湖南省永州市第一中学2024-2025学年高二上学期期中数学试卷

永州一中 2024 年高二上期期中数学试卷 （内容：必修一、二 20%，选修一 80%） 一、单选题（每道题只有一个正确的选项，每小题 5 分，共 40分） 1. 双曲线 2 2 : 1 3 9 x yC   的虚轴长为 （ ） A. 3 B. 2 3 C. 3 D. 6 2．已知    2,1,3 , 1,1,1a b      ，若  a a b    ，则实数的值为 （ ） A． 2 B． 14 3  C． 7 3 D．2 3．抛物线  21 0y x a a    的准线方程是 （ ） A． 4 ay  B． 4y a  C． 4 ay   D． 4y a 4.平行六面体 1 1 1 1ABCD ABC D 的底面 ABCD是边长为 2的正方形， 且 0 1 1 160 , 3,A AD A AB AA M     为 1 1 1 1,AC B D 的交点，则 线段 BM 的长为 （ ） A. 3 B. 10 C. 11 D. 2 3 5. 已知抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点为 F ，过 F 作斜率为 2的直线 l与抛物线交于 ,A B两点，若弦 AB的 中点到抛物线准线的距离为3，则抛物线的方程为 （ ） A. 2 12 5 y x B. 2 24 5 y x C. 2 12y x D. 2 6y x 6. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”，如图是放在平面直角 坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点 ( , )P x y 是阴影部分（包括边界）的动点，则 2 y x  的最小值为（ ） A. 2 3  B. 3 2  C. 4 3  D. 2 3 7. 已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0) x yC a b a b     的左，右焦点分别为 1 2,F F ，过 1F 的直线与 y 轴交于点M ，与 C的右支交于点 P，且满足 1 12 3FP FM ，若点 2, , ,O F P M 四点共圆（O为坐标原点），则双曲线的 离心率为（ ） A. 3 3 B. 2 3 C. 3 2 D. 3 1 8． 如图，在棱长为3的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，点 P是平面 1 1A BC 内 一个动点，且满足 1 2 13DP PB   ，则直线 1B P与直线 1AD 所成角 的余弦值的取值范围为（ ） A． 10, 2      B． 10, 3      C． 1 2, 2 2       D． 1 3, 2 2       二、多选题（每道题至少有 2 个或 2 个以上的答案正确，每小题 6 分，共 18分） 9.下列说法正确的是 （ ） A.“ 1a   ”是“直线 2 1 0a x y   与直线 2 0x ay   互相垂直”的充要条件 B.“ 2a   ”是“直线 22 0ax y a   与直线  1 1 0x a y    互相平行”的充要条件 C. 直线 sin 2 0x y    的倾斜角 的取值范围是 30, , 4 4              D. 若点    1,0 , 0,2A B ，直线 l过点  2,1P 且与线段 AB相交，则 l的斜率 k的取值范围是 1 ,1 2     10、已知圆O的半径为定长 r，A是圆O所在平面内一个定点，P是圆上任意一点，线段 AP的垂直平分线 l 和直线OP相交于点Q．当点 P在圆上运动时，下列判断正确的是 （ ） A、当点A在圆O内（不与圆心重合）时，点Q的轨迹是椭圆； B、点Q的轨迹可能是一个定点； C、点Q的轨迹不可能是圆． D、当点A在圆O外时，点Q的轨迹是双曲线 11．著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为 几何问题加以解决，如：对于形如    2 2x a y b   的代数式，可以转化为平面上点  ,M x y 与  ,N a b 的 距离加以考虑.结合综上观点，对于函数   2 22 5 6 13f x x x x x      ，下列说法正确的是（ ） A．  