专题05 一元一次方程（基础类型）-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版2024新教材）

专题05 一元一次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元一次方程的定义 【解惑】已知下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次方程的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【融会贯通】 1．下列各式中，是一元一次方程是（   ） A． B． C． D． 2．已知关于x的方程是一元一次方程，则的值为 ． 3．若是关于x的一元一次方程，则的值为 ． 类型二、列方程 【解惑】根据下列条件能列出方程的是（   ） A．a与5的和的3倍 B．甲数的3倍与乙数的2倍的和 C．a与b的差的 D．一个数的5倍是18 【融会贯通】 1．甲袋有大米千克，乙袋有大米千克．如果从甲袋取出6千克倒入乙袋，则两袋大米一样重，下面等式不符合题意的是（    ） A． B． C． D． 2．根据“x的3倍与5的和等于x的4倍”可列出方程来 ． 3．列等式表示“的4倍与5的和等于30”： ． 类型三、方程的解 【解惑】下列四个方程中，解是的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列方程中，解是的方程是（    ） A． B． C． D． 2．关于x的一元一次方程有解，则m的值为 ． 3．若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ． 类型四、等式的性质 【解惑】若，则下列等式不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知等式，则下列等式中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各变形中： ①由，可得到后； ②由，可得到； ③由，可得到； ④由，可得到．其中一定正确的有 （填序号）． 3．将方程变形为用含的式子表示，那么 ； 类型五、解一元一次方程——合并同类项与移项 【解惑】解方程：． 【融会贯通】 1．解方程： (1)； (2)． 2．解方程 (1)． (2)． (3)． 3．解方程 (1) (2) (3) 类型六、解一元一次方程——去括号 【解惑】解方程：． 【融会贯通】 1．解方程： (1) (2) 2．解方程：． 3．解方程 (1)； (2)； (3) 类型七、解一元一次方程——去分母 【解惑】解方程：． 【融会贯通】 1．解下列方程： (1) (2) 2．解方程： (1)； (2)． 3．解方程： (1)； (2)． 类型八、解一元一次方程——复杂的方程 【解惑】方程可以有多种不同的解法，观察此方程，设． (1)原方程可变形为，解方程得： ，从而可得 ． (2)上述解法所用到的数学思想是 ． (3)利用上述方法解方程： 【融会贯通】 1．已知多项式，． (1)若代数式的值与x无关，求m，n的值． (2)在（1）的条件下，若关于x的方程有无数个解，求a，b的值． (3)在（2）的条件下，关于x的方程有无数个解，求c的值． 2．若a、b、c、d是正数，解方程． 3．已知关于的一元一次方程的解为，求关于的一元一次方程的解． 【一览众山小】 1．爸爸比儿子大27岁，今年爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，求父子二人今年各是多少岁？（   ） A．爸爸36岁，儿子9岁 B．爸爸35岁，儿子8岁 C．爸爸35岁，儿子9岁 D．爸爸36岁，儿子8岁 2．如图所示的是某月的月历，任意选取“Z”型框中的7个数（如阴影部分所示），则这7个数的和可能是（   ） A．49 B．60 C．84 D．105 3．解为的方程是（   ） A． B． C． D． 4．代数式的值等于代数式的值，则 ． 5．已知是关于的一元一次方程，那么 ． 6．方程变形为，这种变形叫作 ． 7．解下列方程： (1)； (2)． 8．平顶山某初中数学小组学完“一元一次方程”后，对一种新的求解方法进行了交流，请你仔细阅读． 小明：对于，我采取的去括号移项的方法，计算比较繁琐． 小亮：我有一种方法——整体求解法．可先将、分别看成整体进行移项、合并同类项，得方程，然后再继续求解． 小明：你的这种方法比我的要简便一些，我尝试一下．… (1)请你继续进行小亮的求解． (2)请利用小亮的方法解下面的方程：． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一元一次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元一次方程的定义 【解惑】已知下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次方程的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式．据此即可求解． 【详解】解：是一元一次方程，故①符合题意； 含有两个未知数，不是一元一次方程，故②不符合题意； 是一元一次方程，故③符合题意； 未知数的最高次数为，不是一元一次方程，故④不符合题意； 是一元一次方程，故⑤符合题意； 等号左边是分式，不是一元一次方程，故⑥不符合题意； 故选：A 【融会贯通】 1．下列各式中，是一元一次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义；根据只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程是一元一次方程，进行判断即可． 【详解】解：A，中含有2个未知数，不是一元一次方程，不合题意； B，中未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，不合题意； C，是一元一次方程，符合题意； D，不是整式方程，不是一元一次方程，不合题意； 故选C． 2．