专题04 基本平面图形（优质类型）-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版2024新教材）

专题04 基本平面图形思维导图 【类型覆盖】 类型一、线段n等分点的计算 【解惑】如图，线段，点C在线段AB上，P，Q是线段的三等分点，M，N是线段的三等分点，则线段的长为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了两点间的距离，n等分点的定义，数形结合是解题的关键．由三等分点的定义得，，然后由两点间的距离求解即可． 【详解】解：∵P，Q是线段的三等分点，M，N是线段的三等分点， ∴，， ∴． 故选C． 【融会贯通】 1．已知点是线段的中点，点是线段的三等分点（把一条线段平均分成三等分的点），若，则的长为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查线段的中点有关的计算，先根据线段中点定义求得，再分和两种情况，画出图形，分别求解即可． 【详解】解：∵，点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的三等分点， 若，如图，则；    若，如图，则，    综上，的长为或， 故选：D． 2．在直线l上有A、B、C、D四点，其中点B是线段的三等分点，点C是线段的中点，点E是线段延长线上一点，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的和差关系，中点的性质，线段n等分点的计算，设，根据题意可得，再根据点B的位置分情况讨论即可． 【详解】解：设， 点C是线段的中点， ， 如图，当点B是靠近A的线段的三等分点时， 则，， ， ， ， ； 如图，当点B是靠近D的线段的三等分点时， 则，， ， ， ， ， 故答案为：或． 3．如图，C是线段的中点，D是线段的三等分点且在点C的左侧． (1)图中共有________条线段 (2)若线段的长为30，求线段的长． (3)设线段的长为，若是直线上一点，且，求线段的长． 【答案】(1)6 (2)5 (3)a或 【分析】本题主要考查了线段的和与差： （1）直接观察，即可求解； （2）根据线段中点以及三等分点的定义可得，即可求解； （3）根据题意可得点F位于点A的左侧或点B的右侧，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：图中由线段，共6条； 故答案为：6 （2）解：∵C是线段的中点，D是线段的三等分点且在点C的左侧．， ∴， ∴； （3）解：根据题意得：点F位于点A的左侧或点B的右侧， 当点F位于点A的左侧时，如图， ∵， ∴，即， ∵，D是线段的三等分点且在点C的左侧． ∴，， ∴； 当点F位于点B的右侧时，如图， ∵， ∴，即， ∵，D是线段的三等分点且在点C的左侧． ∴，， ∴； 综上所述，的长为a或． 类型二、最短路程 【解惑】如图，一只电子蚂蚁从正方体的顶点处沿着表面爬到顶点处，电子蚂蚁的爬行路线在平面展开图（部分）中如实线所示，其中路线最短的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了两点之间线段最短，通过平面展开图和两点之间线段最短即可求解，正确理解两点之间线段最短是解题的关键． 【详解】解：一只蚂蚁要从正方体的一个顶点沿表面爬行到顶点， 根据两点之间，线段最短，则沿线段爬行，就可以使爬行路线最短， 故选：． 【融会贯通】 1．小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称-最短路线的问题，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题．会作对称点是解此类问题的基础，要求学生能熟练掌握，并熟练应用．另外本题的解决还应用了三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边．先作点关于街道的对称点，再根据三角形的两边之和大于第三边，得出，再进行边的等量代换，即可作答． 【详解】解：如图：作点关于街道的对称点，连接交街道所在直线于点， ， ， 在街道上任取除点以外的一点，连接，，， ， 在中，两边之和大于第三边， ， ， 点到两小区送奶站距离之和最小． 故选：C． 2．如图，是一条笔直的公路，在公路的两侧各有一个村庄，，两个村庄准备集资修建一个公交车站，经过协商，要求车站到两个村庄的路程和最短，小聪帮助设计了公交车站修建点，则小聪设计的理由是 ． 【答案】两点之间线段最短 【分析】根据两点之间线段最短即可求解． 【详解】解：两点之间线段最短． 【点睛】本题主要考查线段的基本事实，理解线段的基本事实是解题的关键． 3．如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． (1)如图②，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点，连接，，证明．请完成这个证明； (2)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区（正方形区域），其位置如图③所示，并规定燃气管道不能穿过该区域，请给出这时铺设管道的方案（不需说明理由）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了最短路径问题，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）由轴对称的性质得到，证明和，即可证明结论； （2）根据（1）得到的结论进行画图即可． 【详解】（1）解：连接， 点A，点关于l对称，点C在l上， ， ． 同理可得． ， （2）如答图，在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是ACDB（其中点D是正方形的顶点）． 类型三、角n等分线的计算 【解惑】定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】C 【分析】分四种情况，分别计算，即可求解． 【详解】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 综上，为或或， 故选：C． 【点睛】本题考查了角的有关计算，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 【融会贯通】 1．在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题意得出或，再根据角之间的数量关系，得出，综合即可得出答案． 【详解】解：∵，射线为的三等分线． ∴或， ∴， ∴的度数为或． 