y f x 的图象是轴对称图形 B．  y f x 的值域是  0,4 C．  f x 先减小后增大 D．方程    13 5f f x   有三个解 三、填空题（每道题 5 分，共 15分） 12. 已知点 N 是点  3,3, 4M 在坐标平面Oxz 内的射影，则 ON   ___________． 13. 一动圆与圆 2 2 6 5 0x y x    外切，同时与圆 2 2 6 91 0x y x    内切，则动圆圆心的轨迹方程 是 14. 已知椭圆 C： 2 2 1 4 3 x y   的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，M 为椭圆 C 上任意一点，N 为圆 E：    2 23 2 1x y    上任意一点，则 1MN MF 的最小值为__________. 四、解答题（第 15 题 13 分，第 16、17题每道题 15分，每 18、19题各 17分） 15. 全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”， 两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书.甲、乙、丙三人在医学综合笔 试中“合格”的概率依次为 4 5 ， 3 4 ， 2 3 ，在实践技能考试中“合格”的概率依次为 1 2 ， 2 3 ， 2 3 ，所有考试 是否合格互不影响. （1）假设甲、乙、丙三人同时进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试，谁获得执业医师证书的可能性 最大？ （2）这三人进行实践技能考试与医学综合理论考试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率. 16．已知圆 C： 2 2 2 6 0x y x    和定点  4,0A  ，直线 l：  6 8y m x   . （1）当 1m  时，求直线 l被圆 C所截得的弦长； （2）若直线 l上存在点 M，过点 M作圆 C的切线，切点为 B，满足 2MA MB ，求 m的取值范围. 17. 如图，在三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， 90BAC  ， 2AB AC  ， 1 4A A  ， 1A在底面 ABC的射影 为BC的中点，D是 1 1BC 的中点． （1）证明： 1AD 平面 1A BC； （2）求平面 1BAD与平面 1 1 1A BC 所成角的余弦值． 18. 已知 ,M N分别为椭圆   2 2 2: 1 1 xT y a a    的左、右顶点，C为T 的上顶点， 8MC CN    ，P为直 线 6x  上的动点， PM 与T 的另一交点为 A， PN 与T 的另一交点为 B （1）求椭圆T 的方程； （2）证明：直线 AB过定点。 19. 若函数  y f x 对定义域内的每一个值 1x ，在其定义域内都存在唯一的 2x ，使    1 2 1f x f x  成立， 则称该函数为“依赖函数”. （1）判断函数   sing x x 是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数   12xf x  在定义域  , 0m n m  上为“依赖函数”，求mn的取值范围； （3）已知函数    2 4 3 h x x a a       在定义域 4 ,4 3      上为“依赖函数”，若存在实数 4 ,4 3 x      ，使得 对任意的 t R ，不等式    2 4h x t s t x     都成立，求实数 s的最大值. 永州一中2024年高二上期期中数学答案 一、单选题（每道题只有一个正确的选项，每小题5分，共40分） 1.D2.C3.A4.C5.B6.C7、D8、A 6、记A(2,0),则k=y。为直线AP的斜率，故当直线AP与半圆x2+y-1)=L,x>0相切时，斜率k X-2 最小，设1y=6K-2列，则2-1，解得长=一音或k=0(合去，即之的最小值为青 4 Vk2+1 3 x-2 7、【详解】因为点O,F,P,M四点共圆，∠MOF,=90°，MF,是圆的直径， FO PF 所以PS1PM,即PB1PF.