已知关于x的方程是一元一次方程，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，以及解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解此题的关键． 根据一元一次方程未知数的次数为列方程，解方程可求出的值． 【详解】解：关于x的方程是一元一次方程， ， 解得：， 故答案为： 3．若是关于x的一元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，绝对值，以及代数式求值，熟记“只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程是一元一次方程”是解题关键．根据一元一次方程的定义，求出，再代入计算求值即可． 【详解】解：是关于x的一元一次方程， ，， ， ， 故答案为：． 类型二、列方程 【解惑】根据下列条件能列出方程的是（   ） A．a与5的和的3倍 B．甲数的3倍与乙数的2倍的和 C．a与b的差的 D．一个数的5倍是18 【答案】D 【分析】本题主要考查了列代数式和列方程，正确理解题意列出对应的式子或方程是解题的关键． 【详解】解：A、a与5的和的3倍可以列式为，不能得到方程，不符合题意； B、甲数的3倍与乙数的2倍的和可以列式为（a、b分别代表甲、乙），不能得到方程，不符合题意； C、a与b的差的可以列式为，不能得到方程，不符合题意； D、一个数的5倍是18可以列式为（m代表这个数），能得到方程，符合题意； 故选：D． 【融会贯通】 1．甲袋有大米千克，乙袋有大米千克．如果从甲袋取出6千克倒入乙袋，则两袋大米一样重，下面等式不符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列方程、等式的性质等知识点，掌握等式的基本性质是解题的关键． 根据题干可得，如果从甲袋中倒出6千克放入乙袋，则两袋大米一样重，可得，然后根据等式的性质变形逐项判断即可． 【详解】解：∵甲袋有大米千克，乙袋有大米千克．如果从甲袋取出6千克倒入乙袋，则两袋大米一样重， ∴，即A选项正确，不符合题意； ，即B选项错误，符合题意； ， 则，即C选项正确，不符合题意； ，即D选项正确，不符合题意． 故选：B． 2．根据“x的3倍与5的和等于x的4倍”可列出方程来 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．根据题意列式即可． 【详解】x的3倍为与5的和等于x的4倍， ， 故答案为：． 3．列等式表示“的4倍与5的和等于30”： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，的4倍与5的和表示为，据此建立方程即可． 【详解】解：列等式表示“的4倍与5的和等于30”：． 故答案为： 类型三、方程的解 【解惑】下列四个方程中，解是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解：能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值称为一元一次方程的解．将分别代入选项中的方程验证即可． 【详解】解：A、将代入得， ，故A不符合题意； B、将代入得， ，故B不符合题意； C、将代入得， ，故C不符合题意； D、将代入得， ，故D符合题意； 故选：D． 【融会贯通】 1．下列方程中，解是的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握方程的解能够使方程两边左右相等是解题关键．将分别代入方程计算即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：B． 2．关于x的一元一次方程有解，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用了一元一次方程中一次项的系数不等于零．根据一元一次方程有解，可得一次项的系数不等于零． 【详解】解：由，可得， 关于的一元一次方程有解， ， 解得：． 故答案为：． 3．若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ． 【答案】27 【分析】本题考查了一元一次方程的解及代数式的化简求值，将代入可得到，再整体代入，即可得出答案．熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：是关于x的一元一次方程的解， ， ， 故答案为：． 类型四、等式的性质 【解惑】若，则下列等式不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立． 【详解】解：A、若，则，原式成立，不符合题意； B、当时，不成立，符合题意； C、若，则，原式成立，不符合题意； D、若，则，原式成立，不符合题意； 故选：B． 【融会贯通】 1．已知等式，则下列等式中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数（或代数式），等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为的数（或代数式），等式仍然成立．根据等式的性质分别判断． 【详解】A、等式两边同时减去得：，原变形正确，故选项不符合题意； B、等式两边同时加上得：，原变形正确，故选项不符合题意； C、等式两边同时乘以得：，原变形错误，故选项符合题意； D、等式两边同时除以得：，原变形正确，故选项不符合题意； 故选：C． 2．下列各变形中： ①由，可得到后； ②由，可得到； ③由，可得到； ④由，可得到．其中一定正确的有 （填序号）． 【答案】②③ 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】由，只有当时，等式的两边才能同时除以a得出，故①错误； 由的两边都减去3，得出，故②正确； 的两边都乘a得，故③正确； 由可得，故④错误． 综上，正确的有②③． 故答案为：②③ 3．将方程变形为用含的式子表示，那么 ； 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质运算即可，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， 故答案为：． 