第26章 反比例函数 达标检测题2024-2025学年人教版数学九年级下册

学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 第26章 反比例函数 达标检测题（原卷版） 一、单选题 1．下列函数中：（1）；（2）；（3）；（4），反比例函数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知点，，在反比例函数（为常数）的图象上，则下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 3．反比例函数的图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A． B．y随x的增大而减小 C．若矩形的面积为2，则 D．若图象上点B的坐标是，则当时，y的取值范围是 4．对于反比例函数，当时，的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 5．验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（   ）度． A．150 B．200 C．250 D．300 6．已知反比例函数，下列结论中，不正确的是（   ） A．图象必经过点 B．当，的值随值的增大而减小 C．图象在第一、三象限内 D．若，则 7．一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边与轴平行，、两点的纵坐标分别为10，6，且，点，点在反比例函数上，平行四边形的面积为12，则的值为（   ） A．27 B．36 C．45 D．56 9．一个盒子里有完全相同的四个小球，球上分别标上数字、1、2、3．随机摸出一个小球（不放回）其数字记为，再随机摸出另一个小球其数字记为，则点落在反比例的图象上的概率是（ ） A． B． C． D． 10．如图点A，C在反比例函的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为（   ） A． B．1 C．5 D．6 11．反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴，交的图象于点，轴，交的图象于点．当点在的图象上运动时，以下结论：①与的面积相等；②与始终相等；③四边形的面积不会发生变化；④当点是的中点时，点一定是的中点．其中一定正确的是（   ） A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．①③④ 12．已知是的函数，若存在实数，（），当时，对应函数值的取值范围是，则称为该函数的一个“君子数对”．例如对于函数，当时，对应函数值的取值范围是，则称为函数的一个“君子数对”．下列结论中，①反比例函数（）有无数个“君子数对”；②是二次函数的“君子数对”；③是二次函数的“君子数对”；正确的是（    ） A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 二、填空题 13．反比例函数的图象在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ． 14．已知点、、都在反比例函数 的图象上，则、、间的大小关系为 （用“”号连接）． 15．已知函数的图象上有一点，且m，n是关于x的方程的两实数根，其中a是使方程有实根的最小整数，则的解析式为 ． 16．如图，点，在反比例函数的图象上，轴，垂足为，，垂足为．若四边形的面积为，且，则的值为 ． 17．已知反比例函数的图象经过两点，下列结论：①若则；②若，则；③过点A作轴，垂足为M，作轴，垂足为N，若，则四边形的面积为17．其中正确的结论是 ． 18．如图，点是反比例函数与的一个交点，图中阴影部分的面积为，则反比例函数的解析式           三、解答题 19．如图，直线与坐标轴交于点、，与双曲线交于、两点．并且．(1)填空：点的坐标为　　，点的坐标为 　　；(2)求反比例函数的解析式；(3)当时，根据图象直接写出此条件下的的取值范围 　　． 20．如图， 已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求直线与x轴的交点C的坐标及的面积；(3)直接写出一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围． 21．为预防流感，某学校对教室采用药熏消毒．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量（单位：）与燃烧时间（单位：min）成正比例；燃烧后，与成反比例（如图所示）．现测得药物1燃烧完毕，此时教室内每立方米空气含药量为．根据以上信息解答下列问题：(1)分别求出药物燃烧时；药物燃烧后，关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围；(2)研究表明，当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒害作用，那么从药物燃烧完毕开始计时，至少需要经过多长时间，学生才可以返回教室？ 22．如图，，都是等腰直角三角形，点在的图象上，斜边都在x轴上，求点的坐标． 23．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，交双曲线于点，．(1)求双曲线的解析式．(2)已知点是双曲线上一动点，若，求点的坐标． 24．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，、的长分别是一元二次方程的两个根．