故选：C． 【点睛】本题考查了角度的计算，理解题意，分类讨论是解本题的关键． 2．如图，OB，OC分别是，的三等分线，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】由角的三等分线的含义先求解 再结合角的三等分线可得从而可得答案. 【详解】解： ，OB是的三等分线， OC分别是的三等分线， 故答案为： 【点睛】本题考查的是角的三等分线的应用，结合角的和差关系理解图形中的三等分线是解本题的关键. 3．若同一平面内三条射线有公共端点，且满足时，我们称是（）的“新风尚线”，但不是（）的“新风尚线”．如果或者，我们称是和的“新风尚线”． (1)如图（1），已知，是的三等分线，则射线 是（）的“新风尚线”； (2)如图（2），若，是（）的“新风尚线”，求． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）根据角之间的关系得到，则，再由三等分线的定义得到，则，据此可得结论； （2）分当在内部时，当在外部时，两种情况根据“新风尚线”的定义讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是的三等分线， ∴， ∴， ∴射线是（）的“新风尚线”； （2）解：如图所示，当在内部时， ∵是（）的“新风尚线”， ∴， ∴ 如图所示，当在外部时， ∵是（）的“新风尚线”， ∴， ∴ 综上所述，的度数为或． 类型四、七巧板 【解惑】数学活动课上，小明用一张边长为的正方形纸片制作了一副如图1的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2的“天鹅”作品，该“天鹅”作品中，阴影部分的面积为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查七巧板的知识，根据七巧板各图形边长之间的关系解题即可． 【详解】设小正方形的边长为，则大直角三角形的边长为， ∴大正方形的面积为， 解得， ∴阴影部分的面积为， 故选：C． 【融会贯通】 1．七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，它由如图所示的七块板组成，可以拼成许多图形，右边图形是用左边图形中的3块拼成的小船．若左边图形中正方形的面积为32，则右边图形中小船的面积为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】A 【分析】本题考查了利用七巧板拼图形，由七巧板的规律可得，，，由此计算即可得出答案，熟练掌握七巧板的规律是解此题的关键． 【详解】解：由七巧板的规律可得： ，，， ∵左边图形中正方形的面积为32， ∴， 故选：A． 2．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，小明用相同的七巧板拼成一个无缝隙的正方形（如图1）和一个中间留有空白的数字“0”（如图2），若图1正方形的面积是16，则图2中空白部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查七巧板，由题意得，图1中，大正方形的边长为4，图2中，根据“空白部分的面积等于矩形的面积减去正方形的面积的一半”求解即可． 【详解】解：由题意得，图1中，大正方形的边长为4， 图2中，， 故答案为：． 3．七巧板起源于我国宋代，后流传于世界各国．在“综合与实践”课上，兴趣小组同学们用一张正方形纸片依据图1，制作了图2所示的七巧板． (1)图1中与长度相等的线段是 ； （写出一条即可） (2)从图 2所示的七巧板中任选几块拼出一个等腰梯形，画出你拼图案的形状图（在所画图中标出选取的七巧板序号）． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查七巧板，理解七巧板的分割方法以及分割的七个部分的图形性质以及相互关系是正确解答的关键． （1）根据“七巧板”的分割方法得到第⑥部分是平行四边形，根据平行四边形的性质可得答案； （2）取“七巧板”中的若干块，拼成等腰梯形即可． 【详解】（1）∵⑥是平行四边形， ∴， 故答案为：（答案不唯一）； （2）取③④⑤⑥按照如图所示的方式可以拼成一个等腰梯形． 类型五、多边形的对角线条数问题 【解惑】过一个多边形的一个顶点可引2024条对角线，则这个多边形的边数为（　　） A．2021 B．2022 C．2026 D．2027 【答案】D 【分析】本题主要考查多边形对角线问题，熟练掌握多边形对角线条数公式是解题的关键；因此此题可根据过一个多边形的一个顶点可以引条对角线，进而问题可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，则有：， ∴； 故选D． 【融会贯通】 1．一个多边形有20条对角线，则这个多边形的边数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查多边形的对角线，关键是熟记多边形的对角线公式. 根据多边形的对角线公式进行计算即可得解． 【详解】解：n边形共有条对角线. 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故选：C． 2．从六边形的一个顶点出发，可以画m条对角线，它们将六边形分成n个三角形，则m+n= ． 【答案】7 【分析】本题考查多边形的对角形，根据从多边形的一个顶点出发，可以引出条对角线，将多边形分为个三角形，求出，；进行作答即可． 【详解】解：由题意，得：，； ． 故答案为：7． 3．某数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律． (1)在图5中画出从点出发的所有对角线； (2)根据探究，整理得到下面表格： 多边形的边数 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… ①表格中______，______；（用含n的代数式表示） ②拓展应用： 若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次，请计算总共要比赛多少场． 【答案】(1)见解析 (2)①，；②场 【分析】本题考查了多边形的对角线，根据表格信息寻求规律是解题的关键． （1）连接作图即可； （2）①根据所给数据规律解答即可； ②根据每班都需要和对手比赛一次，且一次比赛能满足2个班级的比赛需求列式运算即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）解：①，； ②（场）， 答：共需要比赛场． 类型六、平面镶嵌 【解惑】在下列正多边形组合中，不能铺满地面的是（　　） A．正八边形和正方形 B．