所以FMF闪， 即FOEF=FMPF 又为2A-fM,所Far-2pFP-3, 所以PFl=V3c,又PF-PF=2a,所以PE=V3c-2a, 又因为PF⊥PE,所以PF+PE=EF,即3c2+(5c-2a)2=4c2, 所以5e-2a=c,所以5c-c=2a,所以e==2=5+1故选：D aV3-1 8、【详解】连接B,D交平面ABC于点O,延长线段CB至点M,使得CB=BM,连接BM、OM、PM, 如下图所示： D A P D C B M 已知在正方体ABCD-ABCD中，DD⊥底面ABCD,AC平面ABCD,.DD⊥A,C, 又：四边形AB,CD为正方形，所以，AC⊥B,D, DDOBD=D,·AC⊥平面BDD,BDC平面BDD,BD⊥AC, 同理BD⊥AB,AC∩4B=A,.BD⊥平面ABC 三-48C的体积为6-号 11 可得BO=5=BDl, 所以，线段BD的长被平面ABC与平面AD,C三等分，且与两平面分别垂直， 而正方体ABCD-AB,CD的棱长为3，所以OB=√3，OD=2√5，如下图所示： D 0 其中PO⊥B,D,不妨设OP=x,由题意可PB+PD=2+3, 所以，√x2+12+√x2+3=2+V13,可得x=1, 所以，点P在平面ABC内以点O为圆心，半径为1的圆上. 因为AD∥BCB,M,所以，直线BM与直线B,P的夹角即为直线BP与直线AD,所成角. 接下来要求出线段BM与PM的长，然后在△B,PM中利用余弦定理求解. 如图，过点O作OH⊥平面ABCD于点H,过点H作HN⊥BC于点N,连接ON, D C 年 C H B 根据题意可知OH=2,HN=BW=1,且ON⊥MN, 所以，|OW=5,lOM=V4+5=√i 如图所示，OR=OP=I,当点P在P处时，∠PBM最大，当点P在乃处时，∠PB,M最小. M直线BM 平面A1BC P O P 这两种情况下直线B,P与直线BM夹角的余弦值最大，为cos∠PB,M=sin∠PBO=} 当点P在点O处时，∠PB,M为直角，此时余弦值最小为0 综上所述，直线BP与直线D所成角的余弦值的取值范围是©引 二、多选题（每道题至少有2个或2个以上的答案正确，每小题6分，18分） 9.BD10、ABD11.ACD 11、【详解】由已知fw)=Vx+1)2+4-Vx-3+4。 设P(x,0),M(-1,2),N(32),则f(x)=PM-PN,如图 由图形可得P点关于(L,O)对称时，PM-PN的值相等，因此f(x)的图象是轴对称图形，它关于直线x=1 对称，A正确： 显然MN11x轴，当PI,O)时，PM=PW,即f)=0, 又PM-PNSMN=4,而P,M,N不可能共线，即PM-PW≠4， 所以f(x)∈[0,4)，B错： 设Q在x轴上，且P在(1，O)右侧，Q在P点右侧，MQ与PN交于点E,则ME+PE>PM,NE+QE>lQN, OM+PN=OE+EM+PE+NE>PM+ON .lM-lOW>PM-PN,P在x轴上(L,O)点的右侧，PM>PW ∴lOM-lON>lPM-Pw>o,即IeM-lON>PM-PNl 这说明P点从(L,0)向右移动时，(x)递增，同理P在x轴从左侧向点(L,0)移动时，f(x)减小，C正确： f(x)=V2+2x+5-V2-6x+13,f0)=f2)=3-5, 设t=fx),则f0=√3-5的解是4=0和42=2， f(x)=4=0有一个解x=1,而f(x)=42=2有两个解，因此ff(x)》=3-5有三个解，D正确. 故选：AC 三、填空题（每道题5分，共15分） 12.已知点N是点M(3,3,4)在坐标平面Oz内的射影，则ON=一·5 13.一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2-6x-91=0内切，则动圆圆心的轨迹方程是 【答案】上+ y2 =1: 36 27 随圆C:千+片」的左，右焦点分别为F,B,M为椭圆C上任意一点， (x-3)+(y-2)2=1上任意一点，则MN-ME的最小值为 【答案】2√2-5 【详解】由题意椭圆C: x2 y2 =1,M为椭圆C上任意一， 43 N为圆E:(x-3)'+(y-2)}'=1上任意一点， M 故MF|+|MF,=4,|MN2ME-1,当且仅当M,N,E共线时等号成立， MIN|-MFHMN-(4-MF=MN+MF-4 2ME1+|Mf2|-52EFI-5, 当且仅当M,N,E,F共线时等号成立， 而(1,0)，E(3,2),故EF上V3-1+(2-02=22, 即MW-ME的最小值为2√2-5，故答案为：2√互-5 