(1)求过点D的反比例函数的解析式．(2)求直线的解析式．(3)在直线上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 25．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知点A的坐标是，点B的纵坐标是．(1)求反比例函数和直线的表达式；(2)根据图象直接写出的解集；(3)将直线沿y轴向上平移后的直线与反比例函数在第一象限内交于点C，如果的面积为30，求平移后的直线的函数表达式． 26．【问题背景】在平面直角坐标系中，若两点分别为 ，则中点坐标为，如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，四边形 是平行四边形． 【构建联系】若点C在反比例函数 的图象上，点C的横坐标为2，点B的纵坐标为3．（1）求反比例函数的表达式；（2）如图2，点D是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积； 【深入探究】（3）如图3，将直线：向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于两点，点P为的中点，过点作于点N，请直接写出 P点坐标和的值． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 第26章 反比例函数 达标检测题（解析版） 一、单选题 1．下列函数中：（1）；（2）；（3）；（4），反比例函数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数解析式．熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 根据反比例函数的定义求解作答即可． 【详解】解：由题意知，是反比例函数，，，不是反比例函数， 故选：A． 2．已知点，，在反比例函数（为常数）的图象上，则下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的增减性比较大小，根据反比例函数的性质得到函数（k为常数）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小，则，． 【详解】解：∵， ∴函数（k为常数）的图像分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小， ∵， ∴，， ∴． 故选：C． 3．反比例函数的图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A． B．y随x的增大而减小 C．若矩形的面积为2，则 D．若图象上点B的坐标是，则当时，y的取值范围是 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，反比例函数系数k的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的图象和性质，反比例函数系数k的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征是正确判断的前提． 根据反比例函数图象和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A．由于图象在第二象限，因此，所以选项A不符合题意； B．y随x的增大而增大，因此选项B不符合题意； C．由|，而，所以，因此选项C符合题意； D．若图象上点B的坐标是，则当时，y的取值范围是，因此选项D不符合题意； 故选：C． 4．对于反比例函数，当时，的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解题的关键．先求出时y的值，再根据反比例函数的性质即可得出结论． 【详解】当时，， 反比例函数中，， 此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小， ， 当时，； 当时，， 综上所述：y的取值范围是或， 故选：C． 5．验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（   ）度． A．150 B．200 C．250 D．300 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，读懂题意，掌握课本知识是解决问题的关键．由已知设，则由图象知点满足解析式，代入求，则解析式为：，令，时，分别求的值后作差即可． 【详解】解：设， 在图象上， ， 函数解析式为：， 当时，， 当时，， 度数减少了（度）， 故选：B 6．已知反比例函数，下列结论中，不正确的是（   ） A．图象必经过点 B．当，的值随值的增大而减小 C．图象在第一、三象限内 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了图象过点的判断，反比例函数的性质，理解反比例函数的增减性的前提是在各自象限内是解题的关键． 【详解】解：A.当时，，图象经过点，结论正确，故不符合题意； B.各自象限内，y的值随x值的增大而减小，当，的值随值的增大而减小，结论正确，故不符合题意； C.，图象在第一、三象限内，结论正确，故不符合题意； D.根据函数图象可得当，则，结论不正确，故符合题意； 故选：D． 7．一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数图象的特点，熟知一次函数与反比例函数的性质是解答此题的关键．