正五边形和正八边形 C．正六边形和正三角形 D．正三角形和正方形 【答案】B 【分析】本题考查了平面密铺的知识，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满． 【详解】解：A、正方形的每个内角是，正八边形的每个内角是，由于，故能铺满，不符合题意； B、正五边形和正八边形内角分别为、，显然不能构成的周角，故不能铺满，符合题意； C、正六边形和正三角形内角分别为、，由于，故能铺满，不符合题意； D、正三角形、正方形内角分别为、，由于，故能铺满，不符合题意． 故选：B． 【融会贯通】 1．只用下列图形中的一种，能够进行平面镶嵌的是（　　） A．正十边形 B．正八边形 C．正六边形 D．正五边形 【答案】C 【分析】本题考查了平面镶嵌（密铺），掌握判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能是解题的关键．根据判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能判断即可． 【详解】解：A、正十边形的每个内角是，不能铺满地面，故该选项不符合题意； B、正八边形的每个内角是，不能铺满地面，故该选项不符合题意； C、正六边形的每个内角是，，能铺满地面，故该选项符合题意； D、正五边形的每个内角是，不能铺满地面，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．如果用边长相等的1个正三角形和2个正n边形进行图形的镶嵌，则这个正n边形是正 边形． 【答案】十二 【分析】本题考查了平面镶嵌（密铺）．根据正三角形的每个内角为和镶嵌的定义，求出正边形的每个内角的度数，再根据多边形内角和公式求出的值即可． 【详解】解：正三角形的每个内角为， 正边形的每个内角为， 根据题意得：， 解得：， 这个正边形是正十二边形． 故答案为：十二． 3．我们在用边长相同的正多边形进行平面镶嵌时，各正多边形重合的顶点叫拼接点，如图，就是拼接点．我们发现，各正多边形的以拼接点为顶点的内角之和为（注：若不能等于，则不能镶嵌）．    (1)如果我们只用一种边长相同的正多边形镶嵌，那么下面正多边形中，不能进行镶嵌的是______．（填序号） 正三角形；正方形；正五边形；正六边形． (2)为了使镶嵌图案美丽多变，我们有时也可以用边长相同的两种正多边形进行镶嵌，如图，正三角形与正方形的平面镶嵌，在一个拼接点的周围有个正三角形和个正方形． 如果我们用边长相同的正三角形与正六边形进行镶嵌，求一个拼接点的周围有几个正三角形和几个正六边形； 我们也可以用边长相同的正五边形和正______边形进行镶嵌． 【答案】(1) (2)一个拼接点的周围有个正三角形和个正六边形或个正三角形和个正六边形；十． 【分析】（）求出正多边形的内角，再用除以内角度数 ，根据结果是否为整数，逐项判断即可； （）设在平面镶嵌时，围绕在某一点有个正三角形和 个正六边形的内角可以拼成一个周角，则有，进而判断出情况； 设用边长相同的个正五边形和个正边形进行镶嵌，则，得出，由，为正整数，进行分类讨论即可求解． 【详解】（1）正三角形的内角为，，结果是整数，可以进行平面镶嵌； 正方形内角为，，结果是整数，可以进行平面镶嵌； 正五边形内角为，，结果不是整数，不可以进行平面镶嵌； 正六边形内角为，，结果是整数，可以进行平面镶嵌； 故选：； （2）设在平面镶嵌时，一个拼接点的周围有个正三角形和个正六边形， 根据题意得：， ∴， ∵，为正整数， ∴或， 答：在平面镶嵌时，一个拼接点的周围有个正三角形和个正六边形或个正三角形和个正六边形； 由于正五边形内角为，设用边长相同的个正五边形和个正边形进行镶嵌， 则， 整理得：， ∵，，为正整数， ∴应为正整数， 则或， 当时，，此时，无正整数解， 当时，，解得正整数解为：， 故答案为：十． 【点睛】此题考查了多边形内角和和平面镶嵌，解题的关键是掌握平面镶嵌的要求：拼接在同一个顶点处的多边形的内角之和等于． 类型七、线段动点求t 【解惑】如图，数轴上的点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)________，________，________． (2)点P为数轴上一动点，则的最小值为________，此时点P表示的数为________． (3)若点A，B，C开始在数轴上运动，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，则________，________．（用含t的代数式表示） (4)的值是否随着t的变化而变化？若变化，请说明理由：若不变，请求其值． 【答案】(1)；； (2)8； (3)； (4)的值不变，且 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的非负性，有理数的分类： （1）最多的负整数为，则，再由绝对值的非负性得到，则； （2）设点P表示的数为x，由（1）可知点A、B、C表示的数分别为；；，则，根据表示的是点P到点A和点P到点C的距离之和，得到当点P在点A和点C之间时（包括端点）有最小值，最小值为的长，即为，再由当点P与点B重合时，有最小值，则当时，和能同时取得最小值，故当时，有最小值，最小值为； （3）由题意得，运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （4）根据（3）所求计算出的结果即可得到答案． 【详解】（1）解：∵是最大的负整数， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；；； （2）解：设点P表示的数为x， 由（1）可知点A、B、C表示的数分别为；；， ∴， ∴， ∵表示的是点P到点A和点P到点C的距离之和， ∴当点P在点A和点C之间时（包括端点）有最小值，最小值为的长，即为， 又∵当点P与点B重合时，有最小值， ∴当时，有最小值， ∴当时，和能同时取得最小值， ∴当时，有最小值，最小值为， 故答案为：8；； （3）解：由题意得，运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴，， 故答案为：；； （4）∵，， ∴ ， ∴的值不变，且． 【融会贯通】 1．A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）．    (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求t的值； (3)M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长． 