】切线的性质 6 【题型3】切线的判定 11 【题型4】切线长定理 17 【题型5】三角形的内切圆与内心 21 1．直线与圆的位置关系 直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． 2．切线的性质和判定 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）切线长定理 切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 3．三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）性质： ①三角形的内心是三条角平分线的交点． ②三角形的内心到三角形三边的距离相等． 1．切线性质的运用 由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直． 2．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 3．直角三角形内切圆半径的求解方法： 直角三角形直角边为a，b，斜边为c，直角三角形内切圆半径为r． a-r+b-r=c，得 ． 【题型1】直线与圆的位置关系 例1 （2023秋•禹城市期末）已知，的半径为一元二次方程的两根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是　　 A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】 【分析】当，直线与圆相交，当，直线与圆相切，当，直线与圆相离，据此即可作答． 【解答】解：， ，， 故的半径为6， ， ， 即直线与圆相交， 故选：． ◄ 点拨 ► 判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r； ②直线l和⊙O相切⇔d＝r； ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 【变式1】　（2023秋•兴隆县期末）如图，在中，，，以为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是　　 A．点在内 B．直线与相离 C．点在上 D．直线与相切 【变式2】　（2023秋•梁溪区校级期末）在平面直角坐标系中，以点为圆心，3为半径的圆　　 A．与轴相离，与轴相切 B．与轴相离，与轴相交 C．与轴相切，与轴相交 D．与轴相切，与轴相离 【变式3】　（2024•西宁二模）已知的半径等于，圆心到直线上某点的距离为，则直线与的公共点的个数为　　 A．0 B．1或0 C．0或2 D．1或2 1．【答案】 【分析】过点作于，如图，利用等腰三角形的性质得到，则利用勾股定理可计算出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法对选项和选项进行判断；根据直线与圆的位置关系对选项和选项进行判断． 【解答】解：过点作于，如图， ， ， 在中，， ， 点在外，所以选项不符合题意； ， 点在外，所以选项不符合题意； ，， 直线与相切，所以选项符合题意，选项不符合题意． 故选：． 2．【答案】 【分析】由已知点可求该点到轴，轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系．设为直线与圆的距离，为圆的半径，则有若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． 【解答】解：点到轴为4，大于半径3， 点到轴的距离为3，等于半径3， 故该圆与轴相离，与轴相切， 故选：． 3．【分析】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线和相离，然后根据相离的定义对各选项进行判断． 【解答】解：的半径等于，圆心到直线的距离为， 即圆心到直线的距离小于或等于圆的半径， 直线和相切或相交， 直线与公共点的个数为1或2． 故选：． 【题型2】切线的性质 例2 （2024秋•呼兰区校级月考）如图，是的切线，点为切点，连接并延长交于点，连接，若，则　　度． 【答案】30． 【分析】连接，由切线的性质得到，求出，由圆周角定理得到． 【解答】解：连接， 是的切线， ， ， ， ， ． 故答案为：30． ◄ 点拨 ► 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是： ①直线过圆心； ②直线过切点； ③直线与圆的切线垂直． 【变式4】　（2024•九龙坡区校级开学）如图，、、是的圆周上三点，与相切于点，连接、、，若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【变式5】　（2024•陕西校级模拟）如图，是的直径，点，在上，过点作的切线，交的延长线于点．连接，，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【变式6】　（2024•越秀区校级二模）如图，是的直径，点在的延长线上，切于点，若，，则等于　　 A．6 B．4 C． D．3 4．【答案】 【分析】连接、、，根据切线的性质得到，进而求出，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：如图，连接、、， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， 由圆周角定理得：， ， ， ， ， 故选：． 5．【答案】 【分析】连接，根据切线的性质和圆周角定理即可得到结论． 【解答】解：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， 故选：． 6．【答案】 【分析】连接，证明，结合，，可得，，，，据此可得答案． 【解答】解：如图，连接， 切于点， ， ，， ，， ，， ， ， 故选：． 【题型3】切线的判定 例3 （2023秋•蛟河市期末）如图，在，，以为直径的与底边交于点，过作，垂足为．求证：为的切线． 【答案】证明见解答． 【分析】连接，证得，可知，即可证得为的切线． 【解答】解：连接，如图所示， ， ， ， ， ， ， 又， ， 为的切线． ◄ 点拨 ► 在应用切线的判定定理时注意： （1）切线必须满足两个条件： ①经过半径的外端； ②垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． （2）切线的判定定理实际上是从圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． 