类型五、解一元一次方程——合并同类项与移项 【解惑】解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 【融会贯通】 1．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）按照移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可； （）按照移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可； 本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：      ； （2）解： ． 2．解方程 (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解简易方程，分数的混合运算，利用等式的两个性质求解即可； （1）方程左边两项合为一项，再利用等式的性质2即可求解； （2）由等式性质1两边减去，再利用等式的性质2即可求解； （3）利用等式的性质2，方程两边乘即可求解； 【详解】（1）解：方程化简得：， 两边同除以，得：， 即； （2）解：方程两边减去，得：， 即， 方程两边除以4，得：； （3）解：方程两边乘，得：， 即． 3．解方程 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的基本方法是解此题的关键． （1）方程两边都乘以即可； （2）方程合并后，两边都除以即可； （3）方程两边都乘以，再同时除以即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：， ∴， ∴， ∴， ∴． 类型六、解一元一次方程——去括号 【解惑】解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程， 先去括号，再移项，合并同类项，最后化系数为1即可． 【详解】解： 【融会贯通】 1．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程； （1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程； （2）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解： 移项， 合并同类项， 化系数为1， （2）解： 去括号， 移项， 合并同类项， 化系数为1， 2．解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤．按照去括号，移项、合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：， 去括号，得， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为1，得． 3．解方程 (1)； (2)； (3) 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键； （1）根据去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可． （2）根据去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可． （3）根据去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 化系数为1得：． 类型七、解一元一次方程——去分母 【解惑】解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 【融会贯通】 1．解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程； （1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解： 移项， 合并同类项， 化系数为1， （2）解： 去分母， 去括号， 移项， 合并同类项， 化系数为1， 2．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解本题的关键． （1）方程去括号，移项，合并，把系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项，合并，把系数化为1，即可求出解． 【详解】（1） 解：去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：； （2） 解：去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：． 3．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可； （）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可 本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型八、解一元一次方程——复杂的方程 【解惑】方程可以有多种不同的解法，观察此方程，设． (1)原方程可变形为，解方程得： ，从而可得 ． (2)上述解法所用到的数学思想是 ． (3)利用上述方法解方程： 【答案】(1)， (2)换元思想（整体思想） (3) 【分析】本题通过代换法的应用以及解一元一次方程，掌握换元思想是解题关键． （1）解出方程得到的值，进而得到的值即可； （2）解题方法用到了换元思想； （3）设，将原方程换成的方程，解出方程得到的值，进而得到的值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴，解得， 故答案为：，． （2）上述解法用到的数学思想为换元思想或者整体思想． 故答案为：换元思想（整体思想）． （3）设，原方程变形为：， ， ， ， ， ∴， ∴． 【融会贯通】 1．