【答案】(1)2，； (2)或； (3) 【分析】本题主要是考查数轴上两点之间的距离，线段的和差运算和线段的中点的定义，只要能够画出图形就可以轻松解决，但是要注意考虑问题要全面． （1）根据点P的运动速度，即可求出； （2）当时，要分两种情况讨论，点P在点B的左侧或是右侧； （3）分两种情况结合中点的定义可以求出线段的长度不变． 【详解】（1）解：因为点 P 的运动速度每秒2个单位长度， 所以当时，的长为2， 因为点 A 对应的有理数为，， 所以点P表示的有理数为； （2）解：当，要分两种情况讨论， 点P在点B的左侧时，因为，所以，所以； 点P在点B的是右侧时，，所以； （3）解：MN长度不变且长为5． 理由如下：当在线段上时，如图，    ∵M为线段 的中点，N 为线段的中点， ∴，， ∴ ， ∵， ∴． 当在线段的延长线上时，如图，    同理可得：； 综上：． 2．【知识准备】 若数轴上两点所表示的数分别为，点为线段的中点，则有两点之间的距离，线段的中点所对的数为． （1）若，则______，______； 【问题探究】 在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为． （2）为何值时，中点所对应的数为3？ （3）为何值时，两点相距4个单位长度？ 【答案】（1）；（2）为5时，中点所对应的数为3；（3）为或时，两点相距4个单位长度 【分析】本题考查数轴综合问题，涉及非负式性质、非负式和为零成立的条件、数轴上线段中点坐标求法及两点之间距离表示等知识，熟练掌握数轴上两点之间距离及线段中点表示方法是解决问题的关键． （1）利用非负数性质及非负式和为零成立的条件解方程即可得到答案； （2）根据运动速度表示出，再由线段中点坐标表示列方程求解即可得到答案； （3）根据运动速度表示出，再由数轴上两点之间距离的表示方法，分情况列方程求解即可得到答案． 【详解】解：（1），且， ，且，解得， 故答案为：； （2）设运动时间为，则表示的数为，表示的数为， 中点所对应的数为3， ，解得； （3）设运动时间为，则表示的数为，表示的数为， 两点相距4个单位长度， 分两种情况讨论如下： ①当相遇前，，解得； ②当相遇后，，解得； 综上所述，当为或时，两点相距4个单位长度． 3．在数轴上点A、C表示的数分别为a、c，且a、c满足 (1)______，_______； (2)若点A向左运动m个单位长度，此时点A所对应的数为_______．（用含m的式子表示） (3)已知数轴上点B对应的数为，点A、B、C在数轴上运动，若点A以每秒x个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒1个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．当x为何值时，的值不会随着时间t的变化而变化？并求出此时的值． 【答案】(1)，2 (2) (3)当时，的值不会随着时间t的变化而变化，此时BC﹣AB的值为2 【分析】本题考查的是列代数式，数轴，绝对值，偶次方，掌握绝对值和偶次方的非负性是解题的关键． （1）根据非负数的性质分别求出，即可； （2）根据右移加即可求解； （3）运动秒后，点所对应的数为，点所对应的数为，点所对应的数为，根据两点间的距离公式和整式的加减计算即可求解． 【详解】（1）由题意得，， 解得，． 故答案为：，2； （2）若点向左运动个单位长度，此时点所对应的数为． 故答案为：； （3）运动秒后，点所对应的数为，点所对应的数为，点所对应的数为． ， ， ， 的值不会随着时间的变化而变化， ， 解得， 此时． 当时，的值不会随着时间的变化而变化，此时的值为2． 类型八、角旋转求t 【解惑】如图1，点O是直线上一点，三角板（其中）的边与射线重合，将它绕O点以每秒m°顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕O点以每秒n°逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)若，，秒时，________°； (2)若，，当在的左侧且平分时，求t的值； (3)如图2，在运动过程中，射线始终平分． ①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出________秒； ②当在的左侧，且与始终互余，求m与n之间的数量关系． 【答案】(1)100 (2) (3)①或30或48；② 【分析】（1）根据，即可求解； （2）根据平分线的性质得，再由平角为即可求解； （3）①当是的角平分线，当是的角平分线时，当是的角平分线时，分三种情况进行计算即可， ②由与始终互余，得出，进而可求解． 【详解】（1）解：当，，秒时， ，， ， ； 故答案为：100； （2）解：， 又在的左侧且平分， 解得：， （3）解：①当是的角平分线时，如图所示： 又始终平分， ， 当是的角平分线时，如图所示： 又始终平分， ，此时射线与重合， 解得：， 当是的角平分线时，如图所示： 又始终平分， ， 又， ， 解得：， 故答案为：或30或48； ②当在的左侧时，如图所示： 又始终平分， 与始终互余， ， 化简得：． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，平角的定义，解题的关键是能采用数形结合的思想和分类讨论的思想解答． 【融会贯通】 1．如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)图1中 度． (2)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2所示位置，使一边在内部，且恰好平分，若点D、O、N三点共线，则 度． (3)将图1中的三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为 ．（直接写出结果） (4)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转，请探究，当始终在的内部时（如图3），与的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明． 【答案】(1)60 (2)30 (3)10或40 (4)与的差不变，这个差值是 【分析】本题主要考查的是角的计算、角平分线的定义 （1）根据角的和差关系即可求解； （2）由角平分线的性质和对顶角的性质可求得，进而得到，最后由得到答案； （3）由直线恰好平分锐角可知旋转或时直线平分，根据旋转速度可求得需要的时间； （4）由，可知、，最后求得两角的差，从而可做出判断． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴， 故答案为：60； （2）∵平分，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：30； （3）∵， ∴． ∴． 