【变式7】　（2024•武威二模）如图，直线经过上的点，并且，．求证：直线是的切线． 【变式8】　（2024•东湖区校级模拟）如图，以菱形的边为直径作交于点，连接，是上的一点，且，连接． （1）当，时，求的长． （2）求证：是的切线． 【变式9】　（2024•灵山县一模）如图，直线经过上的点，并且，，交直线于，，交于点，连接并延长交于． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 7． 【分析】连接，如图，由于，，根据等腰三角形的性质得到，然后根据切线的判定定理得到结论． 【解答】证明：连接，如图， ，， ， 直线是的切线． 8．【答案】（1）； （2）证明见解答过程． 【分析】（1）连接，根据是的直径，得出，进而根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理，即可求解； （2）连接，根据是直径，得出，求出，根据菱形的性质得出，，证明，得出，根据平行线的性质得出，得出，即可证明结论． 【解答】（1）解：连接，如图1所示， 是的直径， ， ，， ，则， ； （2）证明：连接，如图2所示： 是直径， ， ， 四边形为菱形， ，， ，， ， ， ， ， ， 为直径， 是的切线． 9．【答案】（1）证明见解答； （2）的长是2． 【分析】（1）连接，由，，得，即可证明直线是的切线； （2）连接，由，，证明是等边三角形，则，，所以，再证明是等边三角形，则，所以，则，所以，求得，则，，所以． 【解答】（1）证明：连接， ，， ， 是的半径，且， 直线是的切线． （2）解：连接， ，， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长是2． 【题型4】切线长定理 例4 （2024•开福区校级三模）如图，是一张三角形的纸片，是它的内切圆，点是其中的一个切点，已知，小明准备用剪刀沿着与相切的任意一条直线剪下一块三角形，则剪下的的周长为　　 A． B． C． D．随直线的变化而变化 【答案】 【分析】利用切线长定理得出，，，进而得出答案． 【解答】解：是一张三角形的纸片，是它的内切圆，点是其中的一个切点，， 设、分别是的切点， 故，，， ． 故选：． ◄ 点拨 ► （1）切线长定理是证明线段相等、角相等、弧相等以及垂直关系的重要依据． （2）圆心、切点与切线上一点组成一个直角三角形，是解题时常用的条件． 【变式10】　（2024•城中区校级一模）如图，四边形外切于，且，，则四边形的周长为　　 A．60 B．55 C．45 D．50 【变式11】　（2023秋•鄂伦春自治旗校级月考）如图，PA，PB为⊙O的两条切线，C，D切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．F为⊙O上的点，连接AF，BF，若PA＝5，∠P＝40°，则△PCD的周长和∠AFB的度数分别为（　　） A．10，40° B．10，80° C．15，70° D．10，70° 【变式12】　（2022秋•宛城区校级期末）如图，是的内切圆，点、分别为边、上的点，且为的切线，若的周长为25，的长是9，则的周长是　　 A．7 B．8 C．9 D．16 10．【答案】 【分析】根据切线长定理得到，，，，进而求出，再根据四边形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：四边形外切于，切点分别为、、、， ，，，， ， 四边形的周长为：， 故选：． 11．【答案】D 【分析】连接OA，OB，可得∠OAP＝∠OBP＝90°，CA＝CE，DB＝DE，PA＝PB；据此即可求解． 【解答】解：连接OA，OB，如图所示： 由切线的性质以及切线长定理得：∠OAP＝∠OBP＝90°，CA＝CE，DB＝DE，PA＝PB， ∵∠P＝40°， ∴∠AOB＝360°﹣∠P﹣∠OAP﹣∠OBP＝140°， ∴； △PCD的周长＝PC+CE+DE+PD＝PC+CA+DB+PD＝PA+PB＝2PA＝10， 故选：D． 12．【答案】 【分析】根据切线长定理，可得，，，，则，据此即可求解． 【解答】解：、、、都和相切， ，，，． ， ． 故选：． 【题型5】三角形的内切圆与内心 例5 （2024•衡阳模拟）如图所示，的内切圆分别与，，相切于点，，，且，，，则的周长为　　 A．36 B．38 C．40 D．42 【答案】 【分析】由切线长定理可知，，，再根据线段的和差即可求得答案． 【解答】解：的内切圆分别与，，相切于点，，， ，，， ，，， ，，， ，，， 的周长． 故选：． ◄ 点拨 ► 1．任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． 2．三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 3．三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的内心已知时，过三角形的顶点和内心的射线，必平分三角形的内角． 【变式13】　（2024•南充模拟）如图，在中，，是的内切圆，连接并延长与交于点，则的度数为　　 A． B． C． D． 【变式14】　（2024•昔阳县一模）如图，点是内切圆的圆心，已知，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【变式15】　（2024•温州三模）如图，的内切圆与，分别相切于，两点，连接，的延长线交于点，若，则的大小是 　　． 13．【答案】 【分析】根据三角形的内角和定理得到，由是的内切圆，得到平分，平分，根据角平分线的定义得到，，根据三角形外角的性质即可得到结论． 【解答】解：， ， 是的内切圆， 平分，平分， ，， ， ， 故选：． 14．【答案】 【分析】根据三角形的内心的概念得到，，根据三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：点是内切圆的圆心， ，， ， 故选：． 15．【答案】． 【分析】如图所示，连接，，，设、交于，由内切圆的定义结合三角形内角和定理求出，再由切线长定理得到，进而推出是的垂直平分线，即，则． 【解答】解：如图所示，连接，，，设、交于， 是的内切圆， 、分别是、的角平分线， ， ， ， ， ， 与，分别相切于点，， ， 又， 是的垂直平分线， ，即， ， 故答案为：． 第1页（共25页） 学科网（北京）股份有限公司 $$