已知多项式，． (1)若代数式的值与x无关，求m，n的值． (2)在（1）的条件下，若关于x的方程有无数个解，求a，b的值． (3)在（2）的条件下，关于x的方程有无数个解，求c的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，解一元一次方程： （1）根据正数的加减计算法则求出的结果，根据代数式的值与x无关，可得的结果中含x的项的系数都为0，据此求解即可； （2）根据（1）所求得到，则关于x的方程有无数个解，即关于x的方程有无数个解，据此可得，可得； （3）根据（2）所求得到关于x的方程有无数个解，讨论x的取值范围去绝对值，根据方程有无数解进行求解即可． 【详解】（1）解；∵，， ∴ ， ∵代数式的值与x无关， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵关于x的方程有无数个解， ∴关于x的方程有无数个解， ∴关于x的方程有无数个解， ∴， ∴； （3）解：∵关于x的方程有无数个解， ∴关于x的方程有无数个解， 当时，则，解得，即当时，对于任意的x只要满足，都满足，即此时方程有无数解； 当时，则，解得，此时方程只有一个解，不符合题意； 当时，则，解得，即当时，对于任意的x只要满足，都满足，即此时方程有无数解； 综上所述，． 2．若a、b、c、d是正数，解方程． 【答案】． 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，将4移项到方程左边变成，每项都，然后通分，利用乘法分配律，把写在括号外面，根据a，b，c，d为正数得，求出x即可，每项都减1进行通分是解题的关键． 【详解】解：原方程化为： ， ∴， ∴， ∵a，b，c，d是正数， ∴0， ∴， ∴． 3．已知关于的一元一次方程的解为，求关于的一元一次方程的解． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，一元一次方程的解，将关于的一元一次方程两边各项乘得到，进而得到的解为，进一步求解即可． 【详解】解：因为关于的一元一次方程的解为， 所以关于的一元一次方程两边各项乘得到：②， 方程①和方程②同解，所以，解得：． 故答案为：． 【一览众山小】 1．爸爸比儿子大27岁，今年爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，求父子二人今年各是多少岁？（   ） A．爸爸36岁，儿子9岁 B．爸爸35岁，儿子8岁 C．爸爸35岁，儿子9岁 D．爸爸36岁，儿子8岁 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，依题意设儿子年龄是x岁，则爸爸的年龄为岁．可得，再解方程即可． 【详解】解：依题意设儿子年龄是x岁，则爸爸的年龄为岁． ∴， 解得：， ∴爸爸的年龄为36岁． 故选：A． 2．如图所示的是某月的月历，任意选取“Z”型框中的7个数（如阴影部分所示），则这7个数的和可能是（   ） A．49 B．60 C．84 D．105 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，明确题意，列出方程是解答关键． 设中间的数为，然后即可表示出这七个数字之和，再令它们的和等于各小题的数学，求出相应的，然后对照日历表进行判定即可求解. 【详解】解：设中间的数为，则上一行3个数分别是，下一行3个数分别是， 所以这7个数的和为． A．若，则，不符合题意； B．若，则，不符台题意： C．若，则，不符合题意； D．若，则，符合题意． 故选：D． 3．解为的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解：能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值称为一元一次方程的解．将代入各方程即可判断． 【详解】解：∵，故A不符合题意； ∵，故B符合题意； ∵，，故C不符合题意； ∵，，故D不符合题意； 故选：B 4．代数式的值等于代数式的值，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，根据题意可得，再解方程即可． 【详解】解：由题意得： ， 解得：， 故答案为：3． 5．已知是关于的一元一次方程，那么 ． 【答案】1 【分析】本题考查一元一次方程的定义：等号两边是整式，只有一个未知数且未知数的次数是1的方程叫一元一次方程，根据定义列式求解即可得到答案 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴， ∴， 故答案为：1． 6．方程变形为，这种变形叫作 ． 【答案】去分母 【分析】此题考查了解一元一次方程．根据解一元一次方程的步骤进行解答即可． 【详解】解：方程变形为，这种变形叫作去分母， 故答案为：去分母 7．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． （1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1可解方程求解； （2）去分母，括号，移项，合并同类项，系数化为1可解方程求解． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 8．平顶山某初中数学小组学完“一元一次方程”后，对一种新的求解方法进行了交流，请你仔细阅读． 小明：对于，我采取的去括号移项的方法，计算比较繁琐． 小亮：我有一种方法——整体求解法．可先将、分别看成整体进行移项、合并同类项，得方程，然后再继续求解． 小明：你的这种方法比我的要简便一些，我尝试一下．… (1)请你继续进行小亮的求解． (2)请利用小亮的方法解下面的方程：． 【答案】(1)；过程见解析 (2) 【分析】本题考查解一元一次方程—拓展，正确计算是解题的关键： （1）根据整体求解法求解即可； （2）根据整体求解法求解即可． 【详解】（1）解：解方程， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解， 将看作一个整体， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$