即旋转或时直线平分． 由题意得，或240． 解得：或40， 故答案为：10或40； （4）．理由如下： ∵，， ∴、． ∴． ∴与的差不变，这个差值是． 2．在数学实验课中，学生进行操作探究，用一副三角板（其中，，，）按如图1所示摆放，边与在同一条直线上（点C与点E重合）．如图2，将三角板从图1的位置开始绕点C以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，平分？ (2)当t为何值时，？ 【答案】(1)t为21 (2)t为22.5秒或24.75秒 【分析】本题考查了三角板有关的角度计算，角平分线的定义， （1）根据角平分线的定义可得，从而得到三角板旋转的角度，再结合三角板运动的速度即可解题； （2）根据出现的情况分类讨论，再根据将与的结果关联即可求解． 【详解】（1）解：如图1， 平分， ， 旋转的角度为， （秒）， 答：当t为21时，平分． （2）解：由题可知：当时会出现以下两种情况： ①如图2， 由图可得： ， 又，     ，， 旋转的角度为， （秒）， ②如图3， 由图可得： ， 又， ，， 旋转的角度为， （秒）， 答：当t为秒或秒时，． 3．如图1，将一副直角三角板摆放在直线上（直角三角板和直角三角板），，，，保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转（如图2），旋转时间为t（）秒．      计算  当平分时，求t的值； 判断  判断与的数量关系，并说明理由； 操作  若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当三角板停止时，三角板也停止，直接写出在旋转过程中，与的数量关系． 【答案】计算：；判断：当时，，当时，；操作： 【分析】本题主要考查角度的和差关系和角平分线性质，计算：根据角平分线性质得，结合旋转速度即可求的时间；判断：分两种情况和，分别求得和即可找得到关系；操作：由题意知和，即可得，进一步可求得和，即可发现其关系． 【详解】解：计算 ∵，平分， ∴， ∵三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转， ∴． ∴t的值为2.25． 判断 当时，如图1， 据题意，得， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，如图2， 据题意，得， ∴， ∵， ∴， ∴； 操作 ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 则． 【一览众山小】 1．如图，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置，则三个角的数量关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了余角的计算，正确理解这一关系是解决本题的关键． 根据，即可求得，，代入，从而求解． 【详解】解：如图： ∵三个大小相同的正方形， ∴， ∴，， ∴， 即， 故选：C． 2．平面内6条直线两两相交，但仅有3条通过同一点，则截得不重叠线段共（　　） A．24条 B．21条 C．33条 D．36条 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的条数．先根据题意画出6条符合直线，再找出每条直线上不相交的线段，再把所得线段相加即可． 【详解】解：上共有不重合的线段4条， 上共有不重合的线段4条， 上共有不重合的线段3条， 上共有不重合的线段3条， 上共有不重合的线段3条， 上共有不重合的线段4条． 共计21条． 故选：B． 3．已知点都在同一条直线上，分别为的中点．若，则的长为 ． 【答案】8或16/16或8 【分析】本题主要考查与中点有关的线段和差计算，分两种情况：点C在点B的左边时，点C在点B的右边时，再根据相应线段的关系进行解答即可． 【详解】解：当点C在点B的左边时，如图所示． ∵分别为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即． ∵， ∴， ∴； 当点C在点B的右边时，如图所示． ∵分别为的中点， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 综上所述，的长为8或16， 故答案为：8或16． 4．如图，射线是的平分线，射线是的平分线，．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的计算，以及角的平分线定义，关键是注意分析角之间的和差关系．首先设，，再根据角平分线性质可得，再根据角的和差关系可得，进而得到，再解方程即可得到，进而得到答案 【详解】解：设，． 则． 是的平分线， ， ， ， ， 解得，， 是的平分线， ， ， 故答案为：． 5．已知O为直线上的一点，． (1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方向． ①若，则射线的方向是_________； ②与的关系为_________； ③与的关系为_________． (2)若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (3)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)①北偏东；②相等；③互补 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了方向角的定义，以及角平分线的定义，余角与补角的性质，对定义的熟练掌握是解题关键． （1）①根据方向角的定义即可求解； ②根据同角的余角相等即可得出结论； ③先根据同角的余角相等得出，再根据两角互补的定义即可得出结果； （2）①根据同角的余角可知，又根据角平分线的定义可得，两式相减即可得出结果； （3）根据角的和差，以及角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴射线的方向是北偏东； ②∵由题意知，， ∴； ③由题意知，， ∴， 又， ∴． 即与的关系为互补． 故答案为：①北偏东；②相等；③互补； （2）由题意知，， ∴． ∵恰好平分， ∴， ∴， ∴． （3），理由如下： ∵为的平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 6．有这样一个探究题：借助三角尺拼出的角，即通过一副三角尺可以拼出一些特殊度数的角． (1)【实践】在度数分别为①，②，③，④的角中，用一副三角尺拼不出来的是_________（填序号）； (2)【操作】七（1）班数学学习小组用一副三角尺进行拼角．