分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴直线与y轴的交点在正半轴，故A、B不合题意， C、由一次函数的图象过一、二、四象限可知，由反比例函数的图象在二、四象限可知，故选项C符合题意； D、由一次函数的图象过一、二、三象限可知，由反比例函数的图象在二、四象限可知，故选项D不符合题意； 故选：C． 8．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边与轴平行，、两点的纵坐标分别为10，6，且，点，点在反比例函数上，平行四边形的面积为12，则的值为（   ） A．27 B．36 C．45 D．56 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合，通过平行四边形的面积得出点C和点E重合是解题的关键． 过点作的垂线于点，根据题意得出，利用勾股定理得出，，再由平行四边形的面积得出点C和点E重合，设点A的横坐标为x，则点B的横坐标为，确定，然后代入反比例函数解析式求解即可 【详解】解：过点作的垂线交于点， ∵、两点的纵坐标分别为10，6， ∴， ∵， ∴， ∵平行四边形的面积为12， ∴， ∴， ∴点C和点E重合， 设点A的横坐标为x，则点B的横坐标为， ∴， ∵点，点在反比例函数上， ∴， 解得：， ∴， 故选：C 9．一个盒子里有完全相同的四个小球，球上分别标上数字、1、2、3．随机摸出一个小球（不放回）其数字记为，再随机摸出另一个小球其数字记为，则点落在反比例的图象上的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，列表法与树状图法求概率，画树状图展示所有12种等可能的结果数，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，找出点落在反比例的图象上的结果数有2种，然后根据概率公式求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴数字、1、2、3组合中，点落在反比例的图象上的只有，， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中点落在反比例的图象上的有2种， ∴点落在反比例的图象上的概率为：， 故选：A． 10．如图点A，C在反比例函的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为（   ） A． B．1 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是：根据题意列出等量关系式．设，两点的坐标分别为 、 ，根据点与点的横坐标相同，点与点的横坐标相同，得到点B的坐标为，点D的坐标为，由，，得到，根据与的距离为5，把代入中，即可求解． 【详解】解：设，两点的坐标分别为 、 ， ∵轴， ∴点与点的横坐标相同，点与点的横坐标相同， ∴点B的坐标为，点D的坐标为， ∵，， ∴ ， 解得 ， ∵与的距离为5， ∴ ， 把代入中，得： ， 即， 解得：， 故选：D． 11．反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴，交的图象于点，轴，交的图象于点．当点在的图象上运动时，以下结论：①与的面积相等；②与始终相等；③四边形的面积不会发生变化；④当点是的中点时，点一定是的中点．其中一定正确的是（   ） A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数的图象以及反比例函数图象上点的坐标特征，由点均在反比例函数的图象上，利用反比例函数系数的几何意义即可得，即可判断①；设点的坐标为，则点的坐标为，点，求出的长度，由此可得出与的关系无法确定，即可判断②；利用分割图形求面积法即可得出，即可判断③；设点的坐标为，则点的坐标为，点，由点是的中点可得出，将其带入点的坐标即可得出点是的中点，即可判断④，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：①∵点在反比例函数的图象上，且轴，轴， ∴，， ∴，故①正确； ②设点的坐标为，则点的坐标为，点， ∴，， ∵与的关系无法确定，故结论②错误； ③∵点在反比例函数的图象上，且轴，轴， ∴， ∴，故结论③正确； ④设点的坐标为，则点的坐标为，点， ∵点是的中点， ∴， ∴，， ∴点是的中点，故结论④正确； ∴正确的结论为①③④， 故选：． 12．已知是的函数，若存在实数，（），当时，对应函数值的取值范围是，则称为该函数的一个“君子数对”．例如对于函数，当时，对应函数值的取值范围是，则称为函数的一个“君子数对”．下列结论中，①反比例函数（）有无数个“君子数对”；②是二次函数的“君子数对”；③是二次函数的“君子数对”；正确的是（    ） A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 【答案】D 【分析】本题综合考查了一次函数、反比例函数及二次函数图象与性质，解题的关键是弄清楚“君子数对”的定义．根据“君子数对”的定义结合有关函数的图象与性质进行解答即可． 【详解】①当时，对应函数值的取值范围是， 则函数图象过点或点， 对于反比例函数（）， 当函数图象过点时，则有两个点符合要求，即 此时有两个“君子数对”； 当函数图象过点时，由于反比例函数（）的图象关于直线对称，而也关于直线对称，则有无数个点符合要求， 此时有无数个“君子数对”； 故①正确； ②当时，，当时，， 又 的对称轴是直线，且， 当时，随的增大而减小，且， 是二次函数的“君子数对”， 故②正确； ③， 又 的对称轴是直线，且， 当时，且 不是二次函数的“君子数对”， 故③错误； 故选：D 二、填空题 13．