四、解答题（第15题13分，第16、17题每道题15分，每18、19题各17分） 15、(1)记甲乙丙三人在医学综合笔试中合格依次为事件A,B,,C,在实践考试中合格依次为A,,B2, C2,则甲乙丙获得执业医师证书依次为AA,,BB2,CC, 并且A与A,B与B2,C与C,相互独立， 则P)-g号P叫g)-号PCG)号-号 224 1.4.2 由于2)>行故乙获得执业医师证书的可能性最大……6分 【小问2详解】 由于事件AA2,BB,CC2彼此相互独立， “恰有两人获得执业医师证书”即为事件： (44)(BB2)(CC2)+(442)(BB2)CC2)+(44)B,B2)CC,) 5 29 16、(1)圆C(x-1)'+y2=7,圆心C(1,0),半径r=√万，当m=1时，直线1的方程为x-y-2=0, 所以照6C到线离上-》-9放紫长为2F-子-2-气 √26.7分 √2 2 (2)设M(x,y),则MB=VMC2-r2=√2+y2-2x-6, 由A(-4,0),MA=2MBL,得(x+4)2+y2=2(x2+y2-2x-6) 化简得(x-6)+y2=64,所以点M的轨迹是以D(6,0)为圆心，8为半径的圆…10分 又因为点M在直线：x-y+6m-8=0上，所以I与圆D有公共点，所以 6m+6m-8≤8， Vm2+1 12 解得0≤m≤ 所以m的取值范围是 …15分 (-6,-8) 17,(1)证明：取BC的中点，连接A0,40,AB=AC=2,D是BG的中点. ∴，AD⊥BC,:BC/B,C1,.AD⊥BC,因为A在底面ABC的射影为BC的中点， 所以AO⊥面ABC,又面ABC//面AB,C,所以AO⊥面ABC,又A,DC面ABC,所以AO⊥AD, 因为AO⌒BC=O,所以AD⊥平面ABC: (6分) (2)解：如图，以O为坐标原点，以OA、OB、OA所在直线分别为x、y、z轴建系， 则BC=V2AC=2V2,A0=√Af-A0=V4, 则4(0,0,4)，4AN2,0,0,C0,-2,0),B(0,V2,0,D(-2,0,4),B,(-2,5,M④)， AD=(-√2,0,0)，BD=(-2.-√2,14)， 设平面ABD的法向量为m=(x,y,z), m·AD=0 [-V2x=0 则 得 mBD=0’ -√2x-√2y+4z=0 取z=1,得m=(0,万)，.9分 因为AO⊥面ADB, 所以OA=(0,0,V14即为平面ADB的一个法向量 4迈 则cos(m.0A)=4×224 ,15分 所以平面B4D与平面ABG的所成角的余弦值为 4 18、(1)、由题意，M(-a,0),N(a,0),C(0,1),所以MC=(a,1),CN=(a,-I),MC.CN=a2-1=8,故 口=9即所求椭圆方程为号+少2=1（5分) (2)、由(1)可知M(-3,0),N(3,0),设P(6,m), 财直线PM的方程为y=罗(x+3).联立方 y-(x+3) 9 (9+m2)x2+6m2x+9m2-81=0 9+2=1 由韦达定理可知-3：x, 9m2-81得x=1 27-3m2 9+m2 9+m2 7分 进而解得y4= 6m 9+m,放 27-3m26m 9+m2’9+m2 9分 直线PW的方程为y三？x-3),同理可求得点B二一2 1+m21+m2 13分 所以直线AB的斜率为k3B-m可)】 47m 即直线AB的方程为y- -2m 4 3m2-3 x- 1+m23(3-m2) 1+m2 15分 整理得y= 6-m引 4m 故直线过定点 30 17分 19(1)对于函最g()=加x的定义城R内存在名-名，则8()=2无锦， 故g(x)=Sinx不是“依赖函数”.(3分) (2)因为f(x)=2在[m,m上递增，故f(m)f(n)=1,即2-2=1，m+n=2, 由n>m>0,故n=2-m>m>0,得0<m<1, 从而mn=m(2-m)在m∈(0,1)上单调递增，故mn∈(0,1) (7分) （3)①若号a≤4，故)=(-在上最小值为0.此时不存在：合去：一8分剂 ②若a>4,故A(x)=(x-在行4上单调递减， 从面4到=1解得a=1舍成a= (9分）】 3 从而存在x∈ 生得对任金的1E,有不等式：- 2-12+(s-1)x+4都成立， 即r++-气+}+g320立 由4=-4r-+}+0,04+9}s+ 血x信小，可有+}s3+贸 (14分） 又y=3x+ 532 145 9x )max 31 从+}解 综上，故实数的最大值为 (17分）