如图①，小明把和的角拼在一起；如图②，小红把和的角拼在一起．他们两人各自所拼的两个角均在公共边的异侧，并在各自所拼的图形中分别作出的平分线和的平分线，则图①中的的度数为_________，图②中的的度数为_________； (3)【发现】当有公共顶点的两个角和有一条边重合，且这两个角在公共边的异侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是_________（用含，的代数式表示）； (4)【拓展】小明把图①中的三角尺绕点O顺时针旋转到图③的位置，使O，D，B三点在同一条直线上，并求出了的度数为．小红把图②中的三角尺绕点O顺时针旋转到图④的位置，使O，D，B三点在同一条直线上．请你仿照小明的做法，求出图④中的度数； (5)【归纳】当有公共顶点的两个角和有（其中）有一条边重合，且这两个角在公共边的同侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是_________（用含，的代数式表示） 【答案】(1)④ (2)； (3) (4) (5) 【分析】本题考查与三角板有关的计算，与角平分线有关的角的计算，掌握角平分线的定义，是解题的关键． （1）根据用一副三角板可以直接画出角的度数是15的倍数可解答； （2）根据角平分线的定义和角的位置关系可以求得：，，再根据可以求得的度数； （3）同法（2）求解即可； （4）根据角平分线的定义和角的位置关系可以求得：，，再根据可以求得的度数． （5）同法（4）求解即可． 【详解】（1）解：用两副三角板可以直接画出大于小于的角，角的度数也是的倍数， ①，②，③都是15的倍数，而④不是15的倍数，所以不能画出的角． 故答案为：④； （2）解：∵平分， ∴， 同理， ∴， 在图①中：，， ∴， 在图②中，，， ∴； （3）解：设，与重合，与分别在两侧，平分，平分， 由（2）可得； 故答案为：； （4）解：∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （5）解：设，与重合，与分别在同侧，平分，平分， 由（4）可得； 故答案为：． 7．如图1，O为直线上一点，过点O作射线，使．现将一个直角三角板的直角顶点放在点O处，一边与射线重合，如图2． (1)______； (2)如图3，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度，此时是的平分线，求的度数； (3)将三角板绕点O逆时针旋转，在与重合前，是否有某个时刻满足？如果有，求此时的度数；如果没有，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据，，即得； （2）根据是的平分线，，得到，根据，即得； （3）当在内部，根据，，得到， ，根据，得到，即得；当在外部，得到， 得到，即得． 【详解】（1）解：∵，， ∴； 故答案为：； （2）解：∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴； （3）解：当在内部，如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在外部，如图2，， ∴， ∴． 故的度数为：或． 【点睛】本题主要考查了平面内直角在直线上旋转．熟练掌握旋转性质，余角定义，平角定义，角平分线计算，角的和差倍分计算，分类讨论，是解决问题的关键．两个角的和等于，这两个角叫做互为余角． 8．如图，对于线段和，点C是线段上的任意一点，射线在内部，如果，则称线段是的伴随线段，是线段的伴随角．例如：，若，则线段的伴随角． (1)当时，若，试求的伴随线段的长； (2)如图，对于线段和．若点C是线段上任一点，E，F分别是线段的中点，分别是线段的伴随角，则在点C从A运动到B的过程中（不与A，B重合），的大小是否会发生变化？如果会，请说明理由；如果不会，请求出的大小． (3)如图，已知是任意锐角，点M，N分别是射线上的任意一点，连接，的平分线与线段相交于点Q．对于线段和，线段是的伴随线段，点P和点Q能否重合？如果能，请举例并用数学工具作图，再通过测量加以说明；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)AC=4； (2)不会，∠E′OF′=60°．理由见解析 (3)能，理由见解析 【分析】（1）根据伴随角和伴随线段的定义定义列出等式即可求解； （2）由中点的定义可得EF=AB，再利用伴随角和伴随线段的定义列出等式，可得出结论； （3）由伴随角和伴随线段的定义可得，点P和点Q重合时，是MN的中点，画出图形，测量即可． 【详解】（1）解：由伴随角和伴随线段的定义可知，，， ∴， ∴AC=4； （2）解：不会，∠E′OF′=60°．理由如下： ∵点E，F分别是线段AC，BC的中点， ∴EC=AC，CF=BC， ∴EF=AB=3． ∵∠A′OE′，∠A′OC′，∠A′OF′分别是线段AE，AC，AF的伴随角， ∴，，， ∵EF=AF-AE， ∴， ∵∠A′OB′=120°， ∴∠E′OF′=60°； （3）解：能，理由如下： ∵OD是∠AOC的平分线， ∴∠AOD=∠AOC， ∵线段MP是∠AOD的伴随线段， ∴．即点P是MN的中点． 若点P和点Q重合，则点Q为MN的中点． 根据题意画出图形如下所示： 测量得出当点P和点Q重合时，NP=MQ=1.25cm． 【点睛】本题属于线段和角度中新定义类问题，涉及中点的定义和角平分线的定义，关键是理解伴随角和伴随线段的定义． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 基本平面图形思维导图 【类型覆盖】 类型一、线段n等分点的计算 【解惑】如图，线段，点C在线段AB上，P，Q是线段的三等分点，M，N是线段的三等分点，则线段的长为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【融会贯通】 1．已知点是线段的中点，点是线段的三等分点（把一条线段平均分成三等分的点），若，则的长为（　　） A． B． C．或 D．或 2．在直线l上有A、B、C、D四点，其中点B是线段的三等分点，点C是线段的中点，点E是线段延长线上一点，且，则的值为 ． 3．如图，C是线段的中点，D是线段的三等分点且在点C的左侧． (1)图中共有________条线段 (2)若线段的长为30，求线段的长． (3)设线段的长为，若是直线上一点，且，求线段的长． 类型二、最短路程 【解惑】如图，一只电子蚂蚁从正方体的顶点处沿着表面爬到顶点处，电子蚂蚁的爬行路线在平面展开图（部分）中如实线所示，其中路线最短的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（　　）． A． B． C． D． 