反比例函数的图象在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数图象在每个象限内的函数值y随自变量x的增大而减小，得出，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每个象限内的函数值y随x的增大而减小， ∴， 解得， 故答案为：． 14．已知点、、都在反比例函数 的图象上，则、、间的大小关系为 （用“”号连接）． 【答案】 【分析】本题主要考查了求反比例函数值，不等式的性质等知识点，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 将点、、分别代入反比例函数 ，可得，，，然后利用不等式的性质及已知条件即可得出答案． 【详解】解：将点、、分别代入反比例函数 ，得： ， ， ， ，， ，， 即：，， ， 故答案为：． 15．已知函数的图象上有一点，且m，n是关于x的方程的两实数根，其中a是使方程有实根的最小整数，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系，反比例函数解析式求解，根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根． 由关于的方程有两个实数根，得到根的判别式的值大于等于0，列出关于的不等式，求出不等式的解集，找出解集中的最小整数解得到a的值，确定出方程，利用韦达定理求出，将P坐标代入反比例解析式中求出的值，即可确定出反比例解析式． 【详解】解：由题意，得， 解得：， ∵是使方程有实数根的最小整数， ， ∴原方程可化为， ∵，是该方程的两个实数根， 由韦达定理，得， 将代入反比例解析式得：，即， 则反比例解析式为：． 故答案为：． 16．如图，点，在反比例函数的图象上，轴，垂足为，，垂足为．若四边形的面积为，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，矩形的判定和性质．延长CB交轴于点E，连接OC，根据三个角是直角的四边形是矩形得出四边形是矩形，根据矩形的对角线将矩形分为面积相等的两个三角形、矩形的四个角都是直角得出，，根据反比例函数比例系数的几何意义可得，推得，根据三角形的面积公式可得，根据即可求出的值． 【详解】解：延长交轴于点，连接，如图： ∵，，， 故四边形是矩形， ∴，， ∵点、在反比例函数的图象上， 故， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 17．已知反比例函数的图象经过两点，下列结论：①若则；②若，则；③过点A作轴，垂足为M，作轴，垂足为N，若，则四边形的面积为17．其中正确的结论是 ． 【答案】②③ 【分析】本题考查反比例函数的性质以及比例系数的几何意义．利用反比例函数的增减性、对称性、反比例函数比例系数的几何意义分别回答即可． 【详解】解：① ，比例系数， 图象分别位于第一、三象限，在所在的每一个象限随着的增大而减小， 当时，，故①错误； ②当、两点关于原点对称时，，则，故②正确； ③若，则．过点作轴，垂足为点，作 轴，垂足为点，则四边形的面积为，故③是正确； 故答案为：②③． 18．如图，点是反比例函数与的一个交点，图中阴影部分的面积为，则反比例函数的解析式           【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数图象的对称性的知识点，解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系． 根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积，即可求得圆的半径，再根据在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得的值． 【详解】解：设圆的半径是，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：， 解得：， ∵点是反比例函数与的一个交点， 且 ， ， ， 则反比例函数的解析式是：． 故答案为：． 三、解答题 19．如图，直线与坐标轴交于点、，与双曲线交于、两点．并且． (1)填空：点的坐标为　　，点的坐标为 　　； (2)求反比例函数的解析式； (3)当时，根据图象直接写出此条件下的的取值范围 　　． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1 ）分别将、代入一次函数解析式中求出与之对应的、的值，由此即可得出点、的坐标； （2 ）根据结合点、的坐标即可求出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出结论； （3 ）解析式联立成方程组，解方程组求得的坐标，然后根据图象即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 点的坐标为； 当时，有，解得：， 点的坐标为． 故答案为：，； （2）解：，且、、、四点共线， 点是线段的中点， ，， 点的坐标为． 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； （3）解：由解得或， ， 观察图象，当时，的取值范围是或． 故答案为：或． 【点睛】本题是反比例函数和一次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式，在函数中，常利用函数的解析式表示点的坐标，并表示线段的长，从而得出线段的比． 