2．如图，是一条笔直的公路，在公路的两侧各有一个村庄，，两个村庄准备集资修建一个公交车站，经过协商，要求车站到两个村庄的路程和最短，小聪帮助设计了公交车站修建点，则小聪设计的理由是 ． 3．如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． (1)如图②，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点，连接，，证明．请完成这个证明； (2)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区（正方形区域），其位置如图③所示，并规定燃气管道不能穿过该区域，请给出这时铺设管道的方案（不需说明理由）． 类型三、角n等分线的计算 【解惑】定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【融会贯通】 1．在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 2．如图，OB，OC分别是，的三等分线，若，则的度数为 ． 3．若同一平面内三条射线有公共端点，且满足时，我们称是（）的“新风尚线”，但不是（）的“新风尚线”．如果或者，我们称是和的“新风尚线”． (1)如图（1），已知，是的三等分线，则射线 是（）的“新风尚线”； (2)如图（2），若，是（）的“新风尚线”，求． 类型四、七巧板 【解惑】数学活动课上，小明用一张边长为的正方形纸片制作了一副如图1的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2的“天鹅”作品，该“天鹅”作品中，阴影部分的面积为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【融会贯通】 1．七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，它由如图所示的七块板组成，可以拼成许多图形，右边图形是用左边图形中的3块拼成的小船．若左边图形中正方形的面积为32，则右边图形中小船的面积为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 2．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，小明用相同的七巧板拼成一个无缝隙的正方形（如图1）和一个中间留有空白的数字“0”（如图2），若图1正方形的面积是16，则图2中空白部分的面积是 ． 3．七巧板起源于我国宋代，后流传于世界各国．在“综合与实践”课上，兴趣小组同学们用一张正方形纸片依据图1，制作了图2所示的七巧板． (1)图1中与长度相等的线段是 ； （写出一条即可） (2)从图 2所示的七巧板中任选几块拼出一个等腰梯形，画出你拼图案的形状图（在所画图中标出选取的七巧板序号）． 类型五、多边形的对角线条数问题 【解惑】过一个多边形的一个顶点可引2024条对角线，则这个多边形的边数为（　　） A．2021 B．2022 C．2026 D．2027 【融会贯通】 1．一个多边形有20条对角线，则这个多边形的边数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 2．从六边形的一个顶点出发，可以画m条对角线，它们将六边形分成n个三角形，则m+n= ． 3．某数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律． (1)在图5中画出从点出发的所有对角线； (2)根据探究，整理得到下面表格： 多边形的边数 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… ①表格中______，______；（用含n的代数式表示） ②拓展应用： 若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次，请计算总共要比赛多少场． 类型六、平面镶嵌 【解惑】在下列正多边形组合中，不能铺满地面的是（　　） A．正八边形和正方形 B．正五边形和正八边形 C．正六边形和正三角形 D．正三角形和正方形 【融会贯通】 1．只用下列图形中的一种，能够进行平面镶嵌的是（　　） A．正十边形 B．正八边形 C．正六边形 D．正五边形 2．如果用边长相等的1个正三角形和2个正n边形进行图形的镶嵌，则这个正n边形是正 边形． 3．我们在用边长相同的正多边形进行平面镶嵌时，各正多边形重合的顶点叫拼接点，如图，就是拼接点．我们发现，各正多边形的以拼接点为顶点的内角之和为（注：若不能等于，则不能镶嵌）．    (1)如果我们只用一种边长相同的正多边形镶嵌，那么下面正多边形中，不能进行镶嵌的是______．（填序号） 正三角形；正方形；正五边形；正六边形． (2)为了使镶嵌图案美丽多变，我们有时也可以用边长相同的两种正多边形进行镶嵌，如图，正三角形与正方形的平面镶嵌，在一个拼接点的周围有个正三角形和个正方形． 如果我们用边长相同的正三角形与正六边形进行镶嵌，求一个拼接点的周围有几个正三角形和几个正六边形； 我们也可以用边长相同的正五边形和正______边形进行镶嵌． 类型七、线段动点求t 【解惑】如图，数轴上的点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)________，________，________． (2)点P为数轴上一动点，则的最小值为________，此时点P表示的数为________． (3)若点A，B，C开始在数轴上运动，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，则________，________．（用含t的代数式表示） (4)的值是否随着t的变化而变化？若变化，请说明理由：若不变，请求其值． 【融会贯通】 1．A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）．    (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求t的值； (3)M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长． 2．【知识准备】 若数轴上两点所表示的数分别为，点为线段的中点，则有两点之间的距离，线段的中点所对的数为． （1）若，则______，______； 【问题探究】 在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为． （2）为何值时，中点所对应的数为3？ （3）为何值时，两点相距4个单位长度？ 3．