20．如图， 已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求直线与x轴的交点C的坐标及的面积； (3)直接写出一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围． 【答案】(1)反比例函数解析式为： ，一次函数的解析式为：； (2)点C的坐标为：，的面积为6； (3)或． 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的基本性质，熟练掌握基本性质是解题关键． （1）先通过点得到反比例函数解析式，再求出点坐标，再通过两点坐标得到一次函数解析式； （2）令一次函数的函数值等于0，求出的值即可知道与轴的交点坐标，再把的面积拆成的面积与的面积之和即可求解； （3）直接通过函数图象即可得到． 【详解】（1）解： 在反比例函数 的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为： 把代入 得， 解得， 则A点坐标为． 把，分别代入， 得 解得 ∴一次函数的解析式为； （2）∵， ∴当时，， ∴点C的坐标为：， ∴的面积=的面积+的面积． （3）由图象可知，当或时，一次函数的值小于反比例函数的值． 21．为预防流感，某学校对教室采用药熏消毒．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量（单位：）与燃烧时间（单位：min）成正比例；燃烧后，与成反比例（如图所示）．现测得药物1燃烧完毕，此时教室内每立方米空气含药量为．根据以上信息解答下列问题： (1)分别求出药物燃烧时；药物燃烧后，关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (2)研究表明，当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒害作用，那么从药物燃烧完毕开始计时，至少需要经过多长时间，学生才可以返回教室？ 【答案】(1)药物燃烧时；，药物燃烧后 (2)至少需要分钟后学生才能回教室 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的实际应用； （1）设，将点代入函数解析式求出即可；设，将点代入函数解析式求出即可； （2）令，解出即可． 【详解】（1）解：设， ∵函数经过点， ∴，， ∴； 根据函数图象可得 ∴药物燃烧时；， 设， ∵函数经过点， ∴，， ∴； 根据函数图象可得   ∴药物燃烧后； （2）令，则，， 答：至少需要分钟后学生才能回教室． 22．如图，，都是等腰直角三角形，点在的图象上，斜边都在x轴上，求点的坐标． 【答案】点的坐标为． 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质．过点作轴，由于是等腰直角三角形，因而，因而可以设点的坐标是，把代入解析式即可求出，因而求出的坐标是，进一步得到，再根据是等腰直角三角形，设的纵坐标是，因而横坐标是，把的坐标代入解析式，即可求出，然后即可求出点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于， 是等腰直角三角形， ∴， ， 设点的坐标是， 把代入解析式得到， 的坐标是， 则， 是等腰直角三角形，过点作轴于， 设的纵坐标是， 横坐标是， 把的坐标代入解析式， ， （负值已舍）， 点的横坐标为， 点的横坐标是， 点的坐标是． 23．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，交双曲线于点，． (1)求双曲线的解析式． (2)已知点是双曲线上一动点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点H的坐标为或 【分析】本题考查一次函数与反比例函数解析式，反比例函数的性质，反比例函数k系数的几何意义； （1）作轴于H．根据解析式确定，由三角形面积可求，，代入反比例函数解析式求解； （2）作轴于M，轴于E．设．由，可得，于是，根据绝对值性质分情况求解，得H的坐标为或． 【详解】（1）（1）如图1中，作轴于H，连接．    ∵直线与x轴交于点B，与y轴交于点C， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数经过点， ∴， ∴． （2）如图2中，作轴于M，轴于E．设．    ∵， 又∵， ∴， ∴， 当时，整理得，解得或（舍弃）， 当时，整理得，解得或3（舍弃）． 综上所述，满足条件的点H的坐标为或． 24．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，、的长分别是一元二次方程的两个根．    (1)求过点D的反比例函数的解析式． (2)求直线的解析式． (3)在直线上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）解一元二次方程求出、的长度，过D作轴于点E，根据三角形全等求出点D的坐标，再求反比例函数解析式即可； （2）过点C作轴于点M，根据三角形全等求出点C的坐标，设直线的解析式为，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答； （3）根据正方形的性质，点P与点B重合时，为等腰三角形；点P为点B关于点C的对称点时，为等腰三角形，然后求解即可． 【详解】（1）解：解方程得，， ∵， ∴，， 过D作轴于点E，    ∵四边形是正方形， ∴，， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 设过点D的反比例函数解析式为， 则有， 所以过点D的反比例函数解析式为． （2）过点C作轴于点M， 同上可证得， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为（，k、b为常数）， 代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为． （3）在直线上存在点P，使为等腰直角三角形，理由如下：如图，    当点P与点B重合时，， 当点P与点B关于点C对称时，． 综上所述：点P的坐标为或． 【点睛】此题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形存在性问题，求反比例函数和一次函数的解析式，解一元二次方程，中心对称，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定． 25．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知点A的坐标是，点B的纵坐标是． (1)求反比例函数和直线的表达式； (2)根据图象直接写出的解集； (3)将直线沿y轴向上平移后的直线与反比例函数在第一象限内交于点C，如果的面积为30，求平移后的直线的函数表达式． 【答案】(1)反比例函数的表达式为；直线的表达式 (2)或 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换以及三角形的面积． （1）将点代入，求出反比例函数的表达式；可求出B点坐标，再将A，B两点的坐标代入，利用待定系数法求出直线的表达式； （2）找出一次函数落在反比例函数图象上方的部分对应的自变量x的取值范围即可； （3）设直线与x轴交于点E，平移后的直线与x轴交于点D，连接，则， 依据，即可得出的面积与的面积相等，可求得，即可得出平移后的直线的函数表达式． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点A，点A的坐标是， ∴，即， ∴反比例函数的表达式为， ∵反比例函数的图象过点B，B的纵坐标是， ∴时，， ∴． 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为； （2）解：观察图象得：当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方， 所以的解集为或； （3）解：如图，设直线与x轴交于点E，平移后的直线与x轴交于点D，连接，则， ∵， ∴的面积与的面积相等， ∵的面积为30， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， 设平移后的直线的函数表达式为， 把代入，得， 解得， ∴平移后的直线的函数表达式为． 26．【问题背景】在平面直角坐标系中，若两点分别为 ，则中点坐标为，如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，四边形 是平行四边形． 【构建联系】 若点C在反比例函数 的图象上，点C的横坐标为2，点B的纵坐标为3． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图2，点D是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积； 【深入探究】 （3）如图3，将直线：向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于两点，点P为的中点，过点作于点N，请直接写出 P点坐标和的值． 【答案】（1）（2）9（3） 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，代入即可求反比例函数解析式； （2）设，根据平行四边形的性质可得，利用中点坐标公式可得，再把点D代入反比例函数解析式求得，即可求解； （3）由一次函数平移规律可得直线，联立方程组得，设、，即，利用中点坐标公式求得点P的横坐标为4，即可得，再利用勾股定理求得，求得直线与x、y轴的交点、，利用勾股定理求得，可得，过点O作，由平行线定理可得，利用锐角三角函数求得，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点B的纵坐标为3． ∴， 把代入， 得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：设， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， 即， ∵点D在反比例函数图象上， 把代入， 得， 解得， ∴， ∴； （3） 解：∵将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于两点， ∴联立方程组得，， 即， 设、， ∴， ∵点P为的中点， ∴点P的横坐标为， 把代入， 得， ∴， ∴， 把代入，得； 把代入，得， 解得， ∴直线与x、y轴交于点、， ∴，， ∴， ∴， 过点O作于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、中点坐标公式、一次函数的平移规律、一次函数与反比例函数的交点问题、锐角三角函数、平行线定理、一次函数与坐标轴的交点问题、勾股定理、一元二次方程的根与系数的关系、用待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$