在数轴上点A、C表示的数分别为a、c，且a、c满足 (1)______，_______； (2)若点A向左运动m个单位长度，此时点A所对应的数为_______．（用含m的式子表示） (3)已知数轴上点B对应的数为，点A、B、C在数轴上运动，若点A以每秒x个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒1个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．当x为何值时，的值不会随着时间t的变化而变化？并求出此时的值． 类型八、角旋转求t 【解惑】如图1，点O是直线上一点，三角板（其中）的边与射线重合，将它绕O点以每秒m°顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕O点以每秒n°逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)若，，秒时，________°； (2)若，，当在的左侧且平分时，求t的值； (3)如图2，在运动过程中，射线始终平分． ①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出________秒； ②当在的左侧，且与始终互余，求m与n之间的数量关系． 【融会贯通】 1．如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)图1中 度． (2)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2所示位置，使一边在内部，且恰好平分，若点D、O、N三点共线，则 度． (3)将图1中的三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为 ．（直接写出结果） (4)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转，请探究，当始终在的内部时（如图3），与的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明． 2．在数学实验课中，学生进行操作探究，用一副三角板（其中，，，）按如图1所示摆放，边与在同一条直线上（点C与点E重合）．如图2，将三角板从图1的位置开始绕点C以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，平分？ (2)当t为何值时，？ 3．如图1，将一副直角三角板摆放在直线上（直角三角板和直角三角板），，，，保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转（如图2），旋转时间为t（）秒．      计算  当平分时，求t的值； 判断  判断与的数量关系，并说明理由； 操作  若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当三角板停止时，三角板也停止，直接写出在旋转过程中，与的数量关系． 【一览众山小】 1．如图，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置，则三个角的数量关系为（　　） A． B． C． D． 2．平面内6条直线两两相交，但仅有3条通过同一点，则截得不重叠线段共（　　） A．24条 B．21条 C．33条 D．36条 3．已知点都在同一条直线上，分别为的中点．若，则的长为 ． 4．如图，射线是的平分线，射线是的平分线，．若，则的度数为 ． 5．已知O为直线上的一点，． (1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方向． ①若，则射线的方向是_________； ②与的关系为_________； ③与的关系为_________． (2)若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (3)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 6．有这样一个探究题：借助三角尺拼出的角，即通过一副三角尺可以拼出一些特殊度数的角． (1)【实践】在度数分别为①，②，③，④的角中，用一副三角尺拼不出来的是_________（填序号）； (2)【操作】七（1）班数学学习小组用一副三角尺进行拼角．如图①，小明把和的角拼在一起；如图②，小红把和的角拼在一起．他们两人各自所拼的两个角均在公共边的异侧，并在各自所拼的图形中分别作出的平分线和的平分线，则图①中的的度数为_________，图②中的的度数为_________； (3)【发现】当有公共顶点的两个角和有一条边重合，且这两个角在公共边的异侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是_________（用含，的代数式表示）； (4)【拓展】小明把图①中的三角尺绕点O顺时针旋转到图③的位置，使O，D，B三点在同一条直线上，并求出了的度数为．小红把图②中的三角尺绕点O顺时针旋转到图④的位置，使O，D，B三点在同一条直线上．请你仿照小明的做法，求出图④中的度数； (5)【归纳】当有公共顶点的两个角和有（其中）有一条边重合，且这两个角在公共边的同侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是_________（用含，的代数式表示） 7．如图1，O为直线上一点，过点O作射线，使．现将一个直角三角板的直角顶点放在点O处，一边与射线重合，如图2． (1)______； (2)如图3，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度，此时是的平分线，求的度数； (3)将三角板绕点O逆时针旋转，在与重合前，是否有某个时刻满足？如果有，求此时的度数；如果没有，请说明理由． 8．如图，对于线段和，点C是线段上的任意一点，射线在内部，如果，则称线段是的伴随线段，是线段的伴随角．例如：，若，则线段的伴随角． (1)当时，若，试求的伴随线段的长； (2)如图，对于线段和．若点C是线段上任一点，E，F分别是线段的中点，分别是线段的伴随角，则在点C从A运动到B的过程中（不与A，B重合），的大小是否会发生变化？如果会，请说明理由；如果不会，请求出的大小． (3)如图，已知是任意锐角，点M，N分别是射线上的任意一点，连接，的平分线与线段相交于点Q．对于线段和，线段是的伴随线段，点P和点Q能否重合？如果能，请举例并用数学工具作图，再通过测量加